Содержание к диссертации
Введение
I Температурно-зависимая модель жидкой капли 16
1.1 Параметризация формы ядра 16
1.2 Свободная энергия ядра. Функционалы ядерной, кулоновской и вращательной энергии ядра 18
1.3 Асимптотический параметр плотности уровней. Сравнение с феноменологическими формулами 27
II Статические и статистические свойства нагретых ядер в макроскопической температурно-зависимой модели 41
2.1 Зависимость высоты барьера деления от температуры и углового момента ядра 41
2.2 Влияние температуры и углового момента на характеристики, определяемые седловой конфигурацией ядра 50
2.3 Жесткость относительно масс-асимметричной вариации формы ядра в модели нагретых вращающихся ядер 59
III Стохастический ланжевеновский подход к динамике деле ния атомного ядра 66
3.1 Эволюция нагретого делящегося ядра как динамика броунов ской частицы 66
3.2 Уравнения Ланжевена и коллективные координаты. Консер вативная сила 70
3.3 Выбор начальных условий и критерия разрыва ядра на осколки 75
3.4 Транспортные коэффициенты. Ядерная вязкость 81
3.5 Статистическая ветвь расчетов. Объединение динамической
и статистической ветвей расчетов 89
IV Применение температурно-зависимой модели жидкой капли для расчета характеристик деления возбужденных вращающихся ядер 98
4.1 Введение 98
4.2 Метод расчета МЭР осколков деления 102
4.3 Механизмы ядерной вязкости и МЭР осколков деления 104
4.4 Влияние выбора параметра плотности уровней на наблюдаемые делительного процесса 110
4.5 Двумерные МЭР осколков деления и угловой момент ядра 115
4.6 Средняя кинетическая энергия, дисперсия массового и энергетического распределений осколков деления как функция
углового момента и энергии возбуждения ядра 118
4.7 Эффекты "памяти" ядерной системы о бблыних флуктуациях масс-асимметричной моды в процессе спуска с барьера 124
4.8 Объяснение зависимости а2м и о\к от / при анализе конкуренции между нейтронным и делительным каналами распада 131
Заключение 144
А Свободная энергия ядра в рамках модифицированного метода Томаса-Ферми 148
Литература
- Свободная энергия ядра. Функционалы ядерной, кулоновской и вращательной энергии ядра
- Влияние температуры и углового момента на характеристики, определяемые седловой конфигурацией ядра
- Уравнения Ланжевена и коллективные координаты. Консер вативная сила
- Влияние выбора параметра плотности уровней на наблюдаемые делительного процесса
Введение к работе
Прошло уже более шести десятилетий с момента появления пионерских теоретических работ по физике деления атомного ядра Френкеля [1], Бора и Уиллера [2]. Простая идея рассмотреть ядро как классическую заряженную жидкую каплю оказалась очень плодотворной. При таком подходе отдельные нуклоны, составляющие ядро, теряют свою индивидуальность, а ядерная система представляет собой каплю ядерного вещества. Особые свойства ядерного вещества, такие, например, как слабая сжимаемость, свойство насыщения ядерных сил, схожесть процесса деления ядра и разделения заряженной жидкой капли и послужили предпосылками возникновения первой теоретической модели атомного ядра. Отметим работу [3], в которой жидкокапельный формализм и разные варианты ядерных МЖК с успехом применялись для описания слияния-деления обычной капли жидкости.
Конечно, атомное ядро является квантовой системой, состоящей из N нейтронов и Z протонов. Поэтому классическая по своей природе МЖК и не претендует на описание всей совокупности экспериментальных данных. Так, например, долго ставивший ученых в тупик вопрос об асимметрии деления тяжелых ядер получил объяснение лишь в рамках метода оболо-чечной поправки Струтинского [4-6]. Модель жидкой капли, безусловно, используется в рамках этого метода, но не менее важную роль играют и одночастичные оболочечные эффекты и эффекты спаривания нуклонов.
За прошедшие годы был накоплен богатый экспериментальный материал по вопросам физики деления. Значительная часть его суммирована и систематизирована в [7-12]. Теоретическое рассмотрение [13,14], экспериментальные исследования, в частности анализ экспериментальных работ по исследованиям массово-энергетических распределений в областях низких и средних энергий возбуждения [8], показали, что при энергии возбуждения ядра выше 50 МэВ одночастичные оболочечные эффекты и эффекты спаривания нуклонов перестают играть существенную роль, и ядро можно рассматривать как каплю заряженной ядерной жидкости. При этом температура ядра довольно высока Т > 1 -f-1,5 МэВ.
МЖК за прошедшие десятилетия подверглась ряду модификаций и улучшений: был учтен короткодействующий характер ядерных сил и диффузность распределения ядерной материи в ядре [15], вращение ядра [16]. Но существенным недостатком модели жидкой капли на протяжении многих лет было отсутствие учета температуры ядерной системы. Оправданием такой ситуации может служить отсутствие для нагретых ядер экспериментальных данных, привлекаемых обычно для определения параметров жидкокапельной модели (энергии связи ядер в основном состоянии и барьеры деления, некоторые барьеры слияния, эквивалентный радиус ядра и диффузность зарядового распределения). В этом случае для определения коэффициентов модели надо полагаться на результаты микроскопических расчетов, выполненных, например, в рамках расширенного температурно-зависимого метода Томаса-Ферми [17]. Обобщение модели вращающейся жидкой капли, учитывающей диффузность ядерной плотности [15,18], на случай нагретых ядер было проведено Краппе в [19], а параметры этой модели были определены Краппе на основе расчетов, выполненных в рамках микроскопического метода Томаса-Ферми. Таким образом, обобщенная модель позволяет адекватно и согласованно учесть в макроскопическом под- ходе, сама применимость которого определяется возбуждением и вращением ядра, влияние и углового момента, и температуры ядра на различные характеристики ядер, на динамику деления ядра.
Деление ядра — это особый процесс, в котором происходят крупномасштабные изменения в структуре ядра. Модель жидкой капли, используя аналогию с разделением обычной капли жидкости, позволяет описать большие деформации ядра, характерные для процесса деления. Простота и наглядность такого подхода, вероятно, одна из причин, по которой МЖК так широко используется и в наши дни, а сама модель до сих пор остается объектом исследования [14,20].
Описание делительного процесса — одна из важнейших задач теории атомного ядра. Долгое время для описания распределений осколков и множественности испущенных ядром в процессе деления частиц применялась статистическая модель деления, предложенная Бором и Уилл ером [2] и Вайскопфом [21]. В случае легких делящихся ядер с параметром Z2/А < 31 статистическая модель может успешно применяться для описания многих характеристик делящихся ядер. Так, например, на основе статистических расчетов было предсказано значительное уширение массового распределения для ядер, лежащих вблизи точки Бусинаро-Галлоне [22,23]. Но статистическая модель в стандартном виде [24] не способна описать экспериментальные данные по дисперсиям массового и энергетического распределений в области тяжелых ядер с параметром Z2/A > 32 [9]. В отличие от легких ядер, для тяжелых седловая точка уже сильно удалена от точки разрыва, и ядру требуется некоторое время для достижения разрывной конфигурации. В этом случае концепция переходного состояния, в качестве которого в статистической модели обычно используется седловая точка, не позво- ляет добиться количественного согласия с экспериментальными данными. За время спуска от седловой точки к разрыву многие характеристики делящегося ядра могут сильно измениться, что в статистической модели не учитывается.
Другая модель, успешно применявшаяся для анализа экспериментально наблюдаемых характеристик деления, — динамическая модель с нулевой вязкостью [25-27]. В рамках этой модели были впервые изучены двумерные МЭР осколков деления, наблюдаемые экспериментально. Но, как и в случае статистической модели, в динамической модели с нулевой вязкостью не удалось описать резкий рост дисперсий массового и энергетического распределений в области тяжелых ядер. Эту неудачу двух противоположных по своей сути моделей делительного процесса можно объяснить тем, что в них рассматриваются два предельных случая представления о вязкости ядерного вещества, которые вряд ли реализуются в делении.
В семидесятых годах прошлого века появился новый подход к описанию распределения осколков деления — диффузионный. Начало ему положила ставшая уже классической работа Крамерса [28], в которой он обобщил выражения Бора и Уиллера для статистической делительной ширины на случай вязкого ядерного вещества. Делительный процесс Крамере рассмотрел как диффузионный процесс при наличии внешнего поля. Позже к этой идее вернулись [29-33] и для описания динамики деления стали применять уравнение Фоккера-Планка (УФП) для функции распределения коллективных координат и сопряженных им импульсов. В рамках этого подхода процесс деления описывается с помощью небольшого числа коллективных переменных, которые рассматриваются как броуновская частица, находящаяся в термостате. Роль термостата в данном случае играют внутренние (одночастичные) степени свободы ядра. То есть все степени свободы ядра разделяются на две группы: коллективные, динамику которых и отслеживают (обычно это степени свободы, отвечающие параметрам формы ядра) и внутренние (прочие) степени свободы. Внутренние степени свободы обобщенно учитываются как термостат, влияющий на динамику коллективных степеней свободы ядра. Это взаимодействие подобно процессу блуждания броуновской частицы в вязкой жидкости. Введение взаимодействия между частицей и термостатом приводит естественным образом к появлению трения. Это позволяет в рамках диффузионной модели достичь еще более полного описания процесса деления и воспроизвести в теоретических расчетах резкий рост дисперсий массового и энергетического распределений с увеличением А в области тяжелых ядер.
В последнее время большее предпочтение в теоретических расчетах в рамках диффузионного подхода отдается физически эквивалентным УФП уравнениям Ланжевена. Как известно, уравнение Фоккера-Планка — многомерное уравнение в частных производных, имеющее точное решение лишь для небольшого круга задач. Применение его в рамках диффузионной модели приводит к необходимости использования различных приближений и упрощений, что негативно сказывается на точности и достоверности получаемых результатов. Напротив, уравнения Ланжевена могут быть решены на основе численных методов без привлечения дополнительных аппроксимаций и приближений. Использование системы уравнений Ланжевена для описания динамики деления ядра было впервые предложено Абе [34,35]. А сам подход, основанный на системе уравнений Ланжевена, зачастую называют флуктуационно-диссипативной динамикой. Однако и в этом случае возникают свои трудности. Желание добиться в рамках ланжевеновско- го подхода описания максимально возможного числа экспериментальных данных приводит к необходимости решения уравнений Ланжевена для как можно большего числа коллективных переменных.
При введении каждой новой коллективной переменной в уравнения Ланжевена значительно возрастают объем и трудоемкость вычислений. Поэтому первоначально задача о формировании массовых и энергетических распределений решалась в ограниченном виде — расчеты проводились в рамках одномерных и двумерных моделей. В рамках одномерных расчетов [36-41] были детально изучены средние множественности предразрывных нейтронов, дипольных 7-квантов и вероятности деления. Двумерные расчеты позволили дополнительно изучить либо энергетические распределения для симметричного деления [42-47], либо массовые распределения осколков деления, соответствующие наиболее вероятной кинетической энергии [48-50].
Однако определяемые экспериментально характеристики массового и энергетического распределений осколков деления получаются из двумерного массово-энергетического распределения. Ограничения и упрощения, накладываемые двумерной ланжевеновской моделью, в итоге приводили к заниженным теоретическим значениям дисперсий распределений. Расчеты, проведенные в рамках трехмерной ланжевеновской динамики [51-56], подтвердили этот факт. В них помимо координаты, соответствующей удлинению ядра, и координаты, описывающей эволюцию шейки, была дополнительно включена координата массовой асимметрии, описывающая отношение масс будущих осколков. Учет новой коллективной переменной привел к увеличению объема фазового пространства, росту флуктуации в системе и, как следствие, к росту дисперсий распределений осколков, а самое главное — еще более приблизил ланжевеновскую динамику деления ядра к реальному физическому процессу. Именно трехмерная ланжевеновская модель позволяет получать и изучать теоретическое двумерное массово-энергетическое распределение, а из него уже одномерные массовое и энергетическое распределения осколков деления.
Появившаяся в последние десятилетия возможность экспериментального изучения процесса деления атомных ядер, образующихся в реакциях с тяжелыми ионами, стимулировала теоретические исследования процессов формирования и распада ядер с большими угловыми моментами и относительно большой энергией возбуждения [57,58,17,59-67]. В большинстве упомянутых выше теоретических работ при определении различных характеристик ядер не был проведен одновременно учет влияния, как температуры ядра, так и вращения его как целого на исследуемые характеристики. Важность такого учета нельзя переоценить, особенно в случае реакций с тяжелыми ионами, но это, тем не менее, не уменьшает ценности ранее проведенных исследований. Обобщение модели жидкой капли с конечным радиусом действия ядерных сил на случай ненулевой температуры ядра, осуществленное Краппе, позволяет в рамках единого подхода учесть влияние обоих факторов возбуждения ядра (тепловое и вращательное возбуждения). В частности, эта новая модель позволяет определить как свободную энергию ядра, так и асимптотический параметр плотности одночастичных уровней возбужденного ядра (в дальнейшем просто парамтер плотности уровней) для деформаций, реализующихся в процессе деления, — два важнейших параметра при ланжевеновском моделировании динамики деления ядра. Таким образом, появляется возможность в рамках одного подхода согласованно учесть влияние, как температуры ядра, так и его вращения на массовое и энергетическое распределения осколков деления.
В связи с вышеизложенным, цель настоящей диссертации состоит в следующем:
Согласованный расчет термодинамических и статистических характеристик делящихся ядер: асимпотического параметра плотности уровней возбужденного ядра, потенциальной и свободной энергии, энтропии ядра. Определение статических характеристик делящихся ядер, таких как барьеры деления, конфигурации седловых точек, точек характерных неустойчивостей (точки Бусинаро-Галлоне, Z2/ACIit), эффективных моментов инерции и критических угловых моментов, а также изучение влияния температурного и вращательного возбуждений ядра на эти характеристики.
Использование изучаемой модели в рамках флуктуационно-диссипа-тивной динамики для теоретического расчета характеристик двумерного массово-энергетического распределения осколков деления высоковозбужденных ядер. Исследование влияния выбора асимптотического параметра плотности уровней, используемого при динамическом моделировании, на изучаемые характеристики ядерных реакций.
Исследование влияния углового момента и температуры ядра на характеристики массового и энергетического распределений осколков деления в широком диапазоне параметра делимости ядра Z2/A. Изучение эффекта "памяти" ядра о спуске с барьера к разрыву и влияния данного эффекта на массовое распределение осколков деления.
Научная новизна и значение результатов
1. Впервые проведено подробное изучение и апробация температурно-зависимой модели жидкой капли с конечным радиусом действия ядер- ных сил. Изучены статические и статистические свойства ядер в рамках изучаемой модели. Рассмотрена зависимость этих свойств, как от углового момента, так и от температуры составного ядра для ядер в широком интервале параметра делимости.
Впервые исследовано применение температурно-зависимой МЖК в теории деления атомных ядер: модель была использована для расчета консервативной движущей силы в уравнениях Ланжевена и параметра плотности уровней. В рамках исследования были изучены двумерные массово-энергетические распределения осколков деления совместно с множественностями предразрывных нейтронов и вероятностями деления.
В рамках трехмерных динамических ланжевеновских расчетов была впервые изучена зависимость параметров массового и энергетического распределений осколков деления от углового момента и температуры составного ядра в широком диапазоне параметра делимости ядра Z2/A.
4. В рамках ланжевеновской динамики впервые исследовано влияние эф фекта "памяти" составной ядерной системы о предыстории своего ди намического спуска с барьера к разрыву на массовое распределение осколков деления.
Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, одного приложения и списка цитируемой литературы. Объем диссертации — 178 страниц, включая 31 рисунок и 4 таблицы. Список литературы содержит 171 наименование.
Во введении дан краткий обзор модели жидкой капли и рассмотрены существующие подходы к описанию процесса деления ядра. Сформулированы научная новизна и цель работы.
В первой главе изложены детали температурно-зависимой модели жидкой капли с конечным радиусом действия ядерных сил. В ней обсуждаются параметризация формы ядра (1.1); расчет функционала свободной энергии (1.2); 1.3 посвящен расчету асимптотического параметра плотности уровней в рамках рассматриваемой модели и сравнению его с феноменологическими формулами, часто используемыми в теоретических исследованиях.
Вторая глава посвящена изучению статических и статистических свойств нагретых ядер в макроскопической температурно-зависимой модели. Изучены барьеры деления и критические угловые моменты, отношение асимптотических параметров плотности уровней в делительном и нейтронном канале, квадрупольные деформации ядер в седловой точке и эффективные моменты инерции на барьере. Рассмотрено влияние теплового и вращательного возбуждения на критические точки, такие как точка Бусинаро-Галоне и Z2/ACTit, уделено внимание влиянию температуры ядра на жесткость относительно масс-асимметричных вариаций формы ядра. Эти характеристики рассчитаны в широком диапазоне температур и величин углового момента ядра, параметра делимости.
В третьей главе рассматривается стохастический подход к динамике деления ядра, основанный на уравнениях Ланжевена. В ней обсуждаются обоснованность выбора стохастического подхода для описания процесса деления ядра (3.1); метод решения и вид многомерных уравнений Ланжевена (3.2); выбор начальных условий для динамических уравнений и крите- рия разрыва ядра на осколки (3.3); 3.4 посвящен расчету транспортных коэффициентов (инерционных и фрикционных); наконец, в 3.5 приведены детали объединения динамической и статистической ветвей расчетов.
Четвертая глава посвящена результатам применения температурно-за-висимой модели жидкой капли с учетом конечности радиуса действия ядерных сил для расчета характеристик деления возбужденных вращающихся ядер. Расчеты МЭР осколков деления и средней множественности предде-лительных нейтронов проведены с использованием как однотельного, так и двухтельного механизмов ядерной вязкости. Изучен вопрос влияния выбора асимптотического параметра плотности уровней на наблюдаемые делительного процесса. Уделено внимание вопросу учета коллективных усилений плотности уровней при проведении динамических ланжевеновских расчетов. Исследовано влияние углового момента, вносимого в составное ядро, на характеристики массово-энергетического распределения осколков деления. Дана оценка влиянию температуры ядра на изученную зависимость. Рассмотрен вопрос об эффекте "памяти" ядерной системы о больших флук-туациях масс-асимметричной моды в процессе спуска с барьера. Уделено внимание роли динамики протекания процесса деления, а также испарения частиц.
Результаты диссертации докладывались на VIII международной конференции по ядерным столкновениям (Москва, июнь 2003), на международной конференции по экзотическим ядрам "EXON-2004" (Петергоф, июль 2004), на 5-ой международной конференции "Ядерная и радиационная физика" (Алматы, Казахстан, сентябрь 2005), на научных семинарах кафедры теоретической физики ОмГУ и опубликованы в 10 печатных работах [68-77].
Все результаты диссертации, перечисленные в заключении, получены лично автором. Во всех этапах работы автор принимал активное участие: в решении поставленной задачи, разработке методов и программ для ЭВМ, анализе полученных результатов и подготовке статей. Совместно с Карповым А.В. был модифицирован разработанный ранее комплекс программ для динамического моделирования процесса распада ядра путем деления и эмиссии легких предразрывных частиц с использованием трех коллективных координат. Лично автором были разработаны программы расчета свободной энергии и параметра плотности уровней ядра в рамках температурно-зависимой модели жидкой капли с конечным радиусом действия ядерных сил, расчета статических и статистических свойств ядер в этой модели.
Работа выполнена на кафедре Теоретической физики Омского государственного университета имени Ф.М. Достоевского.
Свободная энергия ядра. Функционалы ядерной, кулоновской и вращательной энергии ядра
Образующиеся в реакциях с тяжелыми ионами нагретые вращающиеся составные ядра представляют собой термодинамическую систему. Различные параметры и условия стабильности такой системы, естественно, должны определяться каким-либо ее термодинамическим потенциалом: либо свободной энергией [19], либо энтропией [36]. Выбор того или иного термодинамического потенциала определяется вкусом и удобством при проведении вычислений, так как они связаны между собой хорошо известным соотношением: F(q, Г) = (q, Т) - TS.
Конечно, наиболее полная и точная информация о влиянии температурных эффектов и вращения ядра на его характеристики в теоретиче ских расчетах может быть получена в микроскопических подходах: метод Хартри-Фока [64], модифицированный метод Томаса-Ферми [17,59,62,67] или в рамках релятивистской теории среднего поля [82,88]. Однако такие расчеты сложны и трудоемки даже при современном уровне вычислительной техники. В рамках более простого макро-микроскопического метода, предложенного Струтинским [4], выполнены расчеты барьеров деления и критических угловых моментов для возбужденных ядерных систем в работе Дибеля [57]. Но наиболее простым и успешно используемым в динамике деления является подход, опирающийся на жидкокапельиые представления о ядре.
Как уже было отмечено, для определения параметров жидкокапельной модели, описывающей нагретое вращающееся ядро, трудно привлечь обычно используемые обширные экспериментальные данные, так как они определены лишь для холодных ядер. В этом случае определить коэффициенты модели можно, используя результаты теоретических микроскопических расчетов, выполненных, например, в рамках расширенного температурно-зависимого метода Томаса-Ферми [17]. Именно таким образом Краппе были установлены параметры температурно-зависимой МЖК. Подробности этой процедуры детально изложены в [19].
Свободная энергия ядра как функция массового числа А — N + Z, нейтронного избытка приходящегося на один нуклон / = (N — Z)/A, температуры и коллективных координат q, описывающих форму ядра, имеет вид [19] F(A Z, q, Г, L) = -av(l-kvI2)A + as(l-.ksI2)Bn(q)A2 + coA + Z2 5 ( 3 \2/3 Z4/3 +аеІЇ7зВс(Ч) - «c3 ( j + + 2J(q) (L3) где av, s, и ac — параметры объемной, поверхностной, кулоновской энергии температурно-зависимой МЖК с диффузным краем при нулевой температуре, а ку и ks соответствующие объемный и поверхностный параметры энергии симметрии.
Легко видеть, что функционалы (1.4),(1.5) — это фактически функционалы ядерной и кулоновской энергии в МЖК с конечным радиусом действия ядерных сил [18]. Последнее слагаемое в формуле (1.3) представляет собой вращательную энергию с зависящим от деформации твердотельным моментом инерции ядра с учетом диффузности ядерной плотности (полный аналог вращательной энергии в МЖК с конечным радиусом действия ядерных сил [18]). Выражение для функционала J(q) имеет вид: (1.6) J(q)=J0fjmax+10[ ]2N где JQ = \MQRQ — момент инерции сферического ядра массой MQ = тоА, a TUQC = 939,15МэВ. RQ = roA1 3 — радиус исходного сферического ядра. J±, еСЛИ J± J, Jn, если J± J, Zmax л __ 1С %тах где /ц = Ц f dzpg, «ЛІ = зі / a,2r/? (4z+/9g)—твердотельные моменты J dzpi JL = f2 Zrnin Zmin инерции ядра относительно оси симметрии и относительно оси вращения
Параметр массовой диффузности полагается равным по величине параметру диффузности зарядового распределения ядра ам = «а- Температурно-зависимая константа ас выражается через элементарный заряд е (е2 = 1,439976 МэВфм) и константу г о как ас = -.
Температурная зависимость семи коэффициентов, входящих в уравнение (1.3) av, as, kv, ks, го, а, и ад, параметризована в форме [19]: щ{Т) = ai{T = 0)(1 -ХіТ2), (1.8) которая может считаться адекватной для Т 4 МэВ [17]. Информация о температурных коэффициентах ХІ была получена в самосогласованных микроскопических расчетах в рамках расширенного метода Томаса-Ферми с применением "SkM "-взаимодействия в качестве эффективного взаимодействия между нуклонами [17,59]. В работе [19] результаты этих расчетов для термодинамического потенциала Гиббса были применены для получения формулы (1.3).
Влияние температуры и углового момента на характеристики, определяемые седловой конфигурацией ядра
Седловая конфигурация ядра — форма, которую принимает делящееся ядро в седловой точке. Эта точка определяет положение барьера деления на квазиповерхности, задающей зависимость свободной энергии ядра от коллективных координат. Определяется она как точка условного равновесия (максимум по основной делительной координате с и минимум по остальным), а величина барьера, соответственно, определяется как разность между значением свободной энергии в седловой точке и минимальным значением свободной энергии. Точка минимума, в свою очередь, определяет координаты основного состояния ядра. Положение седловой точки в пространстве коллективных координат задается в случае использованной нами {с, h, -параметризации тремя величинами: csd, hsd, asd- Причем значение координаты asd мы сразу положили равным нулю, так как хорошо известно для модели вращающейся жидкой капли [18,8], для ядер лежащих правее точки Бусинаро - Галлоне (средние и тяжелые ядра), что асимметричные формы делящегося ядра менее выгодны с энергетической точки зрения, а профиль поверхности свободной энергии вдоль координаты а для седловой точки имеет вид параболы с минимумом ва = 0. Для легких ядер (лежащих левее точки Бусинаро - Галлоне) профиль имеет, в свою очередь, вид перевернутой параболы с максимумом в а = 0. В этом случае при поиске минимума по координате масс-асимметрий возникает проблема конечности сетки по этой координате. Чтобы избежать ее мы, осуществили в наших расчетах следующее "упрощение": координату масс-асимметрий седловой точки asd мы положили равной нулю для всех исследуемых ядер. Данное "упрощение" не противоречит экспериментально наблюдаемому преобладанию симметричного деления нагретых ядер [8].
На основании наших расчетов можно сделать следующий вывод: подобно случаю с эффектом уменьшения высоты барьера, наибольшее влияние на положение барьера температура и угловой момент оказывают в области тяжелых ядер, и чем легче ядро, тем слабее сказывается влияние этих двух факторов. Так, при любой из рассматриваемых нами температур (4 МэВ максимум), седловая конфигурация ядер легче 122Те уже практически не зависит ни от теплового, ни от вращательного возбуждения ядра. А если же ограничить область температур величиной 2 МэВ, то описанный эффект наблюдается уже начиная с 15GGd. Аналогичная картина наблюдается и в случае варьирования углового момента при постоянной температуре.
Иллюстрацией вышесказанного служит рис. 2.4) б, на котором представлена температурная зависимость квадрупольного момента для седловых конфигураций бета-стабильных ядер. Для сравнения между собой влияний вращения и нагрева ядра на седловую конфигурацию на рисунке 2.4) б приведены также кривые с квадратами и кружками. Они отвечают сед-ловым конфигурациям ядер при угловом моменте І = 40Я и температуре
T = 0 и 2 МэВ (сплошная и штриховая кривые) соответственно. Можно видеть, что примерно к одинаковым седловым конфигурациям делящихся бета-стабильных ядер приводит как нагрев невращающегося ядра до температуры 2 МэВ, так и вращение холодного ядра с угловым моментом 40Я. Подобные выводы можно сделать и для случаев Т = 3,/ = О и Т = 2, I = 40. Отметим, что наблюдаемая нами картина качественно соответствует результатам работ [58] и [62].
Сравнить напрямую результаты наших расчетов седловых конфигураций с экспериментальными значениями невозможно. Сделать это можно опосредовано, сравнив величины, зависящие от формы ядра на барьере: отношение параметров плотности уровней на барьере и в основном состоянии (af/an), эффективный момент инерции на барьере (Jeff).
Важность отношения af/an при статистическом моделировании реакций деления, индуцированных тяжелыми ионами, хорошо известна [9,100]. Фактически определяя эмиссию нейтронов, этот параметр наряду с величиной барьера определяет и делимость составного ядра, а роль его с ростом энергии возбуждения лишь увеличивается [101]. Разница а/ и ап — макроскопический эффект, описываемый в рамках капельной модели, происхождение которого теория связывает с влиянием на плотность уровней поверхности и формы ядра [92,95]. Отношение aj/an хотя и близко к единице, но изменение уже на несколько процентов изменяет отношение средних делительной и нейтронной ширин распада, и чем больше энергия возбуждения, тем существеннее [101].
Уравнения Ланжевена и коллективные координаты. Консер вативная сила
В рамках теории переноса, зачастую называемой диссипативной динамической моделью, динамика делительных степеней свободы (коллективное движение) с большой инерциальной массой рассматривается как движение массивной броуновской частицы в вязкой нагретой жидкости (термостате) под воздействием внешнего поля. Все остальные степени свободы ядра считаются внутренними, находящимися в тепловом равновесии. Они и соответствуют этому самому термостату. Влияние динамики броуновской частицы на термостат полагается несущественным, а очень важным вопросом становится влияние термостата на динамический макроскопический объект. Перераспределение энергии между степенями свободы системы выступает в данном случае как взаимодействие частицы и термостата, представляющее собой связь между коллективными (выделенными) переменными и внутренними. Эта связь обычно моделируется с помощью введения диссипации энергии, запасенной в коллективных степенях свободы, вследствие трения во внутренние. А наличие диссипации приводит к возникновению флуктуации в системе, взаимообусловленность которых выражается флуктуационно-диссипационной теоремой. Таким образом, флуктуации наблюдаемых возникают при теоретическом описании именно вследствие потери информации из-за выделения лишь небольшого числа степеней свободы (коллективных переменных), эволюция которых детально изучается, и неким усредненным представлением о всех прочих степенях свободы. В большинстве случаев инерционная масса, связанная с коллективными степенями свободы, достаточно велика, чтобы динамика этих степеней свобо ды подчинялась законам классической физики.
Разделение целой ядерной системы на броуновскую частицу и термостат основано на предположении, что время релаксации внутренних степеней свободы тгеі гораздо меньше времени тсоц, за которое коллективные переменные заметно меняются. Выделение этих двух временных масштабов позволяет разделить гамильтониан на две части: коллективную, описывающую степени свободы, соответствующие параметрам формы ядра, и внутреннюю часть, описывающую внутренние степени свободы. Кроме того, если предположить, что память о движении внутренних степеней свободы ядра теряется очень быстро, то из описанного выше гамильтониана легко получить уравнения переноса для коллективных степеней свободы. Если ТРоіпсаге — ВреМЯ, КОТОрОЄ ТребуЄТСЯ СИСТЄМЄ, ЧТОбы ВЄрнуТЬСЯ В ТОЧКу ОЧЄНЬ
близкую к исходному положению системы в фазовом пространстве (время возврата Пуанкаре), то оно должно быть намного больше характерного времени для коллективного движения. Поэтому коллективная динамика является необратимой. А для того, чтобы формализм теории переноса был применим, временные масштабы, определяющие поведение системы, должны удовлетворять следующему неравенству: тгеі «С тсо\ С тр0іпсаге Было показано, что наряду с реакциями глубоко неупругих передач тяжелых ионов, теории переноса могут быть также применены для описания распада составной ядерной системы [112]. Одним из важнейших параметров диффузионной модели деления является ядерная вязкость(трение) Г], которая определяет силу связи между делительными и внутренними степенями свободы и связана с коэффициентом диффузии D соотношением Эйнштейна. Диффузионная модель применима к делению тогда, когда внутреннее время релаксации тге/ термостата мало по сравнению с характер ным временем самого процесса диффузии (пропорциональным rf ) и временами г/ = /ї/Г/ и тп = Н/Гп. Здесь Г/ иТп — делительная и нейтронная ширины при данной энергии возбуждения. На основе микроскопических расчетов были получены простые оценки области применимости диффузионной модели ЗхЮ21 с-1 [113] (ш - масса броуновской частицы), и для энергий возбуждения примерно 100 МэВ и выше. Мы будем полагать, что уравнение переноса (диффузионное уравнение) применимо к описанию деления ядра в рамках флуктуационно-диссипативной динамической модели при высоких энергиях возбуждения ядра.
Рассмотрение внутренних мод возбуждения ядра как термостата имеет два следствия. Во-первых, энергия коллективного движения необратимо переходит во внутреннюю энергию возбуждения, что проявляется как сила трения в коллективной динамике. Наличие трения приводит к диссипации энергии из коллективных степеней свободы ядра во внутренние. А это, в свою очередь, приводит к возникновению флуктуации в системе согласно общему формализму флуктуационно-диссипационной теоремы. Частный случай этой теоремы — соотношение Эйнштейна, связывающее амплитуду флуктуации с температурой и трением в системе — выражает в рамках данных модельных упрощений связь между трением, приводящим к диссипации энергии броуновской частицы в термостат, и флуктуацией наблюдаемых частицы. Во-вторых, то, что динамика внутренних степеней свободы, обобщенно представленных температурой Т, нескоррелирована и привносит элемент случайности в связь между термостатом и коллективным движением. Как следствие, обмен энергией на малых временных масштабах происходит в обоих направлениях случайным образом, хотя в целом энергия переходит в термостат.
Влияние выбора параметра плотности уровней на наблюдаемые делительного процесса
Массово-энергетические распределения (МЭР) осколков деления и множественности предразрывных нейтронов традиционно используются как основной источник информации о динамике процесса деления. Впервые массово-энергетические распределения (МЭР) осколков деления были достаточно полно изучены Никсом и Святецким в их динамической модели с нулевой вязкостью [25,26]. В рамках этой модели удалось описать параметры МЭР осколков деления для легких делящихся ядер с Z2/A 31. Для более тяжелых ядер модель с нулевой вязкостью [25, 26] приводит к систематически низким значениям дисперсий массовых и энергетических распределений.
Больших успехов в описании характеристик МЭР осколков деления и понимании роли ядерной диссипации удалось достичь в рамках диффузионной модели, основанной на многомерных уравнениях Фоккера-Планка для функции распределения коллективных переменных [32,79]. Важным достижением диффузионной модели является объяснение резкого роста дисперсий массового и энергетического распределений с увеличением параметра Z2/А, однако модель имеет и ряд недостатков. Основной недостаток заключается в том, что для решения уравнения Фоккера-Планка применяются приближенные методы, флуктуации коллективных переменных учитываются "в среднем". В работе [44] сравнивались дисперсии энергетических распределений, рассчитанные в диффузионной и двухмерной лан-жевеновской моделях. В результате была оценена погрешность, к которой может приводить приближенность методов решения уравнения Фоккера-Планка. Ее величина около 30%. В диффузионной модели и модели с нулевой вязкостью Никса также не рассматривался процесс девозбуждения составного ядра за счет эмиссии предразрывных нейтронов, которая может оказывать значительное влияние на процесс эволюции коллективных степеней свободы и, в конечном итоге, на параметры рассчитываемых распределений осколков деления. Подтверждением этого служат представленные в настоящей главе результаты исследований влияния углового момента составного ядра на параметры массового-энергетического распределения осколков деления.
Двумерные ланжевеновские расчеты позволяют изучить либо энергетические распределения для симметричного деления [42-47], либо массовые распределения осколков деления, соответствующие наиболее вероятной кинетической энергии [48-50]. Стохастический подход, основанный на системе трехмерных уравнений Ланжевена, позволяет в полном объеме изучить МЭР осколков деления совместно со множественностью предразрывных частиц и сечениями остатков испарения. Результаты успешного применения данного подхода, в частности при описании массового и энергетическо го распределений осколков деления, для ядер в широком диапазоне параметра делимости и энергий возбуждения подробно изложены в обзоре [55].
Образующиеся в реакциях слияния с тяжелыми ионами составные ядра, помимо относительно большой энергии возбуждения, могут обладать и большими угловыми моментами. Причем величина углового момента составного ядра для двух событий слияния в этих реакциях может сильно различаться. В связи с этим вопрос о влиянии углового момента компаунд-ядра на массово-энергетическое распределение осколков деления составных ядер является важным. Экспериментальные исследования этого вопроса проводятся уже не один десяток лет. В работах Иткиса, Русанова,Чубаряна и других [10-12] сведены воедино результаты анализа экспериментальных данных по зависимостям характеристик массово-энергетического распределения от /. В частности, для дисперсии массового распределения (MP) были выделены три группы ядер, для которых различен коэффициент зависимости dalf/dl2. Для ядер с Z2/A 31 коэффициент da2M/dl2 0, то есть дисперсия массового распределения увеличивается с ростом I. Для легких делящихся ядер с Z2/A 30 дисперсия MP убывает с увеличением углового момента da2M/dl2 0, а для ядер в районе Pt и Os происходит переход от первой тенденции ко второй и da2M/dl2 0. Также в работах [11,12] отмечается, что величина средней кинетической энергии осколков {Ек) практически не зависит от /, а верхняя оценка коэффициента d {Ек) /dl2 составляет 0,3 кэВ/Я2. Величина дисперсии энергетического распределения, в свою очередь, для легких делящихся ядер практически не зависит от углового момента.
