Содержание к диссертации
Введение
1. Проблема управления температурными режимами жидкометаллической ванны в газовых отражательных печах для плавления алюминиевых сплавов 13
1.1 Современные плавильные печи для алюминиевых сплавов 13
1.2 Влияние температуры жидкой фазы на свойства сплава в процессе его приготовления в газовых отражательных плавильных печах 19
1.3 Существующие методы контроля и регулирования температуры жидкой фазы в газовых плавильных и раздаточных печах для алюминиевых сплавов. Задачи исследования 23
2. Газовая отражательная печь для алюминиевых сплавов как объект автоматического регулирования температурой жидкого металла 29
2.1 Основные уравнения и определяющие параметры процесса внешнего теплообмена 29
2.1.1 Базовая система уравнений внешнего теплообмена 30
2.1.2 Определение основных параметров процесса внешнего теплообмена 35
2.2 Математическое моделирование процессов нагрева жидкого металла 42
2.3 Структурное моделирование объекта управления 52
2.3.1 Линеаризованная система уравнений объекта управления и структурная схема объекта управления 52
2.3.2 Передаточная функция жидкометаллической ванны 56
2.3.3 Передаточная функция звена внешнего теплообмена 59
2.3.4 Вывод передаточной функции объекта управления 64
2.4 Основные результаты и выводы 68
3. Дробно-рациональная аппроксимация передаточной функции объекта управления 70
3.1 Редукция к задаче минимизации ошибки равномерного приближения в области характеристик мнимых частот и общий метод её решения 71
3.2 Дробно-рациональная аппроксимация характеристик мнимых частот объекта управления 73
3.2.1 Справочные данные, используемые при решении задачи аппроксимации 76
3.2.2 Непосредственное решение задачи аппроксимации 78
3.3 Представление параметров аппроксимированной модели Ъ как функции глубины ванны х 88
3.4 Основные результаты и выводы 90
4. Экспериментальные исследования объекта управления 91
4.1 Контроль температуры расплава в плавильных печах 91
4.2 Передаточная функция термопары погружения 94
4.3 Постановка экспериментальных исследований 95
4.4 Сравнительный анализ теоретических и экспериментальных исследований объекта управления 96
4.5 Основные результаты и выводы 98
5. Алгоритмы программного оптимального управления температурным режимом жидкометалличсской ванны 99
5.1 Постановка задачи оптимального быстродействия и алгоритмы программно оптимального управления расходом топлива 100
5.2 Алгоритмы оптимального по быстродействию управления с учётом фазовых ограничений на максимальную температуру 105
5.3 Основные результаты и выводы 109
6. Синтез оптимальной по быстродействию системы управления 111
6.1 САО с двухинтервальным управлением 111
6.2 САО с фазовым ограничением на допустимую температуру 116
6.3 Система стабилизации температуры расплава 120
6.4 Влияние возмущений 123
6.5 Основные результаты и выводы 128
Заключение 129
Библиографический список 130
- Влияние температуры жидкой фазы на свойства сплава в процессе его приготовления в газовых отражательных плавильных печах
- Линеаризованная система уравнений объекта управления и структурная схема объекта управления
- Справочные данные, используемые при решении задачи аппроксимации
- Сравнительный анализ теоретических и экспериментальных исследований объекта управления
Введение к работе
Актуальность работы. Современная технология производства ответственных изделий из алюминиевых сплавов в металлургической промышленности предъявляет весьма жёсткие требования к свойствам полуфабрикатов. Как показывают теоретические и практические исследования, определяющую роль в формировании требуемых свойств изделия играют процессы приготовления сплавов в плавильных агрегатах, в качестве которых в крупносерийном производстве используются, в основном, высокопроизводительные газовые отражательные печи ванного типа. Важнейшим фактором, самым существенным образом влияющим на эффективность основных технологических операций в газовых отражательных печах и во многом определяющим качество будущего изделия, является температура расплава, от которой, в первую очередь, зависят эффективность сложных процессов рафинирования жидкометаллической ванны в процессе плавки, а также интенсивность газонасыщения расплава и засорения его примесями, величина угара металла и другие негативные процессы термохимических взаимодействий расплава с различными веществами в рабочем пространстве агрегата.
Ярко выраженные температурные зависимости указанных явлений определяют очень узкий оптимальный температурный диапазон жидкометаллической ванны для приготовления расплава требуемого качества. Определяющая роль температуры расплава и жёсткие требования к точности её поддержания на требуемом уровне приводят к актуальной задаче высококачественного контроля температурных режимов работы плавильного агрегата, которая в условиях значительной инерционности и сложной динамики процессов теплопередачи в газовых отражательных печах, а так же в связи с серьёзными техническими трудностями непрерывного измерения температуры в агрессивной жидкометаллической среде, может быть решена только путём построения специальных систем автоматического управления температурой жидкого металла.
Степень разработанности данной проблемы в настоящее время совершенно недостаточна. Практически отсутствуют исследования динамических характеристик газовых отражательных печей как объекта управления температурой расплава с учётом взаимосвязанных процессов теплообмена в системе «газ - кладка - металл» и способов структурного моделирования управляемых процессов; остаются открытыми вопросы выбора критериев
оптимальности; разработки методик синтеза и реализации алгоритмов и систем автоматического регулирования температурой жидких алюминиевых сплавов.
Сказанное определяет актуальность темы диссертационной работы, посвященной решению комплекса этих задач в целях разработки математического и алгоритмического обеспечения и средств реализации систем автоматического управления температурішми режимами приготовления алюминиевых сплавов в газовых плавильных агрегатах.
Цель работы. Целью диссертационной работы является математическое и структурное моделирование процесса нагрева жидкометаллической ванны в газовых отражательных печах для алюминиевых сплавов как объекта управления температурой жидкого металла с распределёнными параметрами и разработка на этой основе алгоритмов и систем автоматической оптимизации температурных режимов плавильного агрегата.
Для достижения поставленной цели в работе решаются следующие задачи:
Разработка проблемно-ориентированных на задачи управления математических моделей взаимосвязанных процессов внешнего и внутреннего теплообмена в системе «газ - кладка - жидкий металл».
Структурное моделирование и вывод передаточных функций процесса нагрева жидкометаллической ванны как объекта управления с распределёнными параметрами.
Исследование возможностей дробно-рациональных приближений трансцендентных передаточных функций распределённого объекта управления.
Разработка и исследование программных алгоритмов оптимального по быстродействию управления нагревом жидкометаллической ванны.
Синтез замкнутых систем автоматической оптимизации процессов нагрева жидкого металла.
Компьютерное моделирование процессов автоматического управления температурными режимами работы плавильного агрегата.
Методы исследования. Для решения поставленных задач использовались методы математического анализа, аппарата преобразований Лапласа, теории теплопроводности, классической теории автоматического управления, теории оптимального управления, структурной теории систем с распределёнными параметрами.
Научная новизна. Диссертационная работа расширяет и углубляет теоретические представления в области оптимального управления процессами нагрева жидких алюминиевых сплавов в газовой плавильной печи. Полученные в работе результаты позволяют на качественно более высоком уровне решать инженерные задачи синтеза систем автоматического и
автоматизированного управления процессом нафева жидкометаллическои ванны плавильного афегата.
В диссертации получены следующие основные результаты, отличающиеся научной новизной:
Разработана проблемно-ориентированная на задачи управления математическая модель учитывающая, в отличие от известных, взаимосвязанные процессы энергообмена в системе «газ - кладка - металл», описываемые алгебраическими уравнениями энергетического баланса для эффективных и результирующих тепловых потоков излучающих сред и поверхностей совместно с системой дифференциальных уравнений теплопроводности в частных производных для температурных полей в металлической ванне и кладке печи.
Методами структурной теории систем с распределёнными параметрами выполнено структурное моделирование процесса разофева жидкометаллическои ванны как объекта управления температурой расплава, отличающиеся использованием типовых распределённых х-блоков для описания передаточных функций процессов теплопроводности в кладке и на-феваемом металле.
Получены точные в рамках предлагаемых линеаризованных математических моделей выражения для трансцендентной передаточной функции объекта управления с выходом по температуре жидкого металла в любой точке по глубине ванны.
Предложены удовлетворительные по точности чебышевские дробно-рациональные приближения простой структуры к трансцендентным передаточным функциям объекта управления, определяемые, в отличие от известных, в классе характеристик мнимых частот.
На основе альтернансного метода точного решения краевых задач оптимизации систем с распределёнными параметрами разработаны алгоритмы оптимального по бысфодействию управления процессом нафева жидкого металла, обеспечивающие, в отличие от известных, заданную точность равномерного приближения конечного температурного распределения по глубине ванны к требуемому за минимально возможное время в условиях заданных офаничений на управляющие воздействия по расходу топлива и максимальную температуру расплава.
Выполнен структурно-параметрический синтез системы автоматической оптимизации процесса нафева жидкометаллическои ванны по критерию быстродействия с учётом неполного измерения состояния объекта управления.
Практическая полезность работы. Прикладная значимость проведенных исследований определяется следующими результатами: - разработана инженерная методика расчетов алгоритмов оптимального по быстродействиго управления процессом нафева жидких алюминиевых
сплавов газовой отражательной плавильной печи в условиях, соответствующих реальным технологическим требованиям; -разработано специальное математическое, алгоритмическое и программное обеспечение, на базе которого созданы пакеты прикладных программ для автоматизированного расчета алгоритмов оптимального управления процессом нагрева жидкометаллической ванны;
предложены реализуемые структуры замкнутых систем автоматической оптимизации процесса нагрева жидкого металла;
обоснована целесообразность практического применения полученных в работе алгоритмов оптимального управления.
Реализация результатов работы. Результаты работы использованы в проектных разработках перспективных систем управления процессами плавки и литья алюминиевых сплавов на Самарском металлургическом заводе ОАО «СМЗ» (г. Самара), а также в учебном процессе СамГТУ при подготовке инженеров по специальности «Управление и информатика в технических системах» и магистров техники и технологии по направлению «Автоматизация и управление».
Апробация работы. Основные положения и результаты работы докладывались и обсуждались на III Всероссийской научной конференции «Математическое моделирование и краевые задачи» (Самара, 2006), II Международном форуме (VII Международная конференция) «Актуальные проблемы современной науки» (Самара, 2006), IV Всероссийской научной конференции с международным участием «Математическое моделирование и краевые задачи» (Самара, 2007), XIII Международной научно-практической конференции студентов, аспирантов и молодых учёных «Современная техника и технологии» (Томск, 2007).
Публикации. По теме диссертации опубликовано 9 печатных работ, в том числе 4 в журналах из перечня, рекомендованного ВАК.
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, 6 глав и заключения, изложенных на 138 страницах машинописного текста, содержит 39 рисунка, 7 таблиц, список литературы из 100 наименований и 2 приложения.
Влияние температуры жидкой фазы на свойства сплава в процессе его приготовления в газовых отражательных плавильных печах
Для плавки алюминиевых сплавов применяются разнообразные типы печей. К наиболее старым типам плавильных печей относятся тигельные печи весьма малой емкости, нехарактерные для современного промышленного производства [1].
Большое распространение в качестве плавильных печей получили электрические печи сопротивления емкостью от 0,5 до 20 т. [1]. Широкий диапазон мощностей этих агрегатов позволил использовать их на производстве разного масштаба. К числу несомненных достоинств электрических печей сопротивления следует отнести снижение угара металла по сравнению с пламенными печами, меньшую газонасыщенность расплава, более равномерное температурное поле в рабочем пространстве, некоторое улучшение условий труда.
Однако, небольшая производительность (до 600 кг/ч.), большой расход электроэнергии (600 -650 кВт-час/т), сложность конструкции, низкая стойкость свода, частый выход из строя нагревателей, большие капитальные и ремонтные затраты, затруднения в проведении некоторых технологических операций, особенно рафинирования, не позволяют считать эти агрегаты полностью удовлетворяющими современным требованиям.
В годы Великой Отечественной войны при огромной потребности в изделиях из алюминиевых сплавов в условиях острого недостатка электроэнергии встала проблема создания новых высокопроизводительных агрегатах и экономичных плавильно-литейных агрегатов. Таким требованиям удовлетворяла пламенная отражательная печь ванного типа на жидком или газообразном топливе. Вызванные к жизни условиями военного времени, пламенные плавильно - литейные агрегаты ввиду целого ряда преимуществ заняли доминирующее положение к настоящему времени в промышленности вторичной обработки алюминиевых сплавов. При этом к наиболее рациональным конструкциям отражательных печей следует отнести печи, работающие на газовом топливе. По сравнению с мазутом природный попутный газ обладает целым рядом преимуществ. При более простых методах сжигания он может дать те же (и даже более высокие) температуры, что и мазут, обладая при этом меньшей стоимостью; при использовании газа появляются широкие возможности регулирования состава печной атмосферы [34].
Современные газовые отражательные печи (см. рисунок 1.1-Н.З) характеризуются большой емкостью (25 -40 т.) и производительностью, недостижимыми пока ни для одного из других типов известных печей, высокой экономичностью за счет дешевого топлива, простой конструкции и обслуживания, легкостью производства основных технологических операций.
При всем этом газовые печи представляют из себя весьма компактные технологические агрегаты, занимая относительно небольшую производственную площадь. Так, например, отражательная печь емкостью 25 т. занимает в цехе ту же площадь, что и электропечь САН-7 втрое меньшей емкости [1].
Одновременно с несомненными преимуществами отражательные печи обладают рядом серьезных недостатков. К основным из них относятся достаточно высокий угар металла, повышенная газонасыщённость расплава за счет взаимодействия его с печной атмосферой, возможность местного перегрева металла, неравномерность температурного поля ванны по ее глубине [1, 20, 27,34,37,38,48,53].
Однако следует отметить, что конструкции отражательных печей открывают широкие возможности для борьбы с этими недостатками, причем в этой области сделано еще весьма мало. 15 7090 - горелки; 2 - дверки загрузочных окон; 3 - дымоотборные каналы. Рисунок 1.1 - Плавильная печь емкостью 30 тон на газовом топливе Уменьшение угара металла и газонасыщенности расплава в значительной мере может быть достигнуто оптимальным регулированием печной атмосферы [1, 27, 34, 45, 53, 54]. Имеющиеся в этой области исследования совершенно недостаточны, и здесь предстоит весьма большая работа, эффект которого несомненен. По ВВ
В настоящее время плавка под флюсами с последующим рафинированием расплава хлорированием согласно детально разработанной технологии этого процесса позволяет выплавлять в газовых печах самые качественные сплавы.
Ждут своего решения вопросы рационального формирования температурного поля в рабочем пространстве печей, что позволило бы избежать местных перегревов расплава. Эти вопросы могут быть решены соответствующим расположением горелок и выбором их оптимальной конструкции [34].
Большая неравномерность температурного поля расплава по глубине ванны, характерная для газовых печей, где нагрев производиться с поверхности ванны, может быть в значительной степени ликвидирована внедрением перемешиванием расплава. Особого внимания здесь заслуживают работы по созданию вакуумной установки для непрерывного перемешивания расплава в плавильной печи с одновременной его дегазацией азотом [52]. Перспективным направлением для ликвидации неравномерности температуры по глубине ванны можно считать применение нижнего (через под) обогрева расплава и создание миксера-термостата [34, 54].
В настоящее время для плавки алюминиевых сплавов находят все большее применение низкочастотные индукционные канальные печи [1]. Эти печи обладают целым рядом преимуществ, к которым следует отнести малый угар металла, малую его газонасыщенность, быстроту плавки, хорошее перемешивание металла внутри ванны, высокую культуру производства. Однако эти печи обладают пока гораздо меньшей емкостью, чем газовые (не более 10 т.), требуют значительного расхода энергии (40(И-500 кВт-час/т), очень сложны по конструкции, имеют ряд весьма существенных эксплуатационных недостатков, к которым прежде всего относится трудоемкая и трудномеханизируемая операция чистки каналов [1].
Очевидно, что индукционные плавильные печи являются достаточно перспективными и наряду с отражательными печами найдут достаточно широкое применение в промышленности.
Следует также ожидать, что в свете перспективного развития плавильно-литейных агрегатов для алюминиевых сплавов наиболее оптимальным будет неоднозначное решение вопроса. В зависимости от конкретных технико-экономических условий наиболее рациональной конструкцией следует признать газовую отражательную или индукционную печь. Для крупных вновь строящихся предприятий мощности в районах с дешевой электроэнергией целесообразна ориентация на индукционные плавильно-литейные агрегаты. Имея в виду большие достоинства и возможности газовых отражательных печей, значительные перспективы их дальнейшего развития, следует считать правильным в определенных условиях ориентироваться на этот тип печей.
Это прежде всего касается тех промышленных предприятий, где уже построены и успешно функционируют отражательные печи, где сложилась определенная технология приготовления сплавов и ведутся успешные работы по дальнейшему совершенствованию агрегатов.
В настоящее время около 90% всех плавильно-литейных агрегатов для алюминиевых сплавов в России, США, Канаде, Англии представляют собой агрегаты отражательного типа, и с учетом вышесказанного, дальнейшее изучение вопросов технологии плавки и литья в этих печах, безусловно, весьма актуально.
Линеаризованная система уравнений объекта управления и структурная схема объекта управления
В основу построения математической модели объекта управления, в качестве которого всюду далее рассматривается температурные режимы жидкого расплава, должны быть положены взаимосвязанные уравнения внешнего и внутреннего теплообмена в рабочем пространстве и в ванне печи.
Явления теплопередачи в современных металлургических агрегатах отличаются чрезвычайной сложностью. Их рассмотрение даже в самом упрощенном виде приводит к необходимости решать систему уравнений, связанных с процессами собственного излучения, гидродинамики, горения, диффузии и др., характеризующих теплообмен в рабочем пространстве, в совокупности с уравнениями внутреннего теплообмена, что в общем случае оказывается невозможным.
Обычно подобные задачи решаются путем создания упрощенных схем теплообмена. Одним из существенных допущений, резко упрощающих расчет и не вносящих существенной погрешности, является допущение серых свойств излучающей среды и поверхностей [58]. Как показано в работах Ю.А. Суринова [80], строгое математическое описание явлений лучистого теплообмена в системе серых тел может быть дано системой интегральных уравнений, решение которой возможно лишь численными методами. Для упрощения задачи в большинстве случаев делается допущение, что плотности эффективных лучистых потоков, излучаемых поверхностями твердых непрозрачных тел, одинаковы для всех точек каждой поверхности. Тогда система интегральных уравнений заменяется системой алгебраических уравнений, позволяющих элементарным путем решить многие задачи по лучистому теплообмену.
Данная система алгебраических уравнений может быть получена из уравнений баланса для эффективных и результирующих излучений участвующих в теплообмене поверхностей и сред (зональный метод расчета, метод сальдо-потоков) [57, 58]. При этом, как правило, при анализе теплообмена в рабочем пространстве печей наиболее широко в инженерной практике используются результаты, полученные подобным методом для упрощенного представления печи системой, состоящей из однородной излучающей среды, окруженной составляющими замкнутый объем лучевоспринимающей поверхностью металла и кладкой печи (см. рисунок 2.1) [30, 57, 58, 81,82].
Основным допущением здесь наряду с допущением серых свойств излучателей и постоянства плотности эффективных излучений ванны и кладки по поверхности является равенство температур излучающей среды по всему объему рабочего пространства. При этом принимается, что эффективные излучения поверхностей подчиняются закону Ламберта, поглощательные способности излучателей одинаковы для всех лучистых потоков и равны соответствующим степеням черноты, оптические характеристики излучающей среды и поверхностей не зависят от пространственных координат и берутся как некоторые среднеэффективные величины. Температуры участвующих в теплообмене поверхностей металла и кладки считаются одинаковыми для всех точек поверхности и равными соответствующим среднеэффек-тивным величинам. Подобный анализ ведется, как правило, для установившегося режима работы печи, когда в первом приближении результирующее излучение кладки может быть принято равным нулю, а ее небольшие потери в окружающую атмосферу со стороны наружной поверхности обычно считают покрывающимися конвективной передачей тепла кладке с внутренней поверхности [30, 57, 58, 81]. Расчет указанной схемы дает широко известные выражения для передачи тепла ванне вида д=ав(т;.-т;), где Tv, Тп - соответственно температуры излучающей среды и поверхности ванны; сгв - видимый коэффициент излучения, определяемый оптическими и геометрическими характеристиками системы.
Применительно к рассматриваемым плавильным печам для алюминиевых сплавов, в период разогрева ванны следует учитывать также разогрев кладки, что вызвано спецификой технологии работы агрегата и особенностями постановленной задачи.
В данном случае результирующее излучение кладки отлично от нуля, и оно, собственно, представляет собой вторую лучевоспринимающую поверхность, если под последней понимать поверхность, поглощающую тепло в процессе теплообмена. Известные выражения для д здесь не могут быть использованы, и вопрос требует специального рассмотрения. Считая кладку лучевоспринимающей поверхностью, рассмотрим с помощью зонального метода расчета теплообмен в рабочем пространстве печи. При этом будем анализировать выражения для эффективных и результирующих излучений теплообменивающихся поверхностей. Будем считать поверхность металла в печи строго горизонтальной, т.е. угловой коэффициент поверхности ванны самой на себя принимается равным нулю. Тогда эффективное излучение зеркала металла Оэв складывается из следующих составляющих:
Справочные данные, используемые при решении задачи аппроксимации
Непосредственное решение задачи (3.2) оказывается сложной проблемой и требует большого объема вычислений. Поэтому, используя аппарат вещественных интегральных -преобразований [26, 60, 63, 64, 69, 70], можно перейти в (3.2) от частотных характеристик к их аналогам в форме соответствующих вещественных изображений W(S,xc) и S(S,b), которые называются характеристиками мнимых частот (ХМЧ) [60], путем простой формальной замены комплексного аргумента на действительную переменную 5, Кроме того, будем рассматривать приближение на конечном отрезке [SH,SB\. Тогда вместо (3.2) получаем более простую чебышевскую задачу минимизации ошибки равномерного приближения к нулю разности соответствующих ХМЧ ОСП и ОРП на подходящем действительном отрезке [63, 64, 68, 70]:
Правомерность подобного перехода обосновывается однозначно устанавливаемой связью между АФХ и ХМЧ системы, обеспечивающей необходимую близость решений задач (3.2) и (3.3) при достаточно малой величине ошибки равномерного приближения в (3.3) [29]. Необходимость уменьшения ошибки приближения мы всегда можем обеспечить за счет усложнения структуры S(S,b) или за счет варьирования величины и положения отрезка приближения.
Хорошо известно [3, 29] замечательное свойство решения задачи (3.3), а именно: если b - b является решением (3.3), то разность, в условиях малых допущений, справедливых в рассматриваемой задаче, стоящая под знаком модуля, на отрезке приближения [ 5н,с в] будет максимально уклоняться от нуля с чередующимся знаком ровно п+1 раз, где и-размерность вектора параметров Ъ. Другими словами, на отрезке приближения будет ровно п+] то 72 чек 8 , q = 1, п +1, в которых достигаются знакочередующиеся максимальные по модулю значения разности S{S,b0)- W(S,xc), равные ± J{b).
Таким образом, при достаточно гладкой форме ХМЧ типовых ОРП, исключающих избыточное число точек экстремумов разности S\S,ba)-W{8 ,хс), решение задачи (3.3) можно свести к решению системы нелинейных уравнений относительно искомых параметров, дополненной уравнениями для определения координат экстремальных точек 8 : . При наличии дополнительной информации о форме кривой S\84,b)—W[8 ) на отрезке 8е[8„,8в], позволяющей однозначным образом определить значения Л, Я,, у/ и выбрать точки из возможного набора вариантов, система п + Я1 — Я + 2 уравнений решается относительно искомых параметров b,i = l,n, ХМЧ ОСП, наилучшим образом аппроксимирующей ХМЧ ОРП, минимакса ошибки равномерного приближения J{b) и координат экстремальных точек 8 ,ц — Я,Лх .
После нахождения решения системы уравнений (3.4)- (3.5) производится обратная замена переменной 8 на комплексный аргумент jco; при этом от характеристик в области мнимых частот мы переходим к характеристикам в области действительных частот. Далее оценивается степень близости частотных характеристик W(jco,xc) и Syjco b") по модулю и аргументу, и в случае удовлетворительного результата при дальнейшем анализе динамических свойств ОРП используется приближенная замена в виде подобном ОСП для каждого фиксированного значения пространственной координаты.
Дробно-рациональная аппроксимация характеристик мнимых частот объекта управления Выражение для ХМЧ рассматриваемого объекта управления принимает следующий вид после замены комплексной переменой "р" на действительную " 5" в (2.123): При выборе структуры аппроксимирующих ХМЧ необходимо принять компромиссное решение относительно размерности вектора "настраиваемых" параметров Ъ. Очевидно, что с усложнением структуры аппроксимирующей характеристики увеличивается точность приближения, но вместе с тем кривая разности S{S,b)-W(S,xc) будет иметь сложную форму, что в целом усложняет решение задачи аппроксимации (3.3).
Технически осуществить эту процедуру можно с помощью пакета прикладных программ типа MATHCAD, в котором реализованы основные численные алгоритмы, в том числе и алгоритм численного решения систем нелинейных уравнений. Написание текста ведётся на языке, максимально приближенном к обычному математическому языку, кроме того, имеется возможность оперативного получения графической информации, что значитель 76 но облегчает процесс идентификации формы кривой разности S{S,b)-W{S,xc).
При реализации итерационной процедуры решения задачи (3.20) необходимо определить интервалы изменения переменной 8, т.е. бп и SB. Обратимся к утверждению [60, стр.86], которое имеет вид: " Если
Искомые границы участка аппроксимации, согласно выражению (3.23) и с учетом практической реализации алгоритмов аппроксимации, будут иметь вид: н=10 7 ид=10-\
Справочные данные, используемые при решении задачи аппроксимации Для численного решения системы уравнений (3.4) (3.5), при расчёте всех необходимых параметров, использовались практические значения технологических параметров металла, кладки и газа [1, 4, 24, 62, 65, 74, 85], которые сведены в таблицы 3.1 - 3.4.
Сравнительный анализ теоретических и экспериментальных исследований объекта управления
Известные постановки задач оптимизации процессов нагрева металла обычно предусматривают выбор ограничиваемых по абсолютной величине управляющих воздействий (температура среды, тепловой поток, интенсивность внутреннего тепловыделения и др.), которые непосредственно включаются в соответствующие краевые условия или в правую часть уравнения теплопроводности, описывающего температурное поле нагреваемого тела [2, 8, 10, 12, 63, 94]. При такой формулировке задачи расчётные алгоритмы оптимального управления часто не могут быть реализованы в нагревательных установках с внешним теплообменом, где скорости изменения во времени температуры рабочего пространства и теплового потока на поверхности тела ограничиваются динамикой их связей с регулируемым расходом энергоносителя.
Широкий круг экстремальных задач в области техники формулируются в терминах функций максимума, что приводит к специальным негладким задачам математического программирования с бесконечным числом ограничений, получившим название задачи полубесконечной оптимизации. Метод решения данных задач, при аналогии с известными определениями теории чебышевских приближений, называется альтернансным методом [63, 66]. Альтернансные свойства задач полубесконечной оптимизации порождают замкнутую относительно всех искомых неизвестных систему соотношений в точках максимума, где значения соответствующих функций оказываются равными по определению величине критерия оптимальности и заданному пределу функциональных ограничений. При известном характере рассматриваемых функций, позволяющем идентифицировать эти точки, данные соотношения редуцируются к системам уравнений, последующее решение которых исчерпывает решение исходной задачи.
Для рассматриваемых агрегатов большое практическое значение имеет задача достижения требуемого конечного температурного распределения за
100 минимально возможное время при внешнем ограниченном по лю сосредоточенном управляющем воздействии в виде теплового потока. Алгоритм программного управления, реализующий управление расходом топлива с описанными ограничениями, называют оптимальным по быстродействию.
Рассмотрим задачу оптимального быстродействия для рассматриваемого объекта, применив альтернансный метод.
В условиях (5.2), ограничивающих предельные значения Q(t) заданными величинами Qmm и Qmax, оптимальный алгоритм Q0l,T{(p), обеспечиваю 101 щий выполнение требования (5.4) за минимально возможное время Сп (5-3) представляет собой кусочно-постоянную функцию времени, попеременно принимающую только свои предельные значения [63], и проблема сводится к определению числа і и длительностей tm,m = l,2,...,i, интервалов постоянства Q01,T(t), порядок следования которых определяется очевидным равенством Q0PT (t) = gmax на протяжении первого из них.
Согласно известным свойствам [63], результирующее температурное поле оптимального процесса Т(х, а) отличается предельно допустимыми отклонениями, равными ±, от Т (х) в некоторых точках xJ,j = l,2,...Ri по объему тела, число R, которых равно /, если Е, „ или на единицу больше /, если = „ где - минимально достижимая неравномерность нагрева в классе управлений вида Qopr (t) с і интервалами постоянства. При заданном /, известной конфигурации распределения температуры жидкометаллической ванны T\x,t b), позволяющей установить характер и расположение точек х,, и известной зависимости T(x,t) результирующего состояния Т{х, ы) от вектора t = {tm), определяемой решением (3.27) при Q{t) = Q0PT(f), соответствующая система соотношений для температур T\Xj,t) может быть редуцирована к системе Лд уравнений с R, неизвестными в роли которых выступают tm (m = 1,2,...,/) и , если в выражении (5.4) = ,. е_ шение этой системы исчерпывает решение рассматриваемой оптимальной задачи, причём попутно вычисляется величина . Число і интервалов постоянства Qon(t) чаще всего определяется в зависимости от В, простым правилом [63] а конфигурация T(x,t) в общем случае идентифицируется в ходе числительного процесса, или чаще всего заранее определяется, исходя из физических закономерностей поведения исследуемых температурных полей.
Требуемая точность нагрева Е, для объектов, описываемых уравнениями теплопроводности, обычно удовлетворяет неравенству 2 ,, где f2 достаточна близко к нулю. Тогда і = 2 в силу (5.6), и, согласно отмеченному выше свойству T[x,tmia), R,=i = 2. Сигнал управления по расходу топлива на первом интервале будет максимальным Q(t) = Qmx, t є (О,/,), а на втором минимальным Q(t) = Qmin »0, te(tut2) (см. рисунок 5.1). В качестве двух точек Xj, из очевидных физических соображений, могут выступать только х] = 0 (дно ванны)- и точка x2=R (поверхность ванны), с минимальной и максимальной температурами при очевидном характере пространственного распределения температур по глубине ванны при её нагреве в газовой отражательной печи (рисунок 5.2).
Похожие диссертации на Структурное моделирование и оптимальное управление температурными режимами жидкого металла в газовых отражательных печах для плавления алюминиевых сплавов
