Содержание к диссертации
Введение
1 Спокойный переходный слой 27
1.1 Вычисление зависимости температуры от толщи вещества 27
1.2 Применимость столкновительного приближения
1.2.1 Толщина переходного слоя 34
1.2.2 Потоки тепла в переходном слое
1.3 Исследование устойчивости решения 37
1.4 Излучение равновесного переходного слоя 45
1.5 Поток энергии тепловых убегающих электронов 47
1.6 Выводы по главе 1 51
2 Течения плазмы в переходном слое 53
2.1 Аналитические зависимости концентрации, давления и скорости от температуры 54
2.1.1 Вывод зависимостей 54
2.1.2 Физический смысл критической температуры
2.2 Зависимость температуры от толщи вещества 65
2.3 Сравнение с наблюдательными данными 68
2.4 Выводы по главе 2 70
3 Влияние гравитации на переходный слой 72
3.1 Решение системы уравнений 73
3.1.1 Преобразование системы 73
3.1.2 Семейство решений и граничные условия 77
3.2 Распределения параметров плазмы вдоль магнитной трубки 80
3.2.1 Распределение температур 80
3.2.2 Скорость течения плазмы и критическая температура
3.2.3 Потоки энергии в переходном слое 86
3.2.4 Вклад членов закона сохранения энергии 91
3.2.5 Применимость столкновительного приближения
3.3 Сравнение с данными спутниковых наблюдений 94
3.4 Выводы по главе 3 96
Заключение 98
Приложение 1. Разрешение полной системы уравнений
относительно производных 102
Список литературы
- Толщина переходного слоя
- Излучение равновесного переходного слоя
- Зависимость температуры от толщи вещества
- Распределения параметров плазмы вдоль магнитной трубки
Толщина переходного слоя
Первая глава посвящена рассмотрению магнитной трубки, в которой отсутствуют потоки плазмы, а дивергенция теплового потока уравновешивается потерями энергии на излучение. В разделе 1.1 решается уравнение баланса нагрева плазмы переходного слоя потоком и охлаждения излучением. Рассматривается два предельных случая зависимости концентрации от температуры, соответствующие двум режимам нагрева плазмы: быстрому (импульсному) и медленному (стационарному). Зависимость потерь энергии на излучение от температуры берется из расчетов [45], выполненных с использованием базы атомных данных и программ CHIANTI (версия 5.2). Температурная зависимость потоков тепла, следуя классической работе [10], получена аналитически. Зависимость температуры от толщи вещества найдена путем численного интегрирования полученной зависимости потоков тепла от температуры с учетом граничных условий. Вне зависимости от режима нагрева плазма разделяется на высоко- и низкотемпературную. В разделе 1.2 показана применимость столкновительного приближения [46, 47]. Раздел 1.3 посвящен исследованию устойчивости полученного температурного профиля. Использована линейная теория тепловой неустойчивости [48]. Показано, что для температур, больших 105 К, найденное нами распределение температуры в переходном слое формируется в результате конденсационной моды, то есть является устойчивым следствием тепловой неустойчивости в режиме конденсационной моды. Здесь же показано, что для температур, меньших 3 104 К, нельзя использовать приближение оптически прозрачной среды. В разделе 1.4 произведено сравнение излучения равновесного переходного слоя с данными спутниковых наблюдений. Показано, что расчеты, сделанные в столкновительном приближении, подтверждаются наблюдениями, а режим нагрева переходного слоя ближе к случаю медленного нагрева, при котором успевает сравняться давление. Раздел 1.5 посвящен обсуждению роли потока быстрых электронов в спокойном переходном слое на Солнце. Показано, что для гипотетического профиля температур, для которого классический тепловой поток совпадает с верхней оценкой потока энергии быстрых электронов, наблюдался бы дефицит излучения по сравнению с современными спутниковыми наблюдениями.
Вторая глава работы посвящена решению задачи о влиянии наличия потока плазмы на баланс энергии в магнитной трубке. Рассматривается горизонтально расположенная трубка. В этом случае гравитация действует перпендикулярно магнитной трубке, следовательно, не влияет на движение плазмы внутри трубки. Это позволяет отделить влияние течения плазмы на физические условия в магнитной трубке от влияния гравитации. Влияние гравитации на поведение плазмы в магнитной трубке рассмотрено в третьей главе. В разделе 2.1 для случая горизонтально расположенной трубки получены аналитические зависимости концентрации, давления и скорости от температуры. Показано, что при стремлении скорости плазмы на нижней границе переходного слоя к нулю полученные решения плавно переходят в решения, полученные в первой главе. Следуя статье [49], введена критическая температура Tcr. Показано, что Tcr имеет смысл температуры, при которой скорость плазмы сравнивается со скоростью звука. Выделены четыре диапазона скоростей плазмы на нижней границе переходного слоя, для которых поведение плазмы внутри переходного слоя будет различным. Случай спокойного переходного слоя – диапазон I: скорость плазмы меньше скорости звука в переходном слое, в нем практически нет отклонений давления и концентрации от их значений в отсутствии потока плазмы, режим нагрева таков, что давление вдоль трубки практически постоянно. В диапазонах II и III возможно возбуждение ударных волн в переходном слое: скорость течения плазмы достигает скорости звука в переходном слое. В II скорость плазмы на нижней границе переходного слоя меньше скорости звука, в III – больше. Решения, полученные в случаях II и III, можно “сшить” в точке Tcr и интерпретировать полученное решение как закрытую магнитную трубку, основания которой находятся в хромосфере, а вершина – при температуре Tcr. Для диапазона IV режим нагрева близок к режиму, когда концентрация постоянна. В разделе 2.2 получены зависимости температуры от толщи вещества в переходном слое в случае присутствия в трубке потока плазмы. Раздел 2.3 посвящен сравнению излучения из переходного слоя для рассчитанных температурных зависимостей с данными наблюдений. Наблюдения отражают среднюю скорость плазмы на Солнце. Поэтому наблюдаемая дифференциальная мера эмиссии не может быть отождествлена с конкретной скоростью плазмы внутри отдельной магнитной трубки. Вычисленная для реально присутствующих на Солнце скоростей дифференциальная мера эмиссии должна лежать в той же области графика, что и наблюдения. В нашем случае мы имеем хорошее соответствие с наблюдениями для скоростей плазмы на нижней границе переходного слоя, принадлежащих диапазону I.
В третьей главе изучается влияние гравитации на поведение плазмы внутри магнитной трубки. Рассматривается случай вертикально расположенной магнитной трубки. В разделе 3.1 производится преобразование полной системы уравнений к виду, удобному для численного счета: уравнения приведены к безразмерному виду и разрешены относительно производных. Приведена зависимость коэффициентов обезразмеривания от скорости потока плазмы на нижней границе переходного слоя. Обсуждаются используемые граничные условия и приводится семейство решений системы уравнений. Раздел 3.2 посвящен результатам расчета. Отдельно рассмотрено влияние гравитации на распределение температур в трубке, на зависимости скорости течения вещества от температуры. Показано, что диапазон скоростей плазмы на нижней границе переходного слоя, при которых в переходном слое не будет ударных волн, в случае вертикально расположенной магнитной трубки становится существенно уже, чем в случае горизонтальной магнитной трубки; также соответствующий диапазон перестает быть симметричным: смещается в сторону скоростей, направленных в корону.
Излучение равновесного переходного слоя
Характерные значения толщи плазмы (1.3) на равновесном профиле температуры в двух предельных случаях: р = const - нижняя кривая, п = const -тонкая кривая над ней. Масштабы возмущений конденсационного сс и звукового cw типов, стабилизируемые теплопроводностью (см. (29) и (30)), а также масштабы возмущений, обладающих наибольшей скоростью роста тс (см. (31)). Показаны два предельных случая: р = const (нижняя кривая) и п = const (верхняя кривая). Заметим, что кривая 8(Т) при р = const в области температур 3 х 104 Т 105 K лежит ниже кривой сс, которая соответствует границе области конденсационной моды тепловой неустойчивости. Следовательно, при этих температурах переходный слой заведомо устойчив относительно конденсационной моды. Что касается волновой и изохо-рической мод тепловой неустойчивости, то они, как это видно из рис. 3, в этой области температур вообще не возбуждаются.
В области температур Т 105 K кривая сс, являющаяся границей области конденсационной моды и по этой причине соответствующая нулевой скорости ее нарастания, в пределах точности наших расчетов (и тем более в пределах точности расчетов CHIANTI, имея в виду неопределенности в обилии элементов и т.п.), практически повторяет кривую 8(Т) при р =const. Это означает, что найденное нами распределение температуры Т() в переходном слое формируется в результате конденсационной моды, т.е. является устойчивым следствием тепловой неустойчивости в режиме конденсационной моды. В процессе тепловой неустойчивости толщина переходного слоя уменьшается до тех пор, пока неустойчивость не окажется стабилизированной за счет электронной теплопроводности. Действительно, малые возмущения в масштабах меньших 8(Т) "замываются" теплопроводностью. А возмущения в масштабах больших 8(Т) развиваются так, что толщина переходного слоя стремится к минимальной, при которой скорость нарастания возмущений обращается в ноль в результате теплопроводного нагрева.
Волновая и изохорическая моды тепловой неустойчивости в области температур Т 105 K, вообще говоря, могут возбуждаться. Это следует из рис. 3. Однако они имеют более высокую по толще границу неустойчивости не только относительно кривой р = const на рис. 7, но даже и относительно более высокой кривой п = const. Заметим также, что в случае спокойного переходного слоя между хромосферой и короной, в отличие от солнечных вспышек, хорошо реализуется приближение р = const, т.е. при всех температурах внутри переходного слоя успевает выровняться газовое давление.
Единственным подозрительным на первый взгляд местом является расположенная в основании переходного слоя область низких температур Т 2 х 104 K. Здесь кажется значимым пересечение кривой S{T) с границей области неустойчивости сс. Заметим, однако, что последняя рассчитана в приближении оптически прозрачной среды, поскольку при вычислении функции потери энергии на излучение от температуры L = L(T) возможная непрозрачность среды не учитывается [53]. Проверим применимость этого приближения при температуре Т = 2 х 104 K. Оценим оптическую толщу т при этой температуре г S min О"(2 X 10 К). (33)
Здесь 6min - минимальный масштаб возмущения, при котором полученный в разделе 2 равновесный профиль температур еще устойчив, т.е. минимум кривой сс, а т(2 х 104К) - сечение поглощения.
Оценим сечение поглощения т(2 х 104 К) в линии La водорода, которая дает главный вклад в функцию L(T) при этой температуре, наиболее простым способом [59]. Пусть v - частота перехода между атомными уровнями і и к, щ - населенность уровня і, ді - его статистический вес, f\k - сила осциллятора, ше и е - масса и заряд электрона, соответственно. Тогда коэффициент Эйнштейна для спонтанного перехода
Зависимость температуры от толщи вещества
Заметим, что решения, полученные для случаев II и III (сплошная и штрихпунктирная линия на рис. 13), можно сшить в точке Тсг и интерпретировать полученное решение как закрытую магнитную трубку, в основаниях которой температура равна То, а в вершине -Тсг. В качестве иллюстрации cм. рис. 14(b). Здесь толстые стрелки показывают направление течения и относительную величину скорости плазмы: плазма втекает в трубку со скоростью меньше скорости звука (сечение A) и достигает скорости звука в вершине (B) при температуре Тсг. После прохождения вершины скорость плазмы продолжает увеличиваться, тогда как температура уменьшается и достигает То в основании (С).
Для случая v = 0, д = 0 решение приведено в главе 1. В случае v ф 0, д = 0 зависимости п(Т), р{Т), v(T) получены из уравнений (1), (2) и (4) аналитически в разделе 2.1, см. (48). Распределение температуры вдоль магнитной трубки рассчитываем, численно интегрируя уравнение (3), переписанное в виде:
Результат решения этого уравнения с учетом (48) и граничных условий (5) показан на рис. 15. Полученные профили температур приведены для различных величин и направлений VQ. Напомним, что ось х и, соответственно, ось направлены из короны в хромосферу, поэтому положительными считаются скорости, соответствующие течению плазмы, направленному из короны в хромосферу. Т/Т0 100 10 1
На рис. 16 приведены суммарные потоки энергии для различных VQ. Как и следовало ожидать, течение плазмы из короны в хромосфе ру “помогает” распространению тепла из короны в переходный слой – хромосфера прогревается значительно глубже, чем в случае с отсутствием потока плазмы. На рис. 16 видно увеличение суммарного потока энергии: к теплопроводному потоку тепла добавляется поток энергии, переносимый потоком плазмы из короны в хромосферу. Напротив, течение плазмы из хромосферы в корону препятствует распространению тепла. Часть тепловой энергии возвращается к корону вместе с потоком плазмы.
Зависимость потоков энергии от температуры для различных значений скорости потока плазмы на нижней границе переходного слоя для случая g = 0. F0 = 460 эрг c-1 см-2 . Проверка условий применимости столкновительного приближения (19, 20) показывает, что условия применимости классической тео-67 рии теплопроводности [46, 47] выполняются только для случая г о 285 км/с. Для г о 285 км/с классический тепловой поток превышает аномальный, в этом случае в законе сохранения энергии необходимо использовать модифицированный коэффициент теплопроводности (см., например, [64]).
Для того, чтобы сравнить излучение плазмы, для которой нами рассчитаны распределения температуры по толще вещества, с наблюдениями излучения Солнца в линиях переходного слоя, вычислим дифференциальную меру эмиссии dT Здесь x - протяженность излучающей области вдоль луча зрения, dl - элемент длины вдоль луча зрения.
На рис. 17 приведено сравнение результатов вычислений DEM = DEM(T) для спокойного переходного слоя (г о Є I) для случая д = О с данными наблюдений, полученных Ланди и др. [24] для различных эмиссионных линий на основе данных инструмента SUMER [23] на космическом аппарате SOHO.
Каждый прямоугольничек на рис. 17 соответствует усредненной по всему диску спокойного Солнца дифференциальной мере эмиссии для спектральной линии, возбуждаемой на данной температуре. Наблюдения отражают только среднюю скорость плазмы на Солнце. Поэтому наблюдаемая дифференциальная мера эмиссии не может быть 0.15 0.25 0.
Зависимость дифференциальной меры эмиссии от температуры для различных значений скорости потока плазмы на нижней границе переходного слоя для случая g = 0. Прямоугольнички соответствуют излучению в УФ линиях, наблюдения SUMER/SOHO [24]. отождествлена с конкретной скоростью плазмы внутри отдельной магнитной трубки (см. также рассуждения в конце раздела 3.5). Вычисленная для реально присутствующих на Солнце скоростей DEM(T) должна лежать в той же области графика, что и наблюдения. В нашем случае мы имеем хорошее соответствие с наблюдениями для скоростей плазмы на нижней границе переходного слоя, принадлежащих диапазону I. 2.4 Выводы по главе 2
Для различных скоростей потока плазмы, задаваемых на нижней границе переходного слоя, получены зависимости плотности и давления плазмы, а также её скорости от температуры в магнитной трубке, один конец которой опущен в хромосферу, а другой находится в короне. Найдено стационарное распределение температуры вдоль магнитной трубки. В каждой точке распределения имеет место баланс между нагревом классическим тепловым потоком, потерями энергии на излучение оптически прозрачной плазмы и переносом энергии, связанным с потоком плазмы. Нагрев хромосферы осуществляется потоками энергии из конвективной зоны.
Диапазон скоростей, для которого выполняются условия применимости классического столкновительного приближения (б), включает в себя весь диапазон (в) и почти весь диапазон (а). Из полученных результатов видно, что даже при наличии потоков плазмы геометрически тонкий спокойный переходный слой между короной и хромосферой Солнца следует рассматривать в столкновительном приближении.
Распределения параметров плазмы вдоль магнитной трубки
На рис. 24 изображена зависимость Tcr от v0. Для горизонтально расположенной трубки она обозначена буквой “a”. Буквами “b” и “c” обозначены Tcr(v0) для вертикально расположенной трубки при n0 = 1011 см-3 и n0 = 1010 см-3, соответственно. Видно, что в зависимости от условий на нижней границе переходного слоя критическая темпера Tcr/T0
Зависимость критической температуры от скорости плазмы на нижней границе переходного слоя. Буквой “a” обозначена зависимость Tcr(vo) для д = 0. Буквами “b” и “c” - зависимости Tcr(vo) для д = gQ при щ = 1011 см-3 и щ = 1010 см-3, соответственно. тура может быть достигнута как в переходном слое, так и в короне. Это позволяет выделить диапазон скоростей плазмы на нижней границе переходного слоя, для которого скорость течения плазмы не достигает скорости звука в переходном слое и, следовательно, в переходном слое нет ударных волн. Для граничных концентраций, соответствующих переходному слою, диапазон скоростей плазмы, для которого v меньше скорости звука внутри переходного слоя, оказывается сдвинут относительно 0 и сужается по сравнению со случаем д = 0. Видно, что для щ = 1010 см-3 такой диапазон практически отсутствует. Найдены следующие диапазоны скоростей: для щ = 1010 см-3 имеем г о 1 cм/с, для концентрации щ = 5х1010 см-3 г о Є [—0.282,0.025] км/с, для щ = 1011 см-3 граничная скорость лежит в диапазоне [—0.322,0.048] км/с. Для наглядности полученные в случаях д = 0 и д = gQ диапазоны изображены на рис. 25.
Диапазоны скоростей плазмы на нижней границе переходного слоя. Буквой a) обозначен диапазон для д = 0. Буквами b), c) обозначены диапазоны полученные в случае д = д для концентраций щ равных 1011 и 1010 см-3, соответственно. Римскими цифрами отмечены следующие диапазоны: I. Тcr Тup в переходном слое - спокойный переходный слой; везде в переходном слое); II. Тcr Тup в переходном слое - возможно возбуждение ударных волн.
На рисунке 26 изображены рассчитанные зависимости потоков энергии в переходном слое от температуры для случая д = д, щ = 1010 см-3, vo = ±0.015 км/с. Здесь Fc - тепловой поток, Fv обозначен поток энергии, переносимый с течением плазмы, Fsum - это суммарный поток энергии Fsum = Fc + Fv. Рассмотрим зависимость теплового потока от температуры. Для VQ 0 тепловой поток Fc растет и ускоряет свой рост по мере приближения к верхней границе пе "sum
Температурное распределение потока энергии, переносимого теплопроводностью, потока энергии, переносимого течением плазмы, и суммарного потока энергии для д = gQ, По = Ю10 см-3, VQ = ±0.015 км/с. реходного слоя, а для г о, больших нуля, Fc имеет максимум.
Такое поведение Fc легко объяснить, исходя из закона сохранения энергии (3). В терминах толщи вещества (3) записывается следующим образом: dFsum/d = —(L — L(To))n + gQiriiV. Значение — (L — L(To))n в верхней части переходного слоя (для Т 105К) отрицательно и с ростом температуры приближается к 01. Скорость v с ростом температуры увеличивается по модулю (рис. 23). Следовательно, для достаточно больших положительных скоростей производная FSum по из отрицательной становиться положительной, см. схематический рис. 27. Это означает, что зависимость FSMTO( ), а, следовательно, и Fsum(T), имеет перегиб. Поток тепла Fc для положительных скоростей плазмы равен Fsum — \FV\. Так как \FV\ монотонно растет на которых изображены зависимости L(T) и n(T). с увеличением Т, то Fc так же, как и FSMTO, будет иметь максимум. В случае v О, производная Fsum по остается отрицательной, и, следовательно, FSMTO уменьшается с ростом , что соответствует увеличению FSMTO c ростом температуры1. Тогда Fc, равный в этом случае FSum + \FV\, растет тем быстрее, чем больше Т.
Зависимости потока тепла от температуры для различных скоростей на нижней границе переходного слоя и концентраций щ = 1010 см-3, щ = 1011 см-3 изображены на рисунках 28 и 29, соответственно. Скорости г о обозначены цифрами около кривых.
Рассмотрим рисунок 29. Видно, что для достаточно больших течений плазмы, направленных из короны в хромосферу, тепловой поток проходит через максимум, после чего опускается до 0. Для VQ = -Uo2 = 0.145 км/с ноль теплового потока достигается на температуре Т = 106 K, а для г о = 0.047 км/с - на температуре Т = Тир = 2 х 106 K. Ноль теплового потока соответствует максимуму графика Т(). Для скоростей г о 0.047 км/с максимум находится внутри переходного слоя, следовательно, температура не достигает Тир. Поэтому для таких скоростей наша модель не описывает спокойный переходный слой. Если мы хотим воспроизвести условия в переходном слое для соответствующих граничных условий, необходимо добавить в модель дополнительный источник нагрева. На рисунке 24 для кривых b и c пунктиром изображены зависимости температуры, на которой достигается максимум Т(), от скорости плазмы на нижней границе переходного слоя.