Содержание к диссертации
Введение
1 Постановка задачи 20
1.1 Основное течение и вид возмущений 20
1.2 Граничное условие на свободной границе 28
1.3 Способ решения граничной задачи 30
1.3.1 Случай несжимаемой жидкости 31
1.3.2 Случай сжимаемой жидкости 33
2 Рост возмущений в приближении идеальной несжимаемой жидкости 36
2.1 Введение 36
2.2 Уравнение для возмущений и граничные условия 37
2.3 Проверка численного метода: осесимметричные возмущения 40
2.4 Неосесимметричные возмущения 40
2.4.1 Растущие моды 40
2.4.2 Неустойчивость кеплеровского вращения с квазисинусоидальным отклонением 45
2.4.3 Неустойчивость вращения по степенному закону 49
2.5 Заключение 55
3 Рост возмущений с учетом сжимаемости 57
3.1 Введение 57
3.2 Уравнение для возмущений 58
3.3 Граничные условия и регулярность решения в граничных точках . 60
3.4 Неустойчивость течения со степенным законом вращения 64
3.5 Неустойчивость кеплеровского вращения с квази-синусоидальным отклонением 78
3.6 Заключение 86
4 Рост возмущений в течении с учетом стратификации 88
4.1 Введение 88
4.2 Уравнение для возмущений 89
4.3 Граничные условия, регулярность решения в граничных точках и профиль энтропии 92
4.4 Неустойчивость течения со степенным законом вращения 97
4.4.1 Расчеты с учетом сжимаемости 97
4.4.2 Расчеты в приближении несжимаемой жидкости 105
4.5 Неустойчивость кеплеровского вращения с квази-синусоидальным отклонением 107
4.6 Заключение 109
Заключение 112
Список литературы 116
- Граничное условие на свободной границе
- Уравнение для возмущений и граничные условия
- Граничные условия и регулярность решения в граничных точках
- Граничные условия, регулярность решения в граничных точках и профиль энтропии
Введение к работе
Литературный обзор
Вопрос о гидродинамической устойчивости различных астрофизических систем по сути является одной из наиболее часто встречающихся задач теоретической астрофизики. Главным критерием существования той или иной физической конфигурации является анализ ее устойчивости относительно бесконечно малых возмущений различного типа, т.е. в первую очередь линейный анализ на устойчивость. Причем появление неустойчивости приводит к новой динамике вещества и формированию на нелинейной стадии физических систем нового вида. Здесь можно привести множество примеров, начиная со знаменитой гравитационной неустойчивости Джинса, ответственной в тех или иных модификациях за рост возмущений плотности в молодой Вселенной и в протозвездных облаках, и заканчивая конвективной неустойчивостью, определяющей физические процессы в атмосферах звезд поздних спектральных классов. Большое приложение в астрофизике также нашла проблема неустойчивости сдвиговых течений, к примеру, вопрос о неустойчивостях в звездных и галактических джетах (Чоудхыори и Лавлейс, 1984; Биркиншау, 1997; Афанасьев и др., 2007), о неустойчивостях в различного рода пограничных слоях - в рамках магнитной гидродинамики на границе между магнитосферами планет и солнечным ветром (Шарма и Шривастава, 1992), на границах кометных хвостов (By и Ванг, 1991), наконец, о тепловых и динамических неустойчивостях в турбулентных аккреционных дисках и в галактических газовых и звездных дисках, где некоторые виды
неустойчивостей могут быть ответственны за появление спирального узора (см. монографии Поляченко и Фридмана, 1976 и Морозова и Хоперскова, 2005).
К задаче о гидродинамической устойчивости напрямую относится большая и давняя проблема переноса углового момента и/или возникновения турбулентности в кеплеровских аккреционных дисках (Балбус, 1998). Эта проблема имеет непосредственное отношение к теме настоящей диссертации. Исторически переход от ламинарного к турбулентному движению исследовался в лабораторных условиях с конца 19 века. Первым, кто провел систематическое исследование в этом направлении, был Рейнольде, который в 1883 году ввел число R, называемое теперь его именем и характеризующее соотношение сил инерции и вязких сил в жидкости. Он также ввел (рейиольдсовы) напряжения, характеризующие взаимодействие основного потока с наложенными возмущениями (см., напр., Бэтчелор, 1973). Проведенные им эксперименты показали, что для ламинарного течения существует некоторое критическое значение R^, такое, что при R > R^ течение в принципе может стать турбулентным. Это означает, что течение может оставаться и ламинарным, однако в этом случае малейшие возмущения потока вызовут быстрое развитие хаотического движения. Наоборот, при уменьшении числа Рейнольдса турбулентность может оставаться при R < Rcr. Данные результаты говорят о том, что переход к турбулентности - существенно нелинейный процесс, который зависит от значения амплитуд возмущений основного потока. По этой причине проблема генерации турбулентности, в том числе и в аккреционных дисках, должна решаться и решается методами нелинейной динамики.
Однако значительные успехи были достигнуты и линейной теорией, т.е. рассмотрением устойчивости относительно бесконечно малых возмущений (см. книги Линь, 1958; Чандрасекар, 1961; Бетчов и Криминале, 1975; Дрэзин и Рейд, 1981; Джозеф, 1981, а также Прингл и Кинг, 2007). Часто линейная теория если и не предсказывает точных значений Rcr, то позволяет легче понять физику развития неустойчивости. Авторы, исследующие проблему турбулентности в аккреционных дисках, часто ссылаются на классические примеры успешного решеггия задач об устойчивости относительно бесконечно
малых возмущений для сдвиговых лабораторных течений. Это течение Куэтта между двумя вращающимися цилиндрами, исследованное экспериментально и теоретически Тэйлором в 1923 году, плоскопараллельное течение Пуазейля, исследовавшееся аналитически Линем (1945) и численно Томасом (1953) и пограничный слой Блазиуса, рассмотренный впервые Толлмином (1929). Но самые ранние результаты, до сих пор остающиеся одними из наиболее общих в теории гидродинамической устойчивости, были получены Лордом Рэлеем (1880, 1916). Рэлей занимался исследованиями устойчивости ламинарных, аксиально симметричных течений. В более поздней работе он открыл динамическую неустойчивость вращающейся идеальной жидкости, момент количества движения в которой падает с удалением от оси вращения. Эта неустойчивость имеет место при бесконечно малых возмущениях с сохранением момента количества движения, т.е. при аксиально симметричных возмущениях. Здесь можно говорить о локальном критерии Рэлея, который не зависит от граничных условий. В более ранней работе он изучал устойчивость аксиально-симметричных течений относительно иеосесиммстричных возмущений, при которых момент вращения в возмущенном течении не сохраняется. В этом случае для задачи с жесткими границами, коими являются стенки вращающихся цилиндров, он сформулировал необходимое условие неустойчивости исходного течения, которое заключается в знакопеременное производной от завихренности исходного течения (позже Фьйортофтом, 1950, и Хейландом, 1953, был сформулирован более точный критерий, следуя которому можно определить, максимум или минимум должно иметь распределение завихренности, чтобы не существовало растущих возмущений). В задачах со свободными граничными условиями, имеющими непосредственное приложение в астрофизике, такое необходимое условие отсутствует.
В астрофизике в большинстве случаев мы имеем дело с кеплеровыми дисками, т.е. с дисками, в которых угловая скорость вращения падает с расстоянием как ос г-3'2, и соответственно удельный момент количества движения растет ос г1/2. Таким образом, кеплеровы диски устойчивы по локальному критерию Рэлея, что прежде всего гарантирует их существование. С учетом релятивистских эффектов
вблизи черных дыр и компактных нейтронных звезд существует радиус последней устойчивой круговой орбиты такой, что на более близких расстояниях удельный момент количества движения растет с уменьшением радиальной координаты. Внутри радиуса последней устойчивой орбиты частицы падают по спирали на тяготеющий центр с сохранением момента количества движения. В лабораторных экспериментах наличие жестких стенок в течениях с падающим наружу моментом количества движения приводит (с учетом конечной вязкости) к возникновению нового, стационарного течения, которое представляет собой тороидальные вихри Тэйлора (1923). В общем случае наличие жестких границ в лабораторных экспериментах и отсутствие таковых в большинстве астрофизических задач приводит к принципиально разным результатам в задачах устойчивости аксиально-симметричных течений. Поэтому не всегда имеет смысл обобщать результаты, полученные в лаборатории (см. напр. Джи и др., 2006), на задачи астрофизики.
Наиболее адекватным в данной ситуации явилось изучение устойчивости аксиально-симметричных течений относительно неосесимметричных возмущений. Пионерские работы в этом направлении были прежде всего выполнены Папалойзу и Принглом (1984, 1985, 1987), которые показали, что тороидальное течение идеальной жидкости со свободными границами в ньютоновском гравитационном потенциале неустойчиво относительно возмущений указанного типа. Этот результат послужил стимулом к дальнейшему исследованию обнаруженной неустойчивости. В большинстве работ авторы ограничивались решением линейной задачи без учета вязкости. В различных приближениях либо рассматривалось поведение так называемых нормальных мод возмущений, которые в силу стационарности основного потока имеют экспоненциальную зависимость от времени, либо решалась задача с произвольными начальными возмущениями.
Так, например, Блаэс и Глатзел (1986) рассмотрели простейшую модель цилиндрического (т.е. с пренебрежением зависимостью от вертикальной координаты) изомоментного течения несжимаемой жидкости со свободными границами и получили инкременты для
нормальных мод, сравнимые по величине с кеплеровской частотой. В работе Голдрайха и др. (1986) было показано, что длинноволновые нормальные моды в тонком торе со свободными границами и степенным профилем вращения О, ос r~q растут как в случае сжимаемой, так и в случае несжимаемой жидкости, причем задача эквивалентна узкому цилиндрическому течению с заменой трехмерного индекса политропы п на двумерный N — п + 1/2. Кроме того, оказалось, что тонкий сжимаемый тор становится устойчивым при q < л/3. Приближение цилиндрического течения несжимаемой жидкости использовалось Ярошинским (1988) и Секийей и Мийамой (1988). Последние получили аналитическое выражение для инкремента возмущений в случае узкого зазора. Наконец, Глатзел (1987а), также пренебрегая вертикальной структурой потока, изучил неустойчивость относительно нормальных мод течения сжимаемой жидкости произвольной протяженности в радиальном направлении. Здесь стоит упомянуть и работу Хаиавы (1987b), в которой было рассмотрено такое же течение, но с жесткими границами и квазикеплеровским законом вращения. После указанных исследований стало понятбю, что поток жидкости, вращающийся вокруг тяготеющего центра и обладающий свободными границами, способен вызвать рост поверхностных волн, для которых не важна сжимаемость, и звуковых колебаний, взаимодействующих с помощью резонансного механизма на радиусе коротации, где фазовая скорость моды возмущения равна скорости вращения основного потока (см. по этому поводу, напр., Голдрайх и Нараян, 1985; Нараян и др., 1987; Глатзел, 1987b, 1988; Друри, 1980, 1985; Като, 1987). Численный расчет нормальных мод в тороидальном течении произвольного размера с положительным градиентом углового момента был проведен Коджимой (1989) и подтвердил предыдущие результаты, одновременно показав, что учет вертикальных движений в возмущенном течении незначительно влияет на поведение инкрементов. Это в свою очередь оправдало упрощенный двумерный подход к решению задачи на собственные значения в случаях, когда угловая скорость вращения основного потока зависит только от г (см. обсуждение в статье Коджимы). Наконец, исследование неосесимметричных мод на нелинейной стадии было выполнено Зуреком и Бенцом (1986), которые показали, что
в результате роста возмущений изначально изомоментное течение после перераспределения углового момента переходит в течение с усредненным законом вращения ос г-1-75, а также Хаули (1987, 1990), обнаружившим, что тонкий тор в результате нелинейной эволюции нормальных мод превращается в конфигурацию, состоящую из нескольких слабо связанных уплотнений ("планет"), число которых равно азимутальному числу т начального возмущения (см. также Гудман и др., 1987). В более поздней работе Хаули (1991) рассмотрел трехмерные неосесимметричные возмущения в протяженном толстом торе и получил, что в этом случае образуется сильная спиральная волна давления, возбуждающая аккрецию. В ряде других работ изучалось влияние радиальной составляющей скорости (что для идеальной жидкости возможно, когда внутренняя граница диска находится на уровне последней устойчивой орбиты в метрике Шварцшильда) на рост неосесимметричных возмущений (см. Блаэс 1987; Гэт и Ливио, 1992). В них обсуждалось, что в данном случае возможна самоподдержка аккреции: неосесимметричные моды порождают аккрецию, которая в свою очередь сдерживает их рост, что приводит к некоей стационарной картине радиального движения вещества.
В упомянутых до сих пор работах поток жидкости считался истинно баротропным, т.е. подразумевалось, что как в невозмущеином, так и в возмущенном течении выполняется одна и та же связь между давлением и плотностью р(р). Однако в реальных условиях возможно существенное влияние стратификации среды, когда в результате нагрева или охлаждения вещества может появиться крупномасштабный градиент энтропии.
Говоря об опубликованных в астрофизической литературе исследованиях по неустойчивости стратифицированного течения относительно неосесимметричных возмущений, стоит упомянуть, например, работу Франка и Робертсона (1988), где рассматривалась неустойчивость торов в задаче со случайными начальными возмущениями, и работу Коджимы и др. (1989), в которой изучались как тороидальные, так и цилиндрические течения. Заметим, что в обоих случаях были получены схожие результаты, а трехмерные растущие моды возмущений в тороидальном потоке оказались слабо
зависящими от вертикальной координаты. Сами авторы, как и в работе Коджимы (1989), объяснили это тем, что, когда угловая скорость вращения зависит только от радиального направления, напряжения Рейнольдса, ответственные за передачу энергии от основного потока к возмущениям, не содержат вертикальной компоненты возмущения скорости. Далее, Глатзел (1990) рассмотрел неустойчивость цилиндрического и плоско-параллельного течений в приближении малой величины сдвигового слоя. Для того, чтобы исключить растущие звуковые и поверхностные гравитационные моды, он считал жидкость несжимаемой, а границы жесткими, задавая при этом профиль переменной плотности. Полученная неустойчивость трактовалась им как результат усиления внутренних гравитационных мод, всегда существующих в неоднородном потоке. Несколько позже Гош и Абрамович (1991) рассмотрели цилиндрическое течение, состоящее из двух жидкостей разной плотности, расположенных так, чтобы основной поток был устойчив по Рэлею-Тейлору. Помимо модифицированной ветви растущей поверхностной гравитационной моды, появляющейся из-за наличия свободных границ (Блаэс и Глатзел, 1986), была обнаружена ветвь неустойчивости, связанная именно с разрывами плотности в нсвозмущенной конфигурации. Эта неустойчивость вызвана растущей внутренней гравитационной модой, которая, однако, аналогична растущей поверхностной моде, т.к. поверхность раздела двух жидкостей отличается от свободной поверхности лишь конечным отношением плотностей. Говоря о более поздних публикациях, нельзя не упомянуть о результатах Лавлейса и др. (1999) и Ли и др. (2000). В этих работах в двумерном приближении была рассмотрена устойчивость тонких кеплеровских дисков с локальным максимумом энтропии. В частности, для локальных растущих неосесимметричных возмущений было получено дисперсионное соотношение, схожее с дисперсионным соотношением для волн Россби. Кроме того, Клар и Бодеихаймер (2003) исследовали неустойчивость кеплеровских дисков с энтропией, падающей на периферию.
В задачах об устойчивости стратифицированных течений фундаментальную роль играет критерий Ричардсона. Изначально он был получен для плоско-параллельных течений (см., напр. Ховард, 1961).
В этом случае для устойчивости потока относительно бесконечно малых возмущений достаточно, чтобы везде в потоке число Ричардсона Ri было больше 1/4. Обобщение же критерия Ричардсона на случай аксиально-симметричного бароклинного течения, когда угловая скорость вращения зависит как от радиальной, так и от вертикальной координаты, было получено Фуджимото (1987) в приближении несжимаемой жидкости и Ханавой (1987а) с учетом сжимаемости.
Упомянем здесь о еще одном критерии устойчивости, относящемся к вращательным течениям со стратификацией. Речь идет о критерии Хейланда (см., напр., Тассуль, 1982), который говорит об устойчивости относительно малых возмущений с осевой симметрией. Для двумерных течений без вертикальной структуры он является обобщением критерия Рэлея и отражает факт совместного стабилизирующего действия момента вращения, растущего на периферию и растущей против направления эффективной силы тяжести энтропии.
Отдельным важным вопросом является причина возникновения неустойчивости относительно обсуждаемых нсосесимметричных мод возмущений. Наглядная физическая интерпретация механизмов усиления малых колебаний позволяет получить общую картину роста возмущений, а также может помочь в поиске новых типов неустойчивостей (Степанянц и Фабрикант, 1996). В основе передачи энергии от основного течения к возмущениям (или, наоборот, что соответствует затухающим колебаниям) лежат два механизма. Прежде всего это аналог механизма затухания Ландау (см. Ландау и Лифшиц, 2003), широко известного в физике плазмы. В его основе лежит резонансное взаимодействие какой-либо глобальной моды возмущения с исходным течением в т.н. критическом слое, где фазовая скорость волны возмущения равна скорости потока. Данный механизм действует в течениях разной геометрии (например, и в плоско-параллельных, и во вращательных движениях). Необходимым условием для него является отличная от нуля производная завихренности основного потока в критическом слое (который для вращательных течений также называется радиусом коротации), что позволяет моде возмущения забирать или отдавать энергию основному потоку. Завихренность
непостоянна вдоль течения, когда существует радиальный градиент удельного углового момента.
Однако хорошо известно, что, к примеру, изомоментное течение жидкости со свободными границами неустойчиво относительно поверхностных гравитационных мод (см. ссылки, данные выше). В этом случае первый механизм не может работать, т.к. завихренность основного течения просто равна нулю. Глатзел (1987b) со ссылкой па оригинальную работу Кейрнса (1979) выделил в отдельный способ возникновения неустойчивости резонансное взаимодействие мод с энергией разного знака (об определении энергии мод малых возмущений в сдвиговых потоках см. работы Фридмана и Шутца, 1978а,Ь). Поток энергии от моды, обладающей отрицательной энергией, к моде с положительной энергией вызывает рост амплитуд у обеих мод. С помощью данного механизма удалось объяснить полученные в численном расчете зоны неустойчивости изомоментного течения как несжимаемой, так и сжимаемой жидкости. Оказалось, что на графике зависимости фазовой скорости мод от радиальной протяженности течения ветви первоначально нейтральных колебаний при совпадении фазовых скоростей превращаются в затухающее и растущее возмущение. Это имеет место и для поверхностных гравитационных мод, которые остаются в пределе бесконечно большой скорости звука, и для звуковых мод. В трактовке Глатзела все моды делятся на два сорта, принадлежат двум разным границам и имеют либо положительную, либо отрицательную энергию. Когда при некоторой ширине зазора фазовые скорости разных ветвей, а значит, и коротационные области почти совпадают, происходит так называемое спаривание мод и возникает неустойчивость резонансного характера.
Обсуждаемый механизм был наиболее подробно рассмотрен в работе Глатзела (1988), посвященной неустойчивости сдвигового слоя сжимаемой жидкости с постоянной завихренностью, находящегося между двумя полубесконечными потоками, обладающими различными постоянными скоростями. В пределе бесконечно узкой толщины сдвига получаем течение с разрывом скорости, которое абсолютно неустойчиво по Кельвину. Глатзел рассмотрел влияние сжимаемости и перепада плотностей на краях сдвигового слоя на общую картину
неустойчивости. По величине перепада плотности были рассмотрены три варианта: плотность вне слоя сдвига очень велика, что соответствовало жестким граничным условиям; плотность вне слоя сдвига равна нулю, что соответствовало свободным граничным условиям; наконец, отношение плотностей порядка единицы. Последний случай разрешает распространение звуковых волн и соответственно уход или приход энергии с бесконечности. Автор показал, что в этом случае звуковые моды, отвечающие вдалеке от сдвигового слоя убегающим па бесконечность волнам, имеют положительную энергию и, поскольку теряют ее на излучение, то затухают. С другой стороны, моды типа Кельвина-Гельмгольца, остающиеся в пределе несжимаемой жидкости, оказываются растущими, т.к. имеют отрицательную энергию. Автор также проводит сравнение рассмотренного плоскопараллельного течения с аксиально-симметричным изомоментным потоком. Действительно, карты фазовых скоростей звуковых и КГ- мод в первом случае качественно совпадают с аналогичными зависимостями для звуковых и поверхностных гравитационных мод во втором случае.
В случае, когда задача усложняется наличием градиента энтропии или магнитного поля (см. Гош и Абрамович, 1991; Глатзел, 1990, 1991; Коджима и др., 1989; Огилви и Прингл, 1996; Рюдигер и Зан, 2001), появляются новые виды колебаний с энергией разного знака, которые могут также порождать новые зоны неустойчивостей. При появлении градиента углового момента начинает работать механизм резонансного взаимодействия с потоком, и моды колебаний, даже вдалеке от областей спаривания, становятся затухающими или растущими. Таким образом, в общем случае картина неустойчивости определяется совместным действием ~6бшх~механйзмовТ^Кроме того, нарастание колебаний с отрицательной энергией вне зон спаривания могут обеспечивать и другие механизмы, отбирающие у них энергию. Это может быть, к примеру, вязкая диссипация или излучательная неустойчивость (Степаняиц и Фабрикант, 1996).
Наконец, упомянем о еще одном механизме, усиливающем возмущения, - механизме сверхотражения. С данным явлением приходится сталкиваться в задачах, где рассматривается
распространение волн в сдвиговых потоках. Сверхотражение от областей со сдвиговым течением может происходить с волнами самой различной природы, например, со звуковыми волнами на сверхзвуковом разрыве скорости (Майлс, 1957; Рибнер, 1957), либо при взаимодействии со струей с переменной завихренностью (Андронов и Фабрикант, 1980), или с внутренними гравитационными волнами в аналогичной ситуации (Маккензи, 1972; Линдзен и Баркер, 1985; Троицкая и Фабрикант, 1987). В приложении к астрофизическим дискам в двумерном подходе в некоторых работах в WKB-приближении изучалось сверхотражение от запрещенной для распространения коротковолновых мод области течения вблизи радиуса коротации (см. Марк, 1976; Голдрайх и Нараян, 1985; Нараян и др., 1987). Сверхотражение естественным образом объясняется либо резонансным взаимодействием с потоком, либо в рамках концепции волн с отрицательной энергией. Так, в последних упомянутых работах было показано, что при определенных условиях с разных сторон от точки коротации коротковолновые моды могут иметь положительную и отрицательную энергию. Тогда волна, например, с положительной энергией, распространяющаяся по радиальной координате, достигает запрещенной области и делится на отраженную и прошедшую волну. Поскольку прошедшая волна обладает отрицательной энергией, то в отраженной волне амплитуда увеличивается по сравнению с амплитудой первоначально падавшей волны. Коэффициент усиления пропорционален вероятности туннелирования через запрещенную область. Если со стороны падающей волны наложить граничное условие полного отражения (например, равенство нулю радиальной компоненты возмущения скорости, т.е. жесткую границу или равенство нулю возмущения" давления^ т.е. ""свободную "границу), то в "получившемся" резонаторе WKB-моды будут расти. Однако данный механизм работает только для звуковых колебаний, поскольку в выражение для вероятности подбарьерного перехода входит скорость звука, и, когда последняя стремится к бесконечности, что соответствует пределу несжимаемой жидкости, подбарьерный переход невозможен. Заметим, кроме того, что если скорость звука стремится к нулю, то достигается тот же результат, т.е. сверхотражение (как, впрочем, и распространение самих звуковых волн) становится невозможным.
Актуальность темы
Существование в галактических и звездных системах аккрецирующих потоков вещества на сегодняшний день не вызывает сомнений. Явление аккреции привлекается для объяснения множества наблюдаемых объектов, от карликовых новых до квазаров. Однако теория аккреционных дисков в известной степени остается феноменологической, поскольку теми переноса углового момента и скорость энерговыделения при аккреции, достаточные для объяснения наблюдаемых характеристик астрофизических объектов, до сих пор окончательно не объяснены из фундаментальных физических соображений. Общепринятым считается предположение о том, что диссипация кинетической энергии и перенос углового момента происходят за счет турбулентности, учет которой в гидродинамических уравнениях производится введением эффективного коэффициента вязкости. Тем не менее, физическое происхождение турбулентности в аккрецирующем потоке остается неясным. Здесь стоит подчеркнуть, что речь идет о чисто гидродинамической турбулентности, поскольку, например, в дисковом течении с магнитным полем развивается магниторотационная неустойчивость (Велихов, 1959; Чандрасекар, I960), что приводит к генерации МГД-турбулентности (Балбус и Хаули, 1991а,Ь). Однако указанный механизм может работать только в среде со значительной степенью ионизации. Наблюдения же указывают на то, что должны существовать и аккреционные диски, состоящие из сравнительно холодного и почти нейтрального газа. По этой причине не прекращаются попытки показать, что турбулентность может генерироваться и в чисто гидродинамическом
приближении. К_примеру, Фридманом-и—др. - (2003)— с -помощью
численного решения трехмерной гидродинамической задачи было найдено, что образование антициклонического вихря в аккреционном диске в двойной звездной системе приводит к появлению турбулентности со значительной эффективной вязкостью. Стоит отметить и получивший относительно недавно развитие так называемый "обходной" (bypass mechanism) путь к развитию турбулентности (Ианноу и Какоурис, 2001; Афшорди и др., 2005; Мухопадхуай и др., 2005). Указанный подход применяется для исследования линейно устойчивых сдвиговых
течений, где дифференциальный оператор, ответственный за динамику малых возмущений, является ненормальным. В этом случае, несмотря на отсутствие экспоненциально нарастающих собственных мод возмущений, возможно существование возмущений, испытывающих существенный временный рост, который также может спровоцировать развитие турбулентности. В астрофизике приходится исследовать на устойчивость аксиально-симметричные течения с удельным угловым моментом, растущим по мере удаления от тяготеющего центра, что приводит к устойчивости относительно малых локальных возмущений. Наиболее естественным в этом случае является поиск различного рода глобальных неустойчивостей с учетом характерных для астрофизических задач свободных граничных условий. В более ранних работах, упомянутых в литературном обзоре, была обнаружена и исследовалась неустойчивость относительно глобальных неосесимметричных возмущений. Однако, несмотря на многочисленные результаты по данной тематике, по-прежнему отсутствует целостная картина указанного явления, и главное, неясна его роль в проблеме переноса углового момента в аккрецирующем потоке. Кроме того, важно подчеркнуть, что во всех перечисленных работах изучалась устойчивость аксиально-симметричных потоков со степенным профилем угловой скорости вращения ос r~q (1.5 < q < 2). Такой закон приводит к некеплеровскому вращению на границах течения. Однако в принципе возможны профили угловой скорости вращения с нулевым градиентом давления на границах.
Цель работы
Настоящая диссертация посвящена численному исследованию неустойчивости аксиально-симметричного течения идеальной жидкости относительно двумерных неосесимметричных бесконечно малых возмущений в различных гидродинамических приближениях: от несжимаемой жидкости с постоянной плотностью до стратифицированной среды с учетом конечной скорости звука. При этом необходимо было изучить влияние на указанные возмущения как жестких, так и свободных границ.
Одной из главных задач также стало исследование того, как неустойчивость зависит от характера течения вблизи границ, для чего были взяты два профиля угловой скорости вращения: степенной закон с показателем степени q, использовавшийся и в более ранних работах, и рассмотренный впервые кеплеровский закон с квазисинусоидальным отклонением, которое задавалось параметром К > 0. В первом случае вращение на границах некеплерово, и в граничных точках отлична от нуля эффективная сила тяжести. Во втором случае, наоборот, вращение на границах происходит с кеплеровской скоростью и нулевой эффективной силой тяжести. Кроме того, целью работы стало исследование модификации инкрементов растущих возмущений в наиболее общем для баротроиного основного течения приближении, учитывающем как сжимаемость, так и стратификацию потока. В последнем случае необходимо было также произвести поиск неустойчивых внутренних гравитационных мод.
Научная и практическая ценность работы
Ряд новых результатов, полученных в диссертационной работе, может оказаться полезным в дальнейших теоретических исследованиях динамической неустойчивости аксиально-симметричпых течений, а значит, и в решении проблемы переноса углового момента в теории аккреции.
Основные результаты, выносимые на защиту
Все результаты, выносимые на защиту, являются новыми.
1. Впервые исследована неустойчивость аксиально-симметричного течения с кеплеровским вращением на свободных границах. Показано, что в этом случае всегда существует минимальное ненулевое значение амплитуды отклонения угловой скорости от кеплеровской внутри потока, при котором происходит стабилизация течения относительно бесконечно малых возмущений. В то же время, в случае вращения с некеплеровской угловой скоростью на границах, неустойчивость появляется при любом
сколь угодно малом отклонении угловой скорости от кеплеровского значения в самом потоке.
2. Обнаружена стабилизация звуковых мод неустойчивости, когда
вращение становится кеплеровским на свободных границах.
3. Впервые исследовано влияние стратификации в течении со
свободными границами как на поверхностные гравитационные, так
и на звуковые неосесимметричные моды. Показано, что возрастание
энтропии против направления эффективной силы тяжести в течении
с профилем угловой скорости, близким к кеплеровскому, способствует
стабилизации потока, несмотря на то, что не выполняется достаточное
условие устойчивости по критерию Ричардсона.
4. Обнаружено определяющее влияние типа граничных условий на
рост внутренних гравитационных мод в стратифицированном течении.
В потоке, устойчивом относительно осесимметричных возмущений,
неосесимметричные внутренние гравитационные моды растут только в
случае жестких границ.
Личный вклад автора
Четыре работы из шести (номера 1, 3-5) публикаций, перечисленных в Списке публикаций по теме диссертации, выполнены в соавторстве. В совместных публикациях автор участвовал на равноправной основе на всех этапах работы. Автором разработан алгоритм численного решения граничных задач, рассматривавшихся в исследовании, и проведена трудоемкая работа по поиску и расчету растущих мод возмущений в широком диапазоне параметров.
Апробация результатов
Результаты, изложенные в диссертации, обсуждались на кафедре астрофизики и звездной астрономии физического факультета МГУ им. М.В. Ломоносова и докладывались и опубликованы в трудах и тезисах следующих конференций:
1. Научная конференция "Ломоносовские чтения", Москва (2005).
2. Всероссийская астрономическая конференция "ВАК-2005", Москва
(2005).
Всероссийская астрономическая конференция "Астрофизика высоких энергий", Москва (2005).
Всероссийская астрономическая конференция "Тесные двойные звезды в современной астрофизике", Москва (2006).
Bulgarian-URSI School & Workshop "Waves and Turbulence Phenomena in Space Plasmas", Китен, Болгария (2006).
6. Всероссийская астрономическая конференция 'ВАК-2007", Казань
(2007).
Публикации
Основные результаты диссертации содержатся в следующих публикациях:
Журавлев В.В., Шакура Н.И. "Исследование неустойчивости ламинарных аксиально-симметричных течений с учетом сжимаемости", 2006, Тезисы докладов всероссийской астрономической конференции "Тесные двойные звезды в современной астрофизике" (ред. К.А. Постнов), Москва, ГАИШ МГУ, с. 33.
V. Zhuravlev, "Instability of laminar axisymmetric flows", 2006, Abstracts of Bulgarian-URSI School & Workshop "Waves and Turbulence Phenomena in Space Plasmas", Heron Press, Sofia, с 54.
Журавлев В.В., Шакура Н.И., "Динамическая неустойчивость ламинарных аксиально-симметричных течений идеальной несжимаемой жидкости", 2007, Письма в Астрон. журн., т.ЗЗ, н.8, с. 604-617
Журавлев В.В., Шакура Н.И., "Динамическая неустойчивость ламинарных аксиально-симметричных течений идеальной
жидкости с учетом сжимаемости", 2007, Письма в Астрон. журн., т.ЗЗ, н.Ю, с.754-774
Журавлев В.В., Шакура Н.И., "Динамическая неустойчивость ламинарного аксиально-симметричного потока идеальной жидкости со стратификацией", 2007, Письма в Астрон. оісурн., т.ЗЗ, и.11, с. 802-817 (препринт arXiv:0709.1833)
Журавлев В.В., "Динамическая неустойчивость аксиально-симметричного пегомэнтропного течения идеальной жидкости", 2007, Труды конференции 'ВАК-2007" (ред. Н.А. Сахибуллин), Казань, изд. КГУ , с. 393-394.
Структура диссертации
В первой главе настоящей диссертации будет произведена постановка задачи: подробно описано основное течение, неустойчивость которого предстоит исследовать, вид возмущений, которые будут наложены, а также способ решения итоговой граничной задачи. Вторая, третья и четвертая главы диссертации соответствуют различным гидродинамическим приближениям. Во второй главе жидкость считается несжимаемой. Это простейшее приближение позволяет исследовать наиболее общие динамические свойства основного течения и получить предельные по отношению к последующим приближениям решения задачи на устойчивость. Кроме обычных свободных граничных условий, здесь будут рассмотрены также жесткие граничные условия, которые не запрещают существование неустойчивости для второго закона вращения (по необходимому условию Рэлея). В третьей главе учтена сжимаемость жидкости. Заметим, что в рассматриваемой задаче, вообще говоря, нельзя пренебрегать изменением плотности в возмущенном течении, т.к. в случае двух свободных границ скорость сдвигового течения всегда оказывается сравнимой со скоростью звука. Наконец, в четвертой главе учтен возможный ненулевой радиальный градиент энтропии. Результаты четвертой главы, как для степенного закона вращения, так и для кеплеровского закона с квази-синусоидальным отклонением, целиком получены впервые.
Граничное условие на свободной границе
Главным критерием существования той или иной физической конфигурации является анализ ее устойчивости относительно бесконечно малых возмущений различного типа, т.е. в первую очередь линейный анализ на устойчивость. Причем появление неустойчивости приводит к новой динамике вещества и формированию на нелинейной стадии физических систем нового вида. Здесь можно привести множество примеров, начиная со знаменитой гравитационной неустойчивости Джинса, ответственной в тех или иных модификациях за рост возмущений плотности в молодой Вселенной и в протозвездных облаках, и заканчивая конвективной неустойчивостью, определяющей физические процессы в атмосферах звезд поздних спектральных классов. Большое приложение в астрофизике также нашла проблема неустойчивости сдвиговых течений, к примеру, вопрос о неустойчивостях в звездных и галактических джетах (Чоудхыори и Лавлейс, 1984; Биркиншау, 1997; Афанасьев и др., 2007), о неустойчивостях в различного рода пограничных слоях - в рамках магнитной гидродинамики на границе между магнитосферами планет и солнечным ветром (Шарма и Шривастава, 1992), на границах кометных хвостов (By и Ванг, 1991), наконец, о тепловых и динамических неустойчивостях в турбулентных аккреционных дисках и в галактических газовых и звездных дисках, где некоторые виды неустойчивостей могут быть ответственны за появление спирального узора (см. монографии Поляченко и Фридмана, 1976 и Морозова и Хоперскова, 2005).
К задаче о гидродинамической устойчивости напрямую относится большая и давняя проблема переноса углового момента и/или возникновения турбулентности в кеплеровских аккреционных дисках (Балбус, 1998). Эта проблема имеет непосредственное отношение к теме настоящей диссертации. Исторически переход от ламинарного к турбулентному движению исследовался в лабораторных условиях с конца 19 века. Первым, кто провел систематическое исследование в этом направлении, был Рейнольде, который в 1883 году ввел число R, называемое теперь его именем и характеризующее соотношение сил инерции и вязких сил в жидкости. Он также ввел (рейиольдсовы) напряжения, характеризующие взаимодействие основного потока с наложенными возмущениями (см., напр., Бэтчелор, 1973). Проведенные им эксперименты показали, что для ламинарного течения существует некоторое критическое значение R , такое, что при R R течение в принципе может стать турбулентным. Это означает, что течение может оставаться и ламинарным, однако в этом случае малейшие возмущения потока вызовут быстрое развитие хаотического движения. Наоборот, при уменьшении числа Рейнольдса турбулентность может оставаться при R Rcr. Данные результаты говорят о том, что переход к турбулентности - существенно нелинейный процесс, который зависит от значения амплитуд возмущений основного потока. По этой причине проблема генерации турбулентности, в том числе и в аккреционных дисках, должна решаться и решается методами нелинейной динамики.
Однако значительные успехи были достигнуты и линейной теорией, т.е. рассмотрением устойчивости относительно бесконечно малых возмущений (см. книги Линь, 1958; Чандрасекар, 1961; Бетчов и Криминале, 1975; Дрэзин и Рейд, 1981; Джозеф, 1981, а также Прингл и Кинг, 2007). Часто линейная теория если и не предсказывает точных значений Rcr, то позволяет легче понять физику развития неустойчивости. Авторы, исследующие проблему турбулентности в аккреционных дисках, часто ссылаются на классические примеры успешного решеггия задач об устойчивости относительно бесконечно малых возмущений для сдвиговых лабораторных течений. Это течение Куэтта между двумя вращающимися цилиндрами, исследованное экспериментально и теоретически Тэйлором в 1923 году, плоскопараллельное течение Пуазейля, исследовавшееся аналитически Линем (1945) и численно Томасом (1953) и пограничный слой Блазиуса, рассмотренный впервые Толлмином (1929). Но самые ранние результаты, до сих пор остающиеся одними из наиболее общих в теории гидродинамической устойчивости, были получены Лордом Рэлеем (1880, 1916). Рэлей занимался исследованиями устойчивости ламинарных, аксиально симметричных течений. В более поздней работе он открыл динамическую неустойчивость вращающейся идеальной жидкости, момент количества движения в которой падает с удалением от оси вращения. Эта неустойчивость имеет место при бесконечно малых возмущениях с сохранением момента количества движения, т.е. при аксиально симметричных возмущениях. Здесь можно говорить о локальном критерии Рэлея, который не зависит от граничных условий. В более ранней работе он изучал устойчивость аксиально-симметричных течений относительно иеосесиммстричных возмущений, при которых момент вращения в возмущенном течении не сохраняется. В этом случае для задачи с жесткими границами, коими являются стенки вращающихся цилиндров, он сформулировал необходимое условие неустойчивости исходного течения, которое заключается в знакопеременное производной от завихренности исходного течения (позже Фьйортофтом, 1950, и Хейландом, 1953, был сформулирован более точный критерий, следуя которому можно определить, максимум или минимум должно иметь распределение завихренности, чтобы не существовало растущих возмущений). В задачах со свободными граничными условиями, имеющими непосредственное приложение в астрофизике, такое необходимое условие отсутствует.
Уравнение для возмущений и граничные условия
В астрофизике в большинстве случаев мы имеем дело с кеплеровыми дисками, т.е. с дисками, в которых угловая скорость вращения падает с расстоянием как ос г-3 2, и соответственно удельный момент количества движения растет ос г1/2. Таким образом, кеплеровы диски устойчивы по локальному критерию Рэлея, что прежде всего гарантирует их существование. С учетом релятивистских эффектов вблизи черных дыр и компактных нейтронных звезд существует радиус последней устойчивой круговой орбиты такой, что на более близких расстояниях удельный момент количества движения растет с уменьшением радиальной координаты. Внутри радиуса последней устойчивой орбиты частицы падают по спирали на тяготеющий центр с сохранением момента количества движения. В лабораторных экспериментах наличие жестких стенок в течениях с падающим наружу моментом количества движения приводит (с учетом конечной вязкости) к возникновению нового, стационарного течения, которое представляет собой тороидальные вихри Тэйлора (1923). В общем случае наличие жестких границ в лабораторных экспериментах и отсутствие таковых в большинстве астрофизических задач приводит к принципиально разным результатам в задачах устойчивости аксиально-симметричных течений. Поэтому не всегда имеет смысл обобщать результаты, полученные в лаборатории (см. напр. Джи и др., 2006), на задачи астрофизики.
Наиболее адекватным в данной ситуации явилось изучение устойчивости аксиально-симметричных течений относительно неосесимметричных возмущений. Пионерские работы в этом направлении были прежде всего выполнены Папалойзу и Принглом (1984, 1985, 1987), которые показали, что тороидальное течение идеальной жидкости со свободными границами в ньютоновском гравитационном потенциале неустойчиво относительно возмущений указанного типа. Этот результат послужил стимулом к дальнейшему исследованию обнаруженной неустойчивости. В большинстве работ авторы ограничивались решением линейной задачи без учета вязкости. В различных приближениях либо рассматривалось поведение так называемых нормальных мод возмущений, которые в силу стационарности основного потока имеют экспоненциальную зависимость от времени, либо решалась задача с произвольными начальными возмущениями.
Так, например, Блаэс и Глатзел (1986) рассмотрели простейшую модель цилиндрического (т.е. с пренебрежением зависимостью от вертикальной координаты) изомоментного течения несжимаемой жидкости со свободными границами и получили инкременты для нормальных мод, сравнимые по величине с кеплеровской частотой. В работе Голдрайха и др. (1986) было показано, что длинноволновые нормальные моды в тонком торе со свободными границами и степенным профилем вращения О, ос r q растут как в случае сжимаемой, так и в случае несжимаемой жидкости, причем задача эквивалентна узкому цилиндрическому течению с заменой трехмерного индекса политропы п на двумерный N — п + 1/2. Кроме того, оказалось, что тонкий сжимаемый тор становится устойчивым при q л/3. Приближение цилиндрического течения несжимаемой жидкости использовалось Ярошинским (1988) и Секийей и Мийамой (1988). Последние получили аналитическое выражение для инкремента возмущений в случае узкого зазора. Наконец, Глатзел (1987а), также пренебрегая вертикальной структурой потока, изучил неустойчивость относительно нормальных мод течения сжимаемой жидкости произвольной протяженности в радиальном направлении. Здесь стоит упомянуть и работу Хаиавы (1987b), в которой было рассмотрено такое же течение, но с жесткими границами и квазикеплеровским законом вращения. После указанных исследований стало ПОНЯТБЮ, что поток жидкости, вращающийся вокруг тяготеющего центра и обладающий свободными границами, способен вызвать рост поверхностных волн, для которых не важна сжимаемость, и звуковых колебаний, взаимодействующих с помощью резонансного механизма на радиусе коротации, где фазовая скорость моды возмущения равна скорости вращения основного потока (см. по этому поводу, напр., Голдрайх и Нараян, 1985; Нараян и др., 1987; Глатзел, 1987b, 1988; Друри, 1980, 1985; Като, 1987). Численный расчет нормальных мод в тороидальном течении произвольного размера с положительным градиентом углового момента был проведен Коджимой (1989) и подтвердил предыдущие результаты, одновременно показав, что учет вертикальных движений в возмущенном течении незначительно влияет на поведение инкрементов. Это в свою очередь оправдало упрощенный двумерный подход к решению задачи на собственные значения в случаях, когда угловая скорость вращения основного потока зависит только от г (см. обсуждение в статье Коджимы). Наконец, исследование неосесимметричных мод на нелинейной стадии было выполнено Зуреком и Бенцом (1986), которые показали, что в результате роста возмущений изначально изомоментное течение после перераспределения углового момента переходит в течение с усредненным законом вращения ос г-1-75, а также Хаули (1987, 1990), обнаружившим, что тонкий тор в результате нелинейной эволюции нормальных мод превращается в конфигурацию, состоящую из нескольких слабо связанных уплотнений ("планет"), число которых равно азимутальному числу т начального возмущения (см. также Гудман и др., 1987). В более поздней работе Хаули (1991) рассмотрел трехмерные неосесимметричные возмущения в протяженном толстом торе и получил, что в этом случае образуется сильная спиральная волна давления, возбуждающая аккрецию. В ряде других работ изучалось влияние радиальной составляющей скорости (что для идеальной жидкости возможно, когда внутренняя граница диска находится на уровне последней устойчивой орбиты в метрике Шварцшильда) на рост неосесимметричных возмущений (см. Блаэс 1987; Гэт и Ливио, 1992). В них обсуждалось, что в данном случае возможна самоподдержка аккреции: неосесимметричные моды порождают аккрецию, которая в свою очередь сдерживает их рост, что приводит к некоей стационарной картине радиального движения вещества.
Граничные условия и регулярность решения в граничных точках
В упомянутых до сих пор работах поток жидкости считался истинно баротропным, т.е. подразумевалось, что как в невозмущеином, так и в возмущенном течении выполняется одна и та же связь между давлением и плотностью р(р). Однако в реальных условиях возможно существенное влияние стратификации среды, когда в результате нагрева или охлаждения вещества может появиться крупномасштабный градиент энтропии.
Говоря об опубликованных в астрофизической литературе исследованиях по неустойчивости стратифицированного течения относительно неосесимметричных возмущений, стоит упомянуть, например, работу Франка и Робертсона (1988), где рассматривалась неустойчивость торов в задаче со случайными начальными возмущениями, и работу Коджимы и др. (1989), в которой изучались как тороидальные, так и цилиндрические течения. Заметим, что в обоих случаях были получены схожие результаты, а трехмерные растущие моды возмущений в тороидальном потоке оказались слабо зависящими от вертикальной координаты. Сами авторы, как и в работе Коджимы (1989), объяснили это тем, что, когда угловая скорость вращения зависит только от радиального направления, напряжения Рейнольдса, ответственные за передачу энергии от основного потока к возмущениям, не содержат вертикальной компоненты возмущения скорости. Далее, Глатзел (1990) рассмотрел неустойчивость цилиндрического и плоско-параллельного течений в приближении малой величины сдвигового слоя. Для того, чтобы исключить растущие звуковые и поверхностные гравитационные моды, он считал жидкость несжимаемой, а границы жесткими, задавая при этом профиль переменной плотности. Полученная неустойчивость трактовалась им как результат усиления внутренних гравитационных мод, всегда существующих в неоднородном потоке. Несколько позже Гош и Абрамович (1991) рассмотрели цилиндрическое течение, состоящее из двух жидкостей разной плотности, расположенных так, чтобы основной поток был устойчив по Рэлею-Тейлору. Помимо модифицированной ветви растущей поверхностной гравитационной моды, появляющейся из-за наличия свободных границ (Блаэс и Глатзел, 1986), была обнаружена ветвь неустойчивости, связанная именно с разрывами плотности в нсвозмущенной конфигурации. Эта неустойчивость вызвана растущей внутренней гравитационной модой, которая, однако, аналогична растущей поверхностной моде, т.к. поверхность раздела двух жидкостей отличается от свободной поверхности лишь конечным отношением плотностей. Говоря о более поздних публикациях, нельзя не упомянуть о результатах Лавлейса и др. (1999) и Ли и др. (2000). В этих работах в двумерном приближении была рассмотрена устойчивость тонких кеплеровских дисков с локальным максимумом энтропии. В частности, для локальных растущих неосесимметричных возмущений было получено дисперсионное соотношение, схожее с дисперсионным соотношением для волн Россби. Кроме того, Клар и Бодеихаймер (2003) исследовали неустойчивость кеплеровских дисков с энтропией, падающей на периферию.
В задачах об устойчивости стратифицированных течений фундаментальную роль играет критерий Ричардсона. Изначально он был получен для плоско-параллельных течений (см., напр. Ховард, 1961). В этом случае для устойчивости потока относительно бесконечно малых возмущений достаточно, чтобы везде в потоке число Ричардсона Ri было больше 1/4. Обобщение же критерия Ричардсона на случай аксиально-симметричного бароклинного течения, когда угловая скорость вращения зависит как от радиальной, так и от вертикальной координаты, было получено Фуджимото (1987) в приближении несжимаемой жидкости и Ханавой (1987а) с учетом сжимаемости.
Упомянем здесь о еще одном критерии устойчивости, относящемся к вращательным течениям со стратификацией. Речь идет о критерии Хейланда (см., напр., Тассуль, 1982), который говорит об устойчивости относительно малых возмущений с осевой симметрией. Для двумерных течений без вертикальной структуры он является обобщением критерия Рэлея и отражает факт совместного стабилизирующего действия момента вращения, растущего на периферию и растущей против направления эффективной силы тяжести энтропии.
Отдельным важным вопросом является причина возникновения неустойчивости относительно обсуждаемых нсосесимметричных мод возмущений. Наглядная физическая интерпретация механизмов усиления малых колебаний позволяет получить общую картину роста возмущений, а также может помочь в поиске новых типов неустойчивостей (Степанянц и Фабрикант, 1996). В основе передачи энергии от основного течения к возмущениям (или, наоборот, что соответствует затухающим колебаниям) лежат два механизма. Прежде всего это аналог механизма затухания Ландау (см. Ландау и Лифшиц, 2003), широко известного в физике плазмы. В его основе лежит резонансное взаимодействие какой-либо глобальной моды возмущения с исходным течением в т.н. критическом слое, где фазовая скорость волны возмущения равна скорости потока. Данный механизм действует в течениях разной геометрии (например, и в плоско-параллельных, и во вращательных движениях). Необходимым условием для него является отличная от нуля производная завихренности основного потока в критическом слое (который для вращательных течений также называется радиусом коротации), что позволяет моде возмущения забирать или отдавать энергию основному потоку. Завихренность непостоянна вдоль течения, когда существует радиальный градиент удельного углового момента.
Граничные условия, регулярность решения в граничных точках и профиль энтропии
Однако хорошо известно, что, к примеру, изомоментное течение жидкости со свободными границами неустойчиво относительно поверхностных гравитационных мод (см. ссылки, данные выше). В этом случае первый механизм не может работать, т.к. завихренность основного течения просто равна нулю. Глатзел (1987b) со ссылкой па оригинальную работу Кейрнса (1979) выделил в отдельный способ возникновения неустойчивости резонансное взаимодействие мод с энергией разного знака (об определении энергии мод малых возмущений в сдвиговых потоках см. работы Фридмана и Шутца, 1978а,Ь). Поток энергии от моды, обладающей отрицательной энергией, к моде с положительной энергией вызывает рост амплитуд у обеих мод. С помощью данного механизма удалось объяснить полученные в численном расчете зоны неустойчивости изомоментного течения как несжимаемой, так и сжимаемой жидкости. Оказалось, что на графике зависимости фазовой скорости мод от радиальной протяженности течения ветви первоначально нейтральных колебаний при совпадении фазовых скоростей превращаются в затухающее и растущее возмущение. Это имеет место и для поверхностных гравитационных мод, которые остаются в пределе бесконечно большой скорости звука, и для звуковых мод. В трактовке Глатзела все моды делятся на два сорта, принадлежат двум разным границам и имеют либо положительную, либо отрицательную энергию. Когда при некоторой ширине зазора фазовые скорости разных ветвей, а значит, и коротационные области почти совпадают, происходит так называемое спаривание мод и возникает неустойчивость резонансного характера.
Обсуждаемый механизм был наиболее подробно рассмотрен в работе Глатзела (1988), посвященной неустойчивости сдвигового слоя сжимаемой жидкости с постоянной завихренностью, находящегося между двумя полубесконечными потоками, обладающими различными постоянными скоростями. В пределе бесконечно узкой толщины сдвига получаем течение с разрывом скорости, которое абсолютно неустойчиво по Кельвину. Глатзел рассмотрел влияние сжимаемости и перепада плотностей на краях сдвигового слоя на общую картину неустойчивости. По величине перепада плотности были рассмотрены три варианта: плотность вне слоя сдвига очень велика, что соответствовало жестким граничным условиям; плотность вне слоя сдвига равна нулю, что соответствовало свободным граничным условиям; наконец, отношение плотностей порядка единицы. Последний случай разрешает распространение звуковых волн и соответственно уход или приход энергии с бесконечности. Автор показал, что в этом случае звуковые моды, отвечающие вдалеке от сдвигового слоя убегающим па бесконечность волнам, имеют положительную энергию и, поскольку теряют ее на излучение, то затухают. С другой стороны, моды типа Кельвина-Гельмгольца, остающиеся в пределе несжимаемой жидкости, оказываются растущими, т.к. имеют отрицательную энергию. Автор также проводит сравнение рассмотренного плоскопараллельного течения с аксиально-симметричным изомоментным потоком. Действительно, карты фазовых скоростей звуковых и КГ- мод в первом случае качественно совпадают с аналогичными зависимостями для звуковых и поверхностных гравитационных мод во втором случае.
В случае, когда задача усложняется наличием градиента энтропии или магнитного поля (см. Гош и Абрамович, 1991; Глатзел, 1990, 1991; Коджима и др., 1989; Огилви и Прингл, 1996; Рюдигер и Зан, 2001), появляются новые виды колебаний с энергией разного знака, которые могут также порождать новые зоны неустойчивостей. При появлении градиента углового момента начинает работать механизм резонансного взаимодействия с потоком, и моды колебаний, даже вдалеке от областей спаривания, становятся затухающими или растущими. Таким образом, в общем случае картина неустойчивости определяется совместным действием 6бшх механйзмовТ Кроме того, нарастание колебаний с отрицательной энергией вне зон спаривания могут обеспечивать и другие механизмы, отбирающие у них энергию. Это может быть, к примеру, вязкая диссипация или излучательная неустойчивость (Степаняиц и Фабрикант, 1996).
Наконец, упомянем о еще одном механизме, усиливающем возмущения, - механизме сверхотражения. С данным явлением приходится сталкиваться в задачах, где рассматривается распространение волн в сдвиговых потоках. Сверхотражение от областей со сдвиговым течением может происходить с волнами самой различной природы, например, со звуковыми волнами на сверхзвуковом разрыве скорости (Майлс, 1957; Рибнер, 1957), либо при взаимодействии со струей с переменной завихренностью (Андронов и Фабрикант, 1980), или с внутренними гравитационными волнами в аналогичной ситуации (Маккензи, 1972; Линдзен и Баркер, 1985; Троицкая и Фабрикант, 1987). В приложении к астрофизическим дискам в двумерном подходе в некоторых работах в WKB-приближении изучалось сверхотражение от запрещенной для распространения коротковолновых мод области течения вблизи радиуса коротации (см. Марк, 1976; Голдрайх и Нараян, 1985; Нараян и др., 1987). Сверхотражение естественным образом объясняется либо резонансным взаимодействием с потоком, либо в рамках концепции волн с отрицательной энергией. Так, в последних упомянутых работах было показано, что при определенных условиях с разных сторон от точки коротации коротковолновые моды могут иметь положительную и отрицательную энергию. Тогда волна, например, с положительной энергией, распространяющаяся по радиальной координате, достигает запрещенной области и делится на отраженную и прошедшую волну. Поскольку прошедшая волна обладает отрицательной энергией, то в отраженной волне амплитуда увеличивается по сравнению с амплитудой первоначально падавшей волны. Коэффициент усиления пропорционален вероятности туннелирования через запрещенную область. Если со стороны падающей волны наложить граничное условие полного отражения (например, равенство нулю радиальной компоненты возмущения скорости, т.е. жесткую границу или равенство нулю возмущения" давления т.е. ""свободную "границу), то в "получившемся" резонаторе WKB-моды будут расти. Однако данный механизм работает только для звуковых колебаний, поскольку в выражение для вероятности подбарьерного перехода входит скорость звука, и, когда последняя стремится к бесконечности, что соответствует пределу несжимаемой жидкости, подбарьерный переход невозможен. Заметим, кроме того, что если скорость звука стремится к нулю, то достигается тот же результат, т.е. сверхотражение (как, впрочем, и распространение самих звуковых волн) становится невозможным.
