Абстрактные ортогональные многочлены и дифференциальные уравнения Мате Саад Джалиль

Введение к работе

Актуальность темы. Исследование корректной разрешимости задач для эволюционных уравнений является одной из наиболее актуальных проблем.

Пусть Е- банахово пространство с нормой|||; =|)||, А - генератор (.'„-

полугруппы U(t), действующей в , и удовлетворяющей оценке

|/(0|<Х«",/є[0.оо), (1)

со - тип полугруппы. C([0,l),)- пространство непрерывных векторно-значных функций ((х) , со значениями в и нормой |/| = supj/(v)| .

В диссертации с помощью конечно-разностного метода исследуется корректная разрешимость в пространствах Сф).1). ) краевых задач для дифференциального уравнения

2(хМдг) + Ли(*) = 0.(.те[0,1]), (2)

где Q(x)u(.x) = a{x)u\x') + b(x)u\x),a{x)>0,a^x)eC^,u[0,\\b(x)eO^u[0,\] - скалярные функции.

Особенностью данного уравнения является обращение в ноль
» коэффициента а(х) при х = 0 . Так как в этом случае, вообще говоря, для

выделения единственного решения нельзя задавать произвольным образом
значение решения в нуле.
Р В связи с этим М.В. Келдышем были введены: условие D (Дирихле),

когда нужно задавать значения при х = 0 и х -1, и условие , когда ставится только условие при х = 1.

Изучению операторов Q посвящены многие работы. Так, В. Феллер дал описание всех "граничных" условий, совместно с которыми О порождает полугруппу класса С₀ в пространствах ограниченных функций.

Наиболее полные исследования оператора Q проведены В.П. Глушко. Конечно-разностный метод в скалярном случае использовался Б.И. Левитаном и И.С. Саргсяном для исследования спектра оператора Штурма-Лиувиля.

Цель работы. Исследование корректной разрешимости краевых задач для дифференциальных уравнений второго порядка в банаховом пространстве с вьфождающимися переменными коэффициентами с помощью конечно-разностного метода и получение представлений решения соответствующих задач.

Методика исследования. В диссертации использовались методы теории функций и функционального анализа, методы теории дифференциальных и интегральных уравнений.

Научная новизна. Перечисленные ниже основные результеты являются новыми:

1. Введены и изучены новые абстрактные ортогональные многочлены Чебышева и Чебышева-Лагерра.

рос национальная { библиотек* 1

^Х.Петербург '(

2005 РК \

1. Показана корректная разрешимость краевых задач для абстрактных дифференциальных уравнений второго порядка с вырождением.

2. Получено представление решений исследуемых краевых задач через абстрактные ортогональные многочлены.

3. Получены оценки решений исследуемых задач через начальные данные.

Практическая и теоретическая значимость. Работа носит

теоретический характер. Результаты диссертации содержат некоторую

новую методику исследования равномерно корректной разрешимости

краевых задач для дифференциальных уравнений второго порядка в

банаховом пространстве.

Апробация работы. Результаты работы докладывались на Воронежской

зимней математической школе «Современные методы теории функций и

смежные проблемы» (Воронеж - 2003), на 7-й Крымской Международной

математической школе (МФЛ - 2004), а также на семинарах кафедры

математического моделирования ВГУ, на семинаре проф. Гольдмана М.Л,

Российском университете дружбы народов.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в
работах [1] - [4]. Из совместной работы [1] в диссертацию вошли только
принадлежащие автору результаты. j

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав и списка литературы, включающего 34 источников. Общий объем диссертации 86 страниц.