Содержание к диссертации
Введение
1. Основные проблемы и подходы к оцениванию и анализу процессов в станочных мехатронных системах 9
1.1. Математический аппарат оценивания 9
1.2. Текущее оценивание 12
1.3. Статистическое оценивание
1.3.1. Выбор вида выравнивающей кривой 16
1.3.2. Выбор выравнивающего распределения 19
1.3.3. Непараметрическое оценивание 25
1.4. Цель и задачи исследования 26
2. Синергетическая концепция формирования данных о состоянии станочной мехатронной системы 32
2.1. Физическая основа концепции: эволюция 32
2.2. Математическая основа концепции: потеря устойчивости 38
2.3. Обобщенная модель формирования данных 41
2.4. Информационная основа концепции: критерии 57
2.5. Обобщенный алгоритм обработки данных
2.5.1. Проверка наличия тенденции 63
2.5.2. Выделение тенденции 66
2.5.3. Оценка значимости помехи (флуктуаций) 70
2.5.4. Прогнозирование потери устойчивости 73
2.5.5. Реализация алгоритма 75
2.5.6. Апробация алгоритма 79
2.6. Выводы 85
3. Методы обработки и анализа данных о состоянии станочной мехатронной системы, представленные временными рядами 87
3.1. Метод обобщенного критерия 88
3.1.1. Концептуальные основы 89
3.1.2. Идентификация выбросов 90
3.1.3. Практическая реализация метода 92
3.1.4. Алгоритмическое обеспечение метода 104
3.2. Метод энтропийного критерия 106
3.2.1. Вычислительная основа 106
3.2.2. Практическая реализация метода 108
3.3. Метод комбинированного критерия 113
3.3.1. Математическая основа 114
3.3.2. Алгоритмическое обеспечение метода 120
3.4. Метод асимптотических критериев 122
3.4.1. Математическая основа 123
3.4.2. Практическая реализация метода 128
3.5. Выводы 134
4. Методы обработки и анализа данных о состоянии станочной мехатронной системы, представленных статистическими выборками 135
4.1. Метод информационного критерия 135
4.1.1. Математическая основа 136
4.1.2. Практическая реализация метода
4.2. Метод остаточного критерия 148
4.3. Метод экстремального критерия
4.3.1. Вычислительная основа 156
4.3.2. Модель прогнозирования 161
4.3.3. Математическое обеспечение 162
4.3.4. Критерии достоверности прогноза 165
4.3.5. Практическая реализация метода 170
4.3.6. Алгоритмическое обеспечение метода 196
4.4. Выводы 201
Заключение 203
Список литературы
- Выбор вида выравнивающей кривой
- Обобщенный алгоритм обработки данных
- Алгоритмическое обеспечение метода
- Метод остаточного критерия
Введение к работе
Актуальность. Современные станочные мехатронные системы (СМС) открывают новые технологические возможности для повышения эффективности и качества обработки сложных и точных поверхностей. Прежде всего, это связано с тем, что они оснащаются высокоэффективными управляемыми приводами, специальными информационными системами и другими функциональными устройствами, позволяющими перейти на новые методы формирования управления траекториями формообразующих движений. Однако сложные динамические процессы, возмущающие траектории и формирующие параметры точности, сдерживает применение этих методов в производственных условиях, совместное многомерное движение фазовых траекторий и нечеткость границ фазовых портретов трудно оценить количественно.
Перечисленные трудности можно было бы минимизировать за счет автоматического управления в реальном времени. Однако прикладная теория автоматического управления не обеспечивает инженерными методиками синтез регуляторов, способных в полной мере учесть особенности функционирования СМС для формирования управления. В связи с этим управление целесообразно осуществлять на основе оценивания текущего состояния СМС, принимая решения не только о сроках реализации, но и о содержании управляющих воздействий. Последнее является особенно важным, поскольку основной задачей управления является не только компенсация нежелательных последствий, связанных с изменением состояния СМС, но и целенаправленное воздействие на само состояние в случае, если воздействие оценивается как целесообразное. Для этого необходима разработка специальных методов анализа регистрируемой в ручном или автоматическом режимах информации и создание на их основе эффективных алгоритмов и критериев обнаружения зарождающихся изменений, которые могут иметь место как при нормальном состоянии СМС, так и при развитии в ней отказов. Таким образом, автоматизированное оценивание состояния СМС является актуальной научно-технической задачей, имеющей непосредственное отношение к организации и управлению процессом их эксплуатации в условиях реального производства.
Цель работы: повышение эффективности функционирования станочных мехатронных систем в условиях машиностроительного производства на основе разработки методов оценивания данных о состоянии при организации и управлении процессами их эксплуатации и технического обслуживания.
Объект исследования: данные о состоянии СМС различного технологического назначения.
Предмет исследования: изучение структуры данных и разработка методов ее содержательного оценивания, обеспечивающих возможность принятия обоснованных решений как при нормальном состоянии СМС, так и при развитии в ней дефектов и отказов.
Методы и средства исследования. Работа представляет собой комплекс исследований, направленных на повышение эксплуатационной надежности СМС, выполненных с применением соответствующих разделов теорий надежности, вероятностей и математической статистики, случайных процессов, информации, положений технологии машиностроения, динамики станков, а также ЭВМ. Экспериментальные исследования проведены с использованием данных, полученных как в лабораторных условиях, так и в условиях реального производства.
Научная новизна работы состоит в изучении, математическом описании и анализе процессов, приводящих к изменению состояния станочной ме-хатронной системы, и обосновании на этой основе возможностей его автоматизированного оценивания по данным, представленным либо в виде временного ряда, либо в виде статистической выборки, с помощью методов, позволяющих:
– распознавать состояние по результатам анализа как информационной составляющей данных, так и составляющей, которые ее зашумляют;
– определять с высокой степенью достоверности моменты изменения состояния;
– обнаруживать зарождение изменений состояния на ранней стадии;
– оценивать результативность мероприятий, направленных на управление состоянием;
– анализировать эффективность реализации различных технических и технологических решений.
Практическая ценность работы состоит в создании алгоритмического обеспечения методов оценивания и анализа данных о состоянии СМС, позволяющего решать вопросы повышения надежности и эффективности их функционирования на различных этапах жизненного цикла.
Реализация работы была осуществлена на данных о процессах функционирования СМС различного целевого назначения, предоставленных научным коллективом кафедры «Проектирование технических и технологических комплексов» ФГБОУ ВО «Саратовский государственный технический университет имени Гагарина Ю.А.» (СГТУ имени Гагарина Ю.А.). Методическое и алгоритмическое обеспечение оценивания и анализа данных переданы для использования в АО «Саратовский агрегатный завод» и ООО «Завод электроагрегатного машиностроения «СЭПО-ЗЭМ». Ожидаемая технико-экономическая эффективность от использования переданных материалов связана с уменьшением затрат на эксплуатацию оборудования за счет оптимизации сроков проведения работ по его техническому обслуживанию.
Материалы диссертации внедрены в учебный процесс кафедры «Проектирование технических и технологических комплексов» СГТУ имени Гагарина Ю.А., а также кафедр «Технология машиностроения» и «Автоматизация производственных процессов» Волгоградского государственного технического университета при чтении лекций и проведении практических занятий по дисциплинам, связанным с надежностью и управлением технологическим оборудованием, а также моделированием и обработкой данных.
Материалы диссертации являются составной частью фундаментальных научных исследований, выполнявшихся кафедрами «Конструирование и компьютерное моделирование технологического оборудования в машино- и приборостроении» и «Проектирование технических и технологических комплексов» СГТУ имени Гагарина Ю.А. по проекту в рамках Программы стратегического развития СГТУ имени Гагарина Ю.А. на 2012-2016 гг. и использованы при выполнении гранта РФФИ №14-08-00396 и гранта РНФ №15-09-00030.
Апробация работы. Основные положения работы были доложены и обсуждены на 5 научно-технических конференциях различного уровня: VIII Международной научно-технической конференции «Efektivn nstroje modernch vd – 2012» (Прага, Чехия, 2012), Всероссийской научной конференции с международ-4
ным участием «Проблемы критических ситуаций в точной механике и управлении» (Саратов, 2013), Международном технологическом форуме «Инновации. Технологии. Производство» (Рыбинск, 2014), III Международном технологическом форуме «Инновации. Технологии. Производство» (Рыбинск, 2016), 8-й Международной научно-технической конференции «Наукоемкие технологии на современном этапе развития машиностроения» (Москва, 2016), а также заседаниях кафедр «Конструирование и компьютерное моделирование технологического оборудования в машино- и приборостроении», «Проектирование технических и технологических комплексов» и «Автоматизация, управление, мехатроника» СГТУ имени Гагарина Ю.А. в 2013-2016 гг.
Публикации. Материалы диссертации опубликованы в 14 печатных трудах, в том числе 2 монографиях, 7 статьях в изданиях, включенных в перечень ВАК РФ, 2 статьях в изданиях, индексируемых в базе данных SCOPUS, и 1 иностранной публикации.
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, 4 глав и заключения, изложенных на 210 страницах, списка литературы из 112 наименований, 85 рисунков, 4 таблиц и 2 приложений. Общий объем диссертации составляет 227 страниц.
В связи с изложенным на защиту выносятся следующие научные положения работы, определяющие новизну решенных в ней задач и соответствующие пп.2, 4, 6 и 14 паспорта специальности 05.13.06:
-
Синергетическая концепция формирования данных о состоянии станочной мехатронной системы как открытого объекта.
-
Методы обработки данных о состоянии станочной мехатронной системы, представленные временными рядами.
-
Методы обработки данных о состоянии станочной мехатронной системы, представленные статистическими выборками.
-
Материалы практической реализации методов и анализа их результатов.
Выбор вида выравнивающей кривой
Материалы п.1.1 позволяют сделать вывод о том, что управление СМС целесообразно осуществлять на основе оценивания ее текущего состояния, регистрируя и анализируя информацию о закономерностях протекания тех физических процессов, которые отображают проявления свойств системы наиболее явно. Под действием этих процессов СМС начинает «раскачиваться» благодаря тому, что в ней имеются источники постоянного притока энергии и возникающие неравновесности не устраняются, а наоборот, возрастают, накапливаются и усиливаются, запуская необратимые диссипативные процессы, которые, размывая неоднородности, вызывают переход СМС к новому стационарному состоянию. Для определения этого состояния можно использовать математическое моделирование. Однако существующие модели позволяют отображать только те ситуации, которые являются результатом влияния факторов, связанных с действием обобщенных сил. Формируемые при «медленных» движениях механической системы СМС от приводов главного движения и подач, эти силы взаимодействуют через виртуальный регулятор – процесс резания, который формирует динамику взаимодействия сил за счет внутренних процессов упругопластического деформирования, имеющих более сложные нелинейные и нестационарные модели и порождающих «малые» возмущения («быстрые» движения), которые могут быть отображены этими моделями лишь частично как реакции контуров механической системы. Но даже исследование и получение конкретных результатов моделирования «медленных» движений требуют априорного вычисления упругих, инерционных и диссипатив-ных характеристик механической системы СМС, являющихся параметрами моделей. В свою очередь, параметры зависят от вектора обобщенных сил, определяющих параметры нелинейных связей конструктивных элементов и соответствующие параметры модели. Указанный факт является характерным признаком нелинейности системы. Существуют экспериментально-аналитические методы вычисления параметров, но изменение вектора обобщенных сил в пространстве и во времени при реализации технологических операций и, особенно, при переходе от одной операции к другой приводит к необходимости многократного вычисления этих параметров даже при управляемых известных движениях инструмента и заготовки. Таким образом, результаты моделирования могут быть получены лишь при постоянстве составляющих вектора обобщенных сил. Однако в связи с тем, что в процессе функционирования СМС изменяются программируемые управляющие воздействия и возмущения, например, из-за изнашивания инструмента, необходимо каждый раз обновлять результаты моделирования при соответствующих изменениях вектора обобщенных сил. Вариации сил могут быть связаны и с особенностями технологических процессов, например, при точении длинных валов или при обработке торцов изменяются точка приложения и параметры обобщенного вектора сил, следовательно, необходимо обновлять полученные ранее упругодиссипативные характеристики механической системы СМС и их взаимодействия с другими конструктивными элементами. Таким образом, возникает достаточно трудоемкая задача многократного поиска численных характеристик динамических процессов.
При рассмотрении более тонких процессов формирования обобщенных сил необходимо учитывать упругодиссипативные характеристики, пластическое деформирование и их изменения при резании. Эти процессы на больших отрезках времени приводят к медленным эволюционным изменениям параметров колебательной системы. Эффективным средством их исследования является метод усреднения, реализуемый при изучении асимптотических свойств системы. Для проведения усреднения необходимо использовать полученные модели, которые не содержат малых компонент, вызывающих эволюционное изменение. Программируемые и эволюционные изменения могут быть разделены по темпам развития процессов. Эволюционные изменения в динамической системе СМС при резании оцениваются интегрированием вдоль известного решения упрощенной системы [6].
Передаточные функции приводов главного движения и подач могут быть определены для конкретного состояния СМС. В то же время возникает неопределенность при моделировании динамики движения рабочего органа, в том числе и из-за смещения центра масс и тепловых деформаций, влияющих на точность позиционирования.
Другой, более сложной проблемой является учет упругих и пластических деформаций, а также их запаздывания относительно силы резания [1, 7]. Эти процессы зависят от многих известных факторов (изменяющихся характеристик инструмента и заготовки, режимов обработки и т.д.) и количественно могут быть оценены лишь для их конкретных состояний. Таким образом, эта неопределенность не позволяет реализовать процесс априорного моделирования упругопла-стических деформаций при резании.
Наконец, существует проблема «собственной частоты», которая обычно определяется при значимом увеличении амплитуды колебаний в процессе сканирования частот сигнала в правой части уравнения, моделирующего динамику. Вектор обобщенной силы определяется в некотором диапазоне состояний СМС (приведенная жесткость, зазоры и т.д.); тем самым, изменяются ее резонансная и собственная частоты. Эти частоты тесно связаны между собой основными понятиями, и имеется противоречие: без связи с внешней средой нет возможности определить собственную частоту, но увеличение этой связи приводит к уменьшению точности определения собственной частоты. Математическое же определение понятия собственной частоты опирается на разделение переменных и не предполагает такой связи [6]. В случае же оценивания качества нелинейных динамических процессов при резании это является дополнительной сложностью для распознавания динамических образов.
При дальнейшем анализе следует обратить внимание на многосвязность вектора управления и возмущений с формируемыми выходными характеристиками СМС. Эта взаимосвязь для всего спектра технологий не имеет аналитического представления и в ряде случаев может быть определена лишь эмпирически.
Представленные материалы позволяют сделать вывод о целесообразности применения статистического оценивания как способа определения неизвестных характеристик СМС по результатам наблюдений за ее пространственно-временнй эволюцией.
Обобщенный алгоритм обработки данных
Таким образом, в состояниях, далеких от равновесия, СМС, как открытому объекту становится присуще явление самоорганизации, приводящее к возникновению новых пространственно-временных структур (упорядоченных состояний А), тождественных процессам, приводящим к равновесию из-за взаимной компенсации (перемешивания), поэтому они названы «диссипативными структурами», чтобы отличать их от равновесных структур [34].
Принципиальной особенностью диссипативных структур является то, что, находясь в них, объекты начинают воспринимать те факторы воздействия извне, которые они не восприняли бы в равновесном состоянии. В результате события, которые не могут иметь места в равновесном состоянии, становятся возможными в неравновесных состояниях. В связи с этим актуальным с точки зрения формирования данных о состоянии открытых объектов является анализ причин такого поведения, который целесообразно выполнить в окрестности точки, за которой оно начинается, т.е. точки бифуркации, связанной с потерей устойчивости. А поскольку все открытые объекты в данной точке ведут себя одинаково, анализ можно провести с помощью обобщенного математического аппарата.
В общем виде уравнение, определяющее пространственно-временную эволюцию СМС, как открытого объекта, имеет вид к — дХ ад.д), (2.3) dt где X - параметр, позволяющий удерживать СМС в неравновесном (или равновесном) состоянии, он также называется внешним, чтобы подчеркнуть открытый характер СМС; Zk - оператор дифференцирования (в общем случае -частного).
Пусть Хк - стационарное решение уравнения (2.3). Устойчивость этого состояния может быть проанализирована исследованием эволюции Хк = Хнк = 4, где 8к - малое возмущение (математический аналог А на рис.2.4). Если оно экспоненциально затухает, то стационарное состояние СМС устойчиво. Это имеет место в случае, когда X меньше некоторого «критического значения» Хс (по аналогии с Ас на рис.2.4). Когда X превышает Хс, может случиться, что возмущение дк вместо затухания начнет экспоненциально возрастать, приводя состояние Хнк в неустойчивое. Именно при Хс у уравнения (2.3) появятся новые решения, которые в окрестности Хс часто принимают вид [34]: Xk(r,t,A) = Xm(\) + aky/k(rj), (2.4) где ХНк(Хс) - стационарное состояние при X = Ас; г - вектор координат СМС; t - время; оси - набор «амплитуд», которые надо определить, а щ(г, і) - функции, которые могут быть получены из Zk в (2.3). Общая теория бифуркации обеспечивает способ определения временнго изменения амплитуды оси с помощью системы уравнений типа - = G(ah,X), (2.5) которые называются бифуркационными уравнениями. При этом множественность решений уравнения (2.5) соответствует множественности решения исходного уравнения (2.3). В связи с этим рассмотрим процессы, посредством которых происходит переход к тому или иному решению. Физически это соответствует переходу с микроскопического уровня изучения эволюции СМС на макроскопический, а математически - к статистическому усреднению, заменяющему в соответствии с (2.1) микроскопическую динамику. Пусть Р(г, і) - вероятность застать СМС в точке г в момент времени t. Требуется определить, как эта вероятность эволюционирует во времени. Вероятность Р(г, і) возрастает из-за переходов из других точек г и убывает из-за переходов, исходящих из точки (состояния) г, т.е. х о = «скорость прихода» - «скорость ухода» = V - V . (2.6)
Так как член V учитывает все переходы из начальных точек г —» г, он представляет собой сумму по всем начальным точкам г, умноженную на вероятность совершить за единичное время переход г —» г. Таким образом [37]: V = Ш(г, r)P(r, ) , (2.7) г где W(r, г) - вероятность совершить переход г —» г за единичное время. Для «входящих» переходов (V ) справедливо соотношение V =P(r, t)LW(r, r) , (2.8) где W(r, г) - вероятность совершить переход г —» г (также за единичное время). Тогда уравнение, описывающее эволюцию вероятности Р(г, і), будет иметь вид dP(r,t) dt W(r - r )P(r, ) - P(r, )2 W(r r) ; (2.9) r r r при этом Ж(г , г) = 1, если сумма распространяется и на саму точку г. г Умножение обеих частей уравнения (2.9) на г и интегрирование (или суммирование) по соответствующему интервалу г дает динамическое уравнение, левая часть которого описывает скорость изменения значения медианы (г) во времени: - r = /1{r , r 2 ,...}, (2.10) dt где f1 - нелинейный полином, поскольку в большинстве случаев вероятности переходов W (скорости ухода и прихода) - нелинейные функции от г. Аналогично можно получить уравнения, описывающие изменения старших моментов (дисперсии, асимметрии и др.).
Вдали от точек бифуркации функция Р(r, t) имеет, как правило, один максимум. Это означает, что медиана совпадает с наиболее вероятным значением, т.е. модой; в этих случаях член (г2) в полиноме f1 (как и в полиномах старших моментов) можно опустить. В результате уравнение, описывающее эволюцию среднего значения, т.е. динамику СМС на макроскопическом уровне при условии, что входящие в него элементы не взаимодействуют между собой, будет иметь вид [37] — г =/1{ г , л}, (2.11)
В окрестности точки бифуркации флуктуации А, усиливающиеся внешними воздействиями, приводят к росту флуктуаций СМС, и, как следствие, изменениям описывающих его переменных и/или параметров, причем не только по амплитуде, но и по фазе и частоте (это показывает исследование устойчивости с помощью системы связанных нелинейных дифференциальных уравнений). В результате значимость членов типа г2 в уравнениях моментов возрастает, и у функции Р(г, і) появляется несколько максимумов (по крайней мере, два), причем в общем случае они имеют неравную высоту (что в свою очередь вызывает нарушение условия равновероятности альтернатив дальнейшей эволюции СМС). Медиана перестает совпадать с модой и уравнение (2.11) утрачивает силу. Приход же СМС в новое устойчивое (равновесное) состояние после прохождения точки бифуркации приводит к тому, что число ее максимумов вновь уменьшается до одного за счет их слияния с минимумами; функция Р(г, і) при этом «сжимается» вокруг нового максимума, и режим эволюции среднего восстанавливается.
Материалы выполненного анализа легли в основу разработки модели, которая позволит оценить информационные возможности каждого из этапов изменения состояния СМС в ходе процесса эволюции.
Алгоритмическое обеспечение метода
Выделение тренда позволяет решить и вторую, более важную задачу, связанную с анализом помехи (флуктуаций): разностей между уровнями исходного временного ряда и уровнями тенденции, являющейся на самом деле показателем степени колеблемости ряда и представляющей самостоятельный предмет статистического исследования (см. п.2.4). Это связано с тем, что расчет параметров помехи позволит учитывать ее либо как фактор ошибки прогноза тенденции (пока она не значима), либо как фактор проявления колеблемости в случае, если помеха становится значимой.
Существует множество методов анализа колеблемости, однако использование большинства из них, например, рассмотренного в п.2.5.1 непараметрического критерия инверсий (см. соотношения (2.97) и (2.98)), позволяет установить лишь факт ее наличия или отсутствия. С учетом же принятой здесь содержательной сущности колеблемости, метода получения ее оценок и решаемых с ее помощью задач, необходимым становится использование таких подходов, которые позволяют, во-первых, оценить колеблемость количественно, во-вторых, отслеживать и, в-третьих, прогнозировать изменение колеблемости во времени.
Один из них заключается в использовании для этих целей стандартного отклонения s(t) уровней ряда от линии тенденции, характеризующего интенсивность или силу колебаний (флуктуаций), т.е. служащего их количественной мерой. Суть подхода состоит в том, чтобы рассчитывать величину s(t) за последовательные отрезки времени, а затем по полученным значениям s(t)h siffc, … s(t)n проводить аналитическое выравнивание, т.е. вновь вычислять линейную тенденцию с использованием системы уравнений (2.99). Однако для надежного вычисления каждой /-й меры колеблемости необходимо как минимум 7-9 уровней исходного временнго ряда отклонений от тенденции, а для вычисления тенденции по этим мерам - опять 7-9 таких же частных мер s(t). Это значит, что исходный ряд отклонений должен содержать примерно 64 значения, что часто оказывается неприемлемым с точки зрения оперативности получения информации о переходе СМС в зону действия критерия КБ.
Выход из этой ситуации представляется в расчете скользящих показателей колеблемости s (0 со сдвигом в один период времени по тем же семи (или пяти) уровням исходного ряда отклонений, т.е. с 1 по 7 (или 5), затем со 2 по 8 (или 6), с 3 по 9 (или 7) и т.д. В этом случае для проведения процедуры аналитического выравнивания достаточно иметь ряд всего лишь из 14 значений. Если угловой коэффициент построенной по этим значениям линии тенденции окажется положительным, то это и будет означать факт проявления колеблемости. Значимость же колеблемости, определяющая переход СМС в нелинейный неустойчивый режим, оценивается существенностью углового коэффициента линии тренда с использованием формул (2.100) и (2.101).
Важность достоверной фиксации нелинейного неустойчивого режима функционирования определяет целесообразность применения дополнительных процедур оценки значимости колеблемости временнго ряда. Одна из них основана на проверке автокорреляции значений массива отклонений с использованием метода, предложенного Дарбином и Уотсоном. В основе метода лежит вычисление критерия, связанного с гипотезой о существовании автокорреляции первого порядка, т.е. автокорреляции между соседними значениями отклонений et. Этот критерий, обозначаемый обычно как DW, имеет следующий вид:
Вычитаемая из единицы дробь равна 0, если автокорреляция отсутствует. Если же наблюдается полная автокорреляция, т.е. полная корреляция между соседними значениями отклонений, то он равен 1 или –1. Из этого следует, что при отсутствии автокорреляции, т.е. случайном характере колеблемости, значение DW примерно равно 2, а при полной автокорреляции, т.е. появлении значимости колеблемости, оно равно примерно 0 или 4. Для DW-статистики найдены критические границы DWl DWu, позволяющие принять или отвергнуть гипотезу об отсутствии автокорреляции с уровнем значимости а. Если эмпирическое значение DW-статистики находится в пределах от DWU до (4 - DWU), то гипотеза об отсутствии автокорреляции принимается; если эта статистика находится в пределах от DWi по DWU или между (4 - DWu) и (4 - DWi), то нет статистических оснований ни принять, ни отвергнуть гипотезу (области неопределенности); наконец, если вычисленное значение DW меньше DWi, то нет оснований принять гипотезу о случайном характере отклонений (положительная автокорреляция), а если DW (4 - DWi), то наблюдается отрицательная автокорреляция.
Заключительным этапом разработки математического обеспечения является решение задачи прогнозирования развития ситуации в СМС с целью заблаговременного определения момента потери им устойчивости, т.е. перехода в область действия критерия КЭ. В чисто математическом плане эта задача в большинстве случаев решается на основе экстраполяции, базирующейся на следующих допущениях [38]:
1) развитие явления может быть с достаточным основанием охарактеризовано тенденцией;
2) общие условия, определяющие тенденцию развития в прошлом, не претерпят существенных изменений в будущем.
Если эти допущения принимаются, то процесс экстраполяции сводится к подстановке соответствующей величины периода упреждения в уравнение, описывающее тенденцию. Очевидным является то, что получаемая при этом оценка является точечной и что ее точное совпадение с фактически полученными данными - событие маловероятное. В связи с этим одной из основных задач, возникающих при экстраполяции тенденции, является определение доверительных интервалов прогноза, поскольку тогда точечный экстраполяционный прогноз преобразуется в прогноз интервальный.
Метод остаточного критерия
Если состояние СМС в процессе функционирования претерпевает существенные изменения, то тогда значения характеризующих его выходных параметров Yt становятся отображением процесса скачкообразного изменения состояния (т.е. перехода в область действия критериев КБ или КЭ) [76]. В этом случае траектория движения СМС будет представлять собой чисто случайные флуктуации временнго ряда значений параметров, и сопровождаться выбросами за границы допустимых областей их изменения, число которых будет пропорционально интенсивности возмущений. Теоретически развитие такой ситуации во времени может быть описано моделью вида [72]: Yt=at, (3.26) где at - независимые нормально распределенные случайные величины, представляющие собой возмущения на входе СМС, имеющие нулевое математическое ожидание и дисперсию а2a, характеризующую интенсивность возмущений количественно, т.е. at є N(0, j2a). В связи с этим представляет интерес анализ качества такой траектории с целью поиска условий, которые будут, по крайней мере, на вероятностном уровне, однозначно характеризовать ухудшение состояния СМС как недопустимое. Для решения этой задачи рассмотрим метод, основанный на фундаментальных положениях теории выбросов случайных процессов [77, 78].
Общее выражение распределения числа пересечений процессом (в данном случае - изменения состояния СМС) некоторого уровня Н (в данном случае - границы допустимых значений выходных параметров) на интервале (0, Т) конечной длительности Т с позиций теории выбросов может быть получено методом «счетчиков пересечений» и представляет собой бесконечную сумму от интегралов неограниченно возрастающей кратности. Однако непосредственное использование подобного рода общих выражений для практических расчетов затруднено даже при использовании ЭВМ, что делает целесообразным поиск более простых приближенных выражений искомого распределения, например, основанных на использовании асимптотических методов и критериев.
Если случайный процесс проходит относительно уровня Н так, что среднее число N(H, Т) его пересечений с этим уровнем оказывается малым (в данном случае это положение обеспечивается отсутствием тенденции изменения значений выходных параметров и конечностью дисперсии а2a), а среднее значение интервала между одноименными пересечениями - большим, то появления выбро 124 сов можно рассматривать в первом приближении как независимые и описать их распределение Р(к, Г) законом Пуассона: Р(кЛ = \ Щ!]-Ехр{-ЩН,Т), = 0,1,2,... (3.27) Если же предположить, что длительность интервала Т, на котором происходит подсчет числа пересечений, значительно превышает интервал г корреляции случайного процесса (что в данном случае также является абсолютно естественным в силу физической сущности модели (3.53)): T»Nk, (3.28) где TV- большое число, и разделить интервал Т на N подынтервалов, длительность каждого из которых г0 согласно (3.28) должна во много раз превышать интервал корреляции исходного стационарного случайного процесса T0=T/N»Tk, (3.29) то число пересечений к случайным процессом уровня Н на интервале Т, представляющих собой сумму малокоррелированных чисел пересечений на каждом подынтервале т0, согласно центральной предельной теореме будет распределено по нормальному закону Р(к,Т) = = -Ехр\-± ( , )i k = 0,1,2,... (3 30) J2nD(H,T) { 2D(H,T) J . Таким образом, для практического использования данных методов оказывается достаточным знание лишь среднего N(H, Т) или среднего и дисперсии D(H, Т) числа пересечений уровня Я с заданным знаком производной.
Для решения этой задачи воспользуемся аналитико-статистическим методом, развитым в работах И.Н. Коваленко [79, 80], суть которого состоит в том, что на первом этапе решения для искомой величины строится аналитическая формула (в данном случае - это распределение (3.27) или (3.30)), в которую входят некоторые параметры, не вычисляемые в явном виде, а на втором этапе методом статистического моделирования (в данном случае - с помощью модели (3.26)) находятся их выборочные оценки, являющиеся наиболее естественными оценками истинных значений.
При условии, что D[n(H, T)] ос с увеличением числа реализаций выборочное среднее значение (3.31) сходится по вероятности к среднему значению N(H, Т) = М{п(Н, Т)}. Говоря иначе, оценка N(H, Т) является в этом случае состоятельной и несмещенной оценкой среднего числа пересечений N(H, Т), что позволяет с высокой степенью точности находить искомые значения вероятностей пересечения случайным процессом уровня Я (с точки зрения понижения их дисперсии).
Описанная последовательность действий является необходимым, но не достаточным условием решения сформулированной задачи, поскольку не известна дисперсия возмущений на входе СМС, которая является единственным параметром модели (3.26). В связи с этим в процессе статистического моделирования будем последовательно изменять значения дисперсии от нуля до тех пор, пока вначале вероятность появления нуля выбросов (или, что то же самое, вероятность безотказной работы), рассчитанная по выражению (3.54) (или (3.57)), перестанет быть равной единице, а затем станет равной нулю (рис.3.18, а). Таким образом, по результатам моделирования определится диапазон изменения дисперсии возмущений, за нижней границей которого СМС будет асимптотически устойчивой, внутри которого – устойчивой и за верхней границей которого – неустойчивой по критерию роста вероятности выходов значений выходных параметров за границы допустимых областей их изменения, а также то предельное число отказов, при котором эта вероятность будет иметь максимальное значение. Кроме того, принимая во внимание то обстоятельство, что даже скачкообразному изменению