Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. О надежности и безопасности уникальных объектов при нестационарных волновых воздействиях 13
1.1. Об обеспечении надежности и безопасности уникальных объектов 13
1.2. О роли волн напряжений в разрушении сложных систем... 14
1.3. О численном моделировании нестационарного напряженного состояния в деформируемых областях различной формы 17
1.4. О точности и достоверности результатов численного моделирования нестационарного напряженного
состояния в деформируемых областях различной формы.. 21
1.5. Оценка безопасности сложных объектов при ударных воздействиях с помощью численного моделирования 27
1.6. Математическое моделирование защиты сложных объектов при взрывных воздействиях 31
1.7. Численное моделирование в задачах управления безопасности сложных объектов при сейсмических воздействиях 44
1.8. Постановка задач исследований 47
Глава 2. Математическое моделирование нестационарных волн в упругих деформируемых телах 49
2.1. Постановка задачи 49
2.2. Разработка методики и алгоритма 52
2.3. Решение задачи о распространении плоских продольных волн в виде импульсного воздействия (первая ветвь: восходящая часть - четверть круга, нисходящая часть -линейная; вторая ветвь: восходящая часть - линейная, нисходящая часть - линейная) в упругой полуплоскости... 65
2.4. Выводы 78
Глава 3. Решение некоторых задач о воздействии нестационарной ударной волны на консоль с упругой полуплоскостью 81
3.1. Решение задачи о воздействии воздушной ударной волны на консоль с упругой полуплоскостью (соотношение ширины к высоте консоли - один к десяти) 81
3.2. Решение задачи о воздействии воздушной ударной волны на консоль с упругой полуплоскостью (соотношение ширины к высоте консоли - один к восьми) 114
3.3. Решение задачи о воздействии воздушной ударной волны на консоль с упругой полуплоскостью (соотношение ширины к высоте консоли - один к шести) 145
3.4. Решение задачи о воздействии воздушной ударной волны на консоль с упругой полуплоскостью (соотношение ширины к высоте консоли - один к четырем) 172
3.5. Решение задачи о воздействии воздушной ударной волны на консоль с упругой полуплоскостью (соотношение ширины к высоте консоли - один к двум) 197
3.6. Решение задачи о горизонтальном сосредоточенном воздействии воздушной ударной волны на упругую полуплоскость 218
3.7. Выводы 235
Заключение 242
Список литературы
- О численном моделировании нестационарного напряженного состояния в деформируемых областях различной формы
- Численное моделирование в задачах управления безопасности сложных объектов при сейсмических воздействиях
- Решение задачи о распространении плоских продольных волн в виде импульсного воздействия (первая ветвь: восходящая часть - четверть круга, нисходящая часть -линейная; вторая ветвь: восходящая часть - линейная, нисходящая часть - линейная) в упругой полуплоскости...
- Решение задачи о воздействии воздушной ударной волны на консоль с упругой полуплоскостью (соотношение ширины к высоте консоли - один к шести)
О численном моделировании нестационарного напряженного состояния в деформируемых областях различной формы
Различные вопросы о роли волн напряжений в разрушении сложных систем приведены в следующих работах [6, 8, 14, 17, 20, 22, 27-29, 33, 43, 51, 117,123-124,392,412,430].
Напряженное состояние нестационарного волнового процесса может изменяться так быстро, что возникающие деформации и разрушения еще не успевают распространиться, как распределение напряжений изменится, так как скорости распространения волн напряжений достигают 6000 м/с, а нарушение прочности (трещины) распространяются со скоростью не более 1500 м/с.
В реальных условиях любое тело всегда оказывается нагруженным. Оно находится под действием изменяющихся во времени различных внешних факторов. Воздействие на тело может быть: статическим; динамическим; импульсным.
Взрывные нагрузки распространяются в сооружении с учетом физических закономерностей волн. Знание закономерностей волнового поля позволяет более точно выбрать метод решения задачи и сделать глубокий анализ волнового напряженного состояния.
Статическое воздействие не зависит от времени или изменяется в большие промежутки времени незначительно, при этом все тело находится в напряженно-деформированном состоянии.
Динамическое воздействие зависит от времени и изменяет свою величину по некоторым законам в короткие промежутки времени. Возмущение распространяется с конечной скоростью и успевает за рассматриваемый промежуток времени несколько раз пройти все тело. Динамическое воздействие измеряется миллисекундами. В результате чего тело оказывается в напряженно-деформированном состоянии. Напряжения и деформации стабилизируются. Частицы тела находятся в колебательном движении.
Импульсное воздействие характеризуется внезапностью приложения и кратковременностью действия, измеряемого микросекундами. Интенсивность их достаточно велика, для того чтобы произвести разрушение и большие необратимые изменения в теле, на которые они действуют. Нагрузки при взрыве и ударах можно назвать импульсными. Возмущения распространяются с конечной скоростью, образуя области возмущений. При этом тело находится в напряженно-деформированном состоянии. Полной характеристикой динамического и импульсного воздействий является скорость деформации, определяемая в общем случае тензором деформаций. Динамическое воздействие можно характеризовать скоростью воздействия.
При нестационарном динамическом воздействии в деформируемом теле возникают различные возмущения. Они распространятся с конечными скоростями. Величина возмущений зависит от состояния тела и характера деформаций, в виде волн возмущений, называемых волнами напряжений.
Возмущения, распространяясь в теле, образуют области, которые расширяются с течением времени и ограничены частью поверхности тела и поверхностью фронта волны напряжений.
Каждой области возмущений соответствует свое напряженно-деформированное состояние, характеризуемое тензором напряжений и тензором деформаций. Области возмущений можно разделить на первичные и вторичные.
Первичной является область возмущений волны нагрузки. Области возмущений волн разгрузки и отраженных будут вторичными. Они всегда находятся внутри области возмущений волны нагрузки и являются областями с начальными напряжениями и деформациями.
Область возмущений волны нагрузки зарождается в окрестности действия того или иного фактора и с течением времени расширяется с конечной скоростью, равной скорости распространения волны нагрузки. Эта область ограничена частью загруженной поверхности тела и поверхностью фронта волны нагрузки.
В некоторый момент времени, когда интенсивность уменьшается или остается постоянной, начинается процесс разгрузки. Возмущения, соответствующие процессу разгрузки, распространяются в теле с конечной скоростью в виде волны разгрузки. Она образует область возмущений волны разгрузки, которая расположена внутри области тела и является вторичной. Область возмущений разгрузки ограничена частью поверхности тела и фронтом волны разгрузки.
Волны напряжений различной природы, распространяясь, в деформируемом теле взаимодействуют, друг с другом, что приводит к образованию новых областей возмущений, перераспределению напряжений и деформаций. При интерференции волн напряжений их интенсивности складываются. Они могут достигать значений, превосходящих предел прочности материала. В этом случае наступает разрушение материала. После трехкратного или четырехкратного прохождения и отражения волн напряжений в теле процесс распространения возмущений становится установившимся, напряжения и деформации усредняются, тело находится в колебательном движении.
На фронте волны напряжений при переходе из одной области возмущений в другую перемещения частиц тела изменяются непрерывно. Нарушение сплошности материала не происходит. Напряжения терпят разрыв, величина которого определяется значениями интенсивностеи возмущений в соприкасающихся областях.
Распространяющиеся в теле возмущения, характеризуются величиной интенсивности. Могут быть возмущения малой и большой интенсивностеи. При их распространении возмущения большой амплитуды догоняют возмущения малой амплитуды. В результате образуется волна со ступенчатым фронтом, который представляет собой поверхность, где претерпевают разрыв непрерывности параметры состояния и движения. Такую волну называют ударной.
Рассмотренная физическая картина волнового процесса распространения возмущений позволяет провести исследование напряженно-деформированного состояния тела в областях возмущений в любой момент времени с учетом всех особенностей рассматриваемой области возмущений
Численное моделирование в задачах управления безопасности сложных объектов при сейсмических воздействиях
Предположим, что соседние конечные элементы соединяются одноименными частями - грань с гранью, ребро с ребром, вершина с вершиной и имеют в местах соединений общие узлы.
Будем рассматривать конечный элемент е с узлами 1, 2, 3, ..., п и общее число узловых точек в теле Г m.
Чтобы получить упругие силы в узлах эквивалентными граничным нагрузкам, необходимо задать произвольное упругое перемещение в узлах и приравнять внешнюю и внутреннюю работы, произведенных различными упругими силами на этих упругих перемещениях.
Используя основные соотношения принципа возможных перемещений, получаем уравнение динамического равновесия для конечного элемента е Соотношение (2.3) является основной характеристикой любого конечного элемента. Матрица жесткости и вектор инерции конечного элемента принимают следующий вид Матрицу жесткости, вектор инерции и вектор внешних сил конечного элемента можно записать в следующем виде
Принимая во внимание определение матрицы жесткости, вектора инерции и вектора внешних сил для тела Г, записываем приближенное значение уравнения движения в теории упругости
Определим функции формы треугольного конечного элемента с тремя узловыми точками, используя линейную аппроксимацию упругих перемещений (рис. 2.2). Для упрощения интегрирования и дифференцирования выражений по площади треугольного конечного элемента с тремя узловыми точками применяем L-координаты 1
Рассмотрим треугольный конечный элемент с тремя узловыми точками с линейной аппроксимацией упругих перемещений. Определим функцию упругих перемещений треугольного конечного элемента с тремя узловыми точками. Запишем функцию в виде линейного полинома Qi - вектор независимых параметров, определяемых числом степени свободы треугольного конечного элемента. Применяя соотношения (2.16-17), получим функцию упругих перемещений треугольного конечного элемента с тремя узловыми точками
Используя выражения (2.4-7), и (2.19), определяем матрицу жесткости, вектор инерции и упругие напряжения в центре тяжести треугольного конечного элемента с тремя узловыми точками K =
Рассмотрим прямоугольный конечный элемент с четырьмя узловыми точками с билинейной аппроксимацией упругих перемещений в двумерной плоской динамической задаче теории упругости.
Функцию упругих перемещений прямоугольного конечного элемента с четырьмя узловыми точками запишем в виде билинейного полинома Qi - вектор независимых параметров, определяемых числом степени свободы прямоугольного конечного элемента. Применяя соотношения (2.23-24), получим функции упругих перемещений прямоугольного конечного элемента с четырьмя узловыми точками 4 4
Используя выражения (2.4) и (2.25), определяем упругие деформации в прямоугольном конечном элементе с четырьмя узловыми точками ±
Контурный конечный элемент с двумя узловыми точками С помощью вырождения прямоугольного конечного элемента с четырьмя узловыми точками получим контурный конечный элемент с двумя узловыми точками (рис. 2.4). При повороте оси х на угол а против часовой стрелки, получим упругое контурное напряжение ок в центре тяжести контурного конечного элемента с двумя узловыми точками Рассмотрим интегрирование системы линейных обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка в перемещениях с начальными условиями.
Для интегрирования уравнения (2.14) конечноэлементным вариантом метода Галеркина приведем его к следующему виду dt dt (2.31) Интегрируя по временной координате соотношение (2.31) с помощью конечноэлементного варианта метода Галеркина, получим двумерную явную двухслойную конечноэлементную линейную схему в перемещениях для внутренних и граничных узловых точек
Основные соотношения метода конечных элементов в перемещениях получены с помощью принципа возможных перемещений и конечноэлементного варианта метода Галеркина.
Рассмотрим устойчивость двумерной явной двухслойной конечноэлементнои линейной схемы в перемещениях для внутренних и граничных узловых точек на квазирегулярных сетках.
Общая теория численных уравнений математической физики требует для этого наложение определенных условий на отношение шагов по временной координате и по пространственным координатам, а именно
Устойчивость двумерной явной двухслойной конечноэлементнои линейной схемы в перемещениях для внутренних и граничных узловых точек на квазирегулярных сетках исследуем с помощью численного эксперимента. Результаты численного эксперимента показали, что при k = 0,5 обеспечивается устойчивость двумерной явной двухслойной конечноэлементнои линейной схемы в перемещениях для внутренних и граничных узловых точек на квазирегулярных сетках.
На основе метода конечных элементов в перемещениях разработаны алгоритм и комплекс программ для решения линейных плоских двумерных задач, которые позволяют решать сложные задачи при волновых воздействиях на сооружения. При разработке комплекса программ использовался алгоритмический язык Фортран-90.
Исследуемая область разбивается по пространственным переменным на треугольные конечные элементы с тремя узловыми точками с линейной аппроксимацией упругих перемещений и на прямоугольные конечные элементы с четырьмя узловыми точками с билинейной аппроксимацией упругих перемещений.
Решение задачи о распространении плоских продольных волн в виде импульсного воздействия (первая ветвь: восходящая часть - четверть круга, нисходящая часть -линейная; вторая ветвь: восходящая часть - линейная, нисходящая часть - линейная) в упругой полуплоскости...
Интегрируя по временной координате соотношение (2.31) с помощью конечноэлементного варианта метода Галеркина, получим двумерную явную двухслойную конечноэлементную линейную схему в перемещениях для внутренних и граничных узловых точек
Основные соотношения метода конечных элементов в перемещениях получены с помощью принципа возможных перемещений и конечноэлементного варианта метода Галеркина.
Рассмотрим устойчивость двумерной явной двухслойной конечноэлементнои линейной схемы в перемещениях для внутренних и граничных узловых точек на квазирегулярных сетках.
Общая теория численных уравнений математической физики требует для этого наложение определенных условий на отношение шагов по временной координате и по пространственным координатам, а именно
Устойчивость двумерной явной двухслойной конечноэлементнои линейной схемы в перемещениях для внутренних и граничных узловых точек на квазирегулярных сетках исследуем с помощью численного эксперимента. Результаты численного эксперимента показали, что при k = 0,5 обеспечивается устойчивость двумерной явной двухслойной конечноэлементнои линейной схемы в перемещениях для внутренних и граничных узловых точек на квазирегулярных сетках.
На основе метода конечных элементов в перемещениях разработаны алгоритм и комплекс программ для решения линейных плоских двумерных задач, которые позволяют решать сложные задачи при волновых воздействиях на сооружения. При разработке комплекса программ использовался алгоритмический язык Фортран-90.
Исследуемая область разбивается по пространственным переменным на треугольные конечные элементы с тремя узловыми точками с линейной аппроксимацией упругих перемещений и на прямоугольные конечные элементы с четырьмя узловыми точками с билинейной аппроксимацией упругих перемещений.
По временной переменной исследуемая область разбивается на линейные конечные элементы с двумя узловыми точками с линейной аппроксимацией упругих перемещений. Решение задачи о распространении плоских продольных волн в виде импульсного воздействия (первая ветвь: восходящая часть - четверть круга, нисходящая часть - линейная; вторая ветвь: восходящая часть линейная, нисходящая часть - линейная) в упругой полуплоскости Рассмотрим задачу о воздействии плоской продольной волны в виде импульсного воздействия (первая ветвь: восходящая часть - четверть круга, нисходящая часть - линейная; вторая ветвь: восходящая часть - линейная, нисходящая часть - линейная) (рис. 2.6) на упругую полуплоскость (рис. 2.5).
На границе полуплоскости АВ приложено нормальное напряжение о , которое при 1 п 11 (n = t/At) изменяется от 0 до Р, при 11 п 21 изменяется от Р до 0, при 21 п 31 изменяется от 0 до Р и при 31 п 41 изменяется от Р до О (Р = о0, о0 = - 0,1 МПа (-1 кгс/см2)).
Граничные условия для контура BCDA при t 0 u = v = u = v = 0. Отраженные волны от контура BCDA не доходят до исследуемых точек при 0 п 80. Расчеты проведены при следующих исходных данных: H = Ax = Ay;At = 9,263107 с; Е = 7,110 4 МПа (7,110 5 кгс/см2); v= 0,34; р= 2,755103 кг/м3 (2,755-Ю"6 кгс с2/см4); Ср= 5398 м/с; Cs= 3078 м/с. Исследуемая расчетная область имеет 4008004 узловых точек. Решается система уравнений из 16032016 неизвестных. Результаты расчетов о воздействии плоской продольной волны на поверхности упругой полуплоскости показаны на рис. 2.7-26.
Предположим, что от некоторых точек упругой среды производится какое-то возмущение. Тогда из этих точек во все стороны начинают излучаться волны. На некотором расстоянии от центра возмущения рассматриваемые волны можно представить как плоские. Тогда все частицы движутся параллельно направлению распространения волны. Такие волны принято считать плоскими.
1. Для прогноза безопасности уникальных сооружений, находящихся в воздушной и твердой деформируемой среде, при волновых воздействиях применяется численное моделирование. На основе метода конечных элементов в перемещениях разработаны методика, алгоритм и комплекс программ для решения линейных двумерных плоских задач, которые позволяют решать сложные задачи при волновых воздействиях на сооружения. Основные соотношения метода конечных элементов получены с помощью принципа возможных перемещений. Матрица упругости выражена через скорость продольных волн, скорость поперечных волн и плотность.
2. Исследуемая область разбивается по пространственным переменным на треугольные конечные элементы с тремя узловыми точками с линейной аппроксимацией упругих перемещений и на прямоугольные конечные элементы с четырьмя узловыми точками с билинейной аппроксимацией упругих перемещений. По временной переменной исследуемая область разбивается на линейные конечные элементы с двумя узловыми точками с линейной аппроксимацией упругих перемещений. За основные неизвестные приняты два перемещения и две скорости перемещений в узле конечного элемента.
3. Задачи решаются методом сквозного счета, без выделения разрывов. Применяется кусочно-линейная аппроксимация для уменьшения влияния разрывных на точность результатов численного решения, полученных с помощью метода конечных элементов в перемещениях.
4. Линейная динамическая задача с начальными и граничными условиями в виде дифференциальных уравнений в частных производных, для решения задач при волновых воздействиях, с помощью метода конечных элементов в перемещениях приведена к системе линейных обыкновенных дифференциальных уравнений с начальными условиями, которая решается по явной двухслойной схеме.
5. Решена задача о распространении плоских продольных упругих волн напряжений в полуплоскости. Исследуемая расчетная область имеет 4008004 узловых точек. Решается система уравнений из 16032016 неизвестных. Для решения поставленной задачи используется импульсное воздействие (первая ветвь: восходящая часть - четверть круга, нисходящая часть - линейная; вторая ветвь: восходящая часть -линейная, нисходящая часть - линейная).
6. Сравнение результатов для нормальных напряжений, которые получены с помощью метода конечных элементов в перемещениях, при решении задачи о распространении плоских продольных упругих волн в полуплоскости с результатами аналитического решения, показало хорошее количественное и качественное совпадение.
7. Проведенные исследования позволяют сделать вывод о физической достоверности результатов численного решения полученных, с помощью метода конечных элементов в перемещениях, при решении
Решение задачи о воздействии воздушной ударной волны на консоль с упругой полуплоскостью (соотношение ширины к высоте консоли - один к шести)
. Решена задача о воздействии воздушной ударной волны на консоль (соотношение ширины к высоте консоли - один к десяти) с упругой полуплоскостью. Исследуемая расчетная область имеет 4008004 узловых точек. Решается система уравнений из 16032016 неизвестных. Растягивающее упругое нормальное напряжение ох в консоли имеет следующее максимальное значение ох = 0,378. Сжимающее упругое нормальное напряжение ох в консоли имеет следующее максимальное значение ох = -0,867. Растягивающее упругое нормальное напряжение ох в основании консоли имеет следующее максимальное значение ох = 1,618. Сжимающее упругое нормальное напряжение ох в основании консоли имеет следующее максимальное значение ox = -1,574. Растягивающее упругое нормальное напряжение о в консоли имеет следующее максимальное значение о =0,319. Сжимающее упругое нормальное напряжение о в консоли имеет следующее максимальное значение о = -0,357. Растягивающее упругое нормальное напряжение о в основании консоли имеет следующее максимальное значение о = 0,694. Сжимающее упругое нормальное напряжение о в основании консоли имеет следующее максимальное значение о = -0,782. Растягивающее упругое касательное напряжение тху в консоли имеет следующее максимальное значение тху = 1,251. Сжимающее упругое касательное напряжение т в консоли имеет следующее максимальное значение тху = -0,719. Растягивающее упругое касательное напряжение т в основании консоли имеет следующее максимальное значение тху = 0,82. Сжимающее упругое касательное напряжение т в основании консоли имеет следующее максимальное значение т = -0,463.
Решена задача о воздействии воздушной ударной волны на консоль (соотношение ширины к высоте консоли - один к восьми) с упругой полуплоскостью. Исследуемая расчетная область имеет 4008004 узловых точек. Решается система уравнений из 16032016 неизвестных. Растягивающее упругое нормальное напряжение ох в консоли имеет следующее максимальное значение ох = 0,327. Сжимающее упругое нормальное напряжение ох в консоли имеет следующее максимальное значение ох = -0,867. Растягивающее упругое нормальное напряжение ох в основании консоли имеет следующее максимальное значение ох = 1,618. Сжимающее упругое нормальное напряжение ох в основании консоли имеет следующее максимальное значение ox =-1,572. Растягивающее упругое нормальное напряжение о в консоли имеет следующее максимальное значение о = 0,287. Сжимающее упругое нормальное напряжение о в консоли имеет следующее максимальное значение о = -0,315. Растягивающее упругое нормальное напряжение о в основании консоли имеет следующее максимальное значение о = 0,695. Сжимающее упругое нормальное напряжение о в основании консоли имеет следующее максимальное значение о = -0,783. Растягивающее упругое касательное напряжение тху в консоли имеет следующее максимальное значение тху = 1,254. Сжимающее упругое касательное напряжение т в консоли имеет следующее максимальное значение тху = -0,715. Растягивающее упругое касательное напряжение т в основании консоли имеет следующее максимальное значение тху = 0,82. Сжимающее упругое касательное напряжение т в основании консоли имеет следующее максимальное значение т = -0,462.
Решена задача о воздействии воздушной ударной волны на консоль (соотношение ширины к высоте консоли - один к шести) с упругой полуплоскостью. Исследуемая расчетная область имеет 4008004 узловых точек. Решается система уравнений из 16032016 неизвестных. Растягивающее упругое нормальное напряжение ох в консоли имеет следующее максимальное значение ох = 0,309. Сжимающее упругое нормальное напряжение ох в консоли имеет следующее максимальное значение ох = -0,867. Растягивающее упругое нормальное напряжение ох в основании консоли имеет следующее максимальное значение ох = 1,619. Сжимающее упругое нормальное напряжение ох в основании консоли имеет следующее максимальное значение ox = -1,574. Растягивающее упругое нормальное напряжение о в консоли имеет следующее максимальное значение о = 0,309. Сжимающее упругое нормальное напряжение о в консоли имеет следующее максимальное значение о = -0,313. Растягивающее упругое нормальное напряжение о в основании консоли имеет следующее максимальное значение о = 0,694. Сжимающее упругое нормальное напряжение о в основании консоли имеет следующее максимальное значение о = -0,785. Растягивающее упругое касательное напряжение тху в консоли имеет следующее максимальное значение тху = 1,250. Сжимающее упругое касательное напряжение т в консоли имеет следующее максимальное значение тху = -0,876. Растягивающее упругое касательное напряжение т в основании консоли имеет следующее максимальное значение тху = 0,82. Сжимающее упругое касательное напряжение т в основании консоли имеет следующее максимальное значение т = -0,459.