Содержание к диссертации
Введение
1. Исходные принципы построения моделей для исследования аэродщамики пристенных струй с кривизной 10
1.1. Общие соображения 10
1.2. Система координат. Связь принятой системы координат с щшшдрической системой 13
1.3. Модель кривизны 18
1.4. Модель турбулентности 20
2. Уравнения движения и неразршзности для типичных двумерных течений с кривизной 25
2.1. Предварительные замечания. Исходная система уравнений 25
2.2. Течение на цилиндре 26
2.3. Течение на конусе 29
2.4. Течение на сфере 33
3. Математическая модель турбулентной струи на цилиндре 41
3.1. Предварительные замечания 41
3.2. Система уравнений 43
3.3. Параметризация касательных напряжений 46
3.4. Параметризация вихревой вязкости 48
3.5. Параметризация продольных скоростей течения 53
3.6. Преобразование системы уравнений к виду, удобному для ее решения 65
4. Исследование влияния кривизны течения на характе ристики турбулентной струи на цилиндре 77
4.1. Параметры струи 77
4.2. Вычисление функций 79
4.3. Решение системы уравнений 91
4.4. Описание алгоритма решения 92
4.5. Анализ влияния кривизны на характеристики струи 95
Выводы 110
Приложения 112
- Система координат. Связь принятой системы координат с щшшдрической системой
- Параметризация продольных скоростей течения
- Преобразование системы уравнений к виду, удобному для ее решения
- Анализ влияния кривизны на характеристики струи
Введение к работе
Пристенные струи находят широкое применение в различных практических задачах. С их помощью решаются задачи пленочного охлаждения, управление пограничным слоем на крыльевых поверхностях летательных аппаратов, защита остекления от дождя и снега. Течения такого типа реализуются при обдувке поверхностей летательных аппаратов струями от воздушных винтов, при взлете космических аппаратов, самолетов вертикального взлета и посадки, различных задачах гидроаэродинамики, отопительной техники, аэроакустики.
Начало исследованиям пристенных струй, по-видимому, было положено Е.Фертманом / 52 _7, экспериментально исследовавшим плоские турбулентные пристенные струи. Первые теоретические исследования, посвященные пристенным струям, принадлежат Н.И.Акат-нову /2,3 J и М.С.Цуккеру /53 У. В последующем к исследованию пристенных струй обращались многие авторы - литература, посвященная исследованиям пристенных струй в настоящее время весьма обширна.
Методы исследования пристенных струй во многом сходны с методами исследования пограничного слоя на стенке. Их можно разделить на экспериментальные и теоретические. Эксперименты с пристенными струями дали возможность выяснить структуру струй, особенности их формирования на различном удалении от фронта выдува (среза сопла). Важнейшим результатом экспериментальных исследований явилось получение профилей скорости в струе и изменение касательного напряжения на стенке. Как это показано во многих работах по пристенным струям, профили скоростей и касательное напряжение на стенке в пристенных струях в значительной мере отличается от таковых в обычном пограничном слое.
В настоящее время получило развитие направление, базирующееся на применении к решению задач пристенных струй численных методов / 6,10,37,40 7» При этом, как правило, решаются уже не уравнения пограничного слоя, а уравнения Навье-Стокса (или Рейнольдса). При всей, однако, перспективности этого направления, разработка его не достигла еще той степени совершенства, когда можно было бы его рекомендовать широким кругам исследователей.
Оценивая в целом состояние исследований по пристенным струям, следует отметить, что большинство имеющихся работ посвящено плоским пристенным струям, которые хорошо изучены как экспериментально, так и теоретически. Значительно менее изучены пристанные струи осесимметричные, в которых проявляется эффект поперечной кривизны. Достаточно сказать, что на сегодня лишь в одной известной нам работе - работа Д.Старра; Е.Сперроу [ 42, 43 ] получена экспериментально количественная оценка влияния этого эффекта на формирование профиля скоростей в струе на цилиндре. В большинстве экспериментальных работ исследователям не удалось обнаружить его влияния на профиль скорости. Объяснить это можно тем, что пристенный слой струи, где наиболее весомо проявляется это влияние, очень тонок, а применяемая большинством исследователей аппаратура оказывается слишком грубой для обнаружения вышеуказанного эффекта.
Что касается теории, то попытки учесть эффект кривизны предпринимались многими авторами До,17,33,39,40,50,51/. в настоящее время предложен ряд полуэмпирических зависимостей, учитывающих с большей или меньшей обоснованностью влияние кривизны на длину пути смещения и коэффициент вихревой вязкости.
Целью настоящего исследования явилась разработка математических моделей и методов расчета пристанных струй с кривизной, учитывающих влияние кривизны на все основные факторы, определяющие течение в струе (уравнения движения и неразрывности, касательное напряжение, вихревую вязкость, профиль скоростей и т.д.) и на этой основе - исследование этого влияния на формирование характеристик струи. В основу исследования положен интегральный метод, базирующийся на использовании вместо дифференциальных уравнений совокупности определенных интегральных соотношений. Поиск приемлемых зависимостей, учитывающих влияние кривизны на профиль скоростей, осуществлен на экспериментальном материале, полученном Д.Старром и Е.Сперроу для струи на цилиндре f 42, 43 ].
Работа состоит из двух частей. Б ПЕРВОЙ части (главы І,2) рассмотрены общие принципы построения моделей для исследования аэродинамики пристенных струй с кривизной, предложены модели кривизны и турбулентности, а также приведены системы уравнений движения и неразрывности, записанные в системе координат, связанной с поверхностью тел вращения. Предлагаемые в работе формулы перехода от цилиндрической системы координат к системе координат, связанной с поверхностью тела, позволяют решить эту задачу достаточно просто.
Во ВТОРОЙ части работы (главы 3,4) подробно исследована турбулентная струя на цилиндре.
Предложенные модели кривизны и турбулентности позволили получить профили касательных напряжений и продольных скоростей, дающие хорошее соответствие с экспериментальными данными Д.Стар-ра и Е.Сперроу, а предложенный алгоритм расчета характеристик струи - исследовать достаточно полно влияние кривизны на характер их изменения.
На защиту выносятся следующие результаты, полученные автором:
- общая методология построения математических моделей пристенных струй с кривизной;
- математическая модель турбулентной струи, растекающейся вдоль образующейся цилиндра;
- методика и алгоритм расчета характеристик турбулентной струи на цилиндре;
- оценка влияния поперечной кривизны на изменение характеристики турбулентной струи на цилиндре.
Автор благодарен своему научному руководителю доктору технических наук, профессору В.С.Максимову, идеи и разработки которого во многом реализованы в настоящей диссертации.
Система координат. Связь принятой системы координат с щшшдрической системой
Теоретические расчеты пристенных струй, также как и струй свободных, в большинстве своем базируются на уравнениях пограничного слоя. Такой подход вполне оправдан, поскольку изменение параметров струи поперек сечения значительно больше, чем вдоль него. Использование же уравнений пограничного слоя позволяет значительно упростить математическую модель струи.
Наличие двух характерных зон - пристенного слоя струи и внешней части - наталкивает на мысль о возможности отыскания решений отдельно для внешней части струи и ее пристенного слоя с последующим смыканием этих решений на линии максимальных продольных скоростей (границе между внешней частью и пристенным слоем). Эта идея была выдвинута и с успехом применена Глауэртом 12 J, который реализовал ее при исследовании затопленных плоской пристенной струи и струи на цилиндре. Впоследствии эта идея широко использовалась различными авторами /F,10,27,31,48_7»
Наиболее полно она была реализована в работах В.С.Максимова /"27,28,31 _7» который получил целый ряд решений для различных видов как затопленных пристенных струй, так и пристенных струй, растекающихся в спутном потоке.
На формирование пристенных струй, растекающихся вдоль тел вращения (осесимметричных пристенных струй), как показывают тео ІЗ ретические и экспериментальные исследования, сильное влияние оказывает кривизна потока, поэтому одной из главных задач моделирования течений в пристенных струях такого типа является разработка соответствующих моделей кривизны и турбулентности. Такие модели обсуждаются в 1.3, 1.4.
При отсутствии закрутки в струе (именно такие струи рассматриваются в настоящей работе) поперечные компоненты скорости и напряжений вследствие симметрии течения отсутствуют. В этом случае задача может рассматриваться как двумерная и для ее решения достаточно использовать уравнения в проекциях на две соответствующие оси координат.
Вид уравнений движения и неразрывности зависит от системы координат, в которой они записаны. Обычно при расчете цристенных струй пользуются системой координат, связанной с поверхностью тела, вдоль которого они растекаются. При этом ось ОХ направляется вдоль поверхности тела, ось ОУ - по нормали к поверхности (рис. 1.3). В зависимости от формы тела, вдоль которого растекается струя, изменяется как вид системы координат, так и вид уравнений движения. Система уравнений движения для осесимметричных течений обычно записывается в цилиндрической системе координат Z , г . Чтобы перейти от системы уравнений, записанных в цилиндрической системе координат к уравнениям в системе координат, связанной с телом, необходимо установить связь между координатами той и другой системы, а также формулы преобразования производных и параметров, входящих в уравнения движения. Рассмотрим рис. 1.3. Используя формулу длины дуги, а также геометрические связи, Совокупность полученных формул определяет однозначный переход от уравнений, заданных в цилиндрической системе координат, к уравнениям в системе координат, связанной с телом вращения, при условии задания границы тела в виде уравнения Г0 = Р0 (z0). 1.3. Модель кривизны. Анализ экспериментальных данных /19,29,40,47,48 J, показывает, что на распределение скоростей и касательного напряжения в осесимметричных пристенных струях оказывает существенное влияние искривленность потока вдоль нормали к границе тела. Определим кривизну потока на расстояние " (/ " от стенки как предел отношения площади верхней грани призмы, образованной плоскостями, параллельными координатным плоскостям, к площади, вырезаемой этой призмой на теле (рис.1.4), т.е. Как будет показано ниже, представление параметра кривизны в форме (I.3-I) оказывается весьма полезным при аппроксимации распределений касательного напряжения и продольных скоростей течения: В настоящей работе для описания турбулентности в течениях со сдвигом принята модель турбулентности Л.Прандтля, согласно которой напряжение турбулентного трения можно рассматривать как "среднюю во времени проекцию на ось ОХ отнесенного к единице площади секундного переноса количества осредненного турбулентного движения через площадку, расположенную вдоль линии тока" / " 24 J7: Вырежем плоскостями, параллельными координатным плоскостям, элементарную призму в потоке (рис.1.5). Количество осредненного турбулентного движения, приносимое с уровня " y+ Y п на уровень Количество осредненного турбулентного движения, приносимое с уровня "t/--V-" на уровень " {/ " Сила турбулентного трения, приложенная к площадке dFy выше данному определению, будет равна
Параметризация продольных скоростей течения
айдем коэффициенты В из удовлетворения (3.4-8) граничным условием (3.3-3). С этой целью продифференцируем равенства (3.4-8), (3.2-2) по Г : JL/iLU Л+ _M 9 2 + M. JL/eA driVCwJ-V J )df ori driKjuJ Полагая при — . Q Ф Г) , получим условия для определения коэффициентов Вг Выражение (3.4-14) позволяет определить Zi , используя экспериментальные данные по профилям скорости.
Приведенные результаты интересны прежде всего тем, что они указывают пути поиска функций Zf и Zz , зависящих, как это следует из (3.4-7) и (3.4-17) от параметров кривизны на уровнях границ пристенного слоя и внешней части струи. 3.5. Параметризация продольных скоростей течения Для построения профилей скорости в пристенном слое и внешней части струи воспользуемся моделью Ньютона-Буссинеска (3.2-2). Переходя в (3.2-2) к переменным ср , п и 1р , , будем иметь: Рассмотрим внешнюю часть струи. Пренебрегая в (3.5-2) едини-цей по сравнению с -ут- учитывая (3.4-17) и полагая: будем иметь: откуда: Подставляя в (3.5-3) значение /-ф—) из (3.3-9), получим для профиля скоростей выражение: Вычисление интеграла дает: В силу произвольности Ef , можно положить: тогда для профиля скоростей во внешней части струи на цилиндре будем иметь: Мы получили известный из теории струй результат /8 у, показывающий, что профиль скоростей во внешней части струи независимо от их типа является автомодельным. Воспользуемся профилем (3.5-7) для определения функции Zz, Переходя в (3.4-2) к переменным р , , полагая 1 8 и вводя две эмпирические константы % % , будем иметь: Вид функций 95(1-), &6(%) приведен на рис. 3.8 . В теории свободных струй, коэффициент вихревой вязкости, как известно, оп ределяется выражением: f где: X - эмпирическая константа,имеющая различные значения для разных типов струй. Формулы (3.4-17), (3.5-14) дают возможность определить параметр X через параметр/,. Из сопоставления (3.4-17) и (3.5-14) имеем: Таким образом, в общем случае параметр X ЯЕЛЯЄТСЯ величиной переменной, зависящей от параметров Xf , Х2 . Полагая в (3.5-12), L =0 и L=I, будем иметь: 7 — Y б() .
Преобразование системы уравнений к виду, удобному для ее решения
В уравнения (3.6-25) входят два типа функций: функции/,Р-и определяемые профилям скоростей во внешней части струи, и функции H-L , Q-L , Q- , определяемые профилем скорости в пристенном слое. Как было показано в 3.5, профиль скоростей во внешней части струи в переменных у , является универсальным, поэтому- функции FL , Р{ являются константами. Их значения приведены в таблице 4.1. Сравнения системы (3.6-34) являются существенно нелинейными, поэтому систему (3.6-34) лучше всего решать методом последовательных приближений. Поскольку система уравнений (3.6-34) составлена для основного участка струи, для реализации иитерационного процесса необходимо задание длины переходного участка Хп и скорости U-rn в конце переходного участка. В настоящее Бремя теория начального и переходного участков струи на цилиндре отсутствует, поэтому для определения указанных параметров струи в конце переходного участка целесообразно воспользоваться экспериментальными данными.
Такие данные приведены, в частности, в работе / 29 J. Согласно / 29 ] длина переходного участка и скорость в конце переходного участка в случае струи на цилидрре можно в первом приближении определять по формулам: В качестве нулевого приближения при решении системы (3.6-34) целесообразно принять значения параметров во внешней части струи, соответствующих свободной плоской струе, в пристенном слое - плоской пристенной струе. Соответствующие формулы нулевого приближения имеют вид Как показывают расчеты, сходимость итерационного процесса при решении системы (4.3-3) оказывается достаточно быстрой при использовании нулевого приближения в виде (4.3-2). 4.4. Описание алгоритма решения Общая блок-схема ашгоритма решения системы (4.3-3 ) приведена на рис.4.1. Алгоритм решения приведен в таблице 4.3. Программа реализации алгоритма на ЭВМ ЕС-ЮЗЗ приведена в приложении I. Процедура расчета сводится к следующему. Задаваясь параметрами R0 , - - , определяющими режим струи на цилиндре, по формулам (4.3-1) определяют параметры струи в конце переходного участка. Принимая в качестве аргумента задачи, величину z = In X , где X=-s- , для выбранного количества An точек z =th (h - шаг сетки, І = 0,1,2,...п) определяют параметры струи в нулевом приближении по формулам (4.3-2), после чего рассчитывают последовательные приближения для всех переменных по формулам, указанным в алгоритме. При этом на каждом приближении производится сравнение разностей (год) на всем интервале счета с заданной точностью счета ДФ; В случае приближение j-м принимается за решение системы. Как показывают расчеты, приемлемую для практики точность дает уже пятое - шестое приближение.
Результаты расчета системы уравнений (4.3-3) для случаев растекания струи вдоль образующей цилиндра, исследованных экспериментально в работе /43/, приведены на рис.4.2-4.23; данные расчета приведены в таблицах 6, 7, приложения 2. За пере у ходное сечение принималось сечение, соответствующее cj = 33; значения —yf- снимались с соответствующих графиков, приведенных в работе /43/. Коэффициенты Bz и К определялись по формулам чше согласующиеся с системой (4.3-3), чем аналогичные формулы, приведенные на стр.62. Как следует из рисунков, искривленность потока оказывает существенное влияние на формирование характеристик струи, особенно в пристенном ее слое. В целом, настоящим исследованием подтверждается общая закономерность развития пристенных струй с поперечной кривизной S при малых значениях уо характеристики струи с поперечной кривизной близки к характеристикам плоской струи; по мере уве-личения -рго пристенная струя с поперечной кривизной вырождается в осесимметричную. При этом, как показывает анализ, для теоретических построений важное значение приобретает правильность учета влияния кривизны на формирование характеристик пристенного слоя (касательного напряжения, вихревой вязкости, профиля скоростей). Как следует из рис.4.22,иллюстрирующего сравнение данных, расчитанных с учетом такого влияния и пренебрежения им, ход изменения характеристик пристенного слоя отличается как качественно, так и количественно в том и другом случаях. Отличие это возрастает с ростом величины А и при значениях А 0,1 становится более 20%.
Анализ влияния кривизны на характеристики струи
При этом на каждом приближении производится сравнение разностей (год) на всем интервале счета с заданной точностью счета ДФ; В случае приближение j-м принимается за решение системы. Как показывают расчеты, приемлемую для практики точность дает уже пятое - шестое приближение. Результаты расчета системы уравнений (4.3-3) для случаев растекания струи вдоль образующей цилиндра, исследованных экспериментально в работе /43/, приведены на рис.4.2-4.23; данные расчета приведены в таблицах 6, 7, приложения 2. За пере у ходное сечение принималось сечение, соответствующее cj = 33; значения —yf- снимались с соответствующих графиков, приведенных в работе /43/. Коэффициенты Bz и К определялись по формулам чше согласующиеся с системой (4.3-3), чем аналогичные формулы, приведенные на стр.62. Как следует из рисунков, искривленность потока оказывает существенное влияние на формирование характеристик струи, особенно в пристенном ее слое. В целом, настоящим исследованием подтверждается общая закономерность развития пристенных струй с поперечной кривизной S при малых значениях уо характеристики струи с поперечной кривизной близки к характеристикам плоской струи; по мере уве-личения -рго пристенная струя с поперечной кривизной вырождается в осесимметричную.
При этом, как показывает анализ, для теоретических построений важное значение приобретает правильность учета влияния кривизны на формирование характеристик пристенного слоя (касательного напряжения, вихревой вязкости, профиля скоростей). Как следует из рис.4.22,иллюстрирующего сравнение данных, расчитанных с учетом такого влияния и пренебрежения им, ход изменения характеристик пристенного слоя отличается как качественно, так и количественно в том и другом случаях. Отличие это возрастает с ростом величины А и при значениях А 0,1 становится более 20%. На рис.4.8-4.II, 4.18-4.21 приведено сравнение данных расчета с данными эксперимента /43/. Для определения расчетных X" значений - р использовалась формула &+ в = N- 6vz , которую легко преобразовать к виду буг Хп/& ф /, &,УФ» ) expZ , v или с учетом принятого —-яр Сравнение расчетных значений - с экспериментальными значениями при /V =2,5 приведены на рис.4.II, 4.19. Как следует из рисунков, расчетные данные в целом хорошо соответствуют данным эксперимента, несмотря на то, что ряд эксперименталь ных данных снимался с приведенных в работе /43/ графиков, что не могло не внести соответствующих погрешностей. Теоретические и экспериментальные профили скоростей в пристенном слое приведены на рис.4.8, 4.18. Качественно они правильно описывают изменение профиля скоростей с изменением CJg ; некоторое их количественное различие обуславливается с одной стороны приближенностью формул (4.5-1), с другой - приближенностью самих экспериментальных данных. Известно, что в тонком пристенном слое струи точно измерить касательное напряжение, а, следовательно, и динамическую скорость, практически невозможно. Рис.4.9, 4.20 иллюстрируют сказанное. На них приведены данные, показывающие определенный разброс экспериментальных значений по сравнению с теоретическими их значениями. Рис.4.23 иллюстрирует справедливость принятой гипотезы (3.6-26). Как следует из рис.4.23, линейная зависимость произведения 0.5Фу от in А подтверждается хорошо. Указанная гипотеза может быть, по-видимому, с успехом использована и при построении моделей других типов пристенных струй. Приведенное сравнение данных расчета с данными эксперимента позволяет сделать вывод о том, что предложенная методика расчета является достаточно точной и может быть рекомендована для использования в практических расчетах.