Содержание к диссертации
Введение 3
Глава I. Системы Чебышева и их свойства. Предварительные
сведения 25
1.1. Определение и простейшие свойства систем
Чебышева 25
1.2, Примеры Г-систем 33
1.3. О кратности нулей негладких функций. База точки 35
1.4. М-системы. Чебышевское пространство. М-свойство
базы 40
Глава II. Об относительном дифференцировании по многоступен
чатым мерам, порождаемым системой Чебышева 46
2.1. Теорема Крейна-Рутмана об интегральном представлении
систем Маркова 46
2.2. Теорема об интегральном представлении систем
Маркова 55
2.3. Доказательство теоремы об интегральном
представлении 61
Глава III. Псевдодифференциальные неравенства 80
3.1. Т-свойства полиномов по системам Чебышева 80
3.2. О распределении нулей ЕТ-продолжения 82
3.3. Случай многоопориой балки (переопределенная задача
Балле Пуссена) 91/
3.4. Слабое продолжение Г-системы 92
Литература 94
Введение к работе
ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ
Актуальность работы. Возможность представления обыкновенного дифференциального оператора Lu = p0u{n+l) + piu^ н + рп+1и в факторизованном виде Lu = h"+i(iK (-(^) )) (1) чрезвычайно важна в самых разных разделах анализа и его приложений. Например, в цикле работ 30-х гг XX века М. Г. Крейн, исследуя осдил-ляционные спектральные свойства для операторов старших порядков, сразу предлагал их заданными в виде (1). Впервые для уравнения второго порядка возможность такого представления установил и использовал Пуанкаре. Общий вид операторов hi(%) в (1) предъявлен Фробениусом по фундаментальной системе решений уравнения Lu = 0. (2)
Если (ро, <р\, ..., (рп — некоторая фундаментальная система решений (2), то hkit) = W(^^m)W(^. щ-,) (t = 2>...jn)) [W{
Однако, это чисто формальное представление не обеспечивало регулярности, так как в стороне оставался вопрос об отсутствии нулей у всех вронскианов Wk. О. Д. Келлог (см. [18-20])и Г. Пойа ([34,35]) независимо друг от друга обосновали представление (1) с непрерывными коэффициентами, связав это обоснование со свойством неосцилляции оператора L: оператор L (вместе с уравнением Lu = 0) называют неосциллирующим на отрезке [а, Ь], если любое его нетривиальное решение имеет не более (n + 1) нуля с учетом кратностей. Свойство неосцилляции достаточно исчерпывающим образом исследовано в работах А. Ю. Левина, Ф. Харт-мана и др. (см. [22,38]) в связи с различными вопросами качественной теории обыкновенных дифференциальных уравнений (60-80-е гг XX в.). Если для исходной достаточно гладкой системы {у,-}о соответствующие детерминанты Wk пе имеют нулей, то эта система Фк = {<Л'}о является при каждом к системой Чебышева. Это обстоятельство послужило отправным в классической теории Маркова по проблеме моментов. Возможность распространения теории Маркова на более общие классы функций (без предположения об их гладкости) исследовалась в серии работ М. Г. Крейна и его учеников. В конечном счете им удалось установить аналог представления (1) в виде d d d d ,,. dxdpn-idpn-2 dp0 где меры po, pi, ..., pn-i порождены исходной системой Чебышева ф = { Ясно, что представление (3) чрезвычайно интересно (и важно) для анализа уравнений с самыми различными особенностями. Однако оказалось, что это представление, вообще говоря, неверно. Ю. В. Покорным в [3] был предъявлен контрпример в виде системы wo(t)sl, Ui{t) = t, U2() = ^- + |*|, (*-1)3+1 t<0 (19) «з(*) = (* + D3-i t>0 Здесь в представлении (3) невозможно обойтись непрерывными справа функциями ро, pi, ..., pn-ь В последующей работе Ю. В. Покорного ([11]) была предложена схема "реабилитации" представления Крейна-Рутмана, основанная на расширении понятия относительных производных по "многоступенчатым мерам". В настоящей работе детально анализируется и обосновывается соответствующий "реанимированный" результат Крейна-Рутмана. Анализ связан с расширением понятия интеграла Стилтьеса на случай ступенчатых мер. Заметим, что неточность в теореме Крейна-Рутмана обнаружил также Р. А. Жалик ([4]). Он привел и контрпример, близкий по сути к (19). Его попытка доказать соответствующий "правильный" общий результат не увенчалась успехом. С контрпримера к его результату начинается оригинальная часть настоящей работы. Цель работы: развернутое обоснование концепции, приводящей к корректному и полноценному доказательству теоремы Крейна-Рутмана об интегральном представлении дифференциального оператора, множество решений которого имеет в качестве своего базиса М-систему функций; опровержение попытки Р. А. Жалика решить данную проблему без использования многозначности мер в точках, в которых исходная система теряет гладкость; распространение понятия Т-продолжения исходной системы Че- бышева на системы негладких функций; — обобщение понятия кратности нуля и числа перемен знака решений псевдодифференциальных неравенств (в которых дифференциальный оператор представляется через последовательное применение относительных производных по многоступенчатым в точках разрыва мерам). Методы исследования. Специфика исправленного представления (1) заключается втом, что при относительном дифференцировании функции pk(t) неизбежно оказываются многозначными — для них в точках разрыва невозможно обойтись только значениями /%( — 0), р&( + 0). Так, в примере системы (19) должно быть ( Г І + 1, >0, І 4-І, <0, ^ [ -1, i<0, т. е. p2(t) оказывается в точке t = 0 трехзначной. Для Т-системы более высокого порядка в особых точках функции-меры pk{t) обязаны (подчеркнем — именно обязаны иметь) и большее количество "промежуточных в точке " значений. Таким образом, мы вводим соответствующее расширение исходного отрезка [а, 6], заменяя каждую особую точку несобственным сегментом [ — 0, + 0], включая внутрь него дополнительные элементы — точка у нас как бы расщепляется. Именно в этих "псевдоточках" мы определяем соответствующие промежуточные значения ступеней функций Pk(t). Неизбежность появления промежуточных "ступенек" мер в особых точках устанавливается самой процедурой построения этих мер, возни- кающих в результате предельных переходов в отношении ^(6,6, -., 6)W = УоКо) Ро(&) У* Ко) ЫЫ & = 1, ..., n — 1, при стягивании упорядоченных наборов & < 6 < ' * < & к точке г. Оказывается, предельные значения зависят от того, каким образом такой набор о < i < < & располагался в процессе стягивания его к т относительно этой точки, т. е, между какими ,-, ,-+1 находился г в процессе этого стягивания. Именно эти разные пределы определяют различные "промежуточные в точке т" значения соответствующей функции меры. Многозначность конструируемых таким образом мер предопределяет и расширение понятия интеграла Стилтьеса, позволяющего обращать описанное дифференцирование. Устанавливаемая таким образом псевдорегулярная факторизация (1) позволяет изучать ситуации с негладкими решениями, открывая возможность построения и использования таких традиционных и базовых для многоточечных краевых задач методов, как многократное итерирование теоремы Ролля. Научная новизна. В работе детально обосновывается неизбежность учета "промежуточных значений" — ступенек — мер рк, порождаемых процедурой дифференцирования вдоль системы Чебышева. Описано соответствующее расширение интеграла Стилтьеса. Изучено обобщенное понятие кратности нуля у полинома по произ- вольной системе Чебышева. Для дифференциальных уравнений с существенными особенностями (по типу модели многоопорного стержня) описаны аналоги классических теорем о распределении нулей, об их суммарной обобщенной кратности. Теоретическая и практическая значимость. Одним из современных направлений математической физики является анализ обобщенных решений для краевых задач с различной степенью особенности. Основные методы, используемые при этом, относятся к теории обобщенных функций по Соболеву-Шварцу и дают весьма неполную информацию о структуре и свойствах решений, поскольку решениями оказываются обобщенные функции. В диссертации исследуется анализ возможности использования более точных методов, позволяющих говорить о сильных решениях. Для этого используются квазипроизводные по специальным мерам, порождаемым исследуемой задачей. В работе обсуждаются различные аспекты этой причинной связи, в частности, описание соответствующих мер по фундаментальной системе решений. Возможность представления непрерывной на отрезке [а, Ь] системы Чебышева Ф = {<рі(і}}^ в виде фундаментальной системы решений некоторого дифференциального уравнения чрезвычайно важна в различных разделах анализа. Обоснование представления (3) позволяет переносить на случай уравнения с обобщенными коэффициентами стандартную технику (типа расширенной теоремы Ролля) подсчета суммарной кратности пулей промежуточных квазипроизводных, хорошо развитую для регулярных дифференциальных уравнений. Представление (3) открывает возможность поточечного анализа решения дифференциальных уравнений с обобщенными коэффициентами, что в принципе невозможно в рамках теории распределений (обобщен- ных функций). Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на семинарах кафедры математического анализа Воронежского государственного университета (семинары Ю. В. Покорного), на семинарах Ю. И. Сапронова, на специализированных секциях Воронежской Зимней и Весенней Математической школы (2004, 2005 гг). Публикации. По теме диссертации опубликовано 5 работ, список публикаций входит в библиографический список ([2], [5], [11]-[13]). Основные результаты диссертации получены автором самостоятельно. Из совместных работ [2], [5] в диссертационную работу включены только результаты, принадлежащие автору. Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, содержащих 11 параграфов, изложенных на 98 страницах, и списка литературы, включающего 45 наименований. Для утверждений (теорем, лемм, следствий) и замечаний используется двойная нумерация вида (Номер главы.Номер утверждения в главе), для формул принята сквозная нумерация. СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ В диссертации приводится обоснование концепции Ю. В. Покорного, позволяющей перенести методы исследования гладких функций на широкий класс функций, нерегулярных в некоторых точках интервала. Диссертация имеет структуру в виде трех глав. Первая глава "Системы Чебышева и их свойства. Предварительные сведения" содержит реферативную информацию о системах Чебышева, свойствах Т-систем, примеры Т-систем. Также в качестве необходимой основы для дальнейших рассуждений приводятся результаты Ю. В. Покорного, касающиеся кратности нулей негладких функций, базы точки и М-свойств а базы. Как известно, система функций {щ{)}%, определенных на абстрактном множестве Е, называется системой Чебышева (Т-системой) поряд- п на ?, если каждый многочлен P(t) = 2_, akUk{t) 2_)а1 > 0 1 имеет в Е не более п корней. Эквивалентность этого определения Т-системы и детерминантного свойства функций данной Т-системы установлена А. Хааром: Функции {ujt()}o образуют Т-систему порядка пка Е тогда и только тогда, когда определитель un(to) u„(ti) u0(t0) ui(tQ) Щ(к) ui(ti) ..,.V1/ отличен от нуля при любых (ь hi * ) in Е, среди которых пет равных. Система функций {щ(і)}% в [а,Ь] называется Т+-системой порядка п, если определитель (4) сохраняет знак + при всех значениях наборов t0 < h <*<„ (а < t0, tn < Ь). Интересны свойства Т-систем, показывающие возможность построения и единственность существования (в определенных условиях) многочлена по данной Т-системе, принимающего наперед заданные значения в соответствующих точках интервала [а, Ь]. Лемма 1.2 ([1, стр. 53]) Для любых заданных п различных точек fi, І2, ..., tn па [ayb] существует многочлен P(t) данной Т-системы порядка п, имеющий t\, ti ..., tn своими корнями. Этот многочлен определяется с точностью до постоянного множителя: P(t)-CA| Щ Щ "2 - U* ] (CfO). Лемма 1.3 ([1, стр. 53]) Существует один и только один многочлен P(t) данной Т-системы порядка п, принимающий в заданных (п + 1)-й точках to, t\ ..., tn интервала [a,b] наперед заданные значения. Лемма 1.4 ([1, стр. 52]) Если заданная система функций {щ(Ь)}^ есть Т-система порядка п на [а,6], и непрерывная функция v(t) положительна на [а,6], то система функций { Лемма 1.5 ([1, стр. 53]) Если x{s) ~ непрерывная строго возрастающая на [а,0\ функция, х{а) — &> ХІР) — &? то заменой t = x{s) Т-система функций {щ(і)}^ преобразуется в Т-систему {С/&(5)}о ~ {щ(х{$))}ц на [от, Д. При построении многочлена, имеющего своими корнями заданные точки, имеют различие простые и двойные корни. В монографии М. Г. Крей-на, А. А. Нудельмана (см. [1]) получены оценки числа нулей многочленов по данной непрерывной Г-системе, если кратность каждого из нулей не превосходит 2. Таким образом, простой корень должен иметь единичную кратность, а двойной корень — кратность, равную двум. Данные результаты позволили провести аналогию с гладкими !Г-системами (ЕТ~ системами), количество нулей многочленов которых вычисляется с учетом кратностей нулей. Определение 1.3 ([1, стр. 53]) Для многочлена P(t) по данной непрерывной Т-системе функций {щ{і)}% в [а, Ь] корень, лежащий в (а, &), называется простым, если при переходе через этот корень многочлен P(t) меняет знак, и двойным корнем, если при переходе через этот корень многочлен Р(і) не меняет знак. Теорема 1.1 ([1, стр. 54]) Если многочлен P(t) данной непрерывной Т-системы функций {щ{Ь)}$ порядка п имеет в [a, b] к двойных корней и I простых корней, то 2k +1 ^ п. Теорема 1.2 ([1, стр. 55]) Для того чтобы наперед заданные точки tj, ti, ..., tm из [a, b] могли служить корнями некоторого неотрицательного многочлена P(t) данной непрерывной Т-системы функций {uk(t)}o порядка п, необходимо и достаточно, чтобы 5^e(*j) <.п, I 2 при а < т < 6, где є (г) = < I 1 при г = а и при т = Ь. Теорема 1.3 ([1, стр. 57]) Для произвольных к точек і, ^ > % внутри [а,Ъ] ul точек tjt+i, ..., tk+i в [а, Ь] можно построить многочлен P(t) данной непрерывной Т-системы функций {«&(*)}о порядка п, имеющий точки i, t^, ..., * своими двойными корнями и tk+i, . - -, tk+i — простыми корнями и не имеющий других корней в [а, Ь], если только 2к + 1^.п. Теорема 1.4 ([1, стр. 58]) Если непрерывные функции {и& ()}[) образуют Т-систему порядка п, в [а,&], то существует многочлен положительный в [а,Ь]. Свойства неколеблемости пространства непосредственно связаны со свойствами Т-систем и концепцией Ю. В. Покорного ([11]) поточечного дифференцирования негладких функций. Рассматривается линейное подпространство Е пространства С (а, Ь) функций, непрерывных на (а, 6). Полагается, что Е не колеблется справа в точке Є [а, Ь), если каждая функция x{t) Е (x(t) не тождественный нуль) при некотором є > О не имеет нулей в (, + в). Аналогично определяется неколеблемость .Е слева в точке Є (ct, Ь]. Если Е не колеблется в точке как справа, так и слева, то Е будем называть просто неколеблющимся в точке . Пространство Е, неколеблющееся в каждой точке Є [a,b], назовем неколеблющимся на (а,Ь). Как известно, множество полиномов по данной Т-системе на отрезке [а, 6] является неколеблющимся на (а, 6). Введенное понятие неколеблемости позволило Ю. Б. Покорному ([6]) доказать утверждение о взаимной дифференцируемости полиномов по данной Т-системе: Лемма 1.5 Пусть подпространство Е С С[а,Ь] не колеблется справа (слева) в точке . Тогда для любых ж, у ЄЕ Е (y(t) не тождественный нуль) существует конечный или бесконечный правый (левый) пшдел отношения —-г-г в точке с. Для построения системы мер, приводящих данное дифференциальное выражение L к виду (1), необходимо привести исходную Г-систему функций к М-системе (системе Маркова). Предположение о том, что в множестве многочленов исходной Т-системы существует базис, являющийся М-системой, принципиально важно для анализа свойств функций (35). В монографии М. Г. Крейна, А. А. Нудельмана ([1]) формулируется результат о существовании такого базиса по крайней мере на открытом интервале (а, 6). Доказательство же этого факта в полном объеме не было приведено. Как обычно, систему функций {?Q {тп = 0, 1, ..., п) — Т-система порядка m на [а,Ь] (в (а,Ь)). Если каждая из этих систем Т+-система, то М-система называется М+~системой. В то же время, в [1, стр. 71] имеется ссылка на существование примера Т-системы, которую невозможно преобразовать к М-системе па всем отрезке [й,Ь]. В дальнейшем для нас представят интерес следующие определения и теоремы Ю. В. Покорного (см., например [6]): Согласно традициям теории функций, обозначим далее Е — конечномерное подпространство С(а,Ъ) — через ?„, если размерность его равна п+1. Система {^'()}о С Еп называется правой базой Є [а, >), если ^,-+і(і) = o((fi(t)) при t \ и всех г — 0, п — 1. Аналогично определяется левая база точки из [а,Ь]. Если Ф = {vi(i)}o С Еп — правая (левая) база точки , то для того чтобы система F = {/;} С Еп также была правой (левой) базой , необходимо и достаточно, чтобы существовала треугольная невырожденная матрица С = |]су- ||q (су- = 0 при і > j) такая, что fi(t) = Ci0(p(j(t) + cn Теорема 1.5 Пусть пространство Еп С С[а, 6] — неколеблющееся справа (слева) в точке Є С[а,Ь]. 7Ъг Определение 1.8 Пространство Еп С С{а,Ь) будем называть че-бышевским пространством (или Т(п)-пространством) на Q С (а, 6) и писать Еп !Г{гс,П}, если любая функция x(t) i?n (#(0 ^ 0) имеет в U не более п нулевых точек. Теорема 1.6 Пусть пространство Еп Є T{n,Q} и Ф = {^ї()}о — некоторая база точки Є [а, Ь]. Тогда при каждом к система Фк = {^і}"_^ является Tk-системой на (а,) U (,). Это утверждение означает (в других терминах), что для произвольной точки [«, 6] любая ее база является системой Маркова (М-системой) на(а,ОиК,Ц. Вторая глава "Об относительном дифференцировании по многоступенчатым мерам, порождаемым системой Чебышева" посвящена вопросу обоснования представления (3) с применением квазидифференцирования по многоступенчатым мерам в соответствии с концепцией Ю. В. Покорного ([11]). Приводится первоначальная редакция теоремы об интегральном представлении систем Маркова: Теорема 2.1 [1, с. 74, теорема 5.2]. Пусть система функций {wjt(i)}o образует М+-систему в интервале (а,Ь). Существуют: система непрерывных справа строго монотонных функций {crfc()}o (o~\(t) — непрерывна), а < t < Ъ, и постоянные сд такие, что ui(t) = uo(t)xi(t) + CioUoM) U2{t) = U0(t)X2(t)+C2lUi(t)+C2QUQ(t), un(t) = u0(t)xn(t) + cni„_iun_i(i) H h CnlUi(t) -f cn0u0(t). где a < a < Ь г (t) = Jdff1{s)t Xi{t) = / dffi(ei) I da2(s2), «1 *n-l Xn(t) = I d(Ti(si) j dcr2(s2)... / dan(sn). Недавно мы обнаружили контрпример в работе [4], сопровождаемый попыткой исправить результат М. Г. Крейиа, М. А. Рутмана: Теорема 2,4 (P. А. Жалик, [4, с. 554, теорема 1]) Пусть {uo, , ип} — М-система па несчетном множестве А, обладающем свойством {D) (т. е. множество А полностью упорядочено, не содержит своих максимального и минимального элементов, и для каоїсдой пари различных элементов из А существует третий элемент А, находящийся Meotcdy ними), и пусть с Є А. Тогда существует система функций {уо, * * , уп}, имеющая следующие свойства: (a) Функции Ї/0) , уп представляются в форме t'-i Уі = щ + 5Z аьі%" * = 1, 2, ..., п, и уо ~ щ на А. (b) Существует подмножество В множества А, имеющее не более чем счетное дополнение к А, веществепнозначная строго возрастаю щая функция h, определенная на А, и набор'{pi, ..., рп} веществен- нозначных строго возрастающих функций, определенных на открытом интервале, граничные точки которого являются инфимумом и супре мумом h(A), такие, чтор{[к(с)] = 0, і = 1, ..., п, и для каждой точки t из В МО 2/1 0 =Vo{t) І фі(в), МО -і V2{t) = 2/оМ І / dp2(s2)dpl(sl), ft (с) k{c) * ' MO «1 sn-l h{c) h{c) h{c) Оказывается, исправление некорректно, и соответствующие теоремы Р. А. Жалика не устраняют природу неточностей в упомянутых резуль- татах М. Г. Крейна, М. А. Рутмана. Для опровержения результата P. А. Жалика используется система Маркова, состоящая из пяти функций: —2~~' u0(t) = 1, щ(і) ~ t, u2{t) = ^-i,t> щ (t) = {t + 2)3 - 9 - 10 ,. E ) f ^ 21 ' * В центре второй главы — доказательство теоремы об интегральном представлении в формулировке Ю. В. Покорного: Теорема 2.5 ([2]) Пусть линейная оболочка Е(Ф) непрерывной Т-системы Ф = {уо(0' Vi(^)> ) Vn()} ма интервале (а,Ь) содержит тождественную единицу. Тогда существует такая монотонная пачка Мп — {/*,-}"=!, что //і(і) Є #(Ф) С С^Л/^(а,Ь), и равенство Ы6) Vi Й) У я (6) as(„) x(t) где а < q < \ < < п < t < b, эквивалентно включению х Є С<м">(а,Ь) « равенству tfyt„ d/i„_i (f//i x[n](t) = 3—x(«) = Const, t Є Q{X1"]). При этом линейная оболочка Е^ системы {<р\ }f=Q при каждом к имеет размерность п — к + 1, а любой базис Е^ ' есть Тп-^-система на Ю(/*к+і)- Доказательство этого результата оказалось возможным благодаря использованию квазипроизводных по мерам, многозначным в сингулярных точках заданного интервала (а,Ь). Пусть некоторая функция Будем говорить, что <р Є Н, если G((p) содержит все точки разрыва <р, функция <р имеет на Q((p) локально ограниченную вариацию и если для каждой из G((p) <р()0 = <р( - 0) и (р()т = tp( + 0), и sup y(/V) < со. Функция (р называется сг-дифференцируемой> а Є Н, если а задана и строго монотонна на 1(<р), и для любой Є (а, Ь) существуют и конечны пределы W a(t) - <т{І - 0) t\t a{t) - o( + 0) Обозначив эти пределы через -r-( — 0) и -г-(С + 0) соответственно, do~ do~ в случае их несовпадения введем для функции — в точке Є (а, 6) расщепление ftcft}, так что —( - 0) = ^Ко), и — ( + 0) = т^КО-В точках Є G(y>) с расщеплением {о, i, -.., m} дефекта 7 (/<>) = "г -*>Ко) имеем У Km) - ytfm-l) ^/ Этот набор чисел определен на расщеплении {^q, J_, ..., [„+i} Для функции — в точке . Для корректного определения относительной производной в приведенных выше обозначениях требуется определенное соотношение дефектов (размерностей наборов расщеплений) дифференцируемой функции и функции меры: Функция <р Є Н примыкает к ф Є Н, если Gip 1} G^ \R 9. Определение 2.3 Набор Мп = {/*»}" функций из Н называется монотонной пачкой, если при всех к = 1, 2, ..., п ц^ строго монотонны на своем Q(fik), и при к = 2, ..., п каждая /г*, примыкает к Hk-\- Для фиксированной монотонной пачки Мп — {(ч}\ через С^Л/"'(а, Ь) обозначим множество таких функций h Є Н, что для любой h и для любого к = О, 1, ..., тг — 1 почти обычная производная кЩ = ^-ЛІ*-Ч(*), * = 1, 2, ..., п, д[]() ~ /j(fj5 является //^-дифференцируемой. Описанная процедура дифференцирования допускает естественное обращение с помощью интеграла типа Лебега-Стилтьеса. Пусть Є Gv< (ip'(t) Є Н), и с ней однозначно сопоставлен набор 9^ () ~ 9і(О» (* = 0, -., т), и пусть /і() Є Н — строго монотонная на П(//) функция такая, что у(/р) = у{/<р') — 1, А*(&) = А*(С)*' (г = 0, ..., т — 1) на наборе {о? ? m-i}- Тогда интеграл исходной функции (p!(t) по функции n(t) в точке запишется в виде *+ т-1 -0 i=1 представляющем значение скачка ^>(+0) — <р( — 0) первообразной функции ip(t) Н в точке . Заметим, что 7(//*) = 7(/V)- Определение 2.4 Пусть функция x(t) Є Н определена на множестве 7(ж), получившемся из интервала (а, Ь) заменой нерегулярных точек из Gx С (а,Ь) функции x(t) (т. е. точек, в которых x(t) неоднозначно определена) соответствующими упорядоченными наборами расщеплений, а функция fi(t) Є Н строго монотонна при всех t Є fi(/0> G> Gx, и для любой Є Gx 7(//і) = 7(/#) — 1. Тогда для любых с, і є fi(sc) / я($)і/л(я) = / x(s)dp,t)(s)+с «* (31) + ^(OiWO* - ^(Оі-і), 4ЄС,[с,(] *=1 где с', ' Є (а, 6) — точки, в расщеплениях которых находятся точки cut соответственно, a fio(t) — непрерывная часть функции p,{t).Похожие диссертации на Анализ природы обобщенных решений для некоторых классов краевых задач
