Содержание к диссертации
Введение
Глава I. Уравнение крупномасштабного (среднего) поля и средней спиральности в турбулентном потоке
I.Турбулентное динамо средних полей при наличии крупномасштабной скорости. 19
A) Гауссова турбулентность и магнитная вязкость, зависящая от координат 20
Б) Негауссова турбулентность 26
B) Электродинамика средних полей при наличии крупномасштабных течений и спиральной турбулен тности . 29
2. Динамика средней турбулентной спиральности в магнитном поле. 34
А) Уравнение для спиральности кинематическое приближение 38
Б) Вывод уравнения для 43
3. Влияние крупномасштабного магнитного поля на вращение звезды. 49
А) Оценка усредненных магнитных натяжений в турбулентном потоке . 51
Б) Система уравнений сферического осесимметричного динамо с обратным влиянием на спиральность. Сравнение с обратным влиянием на дифференциальное вращение 56
Основные результаты главы I. 59
Глава 2. Свойства сферического осесишетричного динамо с кубической нелинейностью 60
I. Линейное сферическое динамо 60
А) Оценка б4
Б) Некоторые свойства сопряженной задачи 65
2. Уравнение динамо с кубической нелинейностью (Одномодовое приближение). 67
A) Установившееся решение при малых 68
Б) Устойчивость периодического режима 73
B) Основной предельный цикл 74
3. Взаимодействие двух мод. 75
А) Синхронизация и биение между дипольной и квадрупольной модами. 77
Б) Модуляция основного цикла слабым квадруполем. 84
В) Эффект автостабилизации фазы в нелинейном динамо. 85
4. Численное исследование случая сильной нелинейности (одномодовое приближение). 89
Основные результаты главы 2 98
Глава 3. Наблюдаемая активность и теория нелинейного динамо 100
I. Нелинейное диномо и солнечный цикл -^1
А) Свойства 11-летнего цикла -
Б) Возможная природа векового цикла -
2. Природа II-летних крутильных колебаний Солнца
А) Свойства неволновой части приращения вращательной скорости
Б) II-летние крутильные колебания Солнца
3. Циклы активности вращающихся звезд поздних спектральных классов 121
A) Перекрывающие источники генерации 124
Б) Неперекрывающиеся источники генерации 126
B) Зависимость периода цикла активности от угловой скорости вращения для звезд данного спектрального класса 127
Г) Влияние нелинейности на период цикла звездной активности. Зависимость величины магнитного поля звезды от угловой скорости вращения при фиксированном спектральном классе. 130
Д) Обсуждение полученных результатов. Сравнение с результатами наблюдений 133
Основные результаты главы 3 138
Заключение 139
Литература 140
- Электродинамика средних полей при наличии крупномасштабных течений и спиральной турбулен тности
- Оценка усредненных магнитных натяжений в турбулентном потоке
- Синхронизация и биение между дипольной и квадрупольной модами.
- Циклы активности вращающихся звезд поздних спектральных классов
Введение к работе
Звезда, например, Солнце представляет собой газовый шар, равновесие которого в первом приближении определяется балансом силы тяготяния и градиента давления. Для многих звезд поздних спектральных классов главной последовательности характерна турбулентная конвекция, развивающаяся в их внешних слоях. Согласно современным представлениям именно в этих конвективных оболочках возбуждаются магнитные поля. Существенную роль в генерации звездного магнитного поля так же играет вращение.
У нормальных звезд вращение и поля слабы и практически не влияют на их общее равновесие. Однако, магнитные поля играют решающую роль в активности звезд. Так, различные проявления солнечной активности - пятна, факелы, флокулы, хромосфер-ные вспышки, протуберанцы и т.д. связаны с магнитным полем Солнца. Хотя детальные механизмы многих проявлений активности пока недостаточно изучены, общепринято, что магнитное поле управляет активностью ( см.,например, Бакулин и др., 1983, Гибсон 1973). Отсюда ясно, что любой серьезный прогноз активности должен основываться на изучении свойств магнитных полей Солнца и звезд. Это делает задачу построения теории звездного (солнечного) магнетизма чрезвычайно актуальной как с чисто научной,так и с практической точки зрения.
Магнетизм звезд, как и других небесных тел, находит свое объяснение в теории гидромагнитного динамо. Согласно этой теории генерация магнитного поля происходит благодаря гидродинамическим движениям космической плазмы. В астрофизических уело- -виях они обычно имеют характер турбулентности с масштабом, - б - существенно меньшим характерных размеров небесного тела.
Типичный пример таких движений - турбулентная конвекция в звездах. На первый взгляд кажется, что турбулентно-конвективные течения могут генерировать поля только масштаба конвективных ячеек или меньших. Такие магнитные поля принято называть мелкомасштабными. Однако, если небесное тело обладает дифференциальным (или твердотельным) вращением, то становится возможной и генерация крупномасштабных магнитных полей. Уравнения, описывающие эволюцию крупномасштабного магнитного поля, получаются из уравнени магнитной гидродинамики путем усреднения последних по турбулентным пульсациям. По физическому смыслу ( но не формально!) эта процедура аналогична переходу от микроскопической электродинамики вакуума к уравнениям магнитной гидродинамики ( Баранов, Краснобаев, 1977). В получающихся усредненных уравнениях источниками генерации служат дифференциальное вращение и (или) спиральность турбулентных движений. Мы полагаем,что именно крупномасштабные магнитные поля управляют звездной активностью в масштабах всей звезды.
Характерная особенность конвективных оболочек звезд - наличие сильного дифференциального вращения на фоне турбулентной конвекции. Поэтому, при выводе уравнения для крупномасштабного поля его следует учитывать. Уравнение динамо среднего поля без крупномасштабной скорости хорошо обосновано как при R ^ ^ I (Штеенбек и Краузе, 1966), так и для Rm :> І (Ванштейн,1970, Ванштейн и Зельдович, 1972, Молчанов и др., 1983). Здесь R^ -магнитное число Рейнольдса. Учет крупномасштабной скорости был сделан в работе Клиорина (1981) в предположении, что магнитная вязкость V^' постоянна, турбулентность гауссова и имеет время корреляции малое по сравнению с характерным временем изменения среднего поля. В главе I дан вывод уравнения динамо со средним течением, в котором указанные предположения несколько ослаблены. Полученное уравнение - основа линейной теории крупномасштабных магнитных полей звезд. Линейная теория применима, когда магнитное поле еще мало, так что его влиянием на движения плазмы можно пренебречь. Достаточно линейного приближения, чтобы понять многие свойства звездного магнетизма. Так, например, стало понятно, каким образом могут возникать периодические поля звезд и, в частности, почему пятна на Солнце возникают периодически. Линейная теория правильно описывает и такие тонкие свойства солнечного магнетизма как широтное распределение солнечных пятен ( т.е. закон Шперера, бабочки Маундера - см.^например, работу Ивановой и Рузмайкина, 1976), сдвиг фаз между радиальной и азимутальной компонентами магнитного поля (согласно теории он составляет Зтг/Ч и слабо зависит от широты) и некоторые другие особенности солнечного цикла. В настоящее время линейное осе-симметричное солнечное динамо есть, с принципиальной точки зрения, завершенный раздел теории. Его состояние подробно изложено в монографиях Моффатта (1978), Паркера (1979), Вайнштейна и др. (1980) и Краузе и Редлера (1981).
При построении линейной теории звездного магнетизма возникают специфические проблемы, связанные с расчетом источников генерации как функции вращения и спектрального класса звезды. Некоторые из этих вопросов будут рассмотрены в гл.З данной диссертации .
Однако, солнечная (звездная) активность есть явление принципиально нелинейное (Рузмайкин, 1983). В качестве проявлений нелинейной природы солнечного цикла укажем ангармоническую зависимость числа солнечных пятен от времени, в том числе вековую модуляцию ( см., например, Витинский, 1973) минимум Маундера (Эдди,1976)., а также, по-видимому, эффект (авто) стабилизации фазы 11-летнего цикла (Гудзенко и Чертопруд, 1966) и крутильные колебания Солнца с II-летним переходом (Хоуорд и Лабонт, 1980, Лабонт и Хоуорд, 1982). Разумеется в отсутсвии нелинейной теории мелкомасштабных магнитных полей построить полную теорию звездной активности невозможно. В настоящее время существуют лишь отдельные фрагменты нелинейной картины звездной активности.
В основе нелинейных эффектов лежит действие квадратичных по полю магнитных сил. Следует ожидать, что в первую очередь действию этих сил подвергнется более слабый источник генерации -спиральность (Вайнштёйн, Зельдович, 1972). Поэтому в большинстве предложенных моделей учитывалось влияние поля только на спиральность с^ (см., например, Ситке, 1972, Иванова и Рузмайкин,1977, Клиорин и Рузмайкин, 1981). Иногда, следуя Лейтону (1969), в уравнения дополнительно вводили нелинейные потери поля, связанные с его плавучестью. Спиральность о( , обычно задавалась из феноменологических соображений в виде некоторой функции поля. Последняя подбиралась так, что Ы (В=0) = 0(^ , где о^ - гидродинамическая спиральность в отсутствии среднего поля (о^в,<^и-'ш*и1-/>). Вопрос о зависимости средней спиральности от крупномасштабного поля подробно рассмотрен в гл.1 2. Оказалось в частности, что практически мгновенно3^ реагирует на поле лишь спиральность
Хотя влияние магнитного поля на спиральность существенно сильнее, чем на дифференциальное вращение, последнее, по-видимому, непосредственно проявляется в виде наблюдаемых II-летних крутильных колебаний Солнца. Анализ многолетних спектроскопических наблюдений солнечного диска показал, что горизонтальные движения на поверхности Солнца имеют характер бегущих крутильных волн (Хоуорд и Лабонт, 1980, Лабонт и Хоуорд ,1982). Период крутильных колебаний составляет около II лет. Амплитуда вариаций вращательной скорости порядка 3-5-6 м/с . В каждом полушарии Солнца существует не менее четырех зон быстрого и медленного вращения. Новая зона появляется вблизи полюса и достигает экватора примерно за 22 года. Наблюдаемые крутильные колебания обладают симметрией относительно оси врщения Солнца (результаты Хоуорда и Лабонта получены путем усреднения данных наблюде-ний по четырем оборотам Солнца. х'3а время оборота ячейки конвекции.
Картина крутильных колебаний развивается в обоих полушариях Солнца приблизительно синхронно. Туоминен и др. (1983), проанализировав гринвичские данные о собственных движениях солнечных пятен подтвердили результаты Хоуорда и Лабонта ( для широт, в которых происходит пятнообразование).
Описанные колебания происходят на фоне общего дифференциального вращения Солнца. Лабонт и Хоуорд (1982) показали, что оно обладает некоторой асимметрией относительно плоскости солнечного экватора: северное полушарие вращается несколько быстрее, чем южное.
Антисимметричная часть угловой скорости сосредоточена у полюсов Солнца. Соответствующий максимальный перепад линейной скорости вращения между симметричными широтами составляет около 2 м/с.
Иошимура (1981) (см. также Шусслер ,1981) предложил рассматривать крутильные колебания Солнца как вынужденные колебания под действием квадратичных по полю магнитных сил. Эти силы порождаются динамо-волной крупномасштабного магнитного поля с периодом 22 года. Лабонт и Хоуорд (1982) подвергли указанное объяснение резкой критике на том основании, что, во-первых, этот механизм должен вызывать сильные вариации амплитуды крутильной волны Ц.0, поскольку магнитные поля усиливаются и ослабляются в ходе цикла. В действительности, величина И0 довольно однородна. Во-вторых, зона пятнообразования, связанная с динамо-волной охватывает область широт ±40, тогда как крутильные колебания отчетливо проявляются вплоть до широт + 75. Эти замечания от- - II - носятся, в действительности, к конкретной модели Иошимуры. В этой модели предполагалось, что поверхности постоянной скорости, по которым движется динамо-волна, близки к 9 е const .Наб людения глобальных колебаний Солнца (Гаф, 1982, Хилл и др.,1982, Дике, 1982) позволяют оценить величину и радиальный профиль диф ференциального вращения Sl\\Q) .По минимальной оценке ЭЛ/Зг a5Io/0,iRo в то время как наблюдаемый поверхностный гра диент- "й5і/09ЇО а 0.ЬЯо/ (К/2 (l0^ . Таким образом, (ВяДаВ^ДЗЯ/аг^^г.Ю""2 , т.е. поверхности 5L = conbt близки к сферам. С другой стороны, Иошимура (1981) в уравнении движения пренебрег градиентом плотности, характерным для конвективной обо лочки Солнца.
В главе 3 будет показано, что крутильные колебания Солнца порождаются магнитной силой и в более реалистичных моделях динамо, чем модель Иошимуры, это вполне согласуется с различным распределением по широте пятнообразования и крутильной волны. Причина в том, что распределение амплитуды крутильной волны пропорционально произведению радиальной и азимутальной компонент поля ч&ч> более однородно, чем распределение поля ,E>q> , порождающего пятна. Существенно и то, что пятна, по-видимому, возникают лишь когда среднее поле превышает некоторое критическое значение.
В главе 3 оценена амплитуда крутильной волны и фазовый сдвиг между активностью и крутильной волной. Полученные результаты находятся в хорошем соответствии с наблюдениями Лабонта и Хоуорда (1982) Ч
Что касается открытой Лабонтом и Хоуордом вековой асимметрии дифференциального вращения Солнца, то ее можно объяснить, если учесть, что на Солнце наряду с основной дипольной модой имеется слабая составляющая поля квадрупольного типа.
Простейший ( и наиболее известный) результат учета нелинейности в динамо - нелинейная стабилизация самовозбуждающихся магнитных полей. В результате получается периодическая ( но не гармоническая) зависимость поля от времени. Реальная картина солнечной активности намного богаче. Поэтому распространена точка зрения, что долгопериодические вариации солнечной активности -результат временных вариаций глобальных свойств конвекции и (или) дифференциального вращения. Магнитное поле лишь пассивно следует зг ними (см., например, Догель и Сыроватский, 1979). Формальное включение и выключение источников генерации, а также формальное введение запаздывания реакции спиральности на поле рассматривались Иошимурой (1978, 1978а, 1979). Указанная точка зрения, %/Отметим, что гипотеза собственных крутильных колебаний Солнца, предложенная Лабонтом и Хоуордом (1982) для объяснения наблюдаемых ими горизонтальных движений, плохо согласуется с теорией крутильных колебаний звезд (см.,например, Кокс,1980,Саио, 1982). Причина в том, что наблюдаемые горизонтальные движения симметричны относительно оси вращения Солнца, в то время как, согласно теории, у осесимметричных мод частота равна нулю. Такие моды описывают вращение звезды, а не колебательный процесс. - ІЗ - однако, плохо согласуется как с физическими принципами, так и с историческими сведениями о Солнце, земном климате и т.п. Достаточно сказать, что длительное изменение солнечной постоянной всего лишь на один процент привело4!? большим климатическим изменениям на Земле, а сведения о заметном изменении дифференциального вращения в эпоху непосредственно предшествующую минимуму Маундера (Эдди и др., 1977) не подтвердились при более тщательном изучении исторических источников (Абрабанелл и Вёль, 1981). Нам кажется более перспективным искать объяснение длительных вариаций активности в .нелинейном динамо. Оказывается (гл.2), что взаимодействие двух мод (дипольной и квадрупольной симметрии) через простейшую нелинейность уже дает вековую модуляцию, а также, по-видимому, эффект автостабилизации фазы активности. Гудзенко и Чертопруд показали (1966), что этим свойством обладает наблюдаемый цикл пятнообразования на Солнце. Эффект автостабилизации фазы в нелинейном динамо есть, таким образом, теоретическое объяснение этого эмпирического факта.
Важно, что модель, обладающая этими свойствами, должна быть существенно нелинейной. Можно надеяться, что более строгие модели, основывающиеся на системе (1.3.13) - (1.3.15) главы I позволят описать глобальные свойства солнечной (звездной) активности.
До недавного времени солнечная активность была единственным приложением звездного динамо, доступным прямой наблюдательной проверке. Ситуация изменилась благодаря большой наблюдательной программе начатой Вильсоном с сотрудниками около двадцати лет назад. Конкретно в течение этого времени измерялась остаточная эмиссия в ядрах Н и К линий однократно ионизированных ионов кальция для большого набора звезд. Известно, что в случае солнечной активности эта эмиссия хорошо коррелируется с фазой одиннадцатилетнего цикла. Оказалось, что для значительной части звезд главной последовательности(спектральных классов позже г 5 ) остаточная эмиссия испытвает циклические изменения с периодами 7 т 12 лет ( Вильсон, 1978). Это означает, что указанные звезды обладают активностью с полным периодом 14 * 24 года. Вильсон (1978) обратил внимание, что на фоне таких медленных изменений активности имеются быстрые колебания остаточной эмиссии с периодом б 4- 65 дней. Он интепретировал их как проявления осевых вращений звезд. По этим вариациям Воган и др. (1981) определили угловую скорость осевого вращения для некоторых звезд, изученных Вильсоном. В апреле 1984 года для девятнадцати звезд глав ной последовательности (включая Солнце), были известны периоды активности и угловые скорости вращения (Нойс и др., 1984). К со-желению, из главных характеристик звездного магнетизма - периода активности и величины поля, наблюдения Вильсона (1978) позволяют определить только период. Причина в том, что связь между вариациями остаточной эмиссии и магнитным полем плохо изучена. Для оценки поля можно привлечь данные о рентгеновских свети-мостях звездных корон, полученных с помощью автоматической обсерватории "Эйнштейн" ( Паллавичини и др., 1981). Оказалось, что для звезд главной последовательности рентгеновская свети- . т v-ato.5 лг мость Lx ^ V. V.„,t ) > гДе vn.ot -линейная скорость осевого вращения. Отметим, что на такую зависимость L* \VVot) впервые указала М.М.Кацова (1981). По современным представлениям, энергия в короны звезд поздних спектральных классов поступает, по-видимому, благодаря диссипации в них магнитных полей, всплывающих из конвективной оболочки. Задавшись механизмом нагрева короны как функцией поля, можно оценить рентгеновскую светимость, или, наоборот, по светимости оценить поле.
Из общих соображений ясно, что период циклической активности и амплитуда поля должны зависеть от угловой скорости осевого вращения звезды и ее спектрального класса (эффективной температуры). В работе Дарни и Робинсона (1982) предложена упрощенная модель генерации магнитного поля звезд, аналогичная моделям солнечного динамо. К сожелению, в этой работе содержится ошибка: авторы не учли сильный, по сравнению с широтным, радиальный градиент поля. Видимо, поэтому результаты Дарни и Робинсона (1982) плохо согласуются с наблюдениями. В работе Бельведера и др.(1981) на основе теории динамо дается оценка рентгеновской светимости звезд. На наш взгляд, оценка нагрева короны сделана в этой работе некорректно. В главе 3 данной диссертации дается оценка зависимостей периода и амплитуды изменения поля от угловой скорости вращения звезды при фиксированном спектральном классе, свободная от указанных недостатков. Существенно, что период цикла зависит от угловой скорости вращения немонотонно, в то время как амплитуда поля монотонно возрастает с ростом угловой скорости.
Предсказанная зависимость периода цикла от осевого вращения может быть проверена путем наблюдения активности звезд фиксированных спектральных классов главной последовательности.
Однако имеющиеся наблюдательные данные недостаточны для детальной проверки зависимостей (3.3.II), (3.3.9). Отметим, что результаты теории грубо согласуются с наблюдениями, если взять данные о вращении звезд из работы Нойса и др. (1984), а не из предварительной работы Вогана и др. (1981). Это видно из сравнения данных из таблицы 3 диссертации и таблицы из работы Клио-рина и др. (1983) с формулами (3.3.9) и (3.3.II). Что касается зависимости поля от угловой скорости, то данные обсерватории "Эйнштейн" грубо согласуются с нашей предварительной оценкой, если в качестве механизма нагрева короны принять механизм, предложенный Галеевым и др. (1981). Отметим, что в главе 3 данной работы исследованы простейшие модели звездной активности. Такие модели выбраны потому, что пока наблюдений недостаточно для проверки более детальной теории. С другой стороны, отсутствие надежных теорий дифференциального вращения и спиральности (utotu> делает расчет профиля источников генерации затруднительным и сводит на нет ценность детальных моделей активности. Можно наде-еться, что в планируемых и действующих программах наблюдений удастся получить данные, необходимые для детальной проверки теории звездного динамо, а успехи гидродинамики конвективных оболочек звезд позволят построить детальные модели звездных магнитных полей.
Данная диссертация посвящена теоретическому изучению круп-номасштабных магнитных* звезд поздних спектральных классов главной последовательности.
Целью диссертации является:
Вывод уравнений нелинейного динамо с учетом особенностей звездных конвективных оболочек таких, как присутствие крупномасштабных течений, негауссовость турбулентности, большие магнитные числа Рейнольдса и т.д.
Анализ простейшей модели сферического осесимметричного динамо со слабой кубической нелинейностью.
Интерпретация наблюдаемых 11-летних крутильных колебаний Солнца и вековой асимметрии дифференциального вращения.
Оценка зависимости параметров циклов активности от угловой скорости осевого вращения для звезд поздних спектральных классов.
Диссертация состоит из трех глав, введения и заключения. Основные результаты диссертации изложены в работах: I.N.I.Kleeorin, A.A.Ruzmaikin. Properties of a nonlinear solar dynamo model.-Geophys.Astrophys.Fluid Dyn., 1981, vol.17,
IT 3, p.281-296. 2.Н.И.Клиорин Турбулентное динамо средних полей при наличии крупномасштабной скорости. - Магнитная гидродинамика, 1981, № 2, с.29-35. З.Н.И.Клиорин, А.А.Рузмайкин. Динамика средней турбулентной' спиральности в магнитном поле. - Магнитная гидродинамика,
1982, № 2, с.17-24. N.I.Kleeorin, A.A.Ruzmikin, D.D.Sokoloff. Activity cicle periods in late-type stars,- Astrophys. and Space Sci., 1985, vol.95, N І, р.ІЗІ-ІЗб. N.I.Kleeorin, A.A.Ruzmikin. Mean-field dynamo with cubic non-linearity. - Astron. Nachr., 1984-, Bd.305, H.5» s. 265-275.
6. Н.И.Клиорин и А.А.Рузмайкин.Оприроде ІІ-летних крутильных колебаний Солнца. - Письма в Астрон.журнал, 1984а , т.10, # 12, с. 925-930.
Электродинамика средних полей при наличии крупномасштабных течений и спиральной турбулен тности
Что касается открытой Лабонтом и Хоуордом вековой асимметрии дифференциального вращения Солнца, то ее можно объяснить, если учесть, что на Солнце наряду с основной дипольной модой имеется слабая составляющая поля квадрупольного типа.
Простейший ( и наиболее известный) результат учета нелинейности в динамо - нелинейная стабилизация самовозбуждающихся магнитных полей. В результате получается периодическая ( но не гармоническая) зависимость поля от времени. Реальная картина солнечной активности намного богаче. Поэтому распространена точка зрения, что долгопериодические вариации солнечной активности -результат временных вариаций глобальных свойств конвекции и (или) дифференциального вращения. Магнитное поле лишь пассивно следует зг ними (см., например, Догель и Сыроватский, 1979). Формальное включение и выключение источников генерации, а также формальное введение запаздывания реакции спиральности на поле рассматривались Иошимурой (1978, 1978а, 1979). Указанная точка зрения.
Отметим, что гипотеза собственных крутильных колебаний Солнца, предложенная Лабонтом и Хоуордом (1982) для объяснения наблюдаемых ими горизонтальных движений, плохо согласуется с теорией крутильных колебаний звезд (см.,например, Кокс,1980,Саио, 1982). Причина в том, что наблюдаемые горизонтальные движения симметричны относительно оси вращения Солнца, в то время как, согласно теории, у осесимметричных мод частота равна нулю. Такие моды описывают вращение звезды, а не колебательный процесс. однако, плохо согласуется как с физическими принципами, так и с историческими сведениями о Солнце, земном климате и т.п. Достаточно сказать, что длительное изменение солнечной постоянной всего лишь на один процент привело4!? большим климатическим изменениям на Земле, а сведения о заметном изменении дифференциального вращения в эпоху непосредственно предшествующую минимуму Маундера (Эдди и др., 1977) не подтвердились при более тщательном изучении исторических источников (Абрабанелл и Вёль, 1981). Нам кажется более перспективным искать объяснение длительных вариаций активности в .нелинейном динамо. Оказывается (гл.2), что взаимодействие двух мод (дипольной и квадрупольной симметрии) через простейшую нелинейность уже дает вековую модуляцию, а также, по-видимому, эффект автостабилизации фазы активности. Гудзенко и Чертопруд показали (1966), что этим свойством обладает наблюдаемый цикл пятнообразования на Солнце. Эффект автостабилизации фазы в нелинейном динамо есть, таким образом, теоретическое объяснение этого эмпирического факта.
Важно, что модель, обладающая этими свойствами, должна быть существенно нелинейной. Можно надеяться, что более строгие модели, основывающиеся на системе (1.3.13) - (1.3.15) главы I позволят описать глобальные свойства солнечной (звездной) активности.
До недавного времени солнечная активность была единственным приложением звездного динамо, доступным прямой наблюдательной проверке. Ситуация изменилась благодаря большой наблюдательной программе начатой Вильсоном с сотрудниками около двадцати лет назад. Конкретно в течение этого времени измерялась остаточная эмиссия в ядрах Н и К линий однократно ионизированных ионов кальция для большого набора звезд. Известно, что в случае солнечной активности эта эмиссия хорошо коррелируется с фазой одиннадцатилетнего цикла. Оказалось, что для значительной части звезд главной последовательности(спектральных классов позже г 5 ) остаточная эмиссия испытвает циклические изменения с периодами 7 т 12 лет ( Вильсон, 1978). Это означает, что указанные звезды обладают активностью с полным периодом 14 24 года. Вильсон (1978) обратил внимание, что на фоне таких медленных изменений активности имеются быстрые колебания остаточной эмиссии с периодом б 4- 65 дней. Он интепретировал их как проявления осевых вращений звезд. По этим вариациям Воган и др. (1981) определили угловую скорость осевого вращения для некоторых звезд, изученных Вильсоном. В апреле 1984 года для девятнадцати звезд глав ной последовательности (включая Солнце), были известны периоды активности и угловые скорости вращения (Нойс и др., 1984). К со-желению, из главных характеристик звездного магнетизма - периода активности и величины поля, наблюдения Вильсона (1978) позволяют определить только период. Причина в том, что связь между вариациями остаточной эмиссии и магнитным полем плохо изучена. Для оценки поля можно привлечь данные о рентгеновских свети-мостях звездных корон, полученных с помощью автоматической обсерватории "Эйнштейн" ( Паллавичини и др., 1981). Оказалось, что для звезд главной последовательности рентгеновская светимость Lx V. V.„,t ) гДе vn.ot -линейная скорость осевого вращения. Отметим, что на такую зависимость L \VVot) впервые указала М.М.Кацова (1981). По современным представлениям, энергия в короны звезд поздних спектральных классов поступает, по-видимому, благодаря диссипации в них магнитных полей, всплывающих из конвективной оболочки. Задавшись механизмом нагрева короны как функцией поля, можно оценить рентгеновскую светимость, или, наоборот, по светимости оценить поле.
Из общих соображений ясно, что период циклической активности и амплитуда поля должны зависеть от угловой скорости осевого вращения звезды и ее спектрального класса (эффективной температуры). В работе Дарни и Робинсона (1982) предложена упрощенная модель генерации магнитного поля звезд, аналогичная моделям солнечного динамо. К сожелению, в этой работе содержится ошибка: авторы не учли сильный, по сравнению с широтным, радиальный градиент поля. Видимо, поэтому результаты Дарни и Робинсона (1982) плохо согласуются с наблюдениями. В работе Бельведера и др.(1981) на основе теории динамо дается оценка рентгеновской светимости звезд. На наш взгляд, оценка нагрева короны сделана в этой работе некорректно. В главе 3 данной диссертации дается оценка зависимостей периода и амплитуды изменения поля от угловой скорости вращения звезды при фиксированном спектральном классе, свободная от указанных недостатков. Существенно, что период цикла зависит от угловой скорости вращения немонотонно, в то время как амплитуда поля монотонно возрастает с ростом угловой скорости.
Оценка усредненных магнитных натяжений в турбулентном потоке
Поскольку симметрия ah и &ь относительно отражений в плоскости экватора противоположна, из соотношений (2.1.7) следует, что при изменении знака дифференциального вращения, симметрия предпочтительной моды заменяется на противоположную. Этот факт, был "эмпирически" обнаружен при решении уравнений динамо. Приведенное рассуждение показывает, что он есть следствие общих свойств уравнения динамо, а не конкретных моделей, и что, по крайней мере, в приближении проводящей атмосферы, на этот счет имеется строгая теорема (см. (2.1.7)). Ясно, что в вакуумном приближении или же при м\ Ф VT , точные ра венства (2.1.7) могут выполняться только приближенно, но ка чественный факт смены симметрии при замене й - - & должен сохраниться. Из приведенного рассмотрения следует, что для по лучения Є (скажем, в численных расчетах) достаточно решить линейную задачу с & --$) . Получившееся Ь очевидным об разом сопоставляется с а , Л - coh 9 если за писать, скажем, ь в виде: где & , с+ - действительные и непрерывные функции от т. , 9 . Действительное решение линейной задачи записывается с помощью этих функций в виде динамо-волны, например, Ь exp (ft) +(г,0) cos Ut - дЧг,9)). Общие свойства амплитуды Б и фазы компонент собственных векторов можно уяснить, изучая изолинии в различные моменты времени. Например, очевидно, что "неподвижные" (неперемещающиеся в ходе цикла) нули Ь(і,9,і) есть нули функ-ции ь(т-,в) . Из граничных условий на полюсах Я (т., 0) = Л(т.,л) = = 6(40) = и \ ,7Г) - 0 следует, что неподвижные нули заполняют ось вращения (ось симметрии) звезды. Для функций, антисимметричных относительно экватора звезды ( QeJ»/2 ) неподвижные нули заполняют экваториальную плоскость. Анализ изолиний Я и Ь , имеющихся в литературе линейных решений задачи динамо показывает, что у Л и Ь других неподвижных нулей нет.
В силу полноты системы собственных и присоединенных функций линейной задачи (2.I.I) решение нелинейной задачи можно искать в виде разложения по этой системе. Незатухающие моды линейной задачи, по-видимому, относятся к ее дискретному спектру. Кроме того, мы предположим, что для этих собственных значений вырождение отсутствует. В соответствии с этим, незатухающее при больших t решение нелинейной задачи можно искать в виде где суммирование ведется по собственным векторам линейной задачи, для которых yh 0 . Отметим, что разложение (2.2.2) удовлетворительно описывает нелинейное решение только если J(\, 0 не слишком велики по сравнению с комплексными собственными значениями линейной задачи. Это связано с тем, что коэффициенты разложения нелинейного решения по собственным векторам линейной задачи, соответствующим модам с y Q , не равны точно нулю, а пропорциональны, как можно показать, "jpjL /I h+yJ . Здесь,для определенности, считается, что первая мода растет в линейном приближении с максимальной скоростью. Таким образом, при больших ( -7 разложение (2.2.2) не эффективно. Впрочем, тогда перестает быть справедливым и приближенное уравнение d-dvv( E)) . Подставим (2.2.2) в (2.2.1) и воспользуемся тем, что как следует из (2.1.5). Нормировку функций a." , fch можно выбрать так, что Кгрд\--0(О. Нелинейная задача свелась, таким образом, к решению уравнения (2.2.3) с коэффициентами, определяемыми собственными функциями и собственными значениями линейной задачи.
Кубическая нелинейность в (2.2.3) естественно возникает из-за квадратичной формы нелинейности в & и, по-видимому, является единственно возможной при слабой нелинейности. Фактически, интересны лишь уравнения для небольшого числа коэффициентов F Ct) , поскольку при динамо-числах, обычно рассматриваемых в приложениях, возбуждаются (т.е. имеют 1?ь 0 в линейной задаче) только одна или две первых моды - диполь, квад-руполь, см. 3). Установившееся решение при малых 1&- &сп. Пусть в конвективной оболочке звезды возбуждается только одна динамо-волна (скажем, дипольного типа). Это значит, что в (2.2.3) следует удержать две комплексносопряженные моды соответствующей симметрии. Поскольку поля Д и Ь действительны, то коэффициенты F при комплексносопряженных собственных векторах являются комплексносопряженными. Поэтому
ж) Критическое динамо-число определяется следующим образом можно ограничиться одним (комплексным) уравнением для коэффициента F vt) f который мы для упрощения обозначим через F . Уравнение для F U) = F (t) получается из него путем опера-щи комплексного сопряжения.
Синхронизация и биение между дипольной и квадрупольной модами.
В этой главе будут рассмотрены следствия нелинейной динамо-теории звездной активности, доступные наблюдательной проверке. В первом параграфе мы сравним картину солнечной активности ( конкретно временной ход числа пятен на солнечном диске) со свойствами крупномасштабного магнитного поля в модели динамо с простейшей кубической нелинейностью.
Во втором параграфе показано, что обнаруженные Хоуордом и Лабонтом (1980) крутильные колебания Солнца с 11-летним периодом, есть вынужденные колебания приповерхностных слоев под действием магнитных сил, связанных с динамо-волной. Амплитуда крутильных волн, сдвиг фаз между крутильной волной и активностью, число зон быстрого и медленного вращения и другие свойства крутильной волны, следующие из динамо-теории, и модели конвективной оболочки Солнца (Спруит, 1974), находятся в количественном согласии со свойствами наблюдаемых на Солнце мигрирующих зональных течений. Что касается открытой Лабонтом и Хоуордом вековой асимметрии во вращениях между полушариями, то ее можно объяснить присутствием слабого квадруполя на фоне диполя. Эта асимметрия в ближайшем будущем, по-видимому, ослабнет. Затем быстрее начнет вращаться южное полушарие Солнца.
В третьем параграфе мы рассмотрим зависимость основных параметров циклов активности звезд главной последовательности от угловой скорости вращения при фиксированном спектральном классе. Имеющиеся наблюдательные данные не позволяют детально сравнить зависимость периода цикла активности от угловой скорости с наблюдениями. Однако, последние наблюдательные данные Нойса (1984), по-видимому, грубо согласуется с ней. В основе результатов, изложенных в третьей главе, лежат работы Клиорина и Рузмайкина (1981), Клиорина и др.(1983), Клиорина и Рузмайкина (1984а).
Начнем с рассмотрения эффектов нелинейного динамо в приложении к Солнцу, поскольку Солнце - звезда,об активности которой нам известно больше всего. Наиболее исследованное проявление солнечной активности -цикл пятнообразования. В настоящее время имеются длительные ряды наблюдений числа Вольфа V/ , характеризующие количество солнечных пятен как функцию времени на всем солнечном диске. Зависимость числа пятен , приходящихся на единичный интервал полярных углов Ъ , можно попытаться описать грубым уравнением типа где Xn - характерное время жизни пятен на данной широте,ТП - средняя скорость возникновения новых пятен, связанная со средним магнитным полем, M(t) - случайная функция с j W") =Q , описывающая воздействие на процесс пятно-образования факторов различной природы (флуктуации среднего магнитного поля, конвективного потока и т.п.). Можно полагать, что Tl(t) положительная функция определяемая усредненным динамо-процессом.
Функция \Y\ft) должна рассчитываться на основе количественной теории пятнообразования. В ее отсутствии мы рассмотрим грубую "полуэмпирическую" схему. Процесс пятнообразования начинается, когда величина среднего тороидального поля достигает некоторого критического значения Ьс . Он состоит в "собирании" потока, связанного со средним азимутальным полем в относительно тонкие трубки, и образовании вдоль параллели нескольких биполярных групп пятен (вкладом мультиполярных и униполярных групп пятен пренебрегаем). Считая, что средний поток в отдельном пятне Ф0 , среднее расстояние между параші пятен вдоль параллели -10 , среднее время возникновения пары пятен 4 , глубина области, в которой происходит "собирание" потока И , можно оценить источник W (w Ф как мелкомасштабных полей F lF I + IF \ на единицу площади солнечной поверхности. где .m(V) = 0 , rtw - усредненное по диску Солнца время жизни пятен T;W =(J Y" L9) W . Отсюда видно, что наибольший вклад в tw , по-видимому, дают наиболее крупные (долгоживу-щие) пятна, поскольку они будут возникать там, где среднее поле наибольшее и величина VI велика. Когда динамо носит колебательный, характер (как в солнечной конвективной оболочке), M(Q будет так же испытывать колебания. Однако, как следует из (3.1.2) период колебаний M(t) будет вдвое меньше периода колебаний крупномасштабного поля. По-видимому, 1W также является функцией времени, поскольку время жизни пятен определяется их масштабом, а он, в свою очередь, определяется полем.
Так как 1W W М W в первом приближении можно считать периодической функцией, то W соответствует предельный цикл на плоскости (aw/dt, VJ) . Исследование отклонения фазовых траекторий от этого предельного цикла под действием случайных возмущений tt\ W показывает, что жесткость цикла велика, порядка (2 CWV , неизохронность Majna ( lw4W ). Эти результаты согласуются со свойстваьш эмпирического 11-летнего цикла, найденными Гудзенко и Чернопрудом (1964). С другой стороны, при строго периодическом ИЗМЄНЄНИИ M(t")Tw(t) дисперсия уходов фазы цикла пятнообразования мала и эти уходы тлеют малое время насыщения ( 2xw) . По-видимому, фазовые свойства 11-летнего цикла на больших временах определяются свойствами фазы M(i)twW , т.е. фазы поля. Так как предельный цикл в переменных Re F , Im F обладает свойством автостабилизации фазы (см. гл. 2, 3, п.В)),М№ї«Щ -однозначная функция поля, то стабилизация уходов фазы должна быть характерна и для цикла пятнообразования в переменных (dW/dt fW ).
Циклы активности вращающихся звезд поздних спектральных классов
Полезно сравнить поведение крутильной волны с поведением активности (пятнообразованием). В соответствии с I этой главы мы отождествим поведение активности с поведением 1В (напомним \Ыа1Ь р Ьч\, \&е1 ). Отметим, что фазовая скорость активности ирЦ = с с R0 ( З3/ ЗВУ1 совпадает с фазовой скоростью крутильной волны. Конкретный вид функции д(б") зависит от модели динамо. В большинстве моделей вблизи экватора cj 9 . Учитывая это, из (3.2.6) и (3.2.II) можно заключить, что вблизи экватора максимум крутильной волны сдвинут относительно максимума !& ! на долю длины крутильной волны равную (3i-2o)/Ljr к экватору. Поскольку пят-нообразование происходит на низких широтах, этот сдвиг можно непосредственно сравнить с наблюдаемым фазовым сдвигом между активностью (скоростью образования нового мелкомасштабного потока) и крутильной волной. Согласно результатам Лабонта и Хоуорда (1982) он соответствует широтному сдвигу между максимумами, примерно на 1/8 длины крутильной волны (см. рис.10 в работе Лабонта и Хоуорда, 1982). Легко найти, что это требует о І Зї/ч . Последнее находится в согласии с результатами теории динамо (см., например, Иванова и Рузмайкин,1977).
Что касается вековой асимметрии между полушариями, то в современную эпоху векового цикла активнее северное полушарие, из (3.2.9) можно оценить вклад квадрупольной составляющей в среднее поле. Наблюдаемый максимальный перепад линейной скорости вращения между полушариями ( 2м/с") требует, примерно 20% вклада квадрупольной составляющей поля. Это согласуется с максимальной ; асимметрией между полушариями в числе пятен (см., например, Витинский, 1973). В ближайшем будущем активность северного полушария Солнца, по-видимому, будет уменьшаться, а затем станет активнее южное полушарие. Согласно (3.2.9) это приведет к тому, что перепад во вращении между полушариями начнет уменьшаться. Он достигнет в минимуме асимметрии 1.5 м/с, а затем, через некоторое время, быстрее начнет вращаться южное полушарие.
Оценим амплитуду крутильных колебаний наблюдаемых на поверхности. Поскольку тонкий переходный слой от конвективной оболочки к фотосфере полностью увлекается лежащими ниже тур-булизованными слоями, то для оценки ьі0 следует брать параметры, соответствующие внутренней границе переходного слоя. . Согласно расчетам, проведенным на основе модели конвективной зоны Спруита (1974) эти характеристики следующие (см. таблицу I) Ч 4-Ю11 см2/с, р А 4,5-Ю"7 т/см3Л- З,6-Ю7см, Из (3.2.3) можно заключить ,что вклад ь U . неучтенных угловых и временных производных мал как ( и / Lb Во внешних слоях Солнца он не превосходит 3% (точность наблюдений Лабонта и Хоуорда 15$).
Разумеется, для детального сравнения теории с наблюдениями нужно использовать не грубые аппроксимации типа (3.2.6), (3.2.7), а брать те Ьа и &ф , которые получаются в численных нелинейных расчетах. Однако, приведенные выше простые оценки доказывают, что динамо-волна с 22-летним периодом является источником наблюдаемых 11-летних крутильных колебаний Солнца. В нашей простой модели,изучая свойства крутильных колебаний, можно получить наблюдательные ограничения на функции ьч , )ф , w о . Например, фазовый сдвиг между активностью и крутильной волной соответствует о - Tt 14 . Постоянство наклона изолиний скорости и„ в переменных ( »sS,t) для широт 10+50 (см. рис. З в работе Лабонта и Хоуорда,1982) означает, что фазовая скорость (aLQ/dO (sin Э # Отсюда сразу следует, что в интервале широт 10+ 50 9 cos е В\ где знак "-" относится к северному полушарию. Отметим, что анализ крутильных колебаний Солнца позволяет вы вить свойства динамо-волн и в тех областях, где пятнообразование не происходит.
