Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Исторический обзор, состояние проблемы 12
Глава 2. Периодические движения в окрестности точек либрации 24
2.1. Введение 24
2.2. Постановка задачи 26
2.3. Форма проекции пространственного периодического движения 31
2.4. Пространственные периодические орбиты в окрестности точек либрации 32
2.5. Начальные условия пространственной периодической орбиты 35
2.6. Периодические движения в окрестности седловых точек либрации 37
2.7. Периодические движения в окрестности центральных точек либрации 40
2.8. Выводы 53
Глава 3. Динамика в окрестности астероида 55
3.1. Введение 55
3.2. Основные уравнения, метод исследования 57
3.3. Результаты, полученные в задаче Кеплера 61
3.4. Движение спутника вблизи значительно вытянутого трехосного эллипсоида 76
3.5. Сравнение результатов, полученных для кеплеровой и "трехосной" задач 80
3.6. Пространственные периодические движения в окрестности трехосного эллипсоида 88
3.7. Основные результаты 91
Глава 4. Влияние падения частиц на форму и скорость вращения астероида 95
4.1. Введение 95
4.2. Постановка задачи 97
4.3. Результаты вычислений 99
4.4. Выводы 108
Заключение 110
Литература 115
- Пространственные периодические орбиты в окрестности точек либрации
- Периодические движения в окрестности центральных точек либрации
- Движение спутника вблизи значительно вытянутого трехосного эллипсоида
- Пространственные периодические движения в окрестности трехосного эллипсоида
Введение к работе
В то время как классической проблеме движения частицы или спутника в окрестности планеты почти сферической формы посвящено много работ, методы исследования движения в близкой окрестности тела значительно вытянутой формы (такого как астероид) начали разрабатываться только в начале 90-х годов прошлого столетия. Это было связано с готовящимся тесным сближением космического аппарата Galileo с астероидами главного пояса 951 Gaspra и 243 Ida. Особенный интерес к этой задаче возник после того, как на снимках, сделанных в 1993 году космическим аппаратом Galileo при пролете мимо астероида 243 Ida, был обнаружен спутник этого астероида, получивший в 1994 году имя Dactyl. К настоящему времени спутники обнаружены уже у нескольких десятков астероидов. Данная работа посвящена исследованию динамики спутника пренебрежимо малой массы в близкой окрестности быстро вращающегося астероида значительно вытянутой формы, аппроксимируемого однородным трехосным эллипсоидом. Полученные результаты и разработанные методы применимы к любому равномерно вращающемуся астероиду, для которого известны значения трех главных осей, плотности и периода вращения. Все эти данные могут быть получены с той или иной точностью из наземных наблюдений. Вычисления ограничены движением спутника внутри гравитационной сферы Хилла и внутри сферы влияния астероида-эллипсоида относительно Солнца, на сравнительно небольших интервалах времени, что позволяет считать возмущающее действие Солнца на спутник достаточно малым и пренебречь им.
Основные цели настоящей работы:
получение глобальной динамической картины расположения зон регулярных и хаотических орбит спутника пренебрежимо малой массы в близкой окрестности быстро вращающегося астероида с известными значениями трех главных осей, плотности и периода вращения;
разработка методов практического построения трехмерных периодических движений в окрестности точек либрации трехосного эллипсоида, аппроксимирующего равномерно вращаю-
щийся астероид значительно вытянутой формы, и вокруг самого эллипсоида;
изучение влияния падения частиц на эволюцию формы астероида (аппроксимированного трехосным эллипсоидом и гантеле-образной фигурой) и его скорость вращения в эпоху аккреции в Солнечной системе.
Структура и краткое содержание диссертации
Диссертация состоит из введения, четырех глав и заключения. Общий объем диссертации составляет 126 страниц, в том числе 3 таблицы, 46 графиков и список литературы из 152 наименований.
В первой главе дается исторический обзор работ, посвященных проблеме движения частицы или малого спутника в окрестности трехосного эллипсоида, начиная с движения вокруг почти сферического (планетоподобного) трехосного эллипсоида и заканчивая движением вокруг вытянутого (астероидоподобного) трехосного эллипсоида. Первыми исследованиями движения малого спутника в окрестности почти сферического трехосного эллипсоида и его точек либрации являются работы Ю. В. Батракова (1957) и В. К. Абалаки-на (1957). В дальнейшем исследования в этой области проводились в работах Аксёнова, Дёмина и Аксёнова, Николаева, Журавлёва, Журавлёва и Зленко, Kammeyer, Косенко, Сейткулова, Borliam, Ерош-кина, Нартикоева, Нартикоева и Ставровской, Баркина и Панкратова, Аниковского и Джунусбекова, Бекова, Адабергенова и др. Наиболее всесторонне эта задача освещена в работах С. Г. Журавлёва, например, в работе (Журавлёв, 2000).
Движение в окрестности трехосного эллипсоида сильно вытянутой формы впервые рассмотрено (в области звездной динамики) в работе В. А. Антонова (1961) и (в области динамики объектов Солнечной системы - спутников астероидов) в работе В. Chauvineau, P. Farinel-1а и F. Mignard (1993).
Во второй главе описывается разработанный метод практического построения трехмерных периодических движений в окрестности точек либрации вытянутого (астероидоподобного), равномерно вращающегося вокруг своей наименьшей оси трехосного эллипсоида, потенциал которого выражен в замкнутой интегральной форме. При исследовании линейной устойчивости точек либрации и формы экваториальной проекции искомого трехмерного периодического движе-
ния используется метод, описанный в работе (Абалакин, 1957), а расстояния до точек либрации вычисляются по формулам, приведенным в работах (Батраков, 1957; Антонов, 1961). Рассматриваются условия существования трехмерных периодических движений в окрестности точек либрации вращающегося трехосного эллипсоида (в том числе, эллипсоида Якоби). Демонстрируются трехмерные периодические движения, построенные численно при использовании разработанного метода в окрестности ссдловой и центральной точек либрации модельного трехосного эллипсоида, имеющего сильно вытянутую форму (отношение наибольшей оси к наименьшей составляет 2.7).
Выводится значение периода вращения, при котором, вследствие неустойчивости седловых точек либрации эллипсоидального астероида, может начаться его разрушение. Показывается, что это значение одинаково для астероидов, имеющих одни и те же значения плотности и отношений а/с, Ь/с полуосей.
В третьей главе описывается метод исследования динамики спутника шара и трехосного эллипсоида при использовании сечений Пуанкаре (Poiiicare, 1899; Пуанкаре, 1972; Birkhoff, 1927; Биркгоф, 1941), представленный в работе (Chauvineau и др., 1993), где исследуется движение в окрестности медленно (с периодом Т = 40 час.) вращающегося эллипсоидального астероида. Приводятся результаты применения этого метода к численному исследованию динамики плоских орбит малого спутника в близкой окрестности быстро (Т = 4.G3 час.) вращающегося трехосного эллипсоидального астероида (Belton и др., 1995) сильно вытянутой формы (отношение а/с наибольшей оси к наименьшей составляет 2.7). Полученное численным интегрированием расположение зон регулярных и хаотических орбит, орбит выброса и столкновения спутника выбранной модели астероида-эллипсоида сравнивается с аналогичными численными результатами, полученными для экстремально медленно (Т = 417.7 час.) вращающегося эллипсоидального астероида (Vever-ka и др., 1997) умеренно вытянутой формы {а/с « 1.4). Выявляются различия в динамике спутников быстро и медленно вращающихся (эллипсоидальных) астероидов. Особенностями движения вблизи быстро вращающегося астероида являются отсутствие синодически прямых орбит и существование обширной зоны хаотического движения, переходящей в зону орбит столкновения.
Далее описывается адаптирование метода исследования трехмерных периодических движений в окрестности почти сферического трехосного эллипсоида (Батраков, 1957) для практического построения пространственных периодических движений в окрестности трехосного эллипсоида вытянутой формы. Приводятся начальные данные (в переменных Делоне) трехмерных периодических движений в окрестности эллипсоида с полуосями 70, 60 и 50 км, вычисленных полученным методом.
Четвертая глава посвящена численному моделированию падения частиц на астероид для изучения его влияния на эволюцию формы и скорость вращения астероида. Предполагается, что в начальный момент времени частицы равномерно распределены в пространстве, окружающем астероид, а их скорости равны нулю, что соответствует состоянию в ранней Солнечной системе в эпоху аккреции. Для исследования выбраны две модели: трехосный эллипсоид, имеющий сильно вытянутую форму (а/с « 2.7) и гантелеобразная фигура той же массы и плотности). Исследуется расположение зон .возможной эрозии и аккреции, образующихся на поверхности астероида при выпадении на него частиц. Доказывается, что эрозия была невозможна на рассматриваемой стадии и зоны наиболее интенсивной бомбардировки падающими частицами являлись зонами наибольшей аккреции вещества. Показано, что расположение этих зон и, соответственно, характер изменения формы астероида зависят от его периода вращения, а само вращение под действием падающих частиц замедляется.
В заключении приводятся основные результаты, полученные в диссертационной работе.
Актуальность поставленной задачи следует из появления доказательств существования спутников астероидов и планирования новых космических миссий к астероидам. Теоретические исследования и численное моделирование необходимы для того, чтобы установить диапазон возможных параметров систем астероид-спутник (расстояние между компонентами, расположение областей регулярных и хаотических орбит спутника и др.). Это поможет в дальнейших поисках спутников астероидов с помощью наблюдений и облегчит интерпретацию полученных данных. С другой стороны, организация полетов космических аппаратов к новым астероидам делает необходимым продолжение теоретических исследований орби-
тальнои динамики спутников астероидов с целью предварительного определения наиболее удобных орбит для размещения искусственного спутника, которые проходили бы достаточно близко от астероида, но были удалены от зон хаотических орбит и орбит, приводящих к столкновению с поверхностью астероида или выбросу из системы.
Научная новизна работы заключается в следующем:
выявлены особенности глобальной динамики плоских орбит малого спутника вблизи быстро вращающегося трехосного эллипсоидального астероида сильно вытянутой формы;
разработаны методы практического построения трехмерных периодических орбит малого спутника в окрестности точек либрации трехосного эллипсоида значительно вытянутой формы и в окрестности самого эллипсоида;
впервые произведено численное моделирование выпадения десятков тысяч частиц в эпоху аккреции на эллипсоидальный (сильно вытянутой формы) и гантелеобразный астероиды; выявлены зависимость характера изменения их формы от скорости вращения и эффект замедления скорости вращения.
Работа представляет практическую ценность, поскольку
изучение динамики орбит вокруг астероида, аппроксимируемого трехосным эллипсоидом, позволит ввести ограничения на некоторые параметры неизвестной или плохо определенной орбиты спутника любого астероида, для которого известны значения трех главных осей, плотности и периода (равномерного) вращения;
исследование периодических орбит и расположения зон хаотического движения в окрестности модельного эллипсоидального астероида может быть полезным для выбора достаточно стабильных орбит КА в окрестности реальных астероидов;
изучение эволюции формы и скорости вращения удлиненного астероида в эпоху аккреции под действием падающих на него частиц позволит ввести соответствующие коррекции в существующие космогонические теории формирования астероидов и планет;
разработанный метод исследования выпадения частиц в эпоху аккреции может быть адаптирован для моделирования процесса выпадения пыли, наблюдаемого в настоящее время, на спутники планет, имеющие удлиненную форму (например, выпадение вещества из кольца F Сатурна на его спутник Prometheus, обнаруженное на снимках, сделанных в 2004 году космическим аппаратом Cassini при облете Сатурна);
изучение процесса выпадения частиц на астероид важно также для разработки методов предотвращения астероидной опасности: например, при забрызгивании астероида краской (для изменения его альбедо и, следовательно, орбиты) необходимо учитывать зависимость интенсивности окрашивания различных участков поверхности астероида от их расположения и скорости вращения астероида.
Основные результаты, выносимые на защиту:
методом исследования динамики спутника трехосного эллипсоида, описанным в работе (Chauvineau и др., 1993), вычислена диаграмма расположения зон регулярных и хаотических орбит, орбит выброса и столкновения малого спутника в близкой окрестности быстро (с периодом 4.63 час.) вращающегося трехосного эллипсоидального астероида сильно вытянутой формы (наибольшая ось в 2.7 раза превышает наименьшую). Выявлены особенности движения спутника быстро вращающегося эллипсоидального астероида;
при помощи разработанного метода практического построения трехмерных периодических движений в окрестности точек либрации равномерно вращающегося трехосного эллипсоида удлиненной формы построены пространственные периодические движения в окрестности точек либрации быстро (с периодом 4.СЗ час.) вращающегося эллипсоидального астероида сильно вытянутой формы (с полуосями 28, 12, 10.5 км);
метод исследования периодических движений вокруг почти сферического трехосного эллипсоида (Батраков, 1957) адаптирован для практического построения трехмерных периодических движений вокруг вращающегося трехосного эллипсоида значительно вытянутой формы; полученный метод применен
для вычисления начальных данных для пространственных периодических движений в окрестности эллипсоида с полуосями 70, 60 и 50 км;
впервые произведено численное моделирование выпадения десятков тысяч частиц в эпоху аккреции на астероид-планетсзи-маль, представленный в виде сильно вытянутого трехосного эллипсоида и гантелеобразной фигуры той же массы и плотности; выявлена зависимость характера изменения формы астероида от скорости его вращения; сделан вывод о неизменном замедлении скорости вращения астероида при выпадении на него частиц в эпоху аккреции.
Публикации и апробация диссертации
По содержанию диссертации были сделаны доклады на научных семинарах ГАО РАН, ИПА РАН, НИАИ СПбГУ и следующих научных конференциях и симпозиумах:
Компьютерные методы небесной механики-97, 18-20 ноября 1997 г., ИТА РАН, С. - Петербург.
Asteroids, Comets, Meteors 1990, July 26-30, 1999, Cornell University, USA.
Околоземная цивилизация и проблемы изучения малых тел Солнечной системы, 25-29 октября 1999 г., Обнинск.
Joint European and National Astronomical Meeting JENAM-2000, May 29-June 3, 2000, Moscow.
Астрометрия, геодинамика и небесная механика на пороге XXI века, 19-23 июня 2000 г., ИПА РАН, С.-Петербург.
US/European Celestial Mechanics Workshop, July 3-7, 2000, Poz-nan, Poland.
Asteroids, Comets, Meteors 2002, July 29-August 2, 2002, Berlin, Germany.
Few-Body Problem: Theory and Computer Simulations, July 4-9, 2005, University of Turku, Finland.
Астероидно-кометная опасностъ-2005, 3-7 октября 2005 г., ИПА РАН, С.-Петербург.
Основные результаты диссертационной работы опубликованы в 9 работах, из которых 1 работа (Батраков, Василькова; 1997) написана совместно с другим автором. В этой работе автору диссертации
принадлежат аналитические выкладки, разработка комплекса программ для численного интегрирования и анализ результатов. Основные результаты работы изложены в следующих публикациях:
Батраков Ю. В., Василькова О. О. 1997. О возможной эрозии эллипсоидального тела в пылевом облаке. Тезисы конференции Компьютерные методы небесной механики-97, 18-20 ноября 1997 г., ИТА РАН, С.-Петербург, с.25.
Василькова О. О. 1999. Точки либрации вращающегося трехосного эллипсоида. Труды ИПА РАН 4, 246-259.
Vasilkova О. О. 2000. Schwarzschild noneqiiatorial periodic motion about an asteroid modeled as a triaxial rotating ellipsoid. In Dynamics of Natural and Artificial Celestial Bodies: proceedings of US/European Celestial Mechanics Workshop, July 3-7, 2000, Poznan, Poland, 283-288.
Василькова О. О. 2000. Пространственные периодические решения Шварцшильда в окрестности трехосного эллипсоида. Сборник докладов конференции Астрометрия, геодинамика и небесная механика на пороге XXI века, 19-23 июня 2000 г., ИПА РАН, С.-Петербург, 239-240.
Vasilkova О. О. 2002. On a possible mechanism of particles falling affecting the asteroid shape and angular momentum evolution. A numerical simulation. Proceedings of Asteroids, Comets, Meteors 2002, July 29-August 2, 2002, Berlin, Germany, ESA, 867-870.
Vasilkova О. O. 2003. The effect of falling particles on the shape and spin rate of an asteroid. Astronomy & Astrophysics, 403/2, 413-418.
Vasilkova О. O. 2005. Three-dimensional periodic motion in the vicinity of the equilibrium points of an asteroid. Astronomy & Astrophysics, 430/2, 713-723.
Василькова О. О. 2005. Область возможного движения спутника Dactyl астероида 243 Ida. Материалы всероссийской конференции Астероидно-кометная опасность 2005, 3-7 октября 2005 г., ИПА РАН, С.-Петербург, 83-86.
Василькова О. О. 2005. Исследование динамики экваториального спутника астероида, аппроксимируемого трехосным эллипсоидом. Сообщения ИПА РАН, 160, 22 с.
Пространственные периодические орбиты в окрестности точек либрации
Существование в окрестности почти сферического трехосного эллипсоида (ТЭ) четырех точек либрации (ТЛ) доказано в работе (Батраков, 1957), где координаты точек либрации представлены в виде ряда по степеням малого параметра. В работе (Абалакин, 1957) доказывается, что точки либрации, лежащие на продолжениях меньшей оси экваториального сечения почти сферического ТЭ (центральные точки либрации), линейно устойчивы, и в их окрестности существуют два семейства плоских периодических орбит. Точки же либрации, лежащие на продолжениях большей оси экваториального сечения (седловые точки либрации), всегда неустойчивы, и в их окрестности существуют два семейства (периодическое и асимптотическое) плоских движений. Показано, что в линейном приближении периодические движения в окрестности точек либрации ТЭ происходят по эллипсу.
В работе (Аксёнов, 1960а) исследуется линейная устойчивость точек либрации почти сферического тела, динамически симметричного относительно главных сечений его эллипсоида инерции, при условии, что величина отношения квадрата скорости вращения к массе тела - малая величина. Гравитационный потенциал тела выражен в виде усеченного ряда, коэффициенты которого - линейные комбинации моментов инерции определенного порядка. В работах (Николаев; 1968, 1969, 1972) анализируется движение в окрестности центральных точек либрации вращающегося почти сферического трехосного эллипсоида при воздействии возмущающего тела. Гравитационный потенциал также выражен в виде усеченного разложения по гармоникам, до второй включительно. Предполагается, что скорость вращения ТЭ достаточна низка. В работах (Косенко, 1981, 1981а) при исследовании устойчивости точек либрации почти сферического ТЭ используется замкнутая интегральная форма представления его гравитационного потенциала. Выводы об устойчивости ТЛ в первом приближении делаются при условии, что, либо эллипсоид имеет почти сферическую форму при любом расстоянии точек либрации от его поверхности, либо он имеет произвольную эллипсоидальную форму, а точки либрации достаточно удалены от его поверхности. В работах (Zhuravlev, 1972; Zhuravlev 1973; Журавлёв, 1974) устойчивость центральных точек либрации исследуется как для плоского, так и для пространственного случаев. Используется разложение гамильтониана до четвертого и шестого порядка для трехосного эллипсоида, форма которого близка к сферической. Делаются заключения об устойчивости положений относительного равновесия в строгом смысле.
Для изучения орбит вокруг такого вытянутого тела, каким является астероид, классический подход неприменим из-за того, что ряды, представляющие гравитационный потенциал тела, расходятся внутри сферы, описанной около него, или сходятся очень медленно вблизи этой сферы (Субботин, 1949; Антонов, Холшевников; 1985). В этом случае удобно аппроксимировать гравитационный потенциал астероида потенциалом трехосного эллипсоида, выраженным в классической интегральной форме, позволяющей точно вычислять потенциал ТЭ как угодно близко от его поверхности. В области звездной динамики замкнутая интегральная форма гравитационного потенциала сильно вытянутого ТЭ использовалась еще в работах (Антонов, 1961; Danby, 1965) для аппроксимации потенциала бара SB галактики. Для аппроксимации потенциала объекта Солнечной системы вытянутой формы она впервые была применена в работе (Chauvineau и др., 1993) при исследовании движения в окрестности астероида со "стандартным" соотношением осей у/2 : 1 : 1/\/2, а затем использовалась в работе (Scheeres, 1994) для аппроксимации потенциала реального астероида, равномерно вращающегося вокруг своей наименьшей оси. В этих работах сделан вывод, что седловые точки либрации (СТЛ) трехосных эллипсоидов неустойчивы при любой форме ТЭ и при любых значениях плотности и скорости вращения ТЭ, тогда как линейная устойчивость центральных точек либрации (ЦТЛ) трехосного эллипсоида фиксированной массы может нарушиться при увеличении скорости его вращения, уменьшении его плотности или удлинении формы. В работе (Василькова, 1999), где замкнутая интегральная форма используется для вычисления потенциалов нескольких ТЭ одинаковой массы и плотности (один из которых, с полуосями 350, 60, 10 км, имеет сигарообразную форму), показано, что ЦТЛ более вытянутого эллипсоида теряют устойчивость (в линейном приближении) при меньшем значении скорости его вращения. В настоящей работе замкнутая интегральная форма представления гравитационного потенциала ТЭ используется для исследования движения в окрестности ТЛ равномерно вращающегося астероида, аппроксимированного однородным трехосным эллипсоидом. Целью исследования является вычисление начальных условий для простейших симметричных (имеющих, по крайней мере, одну плоскость симметрии) трехмерных периодических движений (ТПД) в окрестности точек либрации ТЭ и построение этих движений численным интегрированием нелинейных уравнений движения. В предшествующих же работах, перечисленных выше (за исключением работы (Scheeres, 1993)), исследовались плоские периодические движения в окрестности точек либрации ТЭ. Настоящее исследование имеет также целью определение условий (которые при фиксированной форме и плотности эллипсоида зависят от значения его периода вращения), при которых существование искомых ТПД в окрестности точек либрации некоторого ТЭ возможно. Этот подход отличен от применяемого в работе (Scheeres, 1993), где семейство синхронных пространственных периодических движений, ассоциированных с ЦТЛ астероида 433 Eros, аппроксимированного трехосным эллипсоидом, строится при фиксированном значении его периода вращения. В настоящей работе при вычислении расстояний до точек либрации ТЭ используются формулы, приведенные в работах (Батраков, 1957; Антонов, 1960; Dauby, 1965). При исследовании линейной устойчивости точек либрации ТЭ и формы экваториальной проекции искомых ТПД в окрестности точек либрации используется метод, описанный в работе (Абалакин, 1957).
Периодические движения в окрестности центральных точек либрации
Задавая А\ = Сч = 0, оставшиеся свободные параметры В\, Сі можно получить методом последовательных приближений с учетом того, что искомое ТПД должно иметь периоды Р{, Pfy, удовлетворяющие уравнениям (46) - (48). Периоды Р вычисленных в работе ТПД (Рис. 8 - 12), ассоциированных с ЦТЛ (0,Ї/О50) , вычислялись при использовании уравнений (78), (85), соответствующих периодическому движению долгого периода Р = P i. В Табл. 1 представлены следующие параметры вычисленных ТПД: Р - период движения по эллипсу, являющемуся т/ - проекцией ТПД, Р( - период осцилляции в направлении оси (, P-ZD - период самого ТПД и Т - период вращения ТЭ. Величина А является отклонением частицы от ее начального положения через промежуток времени, равный целому числу периодов обращения по пространственной орбите и длящийся примерно три месяца. Из таблицы видно, что наибольшее отклонение не превышает 8.3 см. Это позволяет сделать вывод, что вычисленные периодические движения устойчивы на этом временном промежутке.
Уравнения (23), (24) показывают, что в СТЛ любого трехосного эллипсоида произведение двух вторых частных производных функции Q (то есть величина С в уравнении (20)) принимает отрицательное значение. Это означает, что значение квадрата а2 одного из корней биквадратного уравнения (18) отрицательно и, следовательно, существует одно семейство плоских периодических движений в окрестности каждой из СТЛ и (при соблюдении равенства (46)) соответствующее ему семейство трехмерных периодических движений. Движение по плоской периодической орбите (являющейся г/ - проекцией соответствующего ТПД) в окрестности СТЛ и, следовательно, движение по соответствующей ей пространственной периодической орбите будут неустойчивыми вследствие неизменной неустойчивости СТЛ. На Рис. 1 изображены т], и ?С - проекции и пространственное изображение неустойчивого ТПД в окрестности СТЛ трехосного эллипсоида, аппроксимирующего астероид 243 Ida. Оно получено численным интегрированием нелинейных уравнений движения в системе координат, фиксированной в СТЛ с координатами (XQ, О, 0). Начальные условия вычислены при использовании уравнений в вариациях (14) - (16) (см. раздел 2.5). Период Т вращения ТЭ выбран равным 3.919 час, так как в этом случае ТПД потенциально возможно вследствие выполнения условия (46) для m/n = 1 (когда период движения по эллипсу, лежащему в экваториальной плоскости ТЭ, равен периоду осцилляции в направлении, перпендикулярном этой плоскости).
Следует отметить, что при значении периода вращения астероида-эллипсоида 243 Ida, равном 4.63 час. (Belton, 1995), в окрестности его СТЛ не существует ТПД разыскиваемого вида. Заметим, что значение периода вращения, при котором СТЛ касаются поверхности астероида - эллипсоида, является одним и тем же для астероидов с одинаковыми значениями плотности и соотношений полуосей а/с, Ь/с. В самом деле, значение квадрата периода вращения ТЭ может быть приведено к выражению: расстояние седловой точки либрации от центра астероида (напомним, что мы условились (раздел 2.2) рассматривать движение в окрестности той из СТЛ, которой соответствует XQ 0). Формула (66) показывает, что, если при некотором значении ТХо-а периода вращения ТЭ его СТЛ (#0,0,0) достигает поверхности (при XQ = а), то значение верхнего предела и интеграла І\ в уравнениях (66) и (67) становится равным единице, а интеграл принимает значение, одинаковое для астероидов, имеющих одни и те же значения плотности р и отношений полуосей а/с, Ь/с. Таким образом, значение периода вращения ТХо=а зависит только от плотности и отношений полуосей ТЭ. Следовательно, вследствие неустойчивости СТЛ разрушение на концах наибольшего измерения астероида может начаться (при условии отсутствия других связующих сил в добавление к силе тяжести) при одном и том же значении периода вращения для астероидов с одинаковой плотностью и одинаковыми отношениями осей. Это критическое значение периода вращения не зависит от размеров астероида и его массы. Его квадрат равен
Например, для астероида 243 Ida ТХо=а = 3.278 час. (при действительном значении его периода вращения, равном 4.63 час). Если этот астероид вращался быстрее когда-то в прошлом, например, с периодом Т 3.278 час, свободные частицы (или отдельные компоненты rubble-pile-объекта, который мог представлять астероид в то время) на концах его наибольшей оси могли отрываться от поверхности и улетать прочь. Возможно, такое предположение помогло бы объяснить образование впадины, наблюдаемой вблизи одного из концов 243 Ida, и возникновение спутника Dactyl астероида. Пусть некоторый трехосный эллипсоид представляет собой эллипсоид Якоби. Полученные результаты применимы к его ТЛ, но СТЛ эллипсоида Якоби никогда не касаются его поверхности (это - следствие того, что он является фигурой равновесия). Вопрос о том, можно ли аппроксимировать некоторый rubble-pile-астероид эллипсоидом Якоби, требует отдельного исследования. Возможно, что аппроксимацию некоторых rubble-pile-объектов эллипсоидами Якоби можно использовать в качестве первого приближения, подобно широко используемой в астрономии приближенной аппроксимации монолитного астероида трехосным эллипсоидом общего вида. На Рис 2 и 3 представлена зависимость безразмерного расстояния хо/а седловой точки либрации эллипсоида Якоби до его центра от отношения а/с его полуосей и от параметра
Используя уравнение (66), получаем: Известно, что для эллипсоидов Якоби значение параметра Q,j не превышает 0.1871 (Субботин, 1949; Chandrasekhar, 1969), а отношение а/с его полуосей а Ъ с изменяется от 1.716 до бесконечности (когда форма эллипсоида становится игло-подобной). На Рис. 2, З СТЛ стремится к поверхности эллипсоида Якоби, но не достигает ее ни при каких значениях параметра ftj и отношения а/с эллипсоида (в допустимых диапазонах их изменения). Рис. 4, 5 отражают зависимость значения отношения периодов PQ И Р ч от значений параметров и Qj эллипсоида Якоби, где угол 7 (изменяющийся от 54.3576 до 90 градусов) вычисляется из уравнения
Движение спутника вблизи значительно вытянутого трехосного эллипсоида
Рассмотрим теперь движение малого спутника в окрестности однородных трехосных эллипсоидальных астероидов 253 Mathilde и 243 Ida (Табл. 2), равномерно вращающихся вокруг наименьшей оси с постоянным периодом Т, и сравним полученные численно сечения Пуанкаре с соответствующими сечениями кеплеровой задачи, чтобы выявить влияние трехосности на динамические свойства орбит малого спутника астероида. Отметим, что выбор значения плотности и, соответственно, массы астероида-эллипсоида 243 Ida удовлетворяет диапазону возможных значений плотности и массы для астероида 243 Ida, вычисленному в работе (Petit и др., 1997), где критерием являлась устойчивость потенциальных орбит спутника Dactyl астероида.
В "трехосном" случае существуют четыре точки либрации, расположенные попарно на продолжениях средней (устойчивые или неустойчивые, в зависимости от формы, плотности и скорости вращения ТЭ) и наибольшей (неизменно неустойчивые) осей ТЭ (см. главу 2). Отображение строится для нескольких заданных значений С постоянной Якоби (которые использовались при построении сечений в кеплеровой задаче) численным интегрированием орбит с начальными данными х, у — 0, х = 0, у О, где у определяется для заданных значений С и х из уравнения (12). Для вычисления потенциала ТЭ (2) и его производных (3), (4) используется обобщенная формула Симпсона. Уравнения движения (1) интегрировались численно методом Эверхарта, точность вычислений контролировалась проверкой значения постоянной Якоби (выдерживалось до 12 значащих цифр) и интегрированием вперед-назад.
Как и в кеплеровом случае, вследствие симметрии уравнений движения, отображение симметрично относительно оси х. Поэтому на графиках изображается только та часть точек сечения, у которых s 0. Область х 0 соответствует синодически прямым орбитам (по крайней мере, в окрестности пересечения с поверхностью у = 0), а синодически обратные орбиты ограничены областью х 0. На Рис. 14, 17, 22 и Рис. 33, 35, 38 изображены сечения, построенные для движения вокруг астероидов 253 Mathilde и 243 Ida, аппроксимированных трехосными эллипсоидами, при значениях постоянной Якоби, равных Со, 0.1,-0.02 и 2.2, 1.966,-1.4, соответственно. Глобальная картина динамики спутника для астероидов 253 Mathilde и 243 Ida, аппроксимируемых трехосными эллипсоидами, отражена на Рис. 25 и 27, соответственно. Как и в случае движения вокруг шара, здесь присутствуют следующие динамические области: вертикально заштрихованные области соответствуют начальным данным для "убегающих" орбит; горизонтальной штриховкой обозначена область начальных данных для орбит, приводящих к столкновению с поверхностью астероида, темная кривая внутри этой области соответствует границе, разделяющей синодически обратные (х 0) орбиты на прямые и обратные в фиксированной системе координат; темные области соответствуют либо начальным условиям, находящимся внутри астероида (\х\ а), либо начальным условиям, при которых значение квадрата скорости (12) отрицательно; области начальных данных, соответствующие хаотическим орбитам, заштрихованы по диагонали; три кривые, обозначенные цифрами 1,2,3, представляют начальные данные для почти круговых орбит (являющихся численным продолжением соответствующих круговых орбит кеп-леровой задачи); оставшиеся незаштрихованными области соответствуют начальным данным для регулярных орбит. Начальная точка (С, х), соответствующая точке (х ф 0; у = 0; х = 0; у 0) четырехмерного фазового пространства, принадлежит зоне регулярных орбит спутника (оставшейся незаштрихованной на Рис. 25, 27), если множество точек полученных при процедуре отображения оказывается лежащим в точности на некоторой кривой. Если же это множество точек оказывается заполняющим некоторую область на плоскости, начальная точка принадлежит хаотической зоне. Орбита считалась приводящей к столкновению, если в некоторый момент времени выполнялось неравенство Mathilde и Рис. 26 для 243 Ida) задачах, можно выявить влияние скорости вращения трехосного астероида (аппроксимированного ТЭ) и его вытянутости на динамику орбит малого спутника в его окрестности. Астероиды 243 Ida и 253 Mathilde значительно различаются как по степени вытянутости формы, так и по скорости вращения вокруг наименьшей оси. Тогда как отношение большей оси к меньшей (а/с) для Mathilde составляет (Табл. 2) приблизительно 1.435, для астероида Ida оно равно примерно 2.667. С другой стороны, астероид Mathilde вращается экстремально медленно (с периодом 417.7 час), а 243 Ida (с периодом вращения, равным 4.63 час.) принадлежит к числу быстро вращающихся астероидов. В то время как глобальная динамика орбит для трехосного эллипсоидального астероида 253 Mathilde (Рис. 25) практически повторяет динамику 253 Mathilde -шара той же массы и плотности (Рис. 24), в динамике орбит вокруг астероида 243 Ida, аппроксимированного трехосным эллипсоидом (Рис. 27), появляются новые особенности. Прежде всего, это - расширение области орбит столкновения по сравнению с этой областью для сферического астероида (Рис. 26). В работе (Chauvineau и др., 1993) было показано, что расширение зоны столкновения происходит уже для сферического астероида при убыстрении его вращения. При изменении периода вращения в пределах от 40 до 10 час. зона столкновения становилась почти в два раза шире. Естественно было бы ожидать, что при замене сферического астероида на вытянутый ТЭ той же массы и плотности (без изменения скорости его вращения) число орбит, приводящих к столкновению, увеличится. Но этот вопрос требует независимого исследования. Другой отличительной чертой является образование зон хаотических орбит. Самая обширная из них смыкается (Рис. 27) с зоной орбит столкновения. Она находится в области синодически обратных (х 0) и, одновременно, обратных в неподвижной системе координат орбит. В работе (Chauvineau и др., 1993) было показано, что, для эллипсоидального астероида со "стандартным" отношением осей \/2 : 1 : 1/\/2, хаотическая зона появляется в области синодически обратных орбит уже при периоде вращения 40 час. На соответствующей диаграмме, представленной в той работе, область хаотических орбит отделяется от зоны орбит столкновений узкой полоской регулярных орбит. В настоящем же исследовании у трехосного эллипсоидального астероида 253 Mathilde (Рис. 25) зона хаотических орбит отсутствует совсем, а у трехосного эллипсоидального астероида 243 Ida (Рис. 27) она сливается с зоной орбит, приводящих к столкновению с астероидом (эллипсоидом). Граница между зоной столкновений и зоной хаоса имеет ступенчатый вид. Она вычислялась при следующих условиях: к хаотической области причислялась орбита, которая не являлась регулярной и не приводила к столкновению с поверхностью астероида-ТЭ в течение 10 лет.
Пространственные периодические движения в окрестности трехосного эллипсоида
Возможно лишь вычислить кривые-сепаратрисы, обозначающие границы области, содержащей орбиты с s ф 0. На Рис. 19 наверху слева изображена подобная область-узкая полоска, ограниченная двумя кривыми-сепаратрисами с начальными данными х = —40.3719, s = 0; х = —40.3718, s = 0, а справа изображен вид этих орбит-сепаратрис во вращающейся системе координат. Они заполняют одну и ту же область-кольцо, а движение по ним происходит в различных направлениях вокруг начала координат. Вид орбиты с начальными координатами х = —27.8, s = 0.976, сечение которой представляют две точки (два темных кружка в х 0 и х 0 частях на Рис. 17, причем кружок с х 0 изображен также на верхнем левом графике на Рис. 19), изображен в неподвижной (Рис. 19 внизу слева) и вращающейся (Рис. 19 внизу справа) системах координат. В неподвижной системе координат орбита представляет собой вращающийся эллипс, начальное положение линии апсид которого наклонно (так как s ф 0) к оси х. Приблизительные координаты х и s этой орбиты определялись графически. Значения проекций скорости во вращающейся системе координат для орбит с s ф 0 определялись по формулам где потенциал V трехосного эллипсоида вычислялся по формуле (2) раздела 3.2.
Как упоминалось ранее, динамика орбит в окрестности ТЭ, аппроксимирующего астероид 243 Ida (Рис. 27), резко отличается от кеплеровой (Рис. 26) (в отличие от движения вокруг астероида 253 Mathilde). Во-первых, в случае движения вокруг астероида 243 Ida -ТЭ полностью отсутствует область прямых во вращающейся системе координат (х 0) регулярных орбит (Рис. 27). Вместо этой области, присутствующей в сферическом случае (Рис. 26; Рис. 29 наверху слева) остается маленький треугольник (Рис. 29 наверху справа) между областью запрещенных орбит (отмеченной точками) и областью убегающих орбит (пустые кружки), представляющий собой область начальных данных хаотических орбит (вертикальная штриховка) и орбит столкновения с поверхностью астероида (горизонтальная штриховка). Кривая 1 синодически прямых круго вых орбит (Рис. 29 наверху слева) кеплеровой задачи в трехосном случае поглощается областью начальных данных, находящихся внутри астероида, так как в трехосном случае эта область (\х\ а) на величину а — 1 шире соответствующей области (\х\ 1) для кеплерова случая. Для астероида 243 Ida это составляет (Табл. 2) 0.83928 условных единиц. Кривая 2 соответствует синодически обратным и прямым в неподвижной системе координат почти круговым орбитам. Ее часть, не поглощенная областью, находящейся внутри астероида, остается близкой к занимаемому ею положению в кеплеровом случае. Кривая 3 представляет почти круговые орбиты, обратные как во вращающейся, так и в неподвижной системе координат. Ее остаток, не поглощенный хаотической зоной, расположен близко к положению кривой 3 кеплерова случая. Область, соответствующая на диаграмме (Рис. 27) острию клина регулярных орбит (обратных как во вращающейся, так и в неподвижной системе координат), внутри которой проходит кривая 3 почти круговых орбит, показана детально на Рис. 29 внизу слева. Кривая, состоящая из разбросанных точек, получена численным интегрированием. Она отделяет область регулярных орбит от области хаотических. Видно, что для значений постоянной Якоби, близких к 1.966, почти круговые и регулярные орбиты существуют для очень узкого диапазона значений начальной координаты х. При С 1.934 не существует почти круговых орбит с s = 0, принадлежащих кривой 3 (следовательно, не существует почти круговых орбит, являющихся обратными как в неподвижной, так и во вращающейся системе координат). Кривая 3 почти круговых орбит может быть продолжена вглубь хаотической зоны только для почти круговых орбит с s O (орбит, направление начальной скорости которых не перпедикулярно оси х). Проекция этой кривой-продолжения на плоскость СХ (Рис. 29 внизу слева) при 1.923 С 1.933 изображена в виде ответвления, отходящего влево от конца кривой 3 почти круговых орбит, а ее проекция на плоскость CS изображена на Рис. 29 внизу справа. На Рис. 30, 31 показано последовательное преобразование вида сечений вокруг почти круговой орбиты при переходе от кривой 3 почти круговых орбит с s = 0 на ответвление, соответствующее почти круговым орбитам с
При С = 1.922 семейство почти круговых орбит с s ф 0 переходит в семейство орбит с s O другого вида, сечение которых представляют две точки (обозначенными пустыми кружками на Рис. 31 внизу справа) вместо одной точки, представляющей сечение почти круговой орбиты на всех предыдущих графиках с s = 0 и s 0. На Рис. 33 - 38 продемонстрированы сечения для движений вокруг астероида 243 Ida -шара и астероида 243 Ida -ТЭ при значениях постоянной Якоби С = 2.2,1.966, —1.4. Отметим, что для этого астероида нельзя проследить преобразование резонансных орбит кепле-рова случая в почти-резонансные орбиты трехосного случая подобно описанному ранее для астероида 253 Mathilde, поскольку из-за расширения зон столкновения и начальных данных, лежащих внутри астероида 243 Ida-ТЭ, и образования хаотической зоны начальные данные резонансных орбит малых соизмеримостей (меньших, чем 5/1) в трехосной задаче для 243 Ida попадают в зоны хаоса и столкновений с астероидом или зоны "запрещенных" движений. По Рис. 37, 38 для движения вокруг астероида 243 Ida при С = —1.4 можно проследить, как регулярные в кеплеровой задаче (Рис. 37) орбиты становятся хаотическими в трехосной задаче (Рис. 38). Регулярной остается лишь небольшая область, окружающая точку-сечение почти круговой орбиты с начальными данными х = —3.37501, s = 0, являющуюся численным продолжением кеплеровой круговой орбиты (Рис. 37) с начальными данными х = —3.49477, 5 = 0. На Рис. 33 для движения вокруг астероида 243 Ida-ТЭ при С = 2.2 резонансная орбита с начальными данными, соответствующими в кеплеровом случае резонансу 6/1 (см. сечение на Рис. 32, состоящее из трех точек, обозначенных пустыми квадратами), становится хаотической. При С = 1.966 (Рис. 34 - кеплеров и Рис. 35 - трехосный случаи движения в окрестности 243 Ida) кеплеровы резонансы 7/2 и 4/1 разрушаются в трехосном случае, а соответствующие им орбиты становятся хаотическими. Численным продолжением кеплеровой круговой орбиты с начальными данными х = —3.45528, s = 0 в трехосном случае становится почти круговая орбита с начальными данными х = —3.34172, s = 0, а резонансной (3/1) кеплеровой орбите с начальными х = —3.97473, s = 0 соответствует в трехосном случае периодическая орбита с х = —3.6376, s = 0, сечение которой состоит из двух точек, для одной из которых s ф 0. На Рис. 35 и Рис. 36 слева (крупный план) сечение этой орбиты (обозначенное пустыми квадратами) окружает (Рис. 36) небольшая область регулярных орбит, за пределами которой начинается область хаотических орбит. На Рис. 36 справа изображен вид орбиты, сечение которой состоит из двух точек, во вращающейся системе координат.
Похожие диссертации на Движение спутника в близкой окрестности астероида
