Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА 1. Анализ корневых показателей качества систем с интервальными параметрами 17
1.1 Постановка задачи 17
1.2 Анализ робастного качества интервальной системы низкого порядка в вершинах многогранника коэффициентов характеристического полинома
1.2.1 Интервальные фазовые неравенства 25
1.2.2 Проверочные вершины для определения степени робастной устойчивости 30
1.2.3 Проверочные вершины для определения степени робастной колебательности 35
1.2.4 Примеры определения проверочных вершин интервального полинома 39
1.3 Анализ робастного качества интервальных систем высокого порядка на
основе коэффициентных показателей 46
1.3.1 Коэффициентные показатели качества 46
1.3.2 Интервальное расширение условия заданной степени устойчивости стационарной системы 50
1.3.3 Анализ степени робастной устойчивости и колебательности интервальной системы 52
1.4 Основные результаты 53
ГЛАВА 2. Максимизация степени устойчивости систем управления линейными регуляторами по выход у 55
2.1 Постановка задачи 55
2.2 Синтез регуляторов стационарных систем с максимальной степенью устойчивости 60
2.2.1 Условия квазимаксимальной степени устойчивости 60
2.2.2 Определение максимальной степени устойчивости на основе математического программирования 62
2.2.3 Методики синтеза типовых линейных регуляторов максимальной степени устойчивости при ограничениях 63
2.2.4 Пример 64
2.3 Синтез регуляторов интервальных систем с квазимаксимальной степенью робастной устойчивости при ограничениях 68
2.3.1 Интервальное расширение условий квазимаксимальной степени устойчивости 68
2.3.2 Методика синтеза типовых линейных регуляторов квазимаксимальной степени устойчивости интервальной системы при ограничениях 71
2.3.3 Пример 72
2.4 Основные результаты 76
ГЛАВА 3. Параметрический синтез линейных регуляторов систем управления с заданной степенью апериодической устойчивости на основе принципа доминирования полюсов 77
3.1 Постановка задачи 77
3.2 Обеспечение доминирования заданного вещественного полюса стационарной системы
3.2.1 Разделение характеристического полинома на доминирующий и свободный 82
3.2.2 Основные соотношения для выбора параметров регулятора системы низкого порядка 84
3.2.3 Методика синтеза ПИ-регулятора стационарной системы третьего порядка 87
3.2.4 Пример 87
3.2.5 Методика параметрического синтеза ПИД-регулятора стационарной системы высокого порядка с заданной или квазимаксимальной степенью доминирования вещественного полюса
3.2.6 Пример 92
3.3 Обеспечение доминирования отрезка вещественного полюса интервальной системы 94
3.3.1 Разделение интервального характеристического полинома на доминирующий и свободный 94
3.3.2 Основные соотношения для выбора параметров робастного регулятора интервальной системы низого порядка 97
3.3.3 Методика синтеза ПИД-регулятора интервальной системы третьего порядка 99
3.3.4 Пример 100
3.3.5 Параметрический синтез регулятора интервальной системы высокого порядка с заданной или квазимаксимальной степенью робастного доминирования полюсов 104
3.3.6 Пример 105
3.4 Основанью результаты 108
ГЛАВА 4. Синтез робастного регулятора системы компенсации веса подъемно-транспортного механизма
4.1 Постановка задачи ПО
4.2 Математическая модель системы компенсации веса 112
4.3 Синтез регулятора системы компенсации веса 115
4.4 Анализ работы системы компенсации веса 118
4.5 Основные результаты 123
Заключение 124
Список литературы
- Интервальные фазовые неравенства
- Синтез регуляторов стационарных систем с максимальной степенью устойчивости
- Разделение характеристического полинома на доминирующий и свободный
- Математическая модель системы компенсации веса
Интервальные фазовые неравенства
В отличие от стационарных систем у ИСАУ корни ИХП мигрируют по комплексной плоскости образуя области их локализации. Очевидно, что по границам этих областей можно находить корневые показатели робастного качества: степень робастной устойчивости и степень робастной колебательности (рисунок 1.2). Степень робастной устойчивости определяется минимальным расстоянием от мнимой оси до ближайшей границы области локализации полюсов. Степень робастной колебательности определяется минимальным углом, в котором располагаются все области локализации полюсов ИСАУ.
Корневые показатели робастного качества соответствуют наихудшим режимам работы системы (с минимальной степенью устойчивости и максимальной колебательностью) при изменении ее параметров в заданных интервалах. Такие показатели используются в работах [43, 102, 103, 108, 129, 131, 133, 142, 171, 196, 197]. Рассмотрим определение корневых показателей робастного качества ИСАУ по отображению на корневую плоскость многогранника М интервальных параметров qt G[qjmin,qjmax],iє\,т три различных формах их вхождения в коэффициенты ИХП. Различают 4 вида неопределенностей ИХП, коэффициенты которого могут являться либо интервалами, либо функциями интервалов [1, 18, 163]: - интервальная неопределенность - коэффициенты полинома являются интервальными параметрами (q3s3 + q2s2 + qs + q0, qt є [qimin;qimaxi \) - аффинная неопределенность - коэффициенты полинома образованы суммой или разностью интервальных параметров (( + Я3У + ( + 4ъУ + ( + 2?2 + 2q3 -3q2, q, є[qimin,qimsK\X - полилинейная неопределенность - коэффициенты полинома линейно зависят от каждого параметра, если остальные параметры фиксированы ((л2ъ+2 iУ+(3 - 4Язіі 2+(ад2+6ъ +2я2Яз - 6Яі Чгє [Чішп Лтгск ]); - полиномиальная неопределенность - коэффициенты полинома зависят полиномиально хотя бы от одного параметра ((4 +ЧІУ +(Ъ -2 2 +(10qlq2)s + 7q1, q, &[qimn,qimaJ). Пусть ИХП произвольного порядка имеет вид A(s, q) = ап (q)sn + ап_х (q)s" 1 +... +аг (q)s + а0 (q) . При различных типах неопределенностей коэффициентов A(s,q) их многогранник М отображается на комплексную плоскость по-разному. Возможные варианты отображения граней М представлены на рисунке 1.3. Здесь V - вершины многогранника, Щ, / = \,т - ребра многогранника, грань многогранника G, i = \,m , j = \,т,і Ф j , q - порядковый номер вершины, т - количество интервальных коэффициентов, U , RSf , GSfj соответственно их образы на комплексной плоскости.
В случае интервальной неопределенности (рисунок 1.3а) для анализа степени робастной устойчивости и степени робастной колебательности системы достаточно знать те вершины многогранника М, в которых ИСАУ имеет наихудшие корневые показатели качества [142, 209].
В случае аффинной неопределенности (рисунок 1.36) для определения этих же показателей необходимо построение образов ребер многогранника М. При этом границы областей локализации определяются не всеми ребрами, а только внешними, задающими граничный реберный маршрут [13, 118, 119, 132, 134, 139].
В случае полилинейной или полиномиальной неопределенностей (рисунке 1.3в), которые наиболее соответствуют реальным ситуациям в системах управления с интервальными параметрами, точки, определяющие показатели робастного качества, могут находиться не в вершине или на ребре, о,
Обзор типов неопределенностей и соответствующих им способов анализа робастного качества интервальных САУ показывает, что наиболее трудоемким (с большими вычислительными затратами) является анализ и синтез ИСАУ с полилинейной и полиномиальной неопределенностями. С этой точки зрения наиболее простой является интервальная неопределенность. Переход к ней возможен на основании правил интервальной математики [59]. Следует заметить, что получаемое при этом переограничение области неопределенности способствует повышению запаса устойчивости ИСАУ, что актуально в случае наличия немоделируемой динамики системы [111, 191].
Заметим, что при интервальной неопределенности задача определения корневых показателей во всех вершинах многогранника М достаточно трудоемкая, так как необходима проверка всех 2т вершин, где т -количество интервальных коэффициентов. Такая задача сокращения проверочных вершин решалась в [131, 135, 136, 149, 194, 196]. Однако в указанных работах число найденных проверочных вершин V для общего случая также оказывалось достаточно большим. В связи с этим представляется целесообразным решить задачу определения проверочных вершин для частных случаев интервальных систем низкого порядка путем представления ИСАУ моделями второго-третьего порядков [140, 204, 205]. Небольшое количество проверочных вершин позволит проектировщику достаточно легко определить степень робастной устойчивости и степень робастной колебательности ИСАУ.
Если же использование упрощенных моделей САУ нежелательно, то в этом случае оценку робастного качества интервальных систем выского порядка предлагается проводить на основе алгебраических условий, связывающих коэффициенты ИХП с корневыми оценками качества. Основой для этого могут служить достаточные условия заданной степени устойчивости и заданной степени колебательности [128, 168]. С их помощью могут быть определены нижняя оценка а и верхняя оценка ф корневых показателей качества стационарных систем. Задача состоит в интервальном расширении указанных условий и получении достаточных условий степени робастной устойчивости и степени робастной колебательности ИСАУ, определяемых через интервальные коэффициенты ИХП.
1.2 Анализ робастного качества интервальной системы низкого порядка в вершинах многогранника коэффициентов характеристического полинома
В этом параграфе рассматриваются основные положения метода корневого годографа [132], на основании которого формируются интервальные фазовые неравенства, необходимые для определения проверочных вершин многогранника коэффициентов характеристического полинома. Рассмотрение данного материала необходимо для введения понятий и математических выражений, на основе которых получены основные результаты работы.
Корневым годографом называется совокупность траекторий, описываемых корнями характеристического уравнения системы с обратной связью в плоскости корней при изменении одного из ее параметров [202].
Синтез регуляторов стационарных систем с максимальной степенью устойчивости
Существует большое число методов синтеза САУ с нестабильными параметрами, среди которых следует отметить, например, работы [22, 66, 95, 96], где используется теория нечеткой логики (FuzzyLogic) [105]. Различные оптимизационные методы рассмотрены в работах [50, 51, 58, 94, 109, 211]. При синтезе робастных систем применяются также методы, использующие Нх - и Я2-нормы [35, 48, 64, 107], \i анализ [8, 20, 34, 40].
Существуют методы, использующие неполную информацию о векторе переменных состояния объекта - линейные квадратичные гауссовы регуляторы (LQG) и линейно-квадратичные регуляторы (LQR) [7, 27, 75, 76, 83, 93]. Достаточно распространенным является метод линейных матричных неравенств (LMI) [12, 21, 28, 86, 167].
Все перечисленные методы и подходы к синтезу робастных регуляторов наравне с достоинствами имеют и ряд существенных недостатков: - избыточная размерность регулятора даже для систем низкого порядка, что зачастую неприемлемо в САУ ТП (где большинство регуляторов - ПИД-регуляторы), а аппроксимация регуляторами низкого порядка не всегда может гарантировать желаемое качество; - применяемые оптимизационные алгоритмы излишне математизированы и требуют от инженера глубоких знаний предметной области и больших вычислительных затрат; - некоторые методы позволяют проводить синтез не более чем по двум параметрам регулятора; - не всегда могут быть обеспечены желаемые робастные свойства системы (не гарантируются запасы устойчивости) и требуется дополнительная проверка робастной устойчивости синтезированной системы; - требуется получение точной модели объекта и математического описания всех возмущающих факторов, влияющих на нестабильность параметров.
Особое внимание при решении задачи синтеза регуляторов для ИСАУ следует обратить на подход, когда ИСАУ рассматривают как многорежимные(режимы определяются наборами значений интервальных параметров)..Приэтом использование стационарных подходов (например, метода «замороженных» коэффициентов [168] не позволяет рассмотреть все режимы функционирования [101, 123, 151, 157, 206]. Поэтому для параметрического синтеза линейных регуляторов многорежимных систем разрабатываются робастные подходы, обеспечивающие приемлемое качество функционирования САУ ТП во всех возможных режимах [10, 49, 121, 122, 209].
Заметим, что многие из предлагаемых робастных методов синтеза интервальных систем также основаны на применении полиномов Харитонова [17, 24, 53, 54, 84, 164, 165, 166, 169]. Большое число работ посвящено решению задачи обеспечения региональной робастной устойчивости в частотной области. В них задача параметрического синтеза регулятора решается методом робастного D-разбиения [117, 155, 162, 169, 171]. Анализ существующих методов показал, что как для анализа ИСАУ, так и для параметрического синтеза ее регулятора наиболее предпочтительными являются корневые методы. Их применению посвящено большое количество статей [2, 15, 30, 63, 68, 70, 97, 99, 137, 147, 149, 184, 185, 194, 195], среди которых особо следует отметить работы Римского [82, 182, 183, 184, 185, 186].
При использовании в САУ ТП типовых линейных регуляторов существует проблема определения таких их настроек, которые при наиболее неблагоприятных параметрах объекта управления гарантировали бы запас устойчивости, обеспечивающий в системе максимальное быстродействие при допустимой колебательности переходных процессов. Известно, что решение задачи повышения быстродействия САУ возможно путем максимизации ее степени устойчивости [123, 124, 126, 141] при ограничении на степень колебательности. Известно, что системы, синтезированные по критерию максимальной степени устойчивости [123, 151, 212, 213], обладают также меньшим перерегулированием и большим запасом устойчивости [19, 29, 42, 125, 126, 143, 175, 208, 209]. Важным является и малая чувствительность систем максимальной степени устойчивости к параметрическим возмущениям в объекте управления. Заметим, что степень устойчивости и степень колебательности легко оцениваются через коэффициенты характеристического полинома замкнутой системы без непосредственного вычисления его корней. Так, используя эти коэффициенты, могут быть получены коэффициентный показатель устойчивости X. и коэффициентный показатель колебательности 8. [168]. При этом представляют интерес основанные на них и рассмотренные в главе 1 достаточные условия заданной степени устойчивости Г) .
Для повышения быстродействия ИСАУ предлагается в указанных достаточных условиях максимизировать показатель л , характеризующий оценку снизу степени устойчивости системы. Получаемое значение л является квазимаксимальной степенью устойчивости САУ. Данный подход может быть применен для максимизации степени робастной устойчивости интервальных САУ. Применение этих достаточных условий при синтезе САУ ТП обеспечивают устойчивость с запасом, необходимым при использовании упрощенных моделей САУ.
Применение корневого подхода при решении задачи максимизации степени устойчивости САУ ТП с интервально неопределенными параметрами предусматривает размещение настройками регулятора областей локализации полюсов замкнутой системы таким образом, чтобы обеспечить максимальное удаление от мнимой оси ближайших к ней корней, характеризующих быстродействие системы, и расположение всех полюсов в заданном секторе, характеризующем допустимую степень колебательности системы (рисунок 2.1).
Разделение характеристического полинома на доминирующий и свободный
Для применения полученнных основных соотношений с целью желаемого расположения доминирующих и свободных полюсов стационарной системы третьего порядка разработана методика параметрического синтеза ПИ-регулятора. Она содержит следующие этапы. 1. На основании передаточной функции объекта управления и регулятора, а также заданных значений а и г формируется характеристический полином замкнутой системы A(s) вида (1.24), доминирующий полином Q(s) вида (3.1), свободный полином P(s) вида (3.6) и остаток от деления R (3.7). 2. На основании а и г\ и коэффициентов передаточной функции объекта управления составляются системы неравенств (3.10) или (3.11). 3. В результате решения неравенств из п. 2 и определяется допустимый диапазон изменения коэффициента регулятора кх. 4. Для выбранного из полученного диапазона коэффициента кх на основании (3.13) находится значение коэффициента к0. 3.2.4 Пример Рассмотрим объект управления с передаточной функцией WOY(s) = — ( с2=0,03 , q=5 , с0=\ ). Необходимо определить c2s +cls + c0 настройки регулятора Wv{s) = — , обеспечивающие в стационарной системе доминирующий вещественный полюс а = -1 и расположение свободных полюсов левее п = -20 для двух случаев: свободные полюсы вещественные и свободные полюсы - комплексно-сопряженные. В соответствии с разработанной методикой составлен характеристический полином системы 0,03s 3 + 5s2 + (кх + X)s + к0 = 0 , доминирующий полином Q(s) = s + \ , свободный полином P(s, кх) = 0,03s2 + 4,97s2 + кх - 3,97 и остаток R(k0 ,кх ) = к0 - кх + 3,97. На основании пункта 2 методики получена зависимость вида (3.10) К (К ) = а(К +со a(ci _ ас2 ))=К - 3,97. (3.14) Пусть корни свободного полинома являются вещественными. Подставляя в выражения из таблицы 2 коэффициенты передаточной функции объекта управления и заданные значения а и г , получена область допустимых значений коэффициента регулятора кх є [91,37;209,81]. Из (3.14) при граничных значениях кх найдены соответствующие значения к0 и корни характеристического полинома системы: 1. при кх = 209,8 находим к0 = 205,8, s\ = -1, s2= -82,8, s3 = -82,84; 2. при кх =91,37 находим к0 =87,4, sx =-1, s2 =-20, s3 =-145,667. Заметим, что при выборе правой границы коэффициента кх обеспечивается максимальная степень доминирования у.
Теперь зададимся требованием, что корни свободного полинома должны быть комплексно-сопряженными. На основании выражений из таблицы 2 получена область допустимых значений коэффициента кх є (209,81;оо), причем
Установлено, что на всем полученном допустимом интервале коэффициента кх выполняется условие комплексной сопряженности свободных корней. При увеличении кх степень доминирования у остается прежней, но увеличивается степень колебательности системы. 1,2 0,8
Методика параметрического синтеза ПИД-регулятора стационарной системы высокого порядка с заданной или квазимаксимальной степенью доминирования вещественного полюса
Рассмотрим далее решение задачи обеспечения доминирования вещественного полюса для систем высокого порядка. Для ее решения предлагается использовать коэффициентный метод и применить рассмотренные в главе 2 достаточные условия, связывающие коэффициенты характеристического полинома системы с нижней оценкой степени ее устойчивости [175, 80]. При разделении характеристического полинома на доминирующий и свободный указанные условия позволяют располагать желаемым образом свободные полюсы: на заданном расстоянии от доминирующего вещественного полюса, либо на квазимаксимальном. На основании указанных условий разработаны приведенные ниже методики синтеза ПИД-регулятора стационарных систем заданной степени апериодической устойчивости.
На основании передаточных функций объекта управления и регулятора, а также заданного значения а формируются: характеристический полином замкнутой системы A(s) вида (1.24), доминирующий полином Q(s) вида (3.1), свободный полином P(s) вида (3.6) и остаток от деления R (3.7). 2. На основании (3.7) получается зависимость &0(&15 Аг2). 3. В соответствии с методикой синтеза ПИД-регулятора стационарной САУ (приложение 2) из коэффициентов полинома P(s) получается зависимость к2{кх) 4. а) Если необходимо обеспечить заданную степень доминирования, то на основании условий (1.34) формируется система неравенств для свободного полинома P(s) и задается значение желаемой степени устойчивости r\ . Решением системы будет интервал допустимых значений параметра регулятора кх. б) Если необходимо получить квазимаксимальную степень доминирования, то на основании условий (2.5) и зависимости к ц) необходимо сформировать систему неравенств по параметру г\ для свободного полинома P(s) . Решением системы будет интервал оценок снизу степени устойчивости и выбираем их максимальное значение л ах. 5. а) На основании выбранного в п. 4а) коэффициента кх определяются значения к2 определяется значение коэффициента к0. б) На основании найденного в 46) значения л ах определяются значения параметров регулятора (rilax) и значения к2(кх) и к0(кх,к2). 3.2.6 Пример
Рассмотрим систему из параграфа 2.2.4, которая включает в себя объект управления (2.9) и регулятор (2.10). Задача заключается в определении вектора значений параметров к регулятора, обеспечивающих квазимаксимальную степень доминирования заданного вещественного полюса s = -2 при расположении свободных полюсов в усеченном секторе Г (рисунок 3.2). Сектор Г образован вертикальной прямой, проведённой через точку (-л,у0), 0 л оо и лучами, проведенными из начала координат под углами +ф=45.
Математическая модель системы компенсации веса
Рассмотрим два вида внешнего воздействия на систему: - импульс силы Fm; - единичное ступенчатое воздействие силы FB2. Для проверки апериодичности переходных процессов в синтезированной системе построим зависимости AFH(t) при указанных внешних воздействиях. В качестве анализируемой координаты рассмотрим скорость перемещения груза. На рисунке 4.6 а, б показаны реакции системы на импульс силы FB1 = 1Н длительностью 2 секунды и на единичное входное воздействие внешней силы FB2 = Ш при /77 = 100кг и / = 10м.
Из рисунка 4.6 следует, что переходный процесс FH(t) имеет апериодический характер и затухает не более чем за 3 секунды, что соответствует полученному в результате синтеза расположению доминирующего полюса в отрезке [-1;-3]. За время действия импульса Fm (рисунок 4.6а) система набирает скорость и с момента его окончания продолжает перемещать груз в вертикальном направлении с постоянной скоростью V = 0,02 м/с . Установившееся при этом значение AFu(t) равно 1,48 10"3Н, что достаточно мало и практически соответствует стабильности силы натяжения троса при действии внешних сил. Из рисунка 4.66 видно, что, в отличие от случая воздействия на систему импульса Fm, при единичном ступенчатом воздействии FB2 система движется вверх или вниз с ускорением а = 0,01м/с2 . Отклонение силы натяжения троса AFu(t) от нуля, как и в первом случае, незначительно и составляет 1,5 10 3 Н.
На рисунке 4.7 представлены переходные характеристики системы компенсации веса при условии, что масса груза превышает интервал изменения этого параметра на 150% и составляет 250 кг при тех же параметрах регулятора.
При анализе устоновлено, что при необходимости перемещать груз с большей скоростью следует прикладывать к нему больший импульс внешней силы или же действовать тем же импульсом, но с большей длительностью. Следует также заметить, что влияние изменения интервальных параметров на переходные процессы в синтезированной системе незначительное.
Рассмотрим далее работу системы компенсации веса при выполнении оператором последовательного подъема и опускания груза массой 100 кг. Полученные для этого случая переходные процессы показаны на рисунке 4.8, где на рисунке 4.8а представлено внешнее входное воздействие Fm(t) оператора на систему с режимами подъема (tlA) и опускания (t5%). На рисунке 4.86 приведен переходный процесс отклонения силы натяжения троса AFn(t). Заметим, что оно изменяется при приложении внешней силы в интервалах {tl2) , (t34) , (t56) и (t7s) в режимах разгона и торможения груза и при этом остается практически равным нулю при движении груза с постоянной скоростью. График скорости вертикального перемещения груза приведен на рисунке 4.8в, ее максимальное значение составляет 0,125 м/с.
Анализ переходных процессов в системе компенсации веса при различных / и т показал, что в системе сохраняется апериодических характер переходного процесса и быстродействие. Это свидетельствует о робастных свойствах системы компенсации веса с синтезированным робастным ПИД-регулятором. Таким образом, синтезированная система компенсации веса позволяет выполнять технологические операции по перемещению груза с высокой точностью и быстродействием.
В четвертой главе приведено использовние полученных в предыдущих главах теоретических результатов для синтеза ПИД-регулятора системы компенсации веса подъемно-транспортного механизма. Система характеризуется интервальной неопределенностью некоторых физических параметров и упругими свойствами троса, с помощью которого поднимается и опускается груз. Для синтеза регулятора разработана математическая модель системы, представляющая собой двухмассовую систему с управлением по отклонению натяжения троса. На основе составленной структурной схемы системы компенсации веса получен ее интервальный характеристический полином.
Используя методику синтеза ПИД-регулятора квазимаксимальной степени апериодической устойчивости интервальной САУ, определены настройки регулятора и проведен анализ обеспечиваемого ими качества переходных процессов в системе. Полученные в ходе моделирования в ППП MatLab результаты при различных возмущающих внешних воздействиях свидетельствуют о выполнении предъявленных к системе требований по точности и качеству процесса компенсации веса. В частности установлено, что полученные настройки ПИД-регулятора гарантируют апериодический характер переходных процессов при изменении веса груза и длины троса. Этот факт свидетельствует о придании ПИД-регулятором робастных свойств системе компенсации веса.
