Введение к работе
Актуальность темы Одним из важнейших открытий в физике и космологии последних лет является обнаружение феномена "темной энергии" Изучение сверхновых типа 1а продемонстрировало, что в среднем убывание яркости происходит быстрее, чем это должно происходить в рамках модели Фридмана, описывающей расширение вселенной, заполненной преимущественно барионным веществом, с параметром адиаба-тичности 7, равным единице (или w = 7 — 1 = 0) Такое дополнительное потускнение означает наличие эффективной добавки расстояния, что, в свою очередь, может быть объяснено наличием положительного ускорения у космологического расширения [1] Во фридмановской вселенной, темная энергия приводящая к такому динамическому режиму, описывается уравнением состояния с го — р/(рс2) < —1/3, те приводит к отрицательному давлению, причем не меньше чем 70 процентов содержимого вселенной оказывается "темной энергией"
В настоящее время центральным является вопрос о физической природе темной энергии Обычно различают два варианта возможных ответов темная энергия является физическим (например скалярным) полем неизвестной природы (модель квинтэссенции или fc-эссенции) или она является проявлением действия положительной энергии гравитирующего вакуума (модель космологической постоянной или Л-члена)
Астрономические наблюдения свидетельствуют что величина w лежит достаточно близко к минус единице, но, вероятно, не совпадает с ней в точности, оставаясь немного меньше [2] Другими словами, параметр адиабатичности j < 0 и 7 ~ 0 Если -у = 0 (w — — 1), то темная энергия является положительной космологической постоянной Если же 7 < 0 (го < — 1), то темная энергия оказывается проявлением существенно новой космологической составляющей содержимого вселенной так называемой "фантомной" или "призрачной энергии"
Наличие фантомной энергии приводит к целому ряду фундаментальных следствий Во-первых, фантомная энергия нарушает условие энергодоминантности В рамках моделей квинтэссенции, фантомная энергия описывается как некоторое скалярное поле с отрицательным (духовым) кинетическим членом Следует подчеркнуть, что появление полей с духовым кинетическим членом вполне естественно в рамках полевой теории струн Так, эволюция неэкстремальной D-браны описывается как переход из нестабильного в стабильное состояние за счет динамики открытой фермионной струны, концы которой закреплены на бране В низшем, тахионном возбуждении используется метод обрезания по уровням [3], что в приближении медленно меняющегося вспомогательного поля приводит к действию, определяющем интегральные уравнения движения,
содержащие роллинговое решение В свою очередь, поведение такого решения на больших временах эффективно описывается лагранжианом с духовым знаком кинетического члена, который в космологическом приближении описывает скалярную материю с фантомным уравнением состояния w < — 1
Рост плотности энергии фантомной энергии в процессе расширения вселенной показывает, что эффекты квантовой гравитации, которые обычно считались существенными окрест начальной или финальной космологической сингулярности а —> 0, могут стать доминирующими на поздних стадиях эволюции вселенной, причем не на планковских, а на макроскопических масштабах В свою очередь, возможность проявления эффектов квантовой гравитации на мегауровне приводит к возможности нарушения причинности на макроскопических масштабах Наконец, скорость расширения вселенной, в которой доминирует фантомная энергия растет настолько быстро, что через конечное время после начала ускорения, компоненты тензора кривизны становятся бесконечными Возникает финальная сингулярность совершенно нового типа, соответствующая не нулевому, а бесконечно большому значению масштабного фактора [4] Этот новый тип сингулярности получил название "большого разрыва" Следует отметить, что наличие скалярной материи с фантомным уравнением состояния не всегда приводит к сингулярности большого разрыва Например, проведенный в [5] анализ вышеупомянутых роллинговых решений показал, что динамика такой вселенной не приводит к сингулярности большого разрыва, а выходит на асимптотику решения Де Ситтера Вместе с тем, можно показать, что при определенных значениях параметров модели, в ней оказывается возможным явление, получившее название "большого перехода" (big trip) Принципиальную роль в этом сценарии будущей эволюции вселенной играют решения уравнений Эйнштейна, известные как кротовые норы или "кротовины" Хорошо установлено, что такие решения являются неустойчивыми по отношению к квантовым поправкам и требуют для своей стабилизации нарушения условия энергодоминантности внутри горловины (например, за счет использования эффекта Казимира) Ситуация меняется при рассмотрении вселенной, заполненной фантомной энергией, которая сама по себе нарушает это условие Расчеты показывают, что фантомная энергия стабилизирует кротовые норы и более того, аккреция фантомной энергии приводит к гиперболическому росту размера горловины (в сферически симметричном случае) кротовых нор Эта скорость настолько велика, что через конечное время, размер горловины оказывается бесконечным, причем этот момент предшествует появлению сингулярности большого разрыва
В этих услових вся породившая кротовую нору вселенная оказывается внутри горловины
Дальнейшая эволюция вселенной в такой картине сводится к перемещению вселенной как целого внутри гигантской кротовые норы в "прошлое " или "будущее" Изучение возможных режимов такого большого перехода показывает, что вполне допустима ситуация, при которой вселенная, проходя через гигантскую кротовину, избегает области сингулярности большого разрыва Более того, как показали исследования, в этом случае космологические горизонты событий не возникают, а значит исчезает и проблема формулировки фундаментальной теории (М-теории), основанной на формализме S-матрицы Поэтому, пространство-время, описанное выше, несмотря на всю свою необычность, а стало быть и такие экзотические объекты, как кротовые норы и фантомная энергия, могут оказаться принципиально необходимыми для самой возможности математически корректной формулировки М-теории
Все вышесказанное подчеркивает актуальность изучения космологических моделей, содержащих фантомную энергию, как для космологии, так и для исследований, посвященных разработке и построению гипотетической М-теории
Как отмечалось, астрономические данные не позволяют пока определить адиабатический индекс с достаточной точностью Близость его величины к нулю (те w — — 1) делают популярными и актуальными исследование космологических .моделей, в которых роль темной энергии играет простейший вид скалярной материи - положительная космологическая постоянная Такие модели, являясь на первый взгляд более реалистичными, чем теории с фантомной энергией тем не менее страдают от трех весьма фундаментальных трудностей
Наиболее известна проблема малости космологической постоянной, суть которой в том, что если ускорение вселенной действительно вызвано наличием ненулевого Л-члена в уравнениях Эйнштейна, то это означает наличие ненулевой плотности энергии гравитиру-ющего вакуума Проблема же заключается в том, что наблюдаемое значение этой плотности 0 7 х 10~29 г/см3 на пятьдесят порядков меньше, чем теоретически ожидаемое значение
Проблема космических совпадений, заключается в том, что наблюдаемые плотности вакуумной энергии, темной материи и барион-ного вещества по порядку величины совпадают
Наличие положительной космологической постоянной означает наличие режима де Ситтера, что плохо согласуется с существующими
струнными моделями В настоящее время найдено много точных анти-де Ситтеровских решений с отрицательной величиной космологической постоянной, однако найти де Ситтеровские решения в рамках теории струн оказалось неожиданно сложно
Опуская третью проблему, как относящуюся к компетенции теории струн, отметим, что первые две получают достаточно удовлетворительное объяснение в рамках использования антропного принципа и космологического мультиверса Хотя такой подход выглядит достаточно перспективным, тем не менее не прекращаются многочисленные попытки получить малую величину космологической постоянной более традиционным для физики способом, без использования антропного принципа, особенно в его сильной формулировке
Продуктивным примером является использование моделей содержащих т н браны и макроскопически большие дополнительные измерений Гипотеза о том, что размерность пространства-времени может отличаться от (1+3) применялась ранее для построения теории расширенной супергравитации, которая содержала бы группу симметрии достаточную для описания феноменологии сильных и злектрослабых взаимодействий (SU(3) х SU(2) х U(1)) В рамках этих исследований предполагалось, что дополнительные измерения образуют компактное многообразие планков-ского масштаба Разложение по собственным функциям последнего лежит в основе метода размерной редукции, который является геометрическим способом унификации различных взимодействий (модели Калузы-Клейна)
Позднее выяснилось, что наличие дополнительных измерений является необходимым для существования физически содержательной теории струн Новым обстоятельством, специфичным именно для струнных моделей, явилось открытие возможности существования макроскопических, а не только планковских дополнительных измерений Это открытие позволило предложить новый способ решения проблемы иерархий Ключевая идея здесь следующая рассматривается трехмерная брана вложенная во внешнее объемлющее пространство размерности D, для которого используется термин bulk Для получения четырехмерного (включая время) действия на бране следует проинтегрировать D-мерное действие по координатам объемлющего пространства В результате, в простейшем случае эффективная четырехмерная гравитационная постоянная ( получается делением D + 4-мерной GD+i на соответствующий D-мерный объем, что, при достаточно большой величине макроскопических измерений способно привести к аномально малой величине (
Аналогично может быть решена проблема малости космологической
постоянной предположим, что пространственный объем bulk-пространства конечен и характеризуется масштабом d Обычно на объемлющее пространство накладывается геометрия орбиобразия и условия сшивки Израэля Исследования показывают, что при этом эффективная величина четырехмерной космологической постоянной на бране оказывается связанной с D + 4-мерной космологической постоянной посредством множителя типа e-d, что дает естественное решение фундаментальной проблемы 1
Более тщательный анализ проблемы показал, что геометрические конфигурации описанного вида, вообще говоря, неустойчивы, но могут быть стабилизированы путем введения дополнительного скалярного поля в объемлющее пространство Соответствующие модели, в свою очередь, столкнулись с той трудностью, что полевые уравнения приводили, в том числе, к сингулярным решениям, как в объемлющем пространстве, так и на бране Поэтому, весьма актуальной стала задача развития эффективного математического формализма, позволяющего строить регулярные устойчивые решения, приводящие к экспоненциально подавленному значению четырехмерной космологической постоянной на бране Решение этой проблемы возможно позволит ответить на фундаментальный вопрос о малости космологической постоянной, не используя рассуждений основанных на антропном принципе
Основные задачи Диссертационная работа направлена на исследование космологических моделей со скалярной материей, описывающих темную энергию с w < — 1, которые согласовывались бы с набором наблюдаемых данных (величиной параметра Хаббла, величиной космологического ускорения), а также последствий возможного существования областей пространства-времени с нарушенным условием энергодоминантности для космологии и теоретической физики В соответствии с результатами астрономических наблюдений подробному изучению были подвергнуты только две модели (I) модель фантомной энергии с отрицательным параметром адиабатичности и (II) модель с положительной космологической постоянной (7 = 0) Центральную роль в исследовании аналитических решений, предпринятом в работе, играет метод спектрального дизайна, развитие и обобщение которого являлось необходимым условием для реализации данной программы В соответствии с вышеуказанным, основные задачи диссертационной работы состояли в следующем
1 Исследование явления пересечения фантомной зоны (гладкаяй фан-томизация)
Изучение новых космологических решений (одного в обычной фрид-мановской космологии, а второго на бране Рэндал-Сэндрум I с доминированием фантомной энергии) содержащих две сингулярности типа "большой разрыв" Анализ соответствия этих решений данным астрономических наблюдений
Исследование эффектов "большого перехода", "гигантских черных дыр" и возникновения замкнутых времениподобных кривых в решениях такого типа В частности изучался вопрос проявляются ли указанные феномены только окрест сингулярности будущего или они могут существовать около обеих сингулярностей
Анализ зависимости формирования плоского спектра флуктуации скалярного поля в процессе тахионной неустойчивости от формы потенциала
Задача восстановления формы потенциала самодействия скалярного поля по однопетлевому потенциалу, используемому для расчета вакуумных флуктуации
Исследование особенностей спектра квантовых флуктуации около классических решений, порожденных наличием пространственно-временной некоммутативности, особенно для сингулярных решений, характерных для космологических моделей с сингулярностью большого разрыва
Построение регулярных решений с подавленной величиной космологической постоянной на видимой бране при наличии пятимерного объемлющего пространства, заполненного стабилизирующим скалярным полем
Развитие метода одевающих цепочек дискретных симметрии (используемых, в частности при решении задачи 8) для многомерных моделей и генерация новых интегрируемых (1+2) иерархий
Построение изоспектральных симетрий для линейных уравнений с мояловским умножением, используемых в задаче 7
10 Использование многомерных преобразований Дарбу для построения и изучения локализованных несингулярных решений (1+2) нелинейных моделей (ДС, БЛП) Построение йордановых обобщений уравнений Дэви-Стюартсона
11 Изучение обобщения преобразований Бэклунда, которые были бы эффективны для неинтбгрируемых моделей, не допускающих пару Лакса на примере уравнений двумерной гидродинамики
Методы исследования Особенностью данного диссертационного исследования является широкое использование преобразований Дарбу ([6], [7]) для построения точных решений исследуемых уравнений
Преобразование Дарбу (ПД) для одномерного уравнения Шредин-гера представляет собой конкретную реализацию метода факторизации, позволяющего строить одни "интегрируемые" потенциалы из других При этом существуют эффективные рецепты нахождения спектра и собственных функций соответствующих гамильтонианов В частности, чрезвычайно просто соотношение между дискретными спектрами двух гамильтонианов с несингулярными потенциалами, которые связаны однократным ПД эти спектры могут либо отличаться на один (нижний) уровень, либо полностью совпадать Именно последнее обстоятельство приводит к возможности явной реализации суперсимметричных (двойное вырождение) и парасуперсимметричных (тройное вырождение) моделей
Использование метода преобразования Дарбу (метода факторизации, суперсимметричного подхода или спектрального дизайна (в оригинале spectral design [8]) уже давно является весьма эффективным в теории ядра Следует отметить, что в задачах ядерной физики, как правило, используется радиальное уравнение Шредингера, применение к которому преобразований Дарбу является нетривиальной процедурой с точки зрения спектральной задачи Этот вопрос был тщательно исследован в работах [9]
Отметим, что поскольку речь идет о задаче на полупрямой, использование обычного ПД не является эффективным Например, однократное ПД с волновой функцией ocHdBHoro состояния в качестве опорной, не приводит к удалению одного уровня, а искажает весь спектр Тем не менее можно развить технику двух последовательных преобразований, не меняющих в конечном счете фазовых сдвигов Интересно, что дважды преобразованный квантовомеханический потенциал V% выражается через исходный (Vo) и единственное решение исходного уравнения (в теории интегрируемых на прямой систем такие преобразования называются бинарными преобразованиями Дарбу) Именно необходимость модификаций такого рода для практических расчетов в теории ядерной материи делают оправданным использование термина "спектральный дизайн" вместо привычных ПД или преобразований суперсимметрии Наконец отметим, что потенциалы Vo и 14 называют фазово-эквивалентными
В качестве примера использования спектрального дизайна в ядерной физике можно привести работы [10], в которых идеи суперсимметрии (в том числе нарушенной) использовались для объяснения обнаруженного ранее (см [11]) явления согласно которому для сильно деформированных ядер с массовыми числами А и А + 1 определенная доля 7 лучей обладает практически одинаковой энергией (на уровне 1 1000, такой способ решения потребовал однако дополнительного условия, суть которого сводится к предположению о том что состояния ядер с А + 1 образуют вырожденный дублет с j — J ± 1/2, где J целый момент ядра с четным числом A, a j полуцелый момент ядра с А + 1)
Другим интересным применением метода спектрального дизайна является изучение однонейтронной оболочечной модели пВе, которая описывается как двухчастичная система, состоящая из точечного ядра и нейтрона В качестве первого приближения используется ядро 10Ве с одним связанным нейтроном, причем внутренняя структура а1Ве моделируется модифицированным потенциалом, содержащим спин-орбитальное слагаемое При специальном выборе параметров такой потенциал моделирует энергии двух физических связанных состояний иВе lsl/2 (Еехр = —0 503 МэВ) и 0р1/2 (Еехр — —0 183 МэВ) Однако при этом возникают два дополнительных связанных состояния 0sl/2 и 0рЗ/2, соответствующие нефизическим (запрещенным) орбиталям sl/2 и рЗ/2, которые можно удалить путем использования двойного преобразования Дарбу Суть метода спектрального дизайна в контексте обсуждаемой задачи сводится к построению суперсимметрично-эквивалентного потенциала с двумя физическими связанными состояниями пВе и фазовыми сдвигами 10Ве + п, но уже без запрещенных состояний [12] Использование метода спектрального дизайна для построение фазово-эквивалентных потенциалов позволяет получать достаточно простые модели, которые тем не менее приводят к качественному согласию с результатами, полученными при анализе более сложных идеалистичных гамильтонианов Эффективность этого подхода была продемонстрирована на примере Зог-модели 12С, на примере изучения ядра 61л, а также для систем а + а + N Фазовая эквивалентность также обсуждалась для 1бО + а + п модели 21Ne и при исследовании пионного распада гиперъядра 5Не [13]
Отметим в заключение, что изучение важных в практическом приложении задач при наличии N связанных каналов требует обращения к матричному уравнению Шредингера Хотя общие теоремы о дарбу-ковариантности для линейных дифференциальных уравнений произвольного порядка с матричными коэффициентами были доказаны еще в докторской диссертации В Б Матвеева, спектральные свойства этих преоб-
разований до сих пор недостаточно изучены По этой причине развитие метода спектрального дизайна для общего случая N связанных каналов имеет чрезвычайно важное значение в развитии теории атомного ядра
Возвращаясь к задачам на прямой, отметим, что преобразование Дарбу дает унифицированный подход ко многим известным алгебраическим методам интегрирования технике вторичного квантования, лестничным операторам, возникающим при построении неприводимых представлений группы іїз и тд В результате имеется простой, но удобный метод получения важных в приложениях соотношений между различными специальными функциями (полиномы Эрмита и Лежандра, гипергеометрическая функция и др)
Не будет преувеличением сказать, что все известные примеры потенциалов уравнения Шредингера, для которых известны аналитические решения, могут быть получены с помощью ПД двумя способами или путем применения ПД к известному интегрируемому потенциалу (например, к нулевому, в случае безотражательных, солитонных потенциалов) или комбинацией последовательности ПД и дополнительного условия гарантирующего форм - инвариантность (см например [14]) Для реализации второго способа удобно использовать не ПД в стандартном виде, а одевающие цепочки дискретных симметрии [15] Наложение условия замыкания на цепочки содержащие N "звеньев" позволяет единым образом получать интегрируемые потенциалы, начиная от гармонического осциллятора и кончая потенциалами выражающимися через трансцен-денты Пенлеве и их обобщения
Широкая распространенность ПД связана с тем обстоятельством, что любое линейное уравнение вида
т=ЕМ*Л^, (і)
fc=i
где ф = ч/>(ж,) и Ak(x,t) - матричные функции, допускает такой вид дискретных симметрии В свою очередь, ряд важных в приложениях нелинейных уравнений могут быть редуцированы в систему уравнений по крайней мере одно из которых является уравнением типа (1) В частности, нелинейные интегрируемые уравнения типа КдФ, НУШ или ДС сводятся к паре линейных уравнений (пара Лакса) Неинтегрируемые модели, конечно, не допускают такого представления Однако, следует отметить, что для реализации преобразований типа ПД, часто достаточно наличия одного линейного уравнения и некоторого калибровочного произвола Например, уравнения Эйнштейна в метрике Фридмана могут
быть записаны как система из двух уравнений, одно из которых линейно (см [16]) Использование ПД для этой системы возможно, благодаря наличию калибровочной свободы (Верещагин, Юров 2004) и позволяет построить множество точных решений описывающих инфляцию с выходом, а также тн "гладкую фантомизацию" (Глава 2 данной диссертации) Аналогичным образом были построены точные решения, содержащие две сингулярности типа большой разрыв, которые составляют основной объект исследований Главы 3
ПД применяются в Главе 4 для изучения формы потенциалов, приводящих к существенно плоскому спектру флуктуации скалярного поля, а также для доказательства ряда утверждений, которые используются в этой же главе при исследовании проблемы восстановления формы потенциала самодействия скалярного поля по данному однопетлевому потенциалу
Данный подход оказался эффективным и в пятимерном пространстве, содержащем семейство вложенных бран (Yurov, Yurov 2005) При этом появляется возможность найти аналитическое решение, которое бы естественным образом приводило к экспоненциально подавленной величине космологической постоянной на видимой бране
Наконец, стоит отметить, что ПД удобно применять в квантовой космологии, как метод построения точных решений уравнения Уилера - Де Витта В свою очередь, использование бинарных ПД (или цепочек последовательных ПД, выраженных с помощью формул Крама) позволяет найти семейства решений с заданным спектром, но зависящих от набора произвольных параметров
Другим важным приложением ПД, не связанным с космологической тематикой, является построение точных решений солитонных уравнений и учете их взаимодействия с произвольным фоновым решением (шумом) нелинейной системы Эффективность ПД в таких задачах связана с тем обстоятельством, что для нахождения новых решений нелинейной задачи требуется знать лишь частные решения системы линейных дифференциальных уравнений, условием совместности которых является исследуемое нелинейное уравнение Это позволяет с одной стороны, провести детальный учет всех свободных параметров, а с другой - конструировать новые решения, нахождение которых другими методами (например МОЗР) было бы достаточно сложной задачей Например, простое дополнение классических ПД процедурой дифференцирования по спектральному параметру позволило обнаружить новый тип решений (позитоны) в такой, казалось бы, хорошо изученной модели, как КдФ
Особенно эффективно использование ПД (и родственных преобра-
зований таких, как преобразования Мутара, Шлезингера, Лапласа) для многомерных моделей, зачастую представляя собой единственный способ построения точных решений соответствующих нелинейных уравнений Более того, использование ПД на языке одевающих цепочек дискретных симметрии позволяет обнаружить неожиданные связи между известными интегрируемыми иерархиями Так, иерархии КдФ, мКдФ, экспоненциального уравнения Калоджеро - Дегаспериса (КД) и эллиптического уравнения КД оказываются связанными с помощью одевающих цепочек дискретных симметрии Аналогичная связь существует между НУШ и уравнениями цепочки Тоды (эта связь реализуется с помощью другой изоспектральной симметрии - преобразования Шлезингера)
Все это указывает на возможную плодотворность обобщения метода одевающих цепочек на более сложные многомерные интегрируемые уравнения Перечислим три основные причины, которые делают, на наш взгляд изучение и обобщение метода одевающих цепочек актуальными задачами Во - первых, это открывает возможности для расширения списка интегрируемых эволюционных нелинейных уравнений и, как следствие, может пополнить этот список новыми интегрируемыми моделями Во - вторых, метод одевающих цепочек позволяет установить связи между (в том числе уже известными) интегрируемыми уравнениями В -третьих, одевающие цепочки строятся с помощью преобразования Дарбу, которое само по себе является эффективным средством для нахождения точных решений нелинейных интегрируемых уравнений
Использование метода одевающих цепочек в теории нелинейных уравнений, возможно, способно пролить свет на еще одно интересное, но не до конца понятое характерное свойство, которым обладают члены интегрируемых иерархий - свойство Пенлеве Суть дела - в следующем наблюдении процедура построения интегрируемых уравнений из одевающей цепочки КдФ приводит к LA-парам, квадратично нелинейным по вспомогательным полям Например, уравнение мКдФ записывается как условие совместности двух скалярных уравнений, одно из которых - уравнение Риккати Это означает, что подвижными особенностями вспомогательных полей по переменной х могут быть только полюсы А -уравнение линейно, поэтому это свойство,сохраняется и по переменной t Вспомогательные поля в свою очередь удовлетворяют уравнению м2КдФ (которое, напомним, после точечной экспоненциальной замены сводится к экспоненциальному уравнению Калоджеро - Дегаспериса) Таким образом, связь уравнения м2КдФ (и значит, всей его иерархии) со свойством Пенлеве становится очевидной, что непосредственно следует из способа построения этого уравнения То же относится и к иерархии м3КдФ Сле-
довательно, возникает естественное предположение, что свойство Пенле-ве может быть получено как следствие суперсимметричной связи между иерархиями (или, иначе, того факта, что все они порождены одевающими цепочками) и наличием L-A-пары (те пары линейных или квадратично нелинейных уравнений, условием совместности которых является исследуемое нелинейное уравнение) для "иерархии-источника", например, для иерархии КдФ Связь свойства Пенлеве с наличием ЬА-и&ры и преобразованиями Беклунда известна и используется в методе сингулярных многообразий Метод одевающих цепочек устанавливает аналогичную связь, но "в обратную сторону" от ЬА-пар и преобразований Дарбу к свойству Пенлеве, а не наоборот
Следует отметить, что изучение общей структуры иерархий интегрируемых моделей представляет большой интерес для современной теории струн Применение обобщенного формализма Редже (триангуляции с фиксированными и одинаковыми длинами сторон треугольников) к двумерной гравитации приводит к матричным моделям, которые, как выяснилось, тесно связаны с иерархиями интегрируемых уравнений Здесь важны г-функции, оказывающиеся эквивалентными непертурбативным статистическим суммам соответствующих моделей Таким образом, изучение связей существующих между иерархиями означает и изучение связей между непертурбативными статсуммами соответствующих матричных моделей
Эффективность ПД для одномерного уравнения Шредингера послужила примером для поиска аналогичных преобразований, пригодных для изучения уравнения Дирака Исследования показали, что для фер-миона во внешнем электростатическом поле, зависящем от одной пространственной координаты, четырехмерное уравнение Дирака редуцируется в систему уравнений Захарова-Шабата, которые лежат в основе интегрирования мКдФ, для которых развивается техника сплетающих операторов [17] Там же была реализована суперсимметричная алгебра, содержащая ненулевые центральные заряды В (Yurov 1997) эти результаты были частично обобщены на случай внешнего электромагнитного поля, зависящего от одной пространственной переменной и от времени Была проведена редукция в плоскую гиперболическую задачу Захарова -Шабата, связанную с теорией уравнений Дэви - Стюартсона ((ДС)) и построены обобщенные формулы Крама Среди интегрируемых потенциалов этих уравнений существуют конфигурации электромагнитных полей в виде последовательности локализованных импульсов Эти результаты могут оказаться полезными в задаче о вычислении плотностей фермион-ных пар, рожденных из вакуума скажем полем лазера описанной конфи-
гурации Для получения этих плотностей следует на первом шаге найти полный набор ортонормированных решений уравнения Дирака с соответствующими электромагнитными потенциалами Коэффициенты разложения операторов поля по положительно и отрицательно частотным решениям представляют собой операторы рождения-уничтожения частиц, определенных при t —» —со, (t - время), если внешнее поле адиабатически выключается при t -> ±00 Гамильтониан диагонализуется (если это возможно) с помощью преобразования Боголюбова Знание коэффициентов, входящих в это преобразование, позволяет найти плотность числа пар квазичастиц в единице объема, а из них предельным переходом вычислить число реальных пар, рожденных внешним полем за время его существования В [18] эти вычисления проведены до конца для внешнего электрического поля в виде одиночного импульса E(t) = Eq/ cosh2(kt) и для постоянного электромагнитного поля Возможность усилить эти результаты списком неоднородных по (одной) пространственной переменной и переменных по времени э/м полей, для которых аналогичная задача может быть также решена в аналитическом виде с помощью ПД (причем, как уже отмечалось, эти поля могут иметь реальный, с точки зрения экспериментатора, смысл) основана на двух наблюдениях
во-первых, ПД позволяют получить полную систему решений соответствующего уравнения Дирака (ср с [19], где рассматривается полнота преобразований Мутара для двумерного уравнения Шредингера),
во-вторых, в (Yurov 1997) продемонстрирована возможность построения "интегрируемых"э/м конфигураций, которые удовлетворяют условию адиабатического включения- выключения (оставаясь при этом пространственно локализованными) По - видимому, этих наблюдений достаточно для того, чтобы описанный выше формализм вычисления плотностей пар оказался эффективным и для сложных, неоднородных э/м полей
Другое неожиданное приложение дискретных преобразований типа ПД - уравнения двумерной гидромеханики несжимаемой жидкости (1л, Yurov 2003), (Юрова, Юров 2006) Хотя эти уравнения не допускают пару Лакса тем не менее, для них можно написать "аналог ПД" и использовать его для построения точных решений двумерных уравнений Навье - Стокса Эта задача, актуальность которой невозможно переоценить, тоже рассматривается в тексте диссертации
[I] Perlmutter S et al Nature 391 (1998) 52, Riess AG et al Astron
J 116 (1998) 1009, Sahm V , Starobmsky A A IJMPD 9 (2000) 373
[2] Hannestad S and Mortsell E Phys Rev D66 (2002) 063508, Tegmark
M et al [Collaboration] Phys Rev D69 (2004) 103501 Seljak U et al, Phys
Rev D71 (2005) 103515, Sahni V , Starobmsky A A , [astro-ph/0610026]
[3] Witten E Nucl Phys B268 (1986) 253, Aref'eva I Ya, Medvedev P В ,
Zubarev A P Nucl Phys B341 (1990) 464
[4] Caldwell R R Phys Lett B545 (2002) 23, Caldwell R R , Kamionkowski
M and Weinberg N N Phys Rev Lett 91 (2003) 071301, Gonzalez-Diaz
P F Phys Lett B586 (2004) 1, Gonzalez-Diaz P F Phys Rev D69 (2004)
063522, Carroll S M , Hoffman M and Trodden M Phys Rev D68 (2003)
023509, Nojin S and Odmtsov S D Phys Rev D70 (2004) 103522
[5] Арефьева И Я , Вернов С Ю , Кошелев А С ТМФ 148 (2006) 23
[6] Darboux J G Compt Rend 94 (1882) 1343
[7] Andnanov A A , Borisov N V , loffe M V Phys Lett A105 (1984) 19,
Andnanov A A , Borisov N V , Eides M I , loffe M V Phys Lett АЮ9
(1984) 143, Berezovoy В P , Pashnev А І ТМФ 70 (1987) 146
[8] Andnanov A A , Cannata F J Phys A37 (2004) 10297
[9] Baye D , Phys Rev Lett 58 (1987) 2738, Baye D , J Phys A20 (1987)
5529, Ancarani L U , Baye D , Phys Rev A46 (1992) 206
[10] Amado R D , Bijker R , Cannata F , Dedonder J P, Phys Rev Lett
67 (1991) 2777, Amado R D , Byker R , Cannata F , Dedonder J P , Walet
NR [nucl-th/9210017]
[II] Twin P J , Nucl Phys A520'(1990) 17, Byrski T et al, Phys Rev Lett
64 (1990) 1650, Scharpey-Schafer J F , Prog Part Nucl Phys 28 (1992)
187
[12] Melezhik V M , Baye D , Phys Rev C59 (1999) 3232, Kido T , Yabana К , Suzuki Y , Phys Rev C53 (1996) 2296 Capel P , Baye D , Melezhik V S , Phys Lett B552, (2003) 145
[13] Baye D , Sparenberg J-M , J Phys A37 (2004), von Oertzen W, Eur Phys J All (2001) 403, Kumagai-Fuse I, Akaishi Y Prog Theor Phys 92 (1994) 815
[14] Matveev V В , Salle M A "Darboux Transformation and Sohtons", Berlm-Heidelberg Springer Verlag (1991), Loutsenko I, Spindonov V CRM Proceedings and Lecture Notes 25 (2000) 273
[15] Веселов А П , Шабат А Б Функц анализ и его прилож 27 2 (1993) 1 [16] Журавлев В М , Червон С В , Щиголев В К ЖЭТФ 114 (1998) 406,
Zhuravlev V M , Chervon S V , Shchigolev V К Phys Lett B398 (1997) 269
[17] Percoco U , Villalba V M Phys Lett A141 (1989) 221, Anderson A Phys Rev A43 9 (1991) 4602
[18] Гриб А А Проблема неинвариантности вакуума в квантовой теории поля М Атомиздат (1978), Гриб А А , Мамаев С Г Мостепаненко В М Вакуумные квантовые эффекты в сильных полях М Энергоатом-издат (1988) [19] Ganzha Е Г [solv-mt/9606001]
Основные результаты и положения, выносимые на защиту Главные результаты, связанные с изучением моделей темной энергии
Доказано что решения уравнений Эйнштейна в метрике Фридмана могут быть построены 'с помощью ПД Показано существование режима гладкой фантомизации Фантомные зоны могут быть удалены без наличия скачков в давлении и плотности
Обнаружено, что решения на бране Рэндал-Сэндрум I с уравнением состояния характерным для фантомной энергии содержат две сингулярности типа "большой разрыв" (решение II) Используя ПД аналогичные решения, можно найти и для обычной фридмановской космологии (решение I), однако уравнение состояния уже не будет иметь стандартного вида Показано, что решение I содержит достаточное число свободных параметров, чтобы быть приведено к виду согласующемуся с данными астрономических наблюдений
Доказано, что несмотря на симметричность решения I во времени, процесс аккреции фантомной энергии на кротовые норы и механизм формирования гигантских черных дыр не обладает такой симметрией Соответственно большой переход реализуется лишь около одной сингулярности
Обнаружено, что пространство-время соответствующему решению II делится на три области, причем в каждой из них возможно как формирование гигантских черных дыр, так и явление большого перехода
Доказано, что формирование "лазов" (в частном случае - кротовых нор) на бране (решения II) свободно от энергетических ограничений, имеющих место в обычном пространстве-времени В частности, здесь не требуется обладать энергетическими масштабами всей
видимой вселенной для построения кротовой норы, способной пропустить объект с характерным макроскопическим размером
Обнаружено, что решения II допускают, в принципе большой переход вдоль замкнутой временеподобной кривой Требование отсутствия парадоксов, могущих появиться в процессе такого путешествия накладывает жесткое условие на волновую функцию вселенной Оказывается, использование такой волновой функции позволяет, в принципе решить проблему плоскостное! и, не используя гипотезу об инфляции
Показано, что потенциал самодействия для скалярного поля может быть восстановлен по данным рассеяния для однопетлевого потенциала описывающего квантовые флуктуации Метод развит на классе потенциалов в теориях поля с (1+1) действием, которые спонтанно нарушают симметрию и одновременно приводят к квантовым флуктуациям отвечающим безотражательным данным рассеивания Формулируется общая задача реконструкции потенциала по данным рассеивания и приводятся точные примеры Найдено, что все потенциалы, удовлетворяющие вышеуказанным свойствам, подобны или модели Ф4 или модели синус-Гордон
Обнаружено, что спектр флуктуации может быть вычислен на фоне статического решения (1+1) некоммутативной скалярной полевой модели Доказано, что в случае солитонных решений, пространственно - временная некоммутативность приводит к порождению новых связанных состояний Найдено, что в случае сингулярных решений (типичных для фантомных космологических моделей с сингулярностью типа "большой разрыв") возникает бесконечное число связанных состояний ео спектром, похожим на спектр кварко-вых состояний Кроме того показано, что двумерное линейное уравнение с умножением Мойяла допускает ПД и итерационные формулы типа Крама
Развито обобщение метода преобразования Дарбу, позволяющее строить точные несингулярные решения, описывающие трехмерную брану, взаимодействующую с пятимерной гравитацией и bulk скалярным полем Обнаружено, что уравнения Эйнштейна и условия Из-разля редуцируются в уравнение Шредингера содержащее разрывный потенциал, причем волновые функции испытывают скачок первой производной Доказано, что всегда можно выбрать функции,
входящие в определитель Крама такими, что пятимерная скалярная кривизна R будет конечна как на бране, так и в объемлющем пятимерном пространстве Представлены новые точные решения, обобщающие модели с нечетным суперпотенциалом Доказано, что формализм оказывается применим и к реалистичному случаю бран с космологическим расширением В частности, используя простое орбиобразие(5'і/^2)и однократное преобразование Дарбу, построена модель с экспоненциально подавленной величиной космологической постоянной на видимой бране
Результаты, связанные с развитием формализма ПД содержащиеся в заключительной главе и Приложении А
10 Показано, что уравнение Дирака, описывающее фермион, взаимодействующий с внешним одномерным, но нестационарным э/м полем, допускает ПД Обнаружено, что использование этих преобразований позволяет найти семейство точных решений для случая адиабатического включения - выключения внешнего поля Доказано что соответствующие полевые конфигурации связаны с мно-госолитонными (многодромионными) решениями уравнений Дэви - Стюартсона
] 1 Получен аналог преобразования Шлезингера для уравнений Дэви-Стюартсона Показано, что в отличии от J—S - систем для моделей типа НУШ для классификации (1+2) моделей недостаточно ограничиться одной йордановой алгеброй Обнаружено, что в основе адекватной конструкции должна лежать некоторая алгебра, содержащая по крайней мере две бинарные операции умножение Йодана и умножение Ли
Найдено, что использование преобразований Шлезингера позволяет построить новые точные несингулярные решения уравнений Дэви-Стюартсона I, рационально или экспоненциально локализованные на плоскости Обнаружено, что использование ПД позволяет исследовать эволюцию локализованного в начальный момент импульса, описываемого уравнениями Дэви-Стюартсона II Решение оказывается неустойчивым
Открыт новый алгебраический метод построения точных решений двумерных уравнений гидромеханики, основанный на промежуточном решении пары линейных уравнений с переменными коэффициентами
Обнаружено, что специфической особенностью (1+2) интегрируемых моделей является существование двух типов одевающих цепочек дискретных симметрии
Показано, что двойное ПД, используемое в квантовой космологии сводится к бинарному ПД Открыто, что описанные в литературе точные решения в квантовой космологии, построенные с помощью ПД обладают дополнительной "не замеченной ранее" параметри-зационной инвариантностью
Научная новизна
Впервые применено ПД для уравнений Эйнштейна в метрике Фридмана и описан режим гладкой фантомизации Впервые описан метод, позволяющий удалять зону, в которой нарушено слабое энергетическое условие так, чтобы давление и плотность оставались непрерывными функциями времени Показано, что двойное ПД, используемое в квантовой космологии, сводится к бинарному ПД Впервые изучена аккреция фантомной энергии на кротовые норы и черные дыры в пространстве-времени, содержащее две сингулярности большого разрыва Впервые продемонстрировано свойство дуальности фантомной энергии во фридмановской космологии и на бране Впервые показано, что в пространстве-времени с такой структурой возможно существование как эффекта "большого перехода", так и гигантских черных дыр Впервые показано, что в пространстве-времени такого типа возможен большой переход вдоль замкнутой времениподобной кривой и что условия самосогласованности приводят к возможности решения проблемы плоскостности без использования инфляционного сценария
Впервые описана задача реконструкции потенциала самодействия скалярного поля по его однопетлевому потенциалу, используемому при расчете спектра квантовых флуктуации Полностью изучен случай, когда последний отвечает безотражательным данным рассеяния, а потенциал самодействия спонтанно нарушает симметрию
Впервые описан феномен генерации связанных состояний за счет пространственно - временной некоммутативности и подчеркнута значимость этого обстоятельства для физики процессов окрест сингулярности большого разрыва Впервые описано ПД для таких моделей
Впервые изучено применение ПД в теории бран Впервые описан новый метод генерации решений несингулярных на бране и в объемлющем пространстве (bulk) Впервые с помощью ПД построены новые решения, в том числе решения, полученные одеванием решений Рэндал - Сэнд-рум, решения, выраженных через четвертую трансценденту Пенлеве и
решения содержащие геометрию орбиобразия и экспоненциально подавленную (на видимой бране) космологическую постоянную
Впервые описаны одевающие цепочки дискретных симметрии для (1+2) уравнений КП, БЛП и ДС Впервые показано, что, в отличии от изученных ранее (1+1) уравнений, (1+2) модели обладают двумя типами одевающих цепочек (цепочки типов I и II, или сопряженные цепочки)
Впервые введено ПД для уравнения Дирака, описывающего ферми-он взамодействующий с (1+1) э/м полем, и предложен метод построения интегрируемых полевых конфигураций, отвечающих адиабатичному включению и выключению внешнего поля, важному при использовании S-матричного формализма
Впервые развит метод построения точных решений уравнений ДС с помощью преобразований Шлезингера Построены новые точные локализованные несингулярные решения уравнений ДС-І Впервые найдены йордановы обобщения уравнений ДС
Впервые предложен алгебраический метод построения точных решений уравнений двумерной гидромеханики, основанный на промежуточном решении пары линейных уравнений с переменными коэффициентами
Научная и практическая ценндстъ Основные результаты диссертации могут иметь важное значение при построении космологических моделей, учитывающих наличие фантомной энергии, фантомизации (глава 2) и тех чрезвычайно специфических явлений, которые характерны именно для такой компоненты темной энергии большой переход, гигантские черные дыры и т д Явление "большого перехода" может оказаться чрезвычайно существенным для построения новых моделей инфляции, при наличии фантомных полей Не исключено, что некоторые эффекты описанные во третьей главе диссертации способны дать решение проблемы плоскостности, альтернативное к решению, предлагаемому в рамках инфляционной парадигмы Методы построения точных решений пятимерных уравнений Эйнштейна при наличии браны (глава 5) выглядят достаточно эффективными для решения проблемы космологической постоянной Наконец, многие частные и общие результаты диссертационной работы могут иметь важное (в том числе) практическое значение в электродинамике сплошных сред, теории интегрируемых систем, гидромеханике (Глава 6), при расчете квантовых флуктуации, в том числе в некоммутативной теории поля (Глава 4), классической и квантовой космологии (приложение А) Вероятно, разработанные в диссертации методы могут также оказаться полезными при расчетах плотностей пар,
рожденных из вакуума внешними полями и при расчете спектра флуктуации метрики в ранней (раздувающейся) вселенной
Апробация работы Основные результаты диссертации докладывались на следующих конференциях
"The 31st Symposium on Mathematical Physics", N Copermcus University, Torun, Poland, 1999
"Международная научно-техническая конференция, посвященная 40-летию лребывывания КГТУ на Калининградской земле и 85-летию высшего рыбохозяйственного образования в России", Калининград, Россия, 1999
"Baltic Sea Seminar", Карлскрона, Швеция, 2000
"Современные образовательные программы региональный опыт реализации и интеграции", КГУ, Калининград, Россия, 2001
"Физическая экология (физические проблемы экологии)", МГУ им М В Ломоносова, Москва, Россия, 2001
"Baltic Sea Semmar", Росток, Германия, 2002
"Международная школа Фока", С -Петербург, Россия, 2002
"Семинар по проблемам измеримости в квантовой гравитации и темной составляющей вселенной", С -Петербург, Россия, 2006
Результаты докладывались и обсуждались на семинарах в Институте физике (Лейпциг, Германия, 2002-2003, Hermann-von-Helmholtz Visitmg Professorship Gottlieb Daimler-und Karl Benz-Stiftung), на физическом факультете Колумбийского университета (штат Миссури, США, 2001, 2004), на коллоквиуме математического отделения Колумбийского университета (штат Миссури, США, 2001, Miller's Scholar), в Познаньском университете (Польша, 2000-2001), на кафедре теоретической физики (РГУ им И Канта, Калининград, Россия, 1990-2006)
Работа проходила экспертную оценку в реализованных проектах 1)Грант РФФИ 91-01-01789
Грант РФФИ 96-01-01408
Грант РФФИ 96-01-01789
Грант РФФИ 00-01-00783
Грант министерства образования Е00-3 1-383
Грант Miller's Scholar на математическом отделении Колумбийского университета (штат Миссури, США), 2001, 2004
Публикации Основные результаты работы изложены в 26 публикациях
Структура работы Работа состоит из введения, пяти глав, заключения двух приложений и списка цитируемой литературы (207 наименований), содержит 31 рисунок и две таблицы Общий объем диссертации - 220 страниц
