Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Планетная динамика в системах a Centauri и EZ Aquarii: диаграммы устойчивости и возможные циркумбинарные конфи гурациии планетных систем 22
1.1 Постановка задачи и уравнения движения 27
1.2 Диаграммы устойчивости 31
1.3 Орбитальное расположение планет 45
1.4 Расположение зон обитаемости 49
1.5 Выводы к Главе 50
Глава 2. Диаграммы устойчивости циркумбинарных планетных систем «Кеплер» 52
2.1 Кеплер-16Ь: на границе области хаоса 54
2.2 Резонансы и сценарии формирования планет 57
2.3 Кеплер-34Ь и 35Ь 60
2.4 Кеплер-38Ь, 47b, 64Ь и 413Ь 63
2.5 Выводы к Главе 63
Глава 3. Устойчивость циркумбинарных планетных систем: теория и численный эксперимент 68
3.1 Критические значения больших полуосей 69
3.2 Численное и аналитическое описание границ хаотических зон 71
3.3 Выводы к Главе 77
Глава 4. Орбитальные резонансы в экзопланетных системах 79
4.1 Распределения отношений периодов 79
4.2 Столкновительные кривые и аномальные объекты
4.3 Выводы к Главе 84
Заключение 87
Литература
- Диаграммы устойчивости
- Резонансы и сценарии формирования планет
- Численное и аналитическое описание границ хаотических зон
- Столкновительные кривые и аномальные объекты
Диаграммы устойчивости
Бене и Гонци [15] исследовали в рамках плоской ограниченной задачи трех тел долговременную устойчивость орбиты планеты, обращающейся вокруг компоненты В в системе 16 Cyg, также с использованием вычислений максимальных показателей Ляпунова. Поскольку эксцентриситет двойной известен недостаточно точно (от 0.54 до 0.96), Бене и Гонци рассматривали несколько вариантов параметров двойной: е от 0.3 до 0.95, а параметр /і выбирали равным 0.485, интегрирование проводилось на 100 орбитальных периодов двойной. Для большой полуоси 1160 а.е. и различных эксцентриситетов двойной Бене и Гонцы [15] рассматривали две группы пар начальных эксцентриситетов и расстояний для планеты. Одна группа содержала начальные данные, находящиеся в зоне стабильности, вторая - вне ее. Интегрирование для этих начальных данных проводилось на 1 млн лет. Бене и Гонци получили, что для начальных данных первой группы имеются области устойчивых орбит вплоть до эксцентриситета двойной е = 0.9, а при е = 0.95 устойчивость теряется. Для нескольких пар из обеих групп начальных параметров Бене и Гонци [15] привели графики изменения со временем максимальных показателей Ляпунова и большой полуоси и эксцентриситета планеты. Для первой группы при эксцентриситете двойной е = 0.6 и е = 0.9 текущий показатель Ляпунова уменьшается со временем, что говорит об устойчивости, а большая полуось и эксцентриситет орбиты планеты меняются мало. При е = 0.95 показатель Ляпунова стабилизируется, что говорит о неустойчивости орбиты, однако большая полуось планеты сохраняется, а эксцентриситет остается ограниченным. Для второй группы начальных данных при эксцентриситете двойной е = 0.6 максимальный текущий показатель Ляпунова со временем уменьшается, при е = 0.7 стабилизируется после 10 лет. В обоих случаях параметры орбиты планеты остаются ограниченными. При переходе к е = 0.8 планета покидает систему. Вигерт и Хольман [75] исследовали области устойчивости планетных орбит на плоскости начальных условий «большая полуось — наклонение» для двойной системы a Cen А В. Устойчивыми считались те орбиты, большая полуось которых за время интегрирования менялась не более чем на 5% от начального значения, кроме того, авторами вычислялись показатели Ляпунова. 1118 пробных частиц первоначально размещались на круговых орбитах в двух областях: внутренней, расположенной на расстоянии от 0.23 до 11.7 а.е от главной звезды а Сеп А, и внешней — на расстоянии от 35 до 117 а.е. от барицентра двойной. Начальные положения частиц находились в плоскости орбиты двойной. Рассматривалось 13 значений наклона в диапазоне от 0 до 180, частицы были равномерно распределены по начальным большим полуосям, на каждое значение угла наклона приходилось по 50 частиц для внутренний области и по 36 для внешней. Интегрирование проводилось на 32000 периодов двойной (2.5 млн лет). Результаты моделирования показали, что при нулевом начальном эксцентриситете орбиты планеты внешняя граница области хаоса соответствует 80 а.е., а внутренняя 5 а.е. Внутренняя область стабильности включает в себя зону обитания. Угол наклона сильно влияет на стабильность орбит во внутренней области и слабо во внешней.
Существенную информацию о параметрах возможных орбит планет в двойных системах, и в частности в системе a Cen А В, может дать моделирование образования планетных систем в условиях сильных возмущений со стороны двойной. Тебо и др. [71] исследовали возможность формирования планетных эмбрионов из планетезималей на орбитах вокруг а Сеп В. Ими был рассмотрен диск из 10 планетезималей на расстоянии от 0.3 до 1.6 а.е. от центральной звезды. Распределение масс предполагалось макс-велловским, нормальное и полиномиальное распределения также были исследованы. Динамическая эволюция проел вживалась на интервале времени 10 лет, что является характерным временем для определения скорости разрушения или роста планетезималей. (Когда скорости частиц меньше пороговых, происходит рост частиц, когда больше — их разрушение.) С помощью программного кода, реализующего систему поиска столкновений, Тебо и др. [72] строили матрицу взаимных скоростей сталкивающихся частиц, в зависимости от масс частиц, затем эти скорости сравнивались с пороговыми скоростями, найденными Тебо и др. [71]. В результате было получено распределение средних результатов столкновений (разрушение или слияние) в зависимости от расстояния от звезды. Из этого распределения следует, что слияния преобладают над разрушениями только на расстояниях 0.5 а.е. Как оказалось, варьирование параметров модели приводит лишь к незначительным изменениям размера зоны, где преобладает рост планетезима-лей. Тебо и др. [72] определили диапазон расстояний от звезды, на которых возможна стадия преобразования планетезималей в планетные эмбрионы, в случае а Сеп А. Результаты Тебо и др. [72] для компоненты а Сеп А сходны с результатами Тебо и др. [71] для компоненты а Сеп В.
Кси и Жу [78] исследовали динамику планетезималей при наличии диссипирующего газового диска и заключили, что в таком случае все пла-нетезимали стремятся к близким орбитам. Это может привести к увеличению зоны, благоприятствующей аккреции. Однако, согласно [72], характерное время сближения орбит планетезималей таково, что последние слишком долго остаются в зоне преобладания разрушения. Кроме того, характерное время рассеивания диска составляет 106 лет, тогда как продолжительность стадии аккреции меньше, то есть не ясно в какой момент следует начинать рассматривать эволюцию планетезималей, относительно времени рассеяния диска. Также Кси и Жу [78] изучили вопрос об изменении параметров самой двойной на начальных стадиях развития. Ими было показано, что для возможности аккреции во всей зоне обитаемости требуется большая полуось 37 а.е., а для невозмущенной аккреции во всей зоне обитаемости 52 а.е. Уменьшение начального эксцентриситета двойной также способствует расширению зоны, благоприятной для роста планетезималей.
Резонансы и сценарии формирования планет
Несмотря на то, что с точки зрения обсуждаемой выше «транснептун-ной аналогии» планетная конфигурация Кеплер-16 не кажется необычной, в свете современных теорий формирования планет в циркумбинарных системах, эта конфигурация неожиданна. Из диаграмм устойчивости на рис. 2.1 может показаться, что радиальная миграция для Кеплер-16Ь после ее формирования не была возможна, так как в противном случае в процессе миграции планета пересекала бы неустойчивые резонансные «зубцы» и, таким образом, была бы выброшена из системы. С другой стороны, формирование Кеплер-16b на месте затруднено [47]. Рассмотрим это противоречие более подробно.
Во-первых, наличие областей неустойчивости на пути миграции не обязательно означает катастрофические последствия. Кроме того известно, что спутники планет в Солнечной системе медленно стабилизируются в процессе приливной эволюции, пока не достигнут синхронного спин-орбитального резонанса 1:1, так же в ходе эволюции пересекая ряд хаотических слоев в фазовом пространстве [77]; наиболее широкий слой соответствует сепаратрисе синхронного резонанса. Тем не менее, все проэво-люционировавшие спутники (с возможным исключением не более чем трех спутников, см. [41,46]) оказываются в «окончательном» стабильном синхронном резонансе, как, например, Луна. Очевидно, что большинство спутников смогли пересечь хаотические слои и не остаться в хаотическом режиме навсегда. Причина заключается в том, что время, необходимое для развития неустойчивости, как правило, слишком велико по сравнению со временем, необходимым для пересечения хаотических областей [41,77]. В рассматриваемом случае планетной миграции время, требуемое для развития неустойчивости может быть также слишком велико по сравнению со временем, необходимым для пересечения хаотической области.
Что касается возможных сценариев формирования, современные теории и моделирование указывают на следующий сценарий: планеты начинают формироваться в удаленной области (в области, благоприятной для аккреции планетезималей) в протопланетном диске, а затем мигрируют внутрь до тех пор, пока миграция не останавливается на границе внутренней полости диска, образованной центральной двойной [47,54]. Полость может быть сравнима по размеру с областью хаоса для тестовой частицы. Хотя формирование in situ для Кеплер-16b не исключено [47], этот сценарий менее вероятен из-за неблагоприятных условий (в частности, из-за высоких относительных скоростей планетезималей и их низкой концентрации) для аккреции планетезималей [47].
Текущее местоположение Кеплер-16Ь близко к центру резонансной ячейки, что должно быть принято во внимание и объяснено при построении сценариев формирования планеты. В теории формирования циркум-бинарных планет важная роль орбитальных резонансов была рассмотрена в работах [48,54,55].
Наконец, стоит отметить, что известно по крайней мере два процесса, которые могут приводить к захвату планеты во внешний резонанс высокого порядка. Как хорошо известно, в динамической системе, параметры которой медленно (адиабатически) изменяются, может произойти захват в резонанс. В частности, упомянутые выше Плутино, вероятно, были захвачены в резонанс 3:2с Нептуном в поясе Койпера из-за миграции Нептуна. Миграция возмущающего тела (планеты) в планетной системе может приводить к захвату частицы во внешний резонанс средних движений [64]. Другой известный процесс, который ведет к захвату во внешний резонанс, происходит в остаточных пылевых дисках вокруг звезд с планетами: пыль медленно перемещается по спирали внутрь диска и может быть захвачена в резонансы [23,64].
Возникает вопрос, почему занята только одна резонансная ячейка? Почему в других резонансных ячейках отсутствуют планеты? Для ячеек, соседних с занимаемой Кеплер-16Ь, ответ прост. Соседние ячейки соответствуют орбитальным резонансам первого порядка (к-\-\)/к пробных частиц и планеты. С увеличением к: при некотором его критическом значении эти резонансы начинают перекрываться, так как их ширина уменьшается недостаточно быстро. В случае малого эксцентриситета (е 0.15) орбиты пробной частицы критическое значение к может быть найдено по следующей
Численное и аналитическое описание границ хаотических зон
Заметим, что найденные численно резонансные «зубцы», соответствующие резонансам низких порядков, у некоторых циркумбинарных систем оказываются несколько смещенными относительно своих номинальных положений, что говорит о необходимости учета (при построении точных теоретических моделей) начального положения планеты на орбите, а также начальных взаимных ориентации орбит планеты и двойной.
Таким образом, современные теоретические модели [43,44,70] успешно описывают как глобальную, так и локальные границы хаос - порядок на построенных численно диаграммах устойчивости «перицентрическое расстояние — эксцентриситет», что говорит об адекватности этих теорий и их эффективности в обеспечении аналитических критериев хаотичности планетных орбит. Мы ограничились рассмотрением систем с существенно различающимися массами компонент двойной, поскольку современные теории ограничены условием /І С 0.5. Случай приблизительно равных масс (Кеплер-34, 35 и 413) мы оставляем для дальнейшего теоретического анализа.
Для двойных систем Кеплер-16, 34, 35, 38, 47 и 64 нами получены значения критической большой полуоси планеты — внешней границы области хаоса при нулевом эксцентриситете планеты двумя способами: непосредственно из диаграмм устойчивости и с помощью эмпирической формулы Хольмана и Вигерта [35]. Различия между этими двумя значениями критических больших полуосей орбиты планеты не превосходят 14%. Измерены расстояния между положением планеты на диаграмме устойчивости и ближайшим неустойчивым резонансным зубцом. Для всех шести планет эти расстояния не превышают 6% от большой полуоси орбиты планеты.
Для циркумбинарных систем Кеплер-16, 38, 47 и 64 области регулярного/хаотического движения на диаграммах устойчивости также определены аналитически. Выбор данных систем для анализа обусловлен тем, что отношение масс компонент двойной для них относительно невелико и поэтому анализ устойчивости возможен с применением существующих теорий. Для определения глобальной границы области динамического хаоса вокруг центральной двойной было использовано аналитическое выражение для критического эксцентриситета циркумбинарной планеты в функции ее перицентрического расстояния, полученное И.И. Шевченко [70] в круговой ограниченной задаче трех тел с помощью теории общих сепара-трисных отображений. Для описания локальной структуры границ с учетом наличия резонансных «зубцов» была использована аналитическая теория, построенная Мардлинг [43,44] в иерархической общей задаче трех тел. Показано, что данные современные теоретические модели успешно описывают как глобальную, так и локальные границы «хаос-порядок» на построенных численно диаграммах устойчивости «перицентрическое расстояние — эксцентриситет», что говорит об адекватности этих теорий и их эффективности в обеспечении аналитических критериев хаотичности планетных орбит. В случае описания локальных границ «зубцы», соответствующие резонансам низких порядков, у некоторых циркумбинарных систем оказываются несколько смещенными относительно своих номинальных положений, что объясняется необходимостью учета начальных взаимных ориентации орбит и учета начального положения планеты на орбите.
Столкновительные кривые и аномальные объекты
Большая распространенность резонансов средних движений как в эк-зопланетных системах двойных звезд, так и в мультипланетных системах представляет собой интересное направление для исследований. Исследования динамики является важным критерием верификации полученных из наблюдений параметров орбит экзопланет. Если на диаграммах устойчивости в пространстве орбитальных параметров планета оказывается в области хаоса, это может указывать на некорректное определение орбиты планеты. Созданные нами новые алгоритмические и программные средства позволяют строить диаграммы устойчивости планетных систем двойных звезд как по максимальному показателю Ляпунова, так и по критерию «ухода -столкновений».
На плоскости начальных условий «перицентрическое расстояние — эксцентриситет» для двойных звезд a Cen А-В и EZ Aqr АС нами отождествлены области регулярного и хаотического движения циркумбинарных планет (построены диаграммы устойчивости). Для системы а Сеп рассмотрен и случай внутренних планетных орбит (для случая орбит вокруг компоненты А). Для обеих систем анализ проведен в рамках плоской эллиптической ограниченной задачи трех тел, для системы а Сеп также рассмотрена плоская общая задача трех тел.
Исходя из современных представлений о динамике и архитектуре циркумбинарных систем, нами определены наиболее вероятные положения орбит циркумбинарных планет. Согласно этим представлениям, орбиты циркумбинарных планет располагаются в главных резонансных ячейках на границе области хаоса, окружающей двойную. Тогда, в случае системы а Сеп А-В планета располагается в центре ячейки, ограниченной зубцами неустойчивости, отвечающими орбитальным резонансам б : 1 и 7 : 1 с двой ной. Большая полуось орбиты циркумбинарной планеты а 80 а.е., а период обращения 520 лет. В случае системы EZ Aqr АС ячейка сформирована резонансами 3 : 1 и 4 : 1; большая полуось орбиты планеты а 0.07 а.е., а период обращения 13 сут.
Для обеих систем нами определены границы зон обитаемости, согласно теории [37]. В случае системы a Cen А В внешняя (относительно двойной) зона обитаемости не существует. Внутренняя зона обитаемости вокруг а Сеп А расположена на расстоянии от « 1.26 до « 2.16 а.е. по радиусу от звезды, а внутренняя зона обитаемости вокруг а Сеп В расположена на расстоянии от « 0.68 до « 1.20 а.е. по радиусу от звезды.
В случае EZ Aqr А-С циркумбинарная зона обитаемости располагается от « 0.033 до « 0.064 а.е. по радиусу от барицентра двойной. Таким образом, планета в резонансной ячейке на границе циркумбинарной зоны хаоса (а 0.069 а.е.) находится вблизи зоны обитаемости и, с учетом неопределенности границы этой зоны, может ей принадлежать.
Для всех известных на момент исследования циркумбинарных планетных систем звезд главной последовательности на плоскости начальных условий «перицентрическое расстояние — эксцентриситет» нами построены диаграмы устойчивости и показано, что эти планеты располагаются в резонансных ячейках на фрактальной границе «хаос - порядок». Определены значения неустойчивых резонансов, ограничивающих резонансные ячейки, в которых располагаются планеты.
Из диаграмм устойчивости и дифференциальных распределений ляпу-новского времени для каждой циркумбинарной системы нами определены внешние границы области хаоса при нулевом начальном эксцентриситете орбиты планеты (критические значения большой полуоси) и характерные ляпуновские времена в области хаоса. Кроме того, критические значения большой полуоси были определены нами по эмпирической формуле Холь мана и Вигерта [35]. Различия между этими двумя значениями критических больших полуосей орбиты планеты не превосходят 14%, а расстояния между положениями планет на диаграммах устойчивости и ближайшими к ним неустойчивыми резонансными зубцами не превосходит 6% от большой полуоси орбиты планеты.
Исходя из аналитического критерия [70] хаотичности планетных орбит в двойных звездных системах, нами построены теоретические кривые, описывающие глобальную границу области динамического хаоса вокруг центральной двойной для циркумбинарных планетных систем с малым отношением масс двойной (Кеплер-16, 38, 47 и 64). Кроме того, на основе теории [43,44], описывающей отдельные резонансные «зубцы» (соответствующие целым резонансам между орбитальными периодами планеты и двойной), нами построены локальные границы хаоса. Показано, что обе теоретические модели успешно описывают границы хаоса на построенных численно диаграммах устойчивости, что говорит об эффективности этих теорий в обеспечении аналитических критериев хаотичности планетных орбит. В случае описания локальных границ «зубцы», соответствующие резонансам низких порядков, у некоторых циркумбинарных систем оказываются несколько смещенными относительно своих номинальных положений, что объясняется необходимостью учета начальных взаимных ориентации орбит и учета начального положения планеты на орбите.
Для выборки из 143 планетных систем с двумя или более планетами у одиночных звезд и в системах с одной или более планетами у двойных звезд нами построены распределения отношений орбитальных периодов для случаев внутреннего и внешнего расположения возмущающего тела (наиболее массивной планеты или младшей компоненты двойной звезды) относительно возмущаемых. Выборка систем строилась по данным из [67]. Вычисленные гистограммы имеют явные максимумы в областях главных резонансов низкого порядка, несколько смещенные, однако, от своих номинальных положений. Проведено аналитическое моделирование гистограмм и получены положения пиков, оценены смещения пиков от номинальных положений. Для обоих случаев нами построены диаграммы «отношение периодов — эксцентриситет» с нанесенными на них столкновительными кривыми. Если пара планет на графике «отношение периодов — эксцентриситет» оказывается выше столкновительной кривой, орбиты пары пересекаются. Выявлены аномальные объекты, расположенные вне ограниченных столкновительными кривыми областей устойчивости.