Содержание к диссертации
Введение
1 Уравнения движения типа Эйлера 32
1.1 Постановка задачи 32
1.2 Инвариантная форма для инвариантных элементов 33
1.3 Полуинвариантная форма для полуинвариантных элементов 40
1.4 Три системы отсчета
1.4.1 Основная система отсчета 48
1.4.2 Сопровождающая система отсчета (первый орт - по радиусу-вектору) 55
1.4.3 Сопровождающая система отсчета (первый орт - по вектору скорости) 58
1.5 О возможности сведения уравнений типа Эйлера к уравнениям типа Лагранжа 62
1.5.1 Основная (инерциальная) система отсчета 62
1.5.2 Первая сопровождающая система 66
1.5.3 Вторая сопровождающая система 70
2 Метод осреднения 72
2.1 Описание метода осреднения 76
2.2 Основная система координат O 79
2.3 Сопутствующая система координат O1 84
2.4 Сопутствующая система координат O2 87
2.5 Осреднение уравнений движения типа Лагранжа в инерци-альной системе отсчета 93
3 Разность положений на оскулирующей и средней орбите для системы O1 96
3.1 Квадрат дифференциала радиуса-вектора 97
3.2 Разности оскулирующих и средних элементов 100
3.3 Норма разности оскулирующих и средних элементов 104
3.4 О равномерной норме
Решение осредненных уравнений для системы O1 115
4.1 Эволюция круговых орбит 117
4.2 Эволюция некруговых орбит при S = 0, T = W = 0 119
4.3 Эволюция некруговых орбит при T = 0, S = W = 0 120
4.4 Эволюция некруговых орбит при W = 0,S = T = 0 125
4.5 Эволюция некруговых орбит при ST = 0, W = 0 131
4.6 Эволюция некруговых орбит при TW = 0, S = 0 132
4.7 Эволюция некруговых орбит при SW = 0, T = 0 133
4.8 Эволюция некруговых орбит при STW = 0 140
4.9 Решение осредненных уравнений на умеренной шкале времени140
5 Применение к задаче изменения орбиты астероида или ИСЗ 144
5.1 Применение результатов, полученных в главе 3 144
5.2 Применение результатов, полученных в главе 4 147
Заключение 160
Литература
- Инвариантная форма для инвариантных элементов
- Сопутствующая система координат O1
- Разности оскулирующих и средних элементов
- Эволюция некруговых орбит при W = 0,S = T = 0
Введение к работе
Актуальность темы исследования. В последнее десятилетие заметен всплеск интересов научной общественности к эволюции движений малых тел Солнечной системы с учетом негравитационных эффектов, в особенности к эволюции траекторий астероидов и комет, сближающихся с Землей и с другими большими планетами; к использованию в космонавтике двигателей малой тяги. Указанные задачи, на первый взгляд разнородные, объединяет похожий набор действующих на небесное тело сил: основная -притяжение к центральному телу - и возмущающая. Направление последней во многих случаях, хотя и не всегда, постоянно или меняется в небольших пределах в подходящей системе отсчета, а модуль постоянен или изменяется по простому закону. Представляется целесообразным рассмотреть детально соответствующую модельную задачу, поскольку многочисленные работы, некоторые из которых упомянуты нами ниже, решают различными методами частные случаи задачи одного притягивающего центра с дополнительным ускорением для достижения поставленных целей. Полученные различными авторами результаты разрозненны, требуют обобщения и систематизации. Поэтому мы считаем актуальным всестороннее исследование этой задачи в случае вектора возмущающей силы, постоянного по модулю и направлению в различных вращающихся системах координат.
Степень разработанности темы исследования. В современной небесной механике известно несколько модельных задач, интегрируемых в квадратурах. В частности, задача двух неподвижных центров и ее предельный вариант – задача одного притягивающего центра с дополнительным ускорением, постоянным как вектор в инерциальном пространстве.
В астрономии широко используются три координатные системы с общим началом, но разными направлениями осей: основная – инерциаль-ная декартова O с неподвижными ортами (i,j,k), и две сопутствующие, вращающиеся относительно основной. Орты первой сопутствующей системы O1 направлены по радиусу-вектору, трансверсали и бинормали. Орты второй сопутствующей системы O2 направлены по вектору скорости, главной нормали к оскулирующей орбите и бинормали. Обозначим проекции возмущающего ускорения на оси инерциальной системы отсчета P1,P2,P3, на оси O1 – S,T,W, на оси O2 – T, N, W.
Как правило, исследование движения малого тела A под действи-
ем силы притяжения к точке S и возмущающей силы Р в инерциальной системе отсчета с началом в S начинается с записи дифференциального уравнения вида:
г + -gr = Р,
где r = SA — радиус-вектор, 2 = Gm0 — гравитационный параметр, G — постоянная тяготения, точки означают производные по времени. Далее осуществляется переход к оскулирующим элементам и компонентам возмущающей силы на оси какой-либо системы координат, после чего выводится система соответствующих уравнений возмущенного движения типа Эйлера, которые устанавливают зависимость между оскулирующими элементами, их производными по времени, то есть скоростями изменения оскулирующих элементов, и компонентами возмущающего ускорения. Эти уравнения приводятся в руководствах и учебных пособиях по небесной механике, но лишь в специфических системах отсчета и для ограниченного набора элементов.
Классические уравнения Эйлера жестко привязаны к определенной системе отсчета, вращающейся в трехмерном пространстве с переменным, зависящим от положения и скорости, вектором угловой скорости, благодаря чему уравнения имеют относительно простой вид. Однако в век информатики простота уравнений отходит на второй план. Полезно иметь универсальные уравнения движения, инвариантные относительно выбора системы координат, для наиболее часто используемых элементов. Это возможно лишь частично, поскольку некоторые элементы сами зависят от ориентации системы координат. Поэтому целесообразно разбить оскулиру-ющие элементы на два класса: инвариантные, такие как вектор площадей и его модуль, фокальный параметр, постоянная энергии, большая полуось, среднее движение, эксцентриситет, средняя аномалия, истинная аномалия, эксцентрическая аномалия, эпоха перицентра, средняя аномалия эпохи, и зависящие от выбора основной плоскости, например, наклон, долгота восходящего узла, аргумент перицентра, аргумент широты.
Попытка унифицирования уравнений типа Эйлера встретилась нам только в книге [12]. Здесь получены инвариантные уравнения для параметра орбиты, эксцентриситета, большой полуоси и эпохи перицентра, в которых справа встречаются скалярные произведения вектора площадей и его производной по времени, вектора Лапласа и его производной по времени, а также их линейные комбинации. Уравнения для полуинвариантных элементов (наклона, долготы восходящего узла, аргумента перицентра) выражены здесь через скалярное произведение производной по времени от вектора площадей и орта k, смешанное произведение вектора площадей,
его производной по времени и орта k, скалярное произведение единичного вектора, направленного по линии узлов от начала координат S в восходящий узел, и производной по времени от вектора Лапласа. Производная по времени от вектора площадей равна векторному произведению радиуса-вектора и вектора возмущающего ускорения, а дифференцирование интеграла Лапласа в векторной форме дает производную по времени от вектора Лапласа. С использованием этих соотношений в [12] выводятся уравнения движения типа Эйлера в стандартной форме для орбитальной системы координат O1. Уравнения для тех же элементов в O2 приводятся без вывода и указывается, что их можно легко получить из универсальных уравнений.
Уже в работах Лагранжа (1760) упоминается, что предельный случай задачи двух неподвижных центров интегрируется в квадратурах. Тем не менее в XVIII–XIX веках эта задача не получила должного внимания, поскольку тогда для нее не было практического применения. Развитие космонавтики, разработка двигателей малой тяги возродили полузабытую задачу к новой жизни. В 60-х-70-х годах прошлого века предельный вариант задачи двух неподвижных центров интенсивно исследовался в работах В.В.Белецкого [1], В.Г.Дёмина [3], А.Л.Куницына [4] и применялся ими в небесной механике и космодинамике.
Уравнения движения значительно упрощаются, если обнулить какие-либо компоненты возмущающего ускорения, наклон или эксцентриситет. Так, В.В.Белецкий [1] рассмотрел движение в инерциальной системе координат (P1 = 0, P2 = P3 = 0) и нашел решение в квадратурах с помощью перехода к параболическим координатам. Для случая плоского движения он описал возможные траектории движения малого тела. Лантоне [16] повторил решение плоской задачи и нашел новые типы траекторий, упущенные Белецким, а затем обобщил двумерный случай на пространственный при P1 = P2 = 0, P3 = 0. В [14] рассматривается переход космического аппарата между круговыми орбитами под действием малой тяги при условии постоянного нулевого эксцентриситета. В [19] исследуется плоская задача вывода космического аппарата со спутниковой круговой орбиты под действием тяги, направленной либо вдоль радиуса-вектора (S = 0), либо по трансверсали (T = 0). Более современные результаты по этой проблеме получены в работах Беттина [6] и Болтца [7, 8].
Многочисленные исследования показали, что, если целью является увеличение большой полуоси орбиты, например, в случае межпланетного перелета, оптимальным является тангенциальное ускорение T. Так, в [18] изучается переход между компланарными круговыми орбитами под действием T. В [5] исследуется плоский спиральный разгон космического аппарата при T = const.
Для получения аналитического решения дифференциальных уравнений могут применяться различные приближенные методы. В работах [11, 10, 9, 20] используется следующий приём: вариация быстрой переменной аппроксимируется отбрасыванием слагаемых, содержащих компоненты ускорения, и в уравнениях для медленных переменных осуществляется переход от дифференцирования по времени к дифференцированию по быстрой переменной. Эффективным методом исследования эволюции орбит на космогонических временах является осреднение по быстрым переменным. В случае задачи одного притягивающего центра с дополнительным ускорением этот метод позволяет исследовать вековое изменение траектории под влиянием добавочного возмущения, но до сих пор применяется он редко и только в частных случаях. Например, в [15] используется метод осреднения для вычисления аналитического решения для восходящей орбиты при постоянном тангенциальном ускорении в присутствии земной тени. В [17] в результате аппроксимирующих преобразований осредненных вариационных уравнений движения получены осредненные по времени скорости изменения орбитальной энергии и эксцентриситета под действием только T, а затем найдено выражение производной энергии по эксцентриситету. В [13] компоненты возмущающего ускорения S,T,W представлены в виде рядов Фурье по эксцентрической аномалии, затем уравнения Гаусса осреднены.
Из вышесказанного можно сделать вывод, что задача одного притягивающего центра с дополнительным ускорением до сих пор разработана недостаточно, незаслуженно редко для получения аналитического решения применяется метод осреднения.
Цели и задачи работы. Основной целью диссертации является получение уравнений движения малого тела в центральном поле тяготения под действием добавочного постоянного по модулю возмущающего ускорения, применение к ним осредняющего преобразования, решение уравнений в новых переменных для ряда частных случаев, применение полученных результатов к движению астероида со встроенным двигателем малой тяги и движению искусственного спутника под действием малой возмущающей силы. Для достижения цели необходимо решить следующие задачи:
Вывести универсальные уравнения типа Эйлера для часто используемых оскулирующих элементов орбиты, пригодные для любой системы координат, и уравнения типа Эйлера для трех наиболее употребительных систем координат — основной (инерциальной) и двух сопутствующих.
Рассмотреть шесть конкретных уравнений, отвечающих трем вышеука-
занным системам отсчета при постоянном модуле возмущающего ускорения, и выполнить осредняющее преобразование уравнений движения типа Эйлера в первом порядке по малому параметру, соответствующему отношению возмущающего ускорения к основному.
Получить норму разности оскулирующих и средних элементов.
Исследовать осредненные уравнения и найти все существующие интегралы движения. Если их окажется достаточное количество, то построить фазовый портрет системы и тем самым найти все качественно различные траектории. При недостаточном количестве интегралов движения выявить качественные следствия из интегралов движения.
Применить полученные результаты к движению астероида и ИСЗ.
Научная новизна.
Выведены универсальные уравнения типа Эйлера для пятнадцати часто используемых оскулирующих элементов орбиты, получены уравнения типа Эйлера для трех наиболее употребительных систем координат – основной (инерциальной) и двух сопутствующих. В такой общей постановке ранее подобные работы не проводились. Уравнения типа Эйлера изменения оскулирующих элементов известны давно и даже предпринимались отдельные попытки записать их в универсальной форме. Однако представление правых частей через инвариантные (вектор площадей, радиус-вектор, вектор скорости, вектор возмущающего ускорения), а для связанных с ориентацией элементов - полуинвариантные (орт k) величины получено впервые. Их основное достоинство - возможность применения в любых системах отсчета, а также удобство программирования в системах компьютерной алгебры, поскольку во всех уравнениях, кроме вектора площадей, встречаются всего лишь три соотношения указанных величин.
Выведены в первом приближении по малому параметру осредненные уравнения движения в новых переменных и функции замены переменных. Соответствующие функции найдены в замкнутой форме, без использования разложений по степеням эксцентриситета, или наклона, или отношения радиуса центрального тела к большой полуоси. Ранее метод осреднения для решения подобных задач применялся только в частном случае – T = 0, остальные компоненты дополнительного ускорения полагались равными нулю перед процедурой осреднения.
Получены аналитические решения осредненных уравнений движения в поле возмущающего ускорения, постоянного в O1, в ряде частных случаев. Эта задача никем ранее не рассматривалась, так что все результаты здесь – новые.
Теоретическая и практическая значимость работы. Множество промежуточных результатов диссертации обладает собственной научной и практической ценностью.
В первой главе приведены дифференциальные уравнения для 15 наиболее популярных элементов орбиты в универсальной форме, из которых можно легко вывести выражения для шести независимых переменных в нужной системе координат, выразив скалярные и смешанные произведения через оскулирующие элементы и проекции вектора возмущающего ускорения на оси выбранной системы отсчета. Далее из универсальных уравнений получены скорости изменения тех же 15 элементов в трех наиболее часто употребляемых системах координат.
Во второй главе выведены уравнения движения в средних элементах и функции замены переменных для основной и двух сопутствующих систем координат.
В третьей главе получена формула для вычисления нормы разности оскулирующих и средних элементов, позволяющая оценить влияние периодических возмущений, а также величину погрешности положения малого тела, возникающую за счет простой замены оскулирующих элементов средними. Оказалось, что среднеквадратичная норма в O1 зависит только от компонент вектора возмущающего ускорения, большой полуоси и эксцентриситета оскулирующего эллипса.
В четвертой главе рассмотрены решения уравнений движения в средних элементах для O1 при e = 0 (круговые орбиты) и в случаях, если хотя бы одна из компонент возмущающего ускорения равна нулю. В этих частных случаях система интегрируется в квадратурах. На практике можно свести многие задачи к такому виду при надлежащем выборе системы отсчета. Для первой сопутствующей системы координат осредненные уравнения движения решены методом рядов Ли по степеням времени.
Приведенные выше результаты применены к задачам изменения орбиты сближающегося с Землей астероида (АСЗ), снабженного двигателем малой тяги, и спутника-ретранслятора. Получена норма разности оскули-рующих и средних элементов для нескольких малых тел и ИСЗ. Оценен временной интервал, необходимый для существенного изменения элементов орбиты АСЗ при малом возмущении. Оказалось, что двигатель малой тяги, действительно, может быть эффективен для предотвращения астероидно-
кометной опасности, особенно в отношении тел диаметром до 100 м.
Методология и методы исследования. Вывод универсальных уравнений типа Эйлера, пригодных для любой системы координат, и уравнений типа Эйлера для конкретной системы координат выполнен аналитически методами аналитической геометрии и векторного анализа. Осредняющее преобразование уравнений движения типа Эйлера осуществлено методом осреднения Крылова–Боголюбова. Средние значения функций, встречающихся при осреднении уравнений типа Эйлера, и неопределенные интегралы, необходимые для нахождения функций замены переменных, а также решения частных случаев осредненных уравнений движения для O1 найдены аналитически методами дифференциального и интегрального исчисления. Радиус сходимости рядов, полученных в главе 2, найден методами теории функций комплексной переменной.
Положения, выносимые на защиту.
Вывод универсальных уравнений типа Эйлера для пятнадцати оскулиру-ющих элементов (из которых 6 независимых). Для независящих от ориентации системы отсчета элементов правые части выражены через инвариантные относительно группы вращений трехмерного пространства величины. Для зависящих от ориентации элементов (наклон орбиты к основной плоскости, долгота узла, аргумент перицентра) правые части выражены через величины, инвариантные относительно группы вращений плоскости. Явные выражения через элементы получены для трех основных в небесной механике систем отсчета.
Выполнение процедуры осреднения в основной и двух сопутствующих системах отсчета. Получены в замкнутой форме как правые части осред-ненных уравнений, так и функции замены переменных. В O и O1 все функции элементарны. В O2 правые части осредненных уравнений содержат также полные эллиптические интегралы. Функции замены медленных переменных содержат также неполные эллиптические интегралы. Соответствующие функции для быстрой переменной содержат также интегралы от неполных эллиптических интегралов. Средствами компьютерной алгебры для них получены представления в виде рядов по степеням эксцентриситета. Найден их радиус сходимости, оказавшийся равным единице.
Интегрирование осредненных уравнений. В O1 найдены решения уравнений движения в средних элементах при e = 0 и в случаях, если хотя бы
одна из компонент возмущающего ускорения равна нулю. В этих частных случаях система интегрируется в квадратурах. Для O1 осредненные уравнения движения решены методом рядов Ли по степеням времени.
Степень достоверности и апробация результатов. Результаты, полученные в ходе данного исследования, докладывались на семинарах Кафедры небесной механики СПбГУ, а также на научных конференциях: на международной конференции «Околоземная астрономия-2013» (Туапсин-ский р-н Краснодарского края, п. Агой, 7–11 окт. 2013 г.); на 38-х Академических чтениях по космонавтике (г. Москва, РАН, 28–31 янв. 2014 г.); на 43-й и 44-й международных студенческих научных конференциях «Физика космоса» (г. Екатеринбург, 2014–2015 гг.); на 1-й всероссийской научной конференции «Экология и космос» им. акад. К.Я.Кондратьева (г. Санкт-Петербург, 7 февраля 2014 г.).
Достоверность результатов диссертации обеспечена корректным применением апробированных методов математики и небесной механики, а также совпадением с результатами исследований других авторов в сопоставимых случаях.
Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, 5 глав, заключения, списка литературы (95 наименований) и 3 приложений. Общий объем диссертации — 191 страница, из них 16 страниц приложений. Работа содержит 9 рисунков и 8 таблиц.
Инвариантная форма для инвариантных элементов
Последнее слагаемое как в формуле (1.15), так и в формуле (1.16) содержит вековой член, пропорциональный t - г, поэтому мы не стали объединять его с первым слагаемым. Наличие векового члена делает элемент т малопригодным на практике для расчета движения на больших интервалах времени. Аналогично для средней аномалии эпохи М0 дифференцированием получаем M0 = M-uj-Uj(to). (1.17) Сюда также следует подставить выражения (1.4) и (1.13) или (1.14). Мы не стали делать этого, поскольку наличие векового члена, пропорционального времени, делает этот элемент таким же малопригодными, как и т. Иногда используют величину М, определяемую интегралом t М = М+ / u(tf)dtf, (1.18) t0 так что М = М-ши вековой член исчезает. Однако плата за это слишком велика. Система уравнений типа Эйлера, в которой один из 6 элементов равен М, не является системой дифференциальных уравнений. Действительно, система дифференциальных уравнений определяет скорость изменения фазового вектора, если известно время t и значение фазового вектора в момент t. Между тем знание M(t) не позволяет вычислить фазовый вектор: для этого надо знать предысторию ш{Ь ) при to t! t. Мы не рекомендуем использовать где-либо величину Соберем вместе полученные формулы, приводя как выраженные через истинную, так и через эксцентрическую аномалии варианты:
Как видим, скорости изменения всех инвариантных элементов линейно зависят от двух содержащих возмущающую силу величин: гР и (crP). 1.3. Полуинвариантная форма для полуинвариантных элементов
Элементы г, Q, a, w зависят от ориентации осей координат, или, что то же, от выбора ортов i,j,k. Ясно, что правые части для скорости изменения i,a,w будут зависеть, наряду с г, г, с,Р, еще и от вектора к. Казалось бы, правые части для скорости изменения Q будут зависеть еще и от і, поскольку от его направления зависят значения Q. Однако поворот на постоянный угол не меняет скорости изменения Q. Поэтому, как мы покажем, можно избежать зависимости от i, j. Иными словами, уравнения типа Эйлера для рассматриваемых элементов зависят от выбора основной плоскости, но не от выбора в ней начала отсчета углов. Поэтому мы говорим о полуинвариантности [39].
Интересно, что правая часть оказалась независящей от возмущающей силы, что можно показать без вычислений, пользуясь кинематическими и геометрическими соображениями [46, 16.6]. Но это не менее сложно, чем приведенный нами вывод (1.33).
Как видим, скорости изменения всех неинвариантных элементов линейно зависят от трех содержащих возмущающую силу величин: гР, (сгР) и (rPk). Уравнения для полуинвариантных элементов w и Q, связанных с основной плоскостью, можно получить и другим способом [49], используя представление через элементы лишь г, но не г. Покажем это.
Изменение аргумента широты. Обратимся к представлению координат (1.21) через элементы и продифференцируем по времени третью формулу: z = f sin і sin w + r cos і sin w г +r sin І COS WW. (1.36) В невозмущенном движении (1.36) можно представить в виде i3 = fsmismw + -smicosw, (1.37) г поскольку в этом случае г= 0, r 2w = c fp. Формула (1.37) содержит только координаты, скорости и элементы, но не ускорения или производные от элементов. По определению оскуляции, она справедлива и в возмущенном движении. Вычитая (1.37) из (1.36), получим rcosisinw і +rsinicos«;«; -sinicosw = 0, откуда с учетом (1.20) находим (rPk). (1.38)
Изменение долготы узла. В невозмущенном случае (1.32) можно представить в виде sinw = rcosw-( icosfi + 2sinfi). (1.39) Формула (1.39) справедлива и в возмущенном движении. Вычитая (1.39) из (1.32), получим после преобразований
Приведенные выше уравнения типа Эйлера справедливы в любой системе отсчета. Для практического применения следует выбрать какой-либо репер. В астрономии широко используются три координатные системы с общим началом S, но разными направлениями осей: основная О с ортами i,j,k и две сопутствующие Os с ортами is,js,ks. Орты системы 0\ направлены по радиусу-вектору, трансверсали (перпендикуляру к радиусу-вектору в плоскости оскулирующей орбиты в сторону движения) и бинормали (направленной по вектору площадей). Орты системы 02 направлены по вектору скорости, главной нормали к оскулирующей орбите и бинормали (ее направление совпадает с вектором площадей). В качестве вспомогательной понадобится также система О с ортами, направленными в перицентр оскулирующей орбиты, по нормали к і в плоскости оскулирующей орбиты в сторону движения и бинормали [39]. Пусть Q —произвольный вектор, отнесенный к системе О. Тот же вектор, отнесенный к системе Os, обозначим через Qs. Связь между ними дается матричными равенствами
Сопутствующая система координат O1
В первой главе мы нашли уравнения типа Эйлера, связывающие оскулирующие элементы орбиты, их производные и компоненты возмущающего ускорения, причем мы получили эти зависимости для различных проекций P: на оси инерциальной системы отсчета Pi,P2,P3 (через компоненты Фь Ф2, Ф3 на оси вспомогательной системы координат); на оси двух сопровождающих систем координат S, Т, W и Т, 9t, W. Также мы записали уравнения типа Лагранжа в случае постоянства P в основной системе координат.
Теперь построим методом осреднения решение систем дифференциальных уравнений (1.51), (1.59), (1.63) и (1.65), принимая в качестве шести независимых элементов (со, е,г, Q, т, М). Выпишем эти уравнения, сгруппировав их в четыре системы: коэффициенты bij определены формулами (1.24), а sin и; и cos и; с помощью (1.29) можно выразить как через истинную, так и через эксцентрическую аномалию.
Здесь величины Фі,Ф2,Ф4 определяются формулами (2.2) и не зависят от быстрых переменных. В (1.29) определен sin и; в зависимости от истинной и эксцентрической аномалий. 2.1. Описание метода осреднения
Решение систем дифференциальных уравнений типа Эйлера будем искать методом осреднения [14, 16, 19, 47].
Обратимся к уравнениям движения типа Эйлера в оскулирующих элементах. За последние выберем кеплеровские элементы со, е, i, Q, а, М — среднее движение, эксцентриситет, наклон к основной плоскости с ортами i, j, долгота восходящего узла, аргумент перицентра и средняя аномалия. Выбор среднего движения вместо большой полуоси а сильно упрощает операции осреднения, поскольку скорость изменения М в невозмущенном движении линейно зависит от со, но существенно нелинейно от а.
Принято различать вектор медленных переменных х = (со, е, i, Q, а), постоянных в невозмущенном движении, и скалярную быструю переменную у = М. Здесь и ниже компоненты трехмерного вектора Р и пятимерных векторов х, f, и, X, F обозначены теми же буквами с номером компоненты в виде нижнего индекса.
Уравнения типа Эйлера (2.1), (2.3), (2.4) в любой из трех указанных систем отсчета имеют вид: Здесь /І — малый параметр, который мы вводим искусственно и считаем постоянным, а f = (f\, /2, /з, І4, /б) и 9 вещественно-аналитические функции в окрестности начальных данных. Более того, аналитичность гарантируется при всех вещественных со, О,, а, М.
Функция #о в нашем случае, как видно из (2.1f), (2.3f), (2.4f) равна среднему движению oj, то есть #о(х) = Х\. В нулевом приближении при /І = 0 из (2.7) получим: где to — начальный момент времени. Как и ожидалось, мы получили формулы невозмущенного движения в задаче двух тел. Ограничимся эллиптическим оскулирующим движением. Особенности в этом случае возникают при е = 0 и sin і = 0, но они устраняются переходом к переменным типа Лагранжа. Совершим замену переменных х = Х + /ш(Х,У), у = Y + fiv(X,Y), в результате чего (2.7) перейдет в систему: X = /iF(X,y) + ..., Y = Х!+/ІС(Х,У) + В дальнейшем мы ограничимся возмущениями первого порядка и не будем указывать на наличие членов более высокого порядка. Согласно [14, 47] функции u, v и F, G от X, У связаны соотношениями
Первые пять (в скалярной форме) уравнений (2.10) независимы друг от друга и от последнего уравнения, и каждое содержит две неизвестные функции Uk, Fk (к = 1,..., 5). После определения щ в последнем уравнении (2.10) также остаются две подлежащие определению функции v, G.
Уравнения вида (2.10) досконально изучены в небесной механике. В случае одной быстрой переменной не возникает малых знаменателей и решение находится элементарно. Согласно методу осреднения следует за F взять среднее значение f: F(X) = f(X,r) = — Г f(X,Y)dY. (2.11) После этого и находится простой квадратурой u(X, Y) = ХЇ(X, Y) =f -L [ [f (X, Y) - ЄЇ(Х, Y)} dY, (2.12) где первообразная выделяется однозначно условием нулевого среднего и = 0. Теперь однозначно находятся G и v: G{X) = Sg(X,Y), v(X,Y) =X[ul{X,Y) + g(X,Y)} , Sv = 0. (2.13) Таким образом, функции F, G не зависят от У, а функции u, v периодичны по У и обладают нулевым средним. Обратная замена переменных от оскулирующих к средним элементам: Х = х-/ш(х,у), y = j/-Hx,j/). Поскольку правые части уравнений движения выражены через истинную и эксцентрическую аномалии, то интегралы в (2.11), (2.12) и (2.13) необходимо преобразовать, учитывая следующие соотношения [48]: dY = dM= (l + ecci dy = dM= (1 -e cos E)dE, (2.14) при этом пределы интегрирования не меняются.
Обычно уравнения небесной механики сложны настолько, что интегралы (2.11), а тем более (2.12, 2.13) не берутся в элементарных и даже стандартных специальных функциях. В более простых задачах интегралы элементарны. Примеры можно найти, например, в книге [19]. Приведенные здесь уравнения в системах О, 0\ также допускают элементарные интегралы. Что касается системы О2, то наряду с элементарными там встречаются выражения, содержащие эллиптические интегралы, а для v и неопределенные интегралы от подобных выражений. Впрочем, для малых и умеренных эксцентриситетов их легко вычислить с помощью рядов по степеням эксцентриситета, что и сделано ниже.
Разности оскулирующих и средних элементов
Во многих задачах астрономии требуется узнать, насколько изменяются орбиты небесных тел при малом изменении их элементов. Если положение на траектории не играет роли, то лучшим инструментом служит расстояние между орбитами как точками пятимерного пространства орбит [78], [76]. Но если это положение важно, необходим другой подход [77], [52], [68], [51]. Орбиту J нужно считать точкой шестимерного фазового пространства элементов, например, а, е, i, a,Q,M — большой полуоси, эксцентриситета, наклона, аргумента перицентра, долготы восходящего узла и средней аномалии. В слабовозмущенных задачах первые пять элементов медленно изменяются со временем, тогда как последний служит быстрой переменной. Наряду с указанными независимыми элементами мы будем рассматривать и зависимые от них w,6,E — аргумент широты, истинную и эксцентрическую аномалии.
Отклонение орбиты J (а,..., М) от близкой орбиты J = J {а + da,..., M+dM) наглядно можно представить разностью векторов положения в конфигурационном пространстве dr и в пространстве скоростей dr. Разности эти быстро меняются, и больший интерес представляет их норма как норма вектор-функции от М.
В настоящей главе выведена евклидова (среднеквадратичная) норма разности векторов положения в конфигурационном пространстве, выраженная через разности элементов. Последние предполагаются малыми величинами первого порядка, а величинами второго порядка малости мы пренебрегаем.
В качестве иллюстрации мы применяем выведенный алгоритм к задаче движения астероида в центральном гравитационном поле при наличии возмущающего ускорения, постоянного в первой сопутствующей системе отсчета O\ с ортами по радиусу-вектору, трансверсали и бинормали к оскулирующей орбите [38], [40]. В этой задаче в первом приближении переход от оскулирующих элементов к средним осуществляется по замкнутым формулам (см. главу 2). Более того, разности оскулирующих и средних элементов выражаются через элементарные функции. В результате приходим к представлению квадрата нормы разности векторов положения на оскулирующей и средней орбите в виде квадратичной формы относительно компонент вектора возмущающего ускорения. Форма оказалась диагональной. Более того, ее коэффициенты - простые функции от двух (из возможных пяти) элементов а, е [10].
Пусть точка A (например, астероид) движется по невозмущенной эллиптической орбите. Выражения координат ь2,з вектора положения г точки A через аргумент широты или через эксцентрическую аномалию хорошо известны [43], [48], [53]. Вторые из них, как показывает наш опыт, приводят к более громоздким выкладкам. Поэтому примем за основу формулы:
Наряду с Л рассмотрим точку Л , двигающуюся по близкой орбите с элементами a + da,...,M + dM. Разности элементов da,... считаем малыми и их квадратами и произведениями пренебрегаем, так что символ дифференциала для разности оправдан. Дифференцируя (3.1), получим di = (cos ад cos ft - cos і sin ад sin Q)dr + r sin і sin ад sin ft di -r(sin«;cosft + cosicos«;sinft) -r(cos«;sinft + cosisin«;cosft)rfft, d2 = (cos ад sin ft + cos і sin ад cos ft) dr - r sin і sin ад cos ft di -r(sin«;sinft-cosicos«;cosft) + r(cos«;cosft-cosisin«;sinft)rfft, d 3 = sin і sin ад dr + r cos і sin w di + r sin і cos ад dw. (3.3) Найдем квадрат дифференциала радиуса-вектора р2 = (dr)2 = dg + d + de = dr2 + r2 sin2 ад di2 + r2 dw2+ + r2(l - sin2 і sin2 ад) dft2 - 2r2 sin і cos ад sin ад didft + 2r2 cos і dwdQ. (3.4) При выводе (3.4) использованы тождества cos2 ад + cos2 і sin2 ад = cos2 г + sin2 і cos2 ад = 1 - sin2 і sin2 ад, Sm2w + coS2icoS2w = l-Sm2icoS2
В общем случае квадратичная форма от четырех переменных содержит 4 квадрата и 6 попарных произведений. Форма (3.4) содержит лишь 2 произведения, что говорит о ее близости к ортогональной. Часто более удобным оказывается представление, содержащее сумму трех полных квадратов р2 = dr2 + r2{dw + cosidft)2 + г2 (sinwdi - smicoswdQ)2 . (3.5)
Быстрая переменная явно входит лишь в два последних слагаемых (3.5) посредством r,w. Переход к истинной аномалии прост: w = а + в. Для перехода к эксцентрической аномалии годятся формулы (1.29).
Компактная формула (3.5) не является окончательной, поскольку содержит дифференциалы dr, dw функций от элементов. Выразим их через da}de}dM. Дифференцирование стандартных формул w = а + 6 , cos6 Применим полученные результаты к оценке разности положений на оскулирующей и средней орбите. Остановимся на описанной в разделе 1.1 задаче при возмущающем ускорении P, постоянном в системе 0\. Соответствующие компоненты S, Т, W предполагаются малыми порядка /І. Напомним, что величинами второго порядка малости мы пренебрегаем.
Уравнения Эйлера для этого случая получены в разделе 1.4.2. В главе 2 проведено осреднение правых частей уравнений Эйлера изменения оскулирующих элементов и выведены выражения для разностей оскулирующих и средних элементов х , е, г, т, Q, М с точностью до первого порядка малости относительно /і, см. формулы (2.24). В рассматриваемой задаче в первом приближении переход от оскулирующих элементов к средним осуществляется по замкнутым формулам. Выпишем их для системы шести независимых элементов со, є, і, a, Q, М:
Здесь мы величины иии2, ...,v обозначили как du, de}..., dM, подчеркивая их малость. Обратим внимание, что в силу периодичности правых частей (3.10) по аномалии малость эта равномерна по времени и обеспечивается малостью S,T,W. С другой стороны, наличие е и sin і в знаменателях может привести к большим значениям dQ,da,dM. Мы увидим ниже, что эти знаменатели в окончательной формуле исчезают. Фактически малыми должны быть sin Ж, edM и выражение в фигурной скобке для da.
Эволюция некруговых орбит при W = 0,S = T = 0
Таким образом, с ростом е, х от нуля до единицы угол /3 убывает от /Зі до нуля, и в этом промежутке левая часть (4.12) возрастает с ростом /3 и убывает с ростом е,х. Поэтому уравнение (4.12) однозначно определяет е, х в функции времени.
С убыванием времени в прошлое правая часть (4.12) убывает, принимая нулевое значение при t = t2, где оЗ/4 t2 = - —F((30,k) 0. Отсюда получаем, что с убыванием времени от нуля до t = t2 угол /3 убывает от /Зо до нуля, а эксцентриситет возрастает от ео до единицы. Среднее движение возрастает от UJQ до wo/eg, а большая полуось уменьшается от 2о до а0Єо/3. Траектория при t = t2 становится прямолинейно-эллиптической и ее продолжение за t = t2 не имеет смысла, т.к. в момент выпрямления направление осей системы 0\ меняется скачком. Таким образом, t = t2.
С возрастанием времени правая часть (4.12) возрастает и принимает значение /Зі при t = 3, где оЗ/4 t3 = —[F((3hk)-F((30,k)] 0. Отсюда получаем, что с возрастанием времени от нуля до t?, угол /3 растет от /Зо до /Зі, а эксцентриситет убывает от ео до нуля. Среднее движение убывает от ш0 до нуля, а большая полуось возрастает до бесконечности, что при нулевом эксцентриситете влечет Таким образом, t = t%. Как и в разделе 4.1, уход траектории на бесконечность за конечное время говорит лишь о неприменимости метода осреднения при асимптотически больших t. Следует ограничиться промежутком 0 t t3/10. Обратим внимание также на нарушение единственности решения уравнения (4.10) при t = t3. Это объясняется негладкостью правой части уравнения (4.10) при е = 0.
Величину х мы представили в виде неявной функции времени с помощью уравнения (4.12). Эксцентриситет, среднее движение и большая по 123 луось просто выражаются через х:
Интеграл от правой части (4.13) также сводится к неполному эллиптическому интегралу первого рода [18, пункт 3.139]: Гх V3 dv 2 2 і к VI-м3 5-3V4 5 так что интегрирование (4.13) дает м = щ + iAl [m )-m,k) + xVT-; _ хо Щ. Замечание. При Т 0 имеем t =t3,t =t2. В качестве примера рассмотрим один из астероидов группы Атона, а именно (326290) Эхнатон, снабдив его двигателем малой тяги, направленной по трансверсали, так что Т 0, S = W = 0. Приведем начальные данные для гелиоцентрической задачи на эпоху J2000:
На рисунке 4.1 изображены зависимости е,со,а,М = М - М0 - co0t от времени. На графиках видим, что за время 2.69 1013 с, то есть около 853 тысяч лет орбита Эхнатона станет почти круговой с эксцентриситетом е = 0.034 и большой полуосью 4,07 1012м (27.2 а.е.). Но, как было показано выше, при использовании метода осреднения следует ограничиться промежутком времени 0 t з/10, в данном случае t?, = 3.26 1013 с. В результате действия тяги в течение 3, 23 1012с (102 тысячи лет) большая полуось астероида вырастет до 1, 5975-10nм (1.06789 а.е.), эксцентриситет уменьшится до е 0.3804.
Понадобится около 22 лет работы двигателя, чтобы большая полуось орбиты Эхнатона увеличилась на 5 Мм, за это время эксцентриситет изменится незначительно, тем не менее расстояние между возмущенным и невозмущенным положением астероида составит 6.09986 х108м, поскольку значение возмущенной средней аномалии будет меньше невозмущенного на 0.26554. При тяге 10 Н на такое же изменение элементов орбиты потребуется около 2,2 года.
Если тяга будет направлена против трансверсали, то Т -10-9мс-2, а верхний предел времени допустимости метода составит t2/lO = 4.43 1012 с. Через 3,25 1012с (103 тысячи лет) будем иметь а 1,10624 10пм (0.73948 а.е.), е- 0.50112.
В этом случае со, а, е = const, М = Mo+ujt, а правые части нетривиальных уравнений (4.14) запишем в виде l=-A2cosa, П = -А2 7, & = A2ctgisma, А2 = - —W. (4.15) Не умаляя общности, считаем W 0, А2 0. 126 Перепишем первое и третье уравнения (4.15) в форме уравнений Лагранжа А2 dV А2 dV = irn7 а = 1-дг (416) при V = sin і sin а. (4.17) Очевидно, функция (4.17) является интегралом системы (4.16), то есть dV/dt = О, V = const. Постоянная V может принимать значения из отрезка [-1,1]. Построим фазовый портрет динамической системы (а, і). Значению V = 1 отвечает неподвижная точка (7г/2,7г/2). При чуть меньших единицы значениях V фазовая кривая — овал, близкий к окружности
С уменьшением У овал, сохраняя симметрию относительно осей т = 7г/2, і = тг/2, все больше приближается к сторонам квадрата і = 0, і = тг, а = О, о" = 7Г. При У = 0 овал становится квадратом. Согласно (4.15) движение по фазовым кривым происходит против часовой стрелки. Движение по вертикальным сторонам квадрата происходит со скоростью ± 2, тогда как горизонтальные стороны проходятся мгновенно. При отрицательных значениях V картина аналогична. Фазовый портрет представляет собой указанный квадрат вместе с отражениями в вертикальных сторонах квадрата (см. рисунок 4.2). Разумеется, отрезки а = —7Г и а = 7Г можно отождествить и считать фазовое пространство цилиндром —7Г 7 7Г, 0 І 7Г.