Содержание к диссертации
Выбор базовой модели для исследования закономерностей хаотической динамики, связанных с локальными бифуркациями, в релейных и широтно-импульсных системах автоматического управления 22
1.1 Постановка задачи и цель исследований 22
1.2 Разбиение плоскости параметров отображения Хенона на области периодических и хаотических колебаний 24
1.3 Бифуркационный анализ отображения Хенона 34
1.4 Основные результаты и выводы 54
2 Разработка теоретических основ анализа бифуркаций и хаоса в релейных системах автоматического управления 55
2.1 Математические модели релейных систем с гистерезисом. Точечные отображения, порождаемые системами автономных дифференциальных уравнений с разрывными правыми частями 59
2.2 Разработка методов и алгоритмов численного поиска периодических движений 63
2.3 Разработка метода анализа локальной устойчивости периодических решений в динамических системах с разрывными правыми частями 68
2.3.1 Неавтономные динамические системы 68
2.3.2 Автономные динамические системы. Локальная устойчивость предельных циклов релейных систем с гистерезисом 76
2.4 Алгоритмы численного расчета бифуркационных диаграмм и карты динамических режимов 77
2.5 Основные результаты и выводы 81
Исследование закономерностей и бифуркационных механизмов хаотизации колебаний и возникновения катастрофических явлений в релейных системах автоматического управления 83
3.1 Разработка базовой модели релейных систем с хаотической динамикой. Двупараметрический анализ динамических режимов 83
3.2 Анализ бифуркационных диаграмм и картин ветвления. Выявление закономерностей и бифуркационных сценариев перехода к хаосу 100
3.3 Исследование причин возникновения хаотических колебаний и катастрофических явлений 1 3.3.1 Расчет картины ветвления логистического отображения 129
3.3.2 Расчет радиуса внутренней области притяжения. Численные эксперименты и причины хаотизации колебаний 144
3.3.3 Анализ механизмов хаотизации колебаний в релейной системе с гистерезисом 149
3.4 Основные результаты и выводы 153
Сложная динамика и хаос в системах автоматического управления с широтно-импульсной модуляцией 156
4.1 Постановка проблемы и цель исследований 156
4.2 Схема замещения и математическая модель системы автоматического управления с широтно-импульсной модуляцией второго рода 161
4.3 Разработка метода и алгоритма численного поиска периодических решений 171
4.4 Анализ локальной устойчивости периодических движений 175
4.5 Исследование карты динамических режимов и сценариев перехода к хаосу через локальные бифуркации 178
4.6 Анализ структуры С-бифуркационных границ и закономерностей хаотизации динамических режимов через С-бифуркации 186
4.7 Основные результаты и выводы 216
Исследование резонансных явлений и переходов к хаосу через С-бифуркации периодических движений на поверхности двумерного тора 218
5.1 Базовая кусочно-гладкая динамическая система с квазипериодическим сценарием перехода к хаосу: математическая модель системы управления с широтно-импульсной модуляцией первого рода 219
5.2 Анализ карты динамических режимов и переходов к хаосу через режим двухчастотных квазипериодических колебаний 224
5.3 Исследование структуры резонансных областей и С-бифуркаций циклов на поверхности двумерного тора 242
5.4 Основные результаты и выводы 260
Недетерминированные режимы в релейных системах автоматического управления электроприводами постоянного тока систем автоматизации технологических процессов 262
6.1 Постановка задачи и цель исследования 262
6.2 Схема замещения и математическая модель системы управления с двухпозиционным релейным элементом, содержащим временную зону нечувствительности и гистерезис 264
6.3 Закономерности усложнения колебаний в релейной системе с гистерезисом и временной зоной нечувствительности 269
6.4 Механизмы нарушения синхронизации и возникновения недетерминированных режимов в релейных системах с внешней принудительной синхронизацией колебаний 287
6.5 Основные результаты и выводы 299
7 Разработка принципов построения и технических средств реализации релейных систем автоматического управления 301
7.1 Принципы построения релейных систем автоматического управления электроприводами с преобразователями электрической энергии 302
7.2 Датчики первичной информации для релейных систем автоматического управления электроприводами постоянного тока 308
7.3 Основные результаты и выводы 322
Заключение 324
Список использованных источников 328
4 Приложение 358
Введение к работе
Актуальность проблемы. Одно из основных направлений повышения уровня автоматизации технологических процессов связано с созданием высокоэффективных импульсно-модуляционных систем преобразования энергии [1 4].
Освоение промышленностью новых типов силовых полупроводниковых приборов [5-8], прогресс в области микроэлектроники открывают широкие возможности для разработки мощных преобразователей энергии импульсно-модуляционного типа на базе релейных и широтно-импульсных систем автоматического управления с принципиально новыми схемотехническими и конструктивными решениями, обеспечивающими высокое быстродействие, КПД, надёжность при сравнительной малой массе и габаритах. Такие системы позволяют наиболее гибко с малыми потерями управлять потоком электрической энергии, изменять её параметры, реализовывать оптимальные способы управления технологическими процессами [1, 3, 4, 9].
Основной режим работы систем указанного класса — режим периодических колебаний, которые поддерживаются либо внешним периодическим воздействием (в системах с широтно-импульсной модуляцией), либо определяются свойствами самой системы (в релейных автоматических системах). В то же время в численных и физических экспериментах, а также в реальных условиях эксплуатации часто обнаруживаются более сложные динамические режимы, включая квазипериодические и хаотические колебания. При этом установлено, что в широких диапазонах изменения параметров возможна неединственность движений. Вследствие этого воздействие внешнего шума, даже сколь угодно малого, или вариации параметров, определяемые условиями эксплуатации и режимами работы нагрузки, могут приводить к катастрофическим явлениям [10-13], проявляющимся в резкой смене характера динамики, например, во внезапном переходе от одних устойчивых периодических движений к другим либо в катастрофической хаотизации колебаний. Следствием этого является не только значительное увеличение динамических ошибок и ухудшение качественных показателей, но и внезапные отказы технологического оборудования, приводящие в ряде случаев к крупным авариям [14-19].
Несмотря на достигнутые успехи в развитии теории управления и регулирования, теории нелинейных колебаний и хаоса, особенности сложной динамики релейных и широтно-импульсных систем автоматического управления, причины катастрофических явлений остаются неизученными. Это вынуждает проводить большой объём экспериментальных и натурных исследований с целью получения приемлемых для конкретных условий эксплуатации динамических характеристик, повышения надёжности и эксплуатационных показателей.
Исследованию колебаний в релейных и широтно-импульсных системах автоматического управления посвящены многочисленные работы (см., например, [20-49] и др.). В большинстве работ решаются задачи определения условий существования периодических колебаний и анализа их устойчивости и, как правило, эти вопросы рассматриваются в отрыве от проблемы сложной динамики. В общей же теории релейных и нелинейных импульсных систем предметом изучения являются исключительно периодические режимы, что сужает класс рассматриваемых систем. Что касается систем со сложной динамикой, то число работ в этой области значительно меньше (см., например, [49-58] и др.), причем в основном они связаны с: численным анализом хаотического поведения двумерных моделей конкретного класса систем управления с широтно-импульсной модуляцией. Результатов, относящихся к исследованию хаотических колебаний в релейных системах, практически нет.
Релейные и гдиротно-импульсные системы обычно описываются системами дифференциальных уравнений, правые части которых имеют разрывы первого рода на некоторых гладких поверхностях. Эти поверхности разделяют фазовое пространство динамической системы на отдельные области, в каждой из которых поведение системы описывается различными дифференциальными уравнениями с достаточно гладкими правыми частями. Подобные динамические системы называют ещё кусочно-гладкими. В кусочно-гладких системах переход от режимов периодических колебаний к хаотическим при изменении параметров может происходить по типичным сценариям: каскад бифуркаций удвоения периода (сценарий Фейгенбаума), кризис периодических колебаний и переход к хаосу через перемежаемость (сценарий Помо-Манневиля) и различные варианты перехода к хаосу через квазипериодичность [59, 60].
Однако выяснилось, что в кусочно-гладких системах указанные механизмы далеко не исчерпывают все возможные сценарии хаотизации динамических режимов. Существует гораздо более широкий класс бифуркационных явлений и переходов к хаосу, пока ещё не охваченных определенной классификацией, теоретический и численный анализ которых представляет трудную задачу.
Фазовые траектории рассматриваемых динамических систем сшиваются из отдельных гладких участков. В кусочно-гладких системах возможны два типа бифуркаций. Первый тип — точно такой же. как и в гладких системах. Это так называемые локальные бифуркации, которые соответствуют потере устойчивости периодическим решением. Второй тип не имеет аналогов в гладких системах и связан с касанием границы областей сшивания одним из участков фазовой траектории периодического решения, в результате чего изменяется число участков, из которых сшивается траектория этого решения. Подобные нарушения топологической структуры фазового пространства получили название С-бифуркаций [61-64], или «border-collision bifurcations» [65, 66]. Простейшей бифуркационной картине при С-бифуркациях соответствует непрерывный переход решения одного типа в решение другого типа. Возможны и более сложные ситуации, например, удвоение, утроение периода колебаний, слияние двух решений различных типов и последующее их исчезновение. Исключительная сложность и чрезвычайно большое многообразие типов динамических явлений и переходов к хаосу в кусочно-гладких системах связаны как с локальными, так и с С-бифуркациями. Это обстоятельство требует расширения и пересмотра сложившихся в теории колебаний представлений о закономерностях возникновения сложной динамики и хаоса в диссипативных системах.
Изучению С-бифуркаций и закономерностей хаотизации колебаний в кусочно-гладких системах в последние годы уделяется значительное внимание [61, 66-77]. Теоретические исследования стимулируются потенциальными приложениями результатов во многих областях науки и техники [78-94].
Основная проблемная ситуация заключается в том. что единой теории для исследования сложной динамики и хаоса, в кусочно-гладких динамических системах в виде, удобном для приложений, до сих пор не создано. Имеющиеся результаты касаются, главным образом, динамических особенностей конкретного класса одномерных и двумерных кусочно-гладких отображений и не объединены общетеоретическими представлениями. Для рассматриваемого класса систем, в сравнении с гладкими, далеко не все вопросы о механизмах, свойствах и бифуркационных сценариях развития хаоса, причинах катастрофических явлений представляются сейчас теоретически ясными. Между тем, динамические системы указанного класса находят много приложений в различных задачах механики, современной теории автоматического управления и регулирования, радиофизики, радиотехники и электроники, силовой преобразовательной техники.
Поэтому поиск научно-технических путей обнаружения, прогнозирования и предотвращения хаотических колебаний и катастрофических явлений в импульсно-модуляционных преобразователях электрической энергии с релейным и широтно-импульсным регулированием является актуальной проблемой.
Научный аспект сформулированной проблемы заключается в необходимости развития теории хаотических колебаний в кусочно-гладких динамических системах, выявлении закономерностей и бифуркационных механизмов хаотизации динамических режимов и возникновения катастрофических явлений в релейных и широтно-импульсных системах автоматического управления.
Практическая часть проблемы включает разработку математических моделей, вычислительных алгоритмов и специализированного программного обеспечения для исследования и анализа сложной динамики и хаоса в релейных и широтно-импульсных системах автоматического управления, позволяющих выполнить обоснованный выбор структур и типов регуляторов, схем и пара,-метров корректирующих устройств, устройств обратных связей, вида модуляции электрической энергии и обеспечить достижение требуемых показателей качества функционирования системы в широком диапазоне изменения параметров объекта управления и возмущающих воздействий.
Кроме того, практическая часть проблемы включает разработку способов внешней принудительной синхронизации колебаний релейных автоматических систем со сложной динамикой, позволяющих исключить хаотические движения, повысить точность регулирования и быстродействие, обеспечить устойчивую синхронизацию колебаний с заданной частотой.
Связь темы диссертации с научно-техническими программами. Диссертационная работа выполнена в рамках научно-исследовательских работ (НИР), проводившихся по общесоюзной научно-технической программе 0.54.01 «Создать и освоить в эксплуатации высокоэффективные средства и технологические процессы на железнодорожном транспорте», утвержденной постановлением Государственного комитета СССР по науке и технике № 535 от 31 декабря 1986 г., приложение 64, пункты 30.И. и 32.И «Создать и освоить производство электропоезда постоянного тока с конструктивной скоростью 200 км/ч типа ЭР200 улучшенной конструкции»; по межвузовской научно-технической программе «Оптимум», приказ Минвуза СССР № 358 от 16 мая 1986 г.; в соответствии с планами НИР Курского государственного технического университета на 1992 1997 гг. по теме 1.4.92, Xа гос. регистрации 01.9.70003503; в рамках совместных госбюджетных НИР с Орловским государственным техническим университетом на 1994-1996 гг., № гос. регистрации 01.9.40003748, № гос. регистрации 01.9.40003747; при реализации НИР, проводимой с 1999 г. совместно с Центром по исследованию хаоса и турбулентности Датского технического университета (Center for Chaos and Turbulence Studies, Department of Physics, Technical University of Denmark, Lyngby, Denmark) в рамках международного сотрудничества Курского государственного технического университета. Исследования поддержаны грантами в области транспортных наук (транспортная техника, 1993 г.. 1994 г., 1996 г.), грантом по фундаментальным исследованиям в области «Автоматики и телемеханики, вычислительной техники, информатики, кибернетики, метрологии, связи» 12/4-98 .№ госрегистрации 01.20.00 10074, 1998-1999 гг.
Цель работы. Создание теоретических и алгоритмических основ хаотической динамики релейных и широтно-импульсных систем автоматического управления, установление закономерностей и бифуркационных механизмов ха.-отизации динамических режимов и возникновения катастрофических явлений, разработка релейных систем автоматического управления с улучшенными динамическими и эксплуатационными характеристиками.
В соответствии с этим в диссертационной работе решаются следующие задачи:
1. Создание теоретических и алгоритмических основ хаотической динамики релейных и широтно-импульсных систем автоматического управления, заключающееся в разработке:
• метода сведения математических моделей релейных и широтно-импульсных систем, представляемых в виде систем дифференциальных уравнений с разрывными правыми частями, к отображению Пуанкаре;
• метода и алгоритма анализа локальной устойчивости периодических движений, включающей: построение алгоритма, позволяющего находить как устойчивые, так и неустойчивые периодические решения; определение условий сшивания решения уравнения в вариациях в точках разрыва с использованием аппарата обобщённых функций; получение рекуррентных соотношений для расчёта оператора монодро-мии;
• метода и алгоритма численного поиска периодических движений, ориентированного на случаи, когда имеет место полная априорная неопределённость относительно числа и типов устойчивых периодических решений, существующих при выбранных параметрах, а также наличия апериодических колебаний;
• единого подхода к анализу локальных бифуркадий и С-бифуркаций в многомерных кусочно-гладких динамических системах;
• вычислительных алгоритмов расчёта картин ветвления, бифуркационных диаграмм и карт динамических режимов:
• специализированного программного обеспечения для исследования и анализа хаотических колебаний в кусочно-гладких динамических системах.
2. Установление свойств карт динамических режимов в пространстве параметров, бифуркаций предельных циклов и сценариев перехода от режимов периодических колебаний к хаосу в релейных системах автоматического управления, выяснение причин возникновения хаотических колебаний и катастрофических явлений.
3. Выявление закономерностей хаотизации колебаний в системах управления с широтно-импульсной модуляцией. Анализ карты динамических режимов в пространстве параметров, изучение структуры С-бифуркационных границ и бифуркаций циклов, исследование сценариев переходов к хаосу через локальные бифуркации и С-бифуркации,
4. Выявление механизмов нарушения синхронизации колебаний и возникновения недетерминированных режимов в релейных системах с внешней принудительной синхронизацией.
5. Разработка и внедрение в промышленность системы автоматического управления электроприводами постоянного тока с улучшенными динамическими и эксплуатационными характеристиками.
