Введение к работе
Актуальность теш. Эллиптические краевые задачи при малых сингулярных возмущениях области изучались многими авторами (A.M.Ильин, В.Г.Мазья, С.А.Назаров. Б.А.Иламеневский, В.М.Бабич, В.Ю.Готлиб и другие). Одно иэ их нзпосредственных физических приложений - задачи дифракции на малых (по сравнений с длиной волны) рассеивателях - возникают во многих разделах физики (акустика, оптик», радиофизика, теория упругости).
Распространено мнение, что при численном решении этих задач достаточно ограничиться главная и, возможно, одним--двумя старшими членами асимптотики. Видимо, поэтому анализу полной асимптотики не уделяется достаточного внимания.
В настоящей диссертационной работе показано, что асимп-тотика дальнего поля представляет собой сходящийся ряд (что, насколько известно автору, ранее нигде не отмечалось). Это позволяет веста вычисления и в случае, когда характерный размер рассеивателя сравним с длиной волны, Численные расчета в этом случае требуют, однако, суммирования большого количества членов ряда.
Настоящая работа призвана создать эффективный алгоритм построения полной асимптотики. Такой алгоритм должен бить такке универсальным в следующем смысле: получаемые нз его основе формулы для главного и старших членов асимптотики должны явно включать группу коэффициентов, характеризующих данный рассеиЕвтедь при отсутствии волновода, группу коэффициентов, описывающих невозмущенный волновод, а также коэффициенты, определяющие возмущаемое поле. Таким образом, например, при помещении в данный волновод различных расссиватзлей С4'дт требоваться лишь перерасчет коэффициентов, характеризующих рассеиватель.
Отдельные части проведенных исследовагаїй, кроме того, могут представлять интерес как при обосновании корректности задач дифракции в волноводах, так н при расчетач на ЭВМ функции влияшія некоторих модельних волноводов и ее производных вблизи от исмчянка.
_ 4 -
Цель работы. Создание &ффективного и универсального алгоритма построения полной еснмптотики дальнего поля; анализ численных аспектов возникающих при этом задач; доказательство сходимости асимптотического разложения для дальнего поля; исследование корректности задач дифракции в волноводах на малых рассеивателях различных типов.
Методика исследования, в диссертации используются методы теории волноводов, асимптотические метода, теория потенциала и теория обобщенных решений эллшттическ.а краевых задач в пространствах Соболева.
Научная новизна. Результаты диссертации являются новыми. Из них можно выделить:
алгоритм построения универсальных формул для коэффициентов асимптотики дальнего поля;
доказательство сходимости асимптотического разложения дальнего поля;
модово - лучевой метод расчета функции Грина однородного волноводе с прямоугольным сечением;
доказательство корректности задач дифракции на малом негладком рассеивателе в локально однородном волноводе.
Теоретическая и практическая ценность. Работа носит теоретический характер. Полученные универсальные формулы для асимптотики дальнего поля шгут использоваться прь расчете акустических полей в волноводах с малими включениями различных типов. При этом коэффициенты, связанные с малым рассеи-ватедеы, могут быть получены с пошаыо экспериментов в других, более простых с точки зрения постановки аксперимеита волноводах (в т.ч. ив однородном пространстве).
Результаты, касьадиеся Я-шаровых функций и свойств коэффициентов разложения по зтим функциям, могут быть использованы при решении на ЪШ задач, описываемых уравнением Гельмгольца.
Ідробация работа. Результаты диссертации докладывались аа научном семинаре кафедры алгебры и дискретной математики Ростовского университета (руководитель - И.Б.Симоненко), на 2-й конференции "Числешшо методы в современных волновых задачах акустики" (Москва,1Э88 г.), на 4-й Региональной школе-
- 5 ~
-семинаре "Математические методи прикладной акустшск" (Одесса, 1989 г.).
Публикации. По теме диссертанте опублдаовага 4 работы, список которых приводится в конце автореферата. Результаты совместных публикаций принадлежат авторам в равной степени.
Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из введетая, четырех глав, приложения и списка литература из 32 наименований. Объем диссертации - 107 страниц меиино-писного текста.