Асимптотические разложения решений сингулярно возмущенных задач Щитов, Игорь Николаевич

Введение к работе

Актуальность темы. Методы теории возмущений являются одним из основных инструментов аналитического исследования прикладных задач, позволяя получать как качестпеняые, та* и количественные характеристики их решений.

К сингулярно возмущенным задачам традиционно относят за-
цачи, связанные с системами обыкновенных дифференциальных
сравнений с малыми параметрами при старших производных. К
:ингулярно возмущенным задачам принадлежат также задачи об
ісимптотикє решений слабо возмущенных систем па асимптотиче
ски большом временном промежутке [0,Т/є]. Эти два типа задач
іегко преобразуются один в другой переходом от "медленной" не
зависимой переменной к "быстрой" и наоборот. Их существенной
ісобепностью является то, что к ним, как правило, неприменима
классическая" схема разложения в степенной ряд по малому па-
тметру, т.к. при этом либо происходит потеря некоторых допол-
[ительпыж условий (начальных или граничных), либо возникают
екуллрные члены и т.д. .'

Основы теории сингулярно возмущенных задач заложены в р<і-отах А.Н.Тихонова, А.Б.Васильевой, А.Н. Крылова, Н.Н. Бого-гобова, Ю.А. Митропольского и других отечественных и зару-еншых авторов.

Задачи указанного вида возникают по многих разделах при-ладной математики, физики, техники: в теории колебаний, терни оптимального управления, гидромеханике, квантовой меха-ике, кинетике и т.д. Эти задачи важны также в связи с тем, что равнения, используемые для описания различных процессов в ре-льпых системах, неизбежно оказываются упрощенными, получается после отбрасывания тех или иных малых членов, что привб-ят к необходимости оценить возникающие ошибки.

Несмотря на широкое применение численных методов рс?ше-ля систем обыкновенных дифференциальных уравнений, значе-

ние асимптотических методов для их исследования не снижается асимптотические разложения решений сингулярно возмущенный задач позволяют установить качественную картину поведения точ них решений, могут быть использованы в качестве начальных при ближений в численных расчетах, в самих численных методах применяются идеи и приемы асимптотических методов.

Обьект исследования. В диссертации для сингулярно возмущенной системы вида

<-*(?'<)» м

и для некоторых ее частных случаев строится асимптотика решений на конечном промежутке [0,Т].

Переходом к "быстрому" времени t » т/е систему (1) можно свести к слабо возмущенной системе

g-p = X(t,x,e), (2)

а "сингулярность" задачи будет состоять в том, что асимптотика решений строится на асимптотически большом временном промежутке [0, Т/е].

В некоторых отношениях эта эквивалентная формулировка задачи окаэынается удобнее и часто используется в работе.

Наряду с системами вида (1) рассматриваются и более общие системы вида

Тт = *(?*'^r'^ff)^{1 (3)}

хотя формально, вводя новую переменную jc(j =» г и добавляя к

системе (1) уравнение edx₀/dr — , можно свести »ту задачу к предыдущей.

Частным случаем системы (3) {и системы (1)). являє- я система с медленными и быстрыми переменными

''%- Y{y,z,r), ej- »'.Z(»,*,r), (4)

для которой А.Н.Тихоновым построено нулевое приближение.

Основное предположение ори атом - существование устойчивого корня г = v>(y, т) уравнения Z(y,z, т) = G, или, иными словами,

существолапие асимптотически устойчивой точки покоя у присоединенной системы

— = Z(y^!,z_%r} (i)'= const, т = const)., (5)

В этом случае в пулевом приближении медленная переменная У ⁼ у(^т) определяется из системы .

^ = Y(vMv,t),t)\ (6)

а для быстрой переменной имеем z = <р{у[т), т).

Если ввести быстрое время t = т/є, то (4) сводится к системе (являющейся частным случаем системы (2)), для которой вырожденной системой (є = 0) будет

dy dz „. . dr

система, непосредственно связанная с -трисоедипснШй' снЬтемой

(5). .

Сделанные выше предположения означают, чтй у вїфояідеппой гистеми (7) d Я х Л* х Л| имеется m + l - мерное асимптотически ^стойчішое интегральное многообразие 5 : z = (1/,,г)\ занолненпое :тапионарпыми решениями у = const, г = const, z = ір(у, т) — const гистемы (7).

Асимптотические разложения решений задачи'Йоііиі для системы (4) получены А.Б.Васильевой. При этом'йр'ё^дййлйжение об асимптотической устойчивости точки покоя z = tpfyi г)' присоеди-tenaott системы (5) заменяется на более сильнйе п'р'ё'дп'бложение б отрицательности действительных частей ко #6^ хІїУШтер'ксти-іеского уравнения системы d вариациях

^ = Z'_y{yMy,T),T% (8)

оторое также может быть сформулирована Van? н'ёЙ/тУр'аё' условие а интегральное многообразие 5 вмрождегіййй'систе'Ші'(7),

Асимптотика решений задачи Кошм; гібстроевная'А'.Й.басиль-
вой, имеет пйд:

У = ?7о(^т) + Шг) + + ШУ (~) + Шіу (~) + . . .,

г = г₀(т) + e?i(r) + . . . + U₀z Q + elhz (1) + . . ., ^W

т.е. в ней осуществлено разделение "быстрых" и "медленных" движений.

В то же время,"медленные" движения можно интерпретировать как движения по интегральному многообразию 5_е возмущенной системы (4), а "быстрые" движения обеспечивают переход из начальной точки, принадлежащей некоторой области влияния 7 многообразия S, на "возмущенное" интегральное многообразие S_c . системы (4).

Основы общей теории краевых задач для системы (4) зало
жены в работах А.Б.Васильевой, В.Ф.Бутузова и В.А.Тупчиева.
В этом случае асимптотические разложения (9) включают допол
нительно правый погранслой (условно устойчивый случай), либо
могут содержать внутренний погранслой и т.д. . .

Более общая система вида

Є~> Х(Т,_Х,Є) ; :[ О»)

изучалась А .Б.Васильевой и В.Ф.Бутузовым ври условии, что урав
нение Х(г,х,0) = 0 имеет зависящий от к параметров корень я —
<р(т,р), удовлетворяющий некоторому условию устойчивости, т.е.
что вырожденная система . : . . ; .,.' ,. , ;, ,V ' /

'],. ;,-.; - | = - ^,,,0), % = о.; ;^Щ:$Й-

имеет fc + 1 - мерное интегральное многообразие 5, образован
ное стационарными решениями х s= const; т = const: этой системы..
Асимптотические разложения в этой задаче также состоят из двух
частей - медленной, отвечающей движениям но возмущенному іійт
тегральному многообразию S_e системы (10); и быстрой, обеспечи-.
вающей переход из начальной -точки на многообразие $. ''':".;'

'- ; Асимптотика решений задачи Кошії на промежутке |(J,TJ для. системы (4) строилась также в работах Л.С, Понтршйна и Л;Й-г

Родыпша. Основное предположение состояло п том, что присо-едкисішая система (5) имеет асимптотически орбитально у< гоц-чивмй предельный цикл z — ,y,T), т.е. вырожденная система (7) имеет интегральное многообразие 5, обладающее соответствующим свойством устойчивости, заполненное периодическими решениями.

Медлеяпая составляющая у = у(т) в нулевом приближении определяется при этом как решение системы

-<*('.»(?»'))>. (»)

где фигурная скобка означает усреднепие по "быстрому" времени t=sr/e.

Таким обргиом, главной особенностью рассмотренных задач является предположение о существовании у вырожденной системы

^ = X₀(t,x) = X(t,x,0) (13)

центрального многообразия, обладающего некоторым свойством устойчивости.

Заметам, что общая 3s/>via о существовании интегральных многообразий у возмущенной системы рассматривалась многими авторами. Наиболее общие результаты принадлежат Ю.И. Ней-марку, Н.. Фепшаелу, Р. Сакеру, М. Хнршу, Ч. Пыо и М. Шубу, А. М. Сашэйленко и связаны с условием гиперболичности: если

Интегральное многообразие выроясденной системы (13) гиперболично п нормальном направлении, то у возмущенной системы (1) -(2) существует обладающее тем же свойством и лежащее в малой окрестности S интегральное многообразие S_e.

В ряде'работ строилась асимптотика решений, лежащих на 5_Г, либо начинающихся п его окрестности. Система вида ,

'' ' '" -' ' '\' '' Ах ' V' -' ' ~.У-''''.'"у '"'.". '. '' '

..''".' < ""'.^;' ^-~:^х^)+^єХ^^ ^:г\^: <¹⁴)

изучалась в работах Ю.А.Мятрбйольского п О.Б.Лыковой, результаты которых изложена и их мойрграфаи. '.-.:-.

В этих работах предцолагалось, что вырожденная система (е = 0) .имеет интегральное многообразие S, образованное однопараме-трическпм х — (p(ut +во), двухпараметрическим х — ip(w(a)t + 0ц,и), или к - параметрическим семейством дериодических решеиий, и что характеристические показатели соответствующей системы в вариациях (кроме одного, двух дели к нулевых) имеют отрицательные действительные части.

Построены интегральные многообразия возмущенной системы (14) (в виде, например, г = f[0,a) -j- «i(i,#,a) + . . .если к = 2) и асимптотические разложения лежащих на них решений; при построении этих разложений дсподьзуется метод усреднения. Родственные результаты получены р работах других авторов; обзор этих работ дан в упомянутой монографии.

Несмотря на больнши количество результатов, относящихся к существованию интегральных многообразий возмущенной системы (1) - (2), асимптотические разложение лежащих на них рещений построены только в указанных частных случаях; что >ке капается задачи об асимптотике произвольных решений, начинающихся в области влкящгя многообразия S, то наиболее общими результатами для щіщ задачи остаются результаты |>аботы А.Б.Васильевой и В.ф.|зутуз,ип.а; теория сингулярно возмущенных краевых задач развита только для систем вида (4), (10).

Цель и методы исследования. Для общей системы (1) (или (2)) естественной является поэтому постановка задачи о построении асимптотики решений задачи Коши или краевых задач при условии, что вырожденная система (13) имеет интегральное многообразие 5, обладающее некоторым свойством устойчивости.

Сформулированная так задача является, в разных вариантах, основным предметом исследования в диссертации. Основной метод, используемый при этом метод иогранфункций, развитый в работах А.Б.Васильевой. Оказывается, что, в соответствии с общим методом логранфункций, и в случае такой постановки задачи для системы (1), асимптотическое разложение рещений склады-

пается из нескольких составляющих, одна из которых описывает движение по "возмущенному" интегральному многообразию S- системы (1) (или (2)), а остальные - переходы из начальной или граничных точек на это многообразие (этим составляющим в реальных системах соответствуют пограяслойные явления, переходные процессы и т.д.). В ряде случаев системы, отвечающие за дззпкения вдоль 1?, допускают дальнейшее упрощение с помощью метода усреднения. Эти вопросы такясе исследуются в работе.

В работе рассматриваются также раличпые частные случаи системы (1); это связано с тем, что использование специальных свойств изучаемых систем позволяет значительно упростить построение асимптотики.

Для системи с медленными и быстрыми переменными

^ = Х^,х,г,т,є) , є -^ - z(^,x,z,T,e} (15)

па промежутке [0,Tf (или, для эквивалентной ей системы

, -^ = є X(tx,z,et,), — = Z{t,x,z,st,e), (16)

ва промежутке [О, Т/е]) строится асимптотика решений задачи Коши, при разліічпьіх предположениях относительно существования и сі?в!5ств интегрального многообразия присоединенной системы

— = Z(t,x,z,T,&), (х = const,г = const) (17)

Кроме того, Для таких систем предложено некоторое обобщение метода усреднения.

_: Для спстежш ,'-. ' «

''"'' 137 "= Хо(*,.т,г)4- є X_v(<,a:,z,e), -,-

".-. ' V dz '- V.-V'.--' - (18)

— := Z₀(t,X,z).A-e.Zl(t,X,Z,e),

включающей о себя как частный случай систему (16), строятся при разных предположениях асимптотические разложения решений задачи Коши и краевых задач; Основное условие при этом

существование у вырожденной системы

— = X₀{t,x,z), ~ = Z₀{t_tx,z) (19)

интегрального многообразия (интегральной поверхности) S : г = ip(t,x), для которого выполнено соответствующее условие устойчивости, формулируемое в терминах некоторой, связанной с S линейной системы.

Для случая периодической, интегральной поверхности на каждом шаге построения асимптотщш используется операция усреднения, а сами асимптотически^ разложения-имеют черты как разложений А.Б.Васильевой, t$K. и разложений метода усреднения.

Рассматриваются некоторые приложения к задачам прикладного характера, для которых применение разработанных методов позволяет получить новые результаты.

Научная новизна. На защиту выносятся следующие результаты, определяющие научную новизну работы:

построены асимптотические разложения решений задачи Копи: для систем с медленными и быстрыми переменными (15) при условии, что присоединенная система имеет экспоненциально притягивающее решение, и при некоторых других предположениях;

построены асимптотические разложения решений-задачи Коши и краевых задач для системы (18) при условии, что вырожденная система (19) имеет интегральную поверхность с соответствующим свойством устойчивости ( экспоненциальная устойчивость для задачи Коши и гиперболичность в нормальном направлении для кра-. рвм¹" чадач); ' ' '

для частного случая периодической интегральной поверхности найдены разложения, при построении которых Используются как метод погранфункций, так и Метод усреднения;

построены асимптотические разложения решений задачи Коши и краевых задач для общей системы вида (1) (или-'-(2))(.при условии, что вырожденная система имрєт интегральное многообразие с соответешующимй свойствами устойчивости;

достроены асимптотические разложения собственных значений н собственных функций в сингулярно возмущенной задаче на собственные значения для квазилинейной системы;

получены теоремы, дающие оценки точности построенных разложений;

предложено некоторое обобщение метода усреднения, включающее d себя как частные случаи различные схемы частичного усред пения;

с помощью разработанных методов получены решения некоторых прикладных задач.

Теоретическое и практическое значение работы. Работа носит теоретический характер. Ее результаты могут быть использованы і теории сингулярпых возмущений, качественной теории дифференциальных уравнений, при решении сингулярно возмущенных іадач d различных областях прикладной математики, физики, техніки: в теории упругих колебаний, теории оптимального управления, теории гироскопических систем и т.д.

Апробация работы: Основные результаты работы докладыва
юсь и обсуждались: па Воронежской математической школе (Во-
юнеж, 1993), па международной конференции по терші прибли
жений и задачам вычислительной математики (Днепропетровск,
993), иа Воронежской математической школе " Понтрпгинские чте-
іш" (Воронеж, 1994), На городском семинаре по днфференциаль-
гш уравнениям при РГПУ (Санкт-Петербург), па семинарах ка-
іедрьі математики физического факультета МГУ, кафедры общей
іатематикігфакультета ВМиК МГУ,,кафедры гидромеханики СПГУ,
афедры дифференциальных уравнений ЛГУ, кафедры прикладной
атематйки ДТИ. ' : _;

Публпк'ацпн. Содержание диссертации опубликовано в 21 ра-оте; список основных публикаций автора по теме диссертации риведенв конце реферата. - л ; ' ^: . - '',.'..

Структура и объем пабот^т; Диссертация состоит из введения, ' пти глав, заключения и списка литературы, включающего 104 на-

:-^.:-

именования. Общий объем работы составляет 234 страницы текста.