Введение к работе
Актуальность темы. Математические модели многих прикладных задач включают в себя системы дифференциальных уравнений, которые содержат переменные с существенно различными скоростями изменения. Такие системы, которые принято называть жесткими, возникают, например, при математическом моделировании нелинейных колебаний, электрических цепей и устройств электроники, силовых систем, биологических популяций, задач динамики полета, химической и физической кинетики (например, в радиационной химии), астрофизики, медицины, теории расписаний, управления ядерными реакторами и экономическими системами. Как известно, численное интегрирование жестких систем встречает серьезные трудности, выражающиеся в недопустимо большом времени счета и неизбежном накоплении вычислительных ошибок. Жесткими, в частности, являются сингулярно возмущенные системы, в которых быстрые и медленные переменные явно выделены, что позволяет обойти упомянутые трудности с помощью асимптотического подхода.
Основы теории сингулярно возмущенных дифференциальных уравнений были заложены А.Н.Тнхоновым и Л.С.Понтрягиным. В дальнейшем эта теория получила свое развитие в работах А.Б.Васильевой, В.Ф.Бутузова, М.И.Вишика, Л.А.Люстерника, С.А.Ломова, А.М.Ильина, Е.Ф.Мищенко, Н.Х.Розова и других. Следует особо выделить метод асимптотического разложения решений сингулярно возмущенных систем дифференциальных уравнений, который получил название метод пограничных функций (А.Б.Васильева, В.Ф.Бутузов, М.И.Вншик, Л.А.Люстер-ник).
С появлением теории оптимальных процессов асимптотические методы исследования возмущенных систем проникли в новую область через краевую задачу принципа максимума Л.С.Понтрягина довольно быстро и естественно. Задачам оптимизации сингулярно возмущенных систем уде-
ляется достаточно большое внимание (Э.Г.Альбрехт, А.Б.Васильева, В.Я.Глизер, М.Г.Дмитриев, А.И.Калинин, А.Г.Кремлев, Г.А.Курина, Н.Н.Моисеев, В.А.Плотников, Ф.Л.Черноусько, M.D.Ardema, P.Binding, W.D.Collins, A.L.Dontchev, T.Gitchev, A.H.Haddad, P.V.Kokotovic, R.O'Malley, P.Sannuti, V.M.Veliov и др.). Наиболее распространенный подход к исследованию таких задач состоит в применении методов асимптотического разложения решений возмущенных дифференциальных уравнений к краевой задаче принципа максимума. Эта методика позволяет строить асимптотику решения задач с открытой областью управления и гладкими управляющими воздействиями, то есть задач классического вариационного типа. В задачах с замкнутой областью управления (а именно такие задачи, как правило, встречаются на практике), реализация указанного подхода встречает серьезные трудности, поскольку динамические уравнения краевой задачи принципа максимума не обладают в этом случае необходимой для применения асимптотических методов гладкостью. Наверное, поэтому в задачах с замкнутым множеством допустимых значений управляющих воздействий исследования, в основном, носили качественный характер, и, как правило, сводились лишь к выяснению вопроса о предельной задаче, к решению которой в той или иной топологии сходится решение возмущенной задачи при стремлении малого параметра к нулю. Что касается построения асимптотики решения задач с замкнутой областью управления, то этот вопрос изучен недостаточно хорошо, хотя и здесь имеется ряд интересных результатов. В частности, в работах А.И.Калинина были впервые разработаны алгоритмы асимптотического решения линейных сингулярно возмущенных задач.
Данная работа посвящена построению асимптотики решения задач оптимизации линейных сингулярно возмущенных систем с иерархией скоростей по целым степеням малого параметра. Динамические системы, содержащие при производных параметры различных порядков малости, исследуются с момента зарождения теории сингулярных возмущений
(А.Н.Тихонов, А.Б.Васнльева). Однако задачи управления такими системами до последнего времени практически не были изучены, хотя они и встречаются в приложениях (например, задача об устойчивости установившегося движения системы гироскопической стабилизации с большими собственными кинетическими моментами гироскопа, задача плоскостного перехвата ).
Связь работы с крупными научными программами, темами. Исследования выполнялись в рамках "Республиканской программы по развитию фундаментальных и прикладных исследований в области математики, широкому применению методов математического моделирования в отраслях народного хозяйства республики на период до 2000 года", утвержденной постановлением Президиума АН БССР № 2 от 02.06.89 г.(раздел 1, шифр 1.1.16, тема "Качественная и конструктивная теории оптимизации статических и динамических систем", основной исполнитель Белго-суниверситет, в плане госбюджетных НИР БГУ на 1991—1995 г.г., номер госрегистрации - 01910056832 и тема "Качественные, асимптотические и численные методы исследования и оптимизации динамических систем", основной исполнитель - Белгосуниверситет, в плане госбюджетных НИР БГУ на 1996-1998 г.г.), в рамках темы Министерства образования и науки РБ на 1995-1996 г.г. "Оптимизация непрерывных и дискретных процессов в режиме реального времени", выполняемой по распоряжению Министерства образования и науки РБ от 23.02.95, а также в рамках темы Фонда фундаментальных исследований РБ на 1992-1994 г.г. "Асимптотическая оптимизация возмущенных динамических систем управления", номер госрегистрации - 19941339.
Цель и задачи исследования. Целью исследования является разработка конструктивных алгоритмов асимптотического решения задач оптимального управления линейными сингулярно возмущенными системами, содержащими при производных параметры различных порядков малости.
Научная новизна полученных результатов. Разработанные алгоритмы являются новыми, поскольку рассматриваемые в диссертации задачи ранее не исследовались. В тоже время они развивают известные результаты, полученные другими авторами для задач оптимизации сингулярно возмущенных систем с одной группой быстрых переменных.
Практическая зна.лмость результатов. Разработанные в диссертации
алгоритмы и предваряющие их результаты качественного анализа могут
найти непосредственное применение при решении прикладных задач оп
тимального управления динамическими системами, в которых имеется
несколько групп переменных с существенно различными скоростями.
Асимптотические приближения, полученные при помощи разработанных
алгоритмов, можно использовать для точного решения рассматриваемых
задач при заданном значении малого параметра. Для этого предложены
соответствующие вычислительные процедуры. '
Основные положения диссертации, выносимые на зашиту.
-
Алгоритм асимптотического решения задачи оптимального быстродействия для линейной сингулярно возмущенной системы с иерархией скоростей по целым степеням малого параметра.
-
Алгоритм асимптотического решения линейной задачи-терминального управления сингулярно возмущенной системой, содержащей при производных параметры различных порядков малости, с функциональными ограничениями типа равенства на правый конец траектории.
-
Алгоритм асимптотического решения линейной задачи оптимального управления сингулярно возмущенной системой с большой длительностью процесса.
-
Теоремы существования оптимальных управлений определенной структуры в указанных выше задачах.' '--.
-
Алгоритм работы регулятора, строящего асимптотически оптимальные управления типа обратной связи в задаче терминального управления ли-
нейной сингулярно возмущенной системой, содержащей при производных параметры различных порядков малости. ... ,
Личный вклад соискателя. Результаты, представленные в диссертации, получены лично соискателем под руководством научного руководителя.
Апробация результатов диссертации. По теме диссертации сделаны доклады на Крымской математической школе "Метод функций Ляпунова и его приложения" (г. Алушта, 1993), Межгосударственной научной конференции "Динамические системы: устойчивость, управление, оптимизация" (г. Минск, 1993), Украинской конференции "Моделирование и исследование устойчивости систем" (г. Киев, 1994 - 1997), Белорусском Конгрессе по теоретической и прикладной механике "Механика - 95" (г.г. Минск - Гомель, 1995), III Международном семинаре "Негладкие и разрывные задачи управления и оптимизации" (г. Санкт-Петербург, 1995), VII Белорусской математической конференции (г. Минск, 1996).
Опубликованность результатов. Результаты диссертации опубликованы в 4 статьях в научных журналах и в 9 тезисах докладов.
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, перечня условных обозначений, общей характеристики работы, основной части из 4 глав, выводов, списка использованных источников, включающего 121 наименование. Общий объем диссертации составляет 93 страницы.