Введение к работе
Актуальность темы. В последние десятилетия возник целый ряд новых, неклассических задач математической физики, приводящих к изучению спектральных свойств несамосопряженных операторов. Примером задач такого рода может служить известная задача Бицадзе-Самарского [1] с нелокальными краевыми условиями для уравнения теплопроводности.
Исследования по спектральной теории обыкновенных дифференциальных операторов берут свое начало еще с классических работ Ж.Лиуввиля, Ш.Штурма, а также более поздних работ В.А.Стеклова, Е.Д.Тамаркина, Д.Биркгофа и других авторов.
При построении спектральной теории дифференциальных операторов фундаментальную роль играет вопрос о базисности систем корневых функций изучаемого дифференциального оператора в том или ином классе функций.
В случае формально самосопряженного оператора и самосопряженных краевых условий ответ на этот вопрос можно получить в терминах краевых условий [2].
Переход к несамосопряженным задачам существенно усложнил исследование спектральных свойств дифференциальных операторов. В случае несамоспоряжснного дифференциального оператора система всех собственных функций, вообще говоря, не только не образует базиса, по которому можно разложить произвольную функцию из класса L2, но и не является полной в Li. Поэтому эта система должна быть пополнена так называемыми присоединенными функциями. В несамосопряженных задачах собственные и присоединенные функции (которые называются также корневыми функциями), вообще говоря, не ортогональны, и ни их замкнутость, ни их минимальность еще не
Typeset by ЛмЗ-Т&і
влечет за собой их базисности.
Таким образом, переход к несамосопряженным задачам потребовал выработки новых, более тонких подходов к изучению спектральных свойств по сравнению с самоспоряженным случаем.
Большой заслугой М.В.Келдыша [3, 4] является установление факта полноты в Li специально построенной системы корневых функций (названной М.В.Келдышем канонической системой) для широких классов краевых задач для несамосопряженных дифференциальных операторов (и для некоторых абстрактных несамосопряженных операторов).
На сегодняшний день вопрос о полноте систем корневых функций достаточно хорошо изучен для весьма широкого класса краевых задач.
После работ М.В.Келдыша и его последователей весьма актуальным стал вопрос о том, образует ли система корневых функций базис в Li.
Для обыкновенного, вообще говоря, несамосопряженного дифференциального оператора порядка п еще Биркгофом [5] было введено понятие усиленно регулярных краевых условий. Значительно позже было установлено [6-8], что система корневых функций обыкновенного дифференциального оператора порядка п с усиленно регулярными краевыми условиями образует базис Рисса в L%.
Однако, если оставить в стороне работы, посвященные блок-базис-ности (см., например, [9]), то кроме усиленно регулярных краевых условий так и не удалось указать какие-либо другие типы краевых условий, обеспечивающие базисность системы корневых функций. В дальнейшем выяснилось, что эти неудачи были не случайными, а вызваны существом дела. Во всех перечисленных выше работах рассматривались операторы, у которых собственные значения, начиная с некоторого, однократны, а следовательно, система корневых функций
содержит конечное число присоединенных функций.
В 1976 году Н.И.Ионкиным [10] была изучена одна неклассическая задача распространения тепла в однородном стержне. Методом разделения переменных она сводится к краевой задаче
{
—(p(x)u')' + q{x)u = Хи, а < х <Ь, и{а) = 0, и'(а) = и'(Ъ),
краевые условия которой в классификации Д.Биркгофа являются регулярными, но не усиленно регулярными. Все собственные значения этой задачи, начиная со второго, двукратны, а общее число присоединенных функций бесконечно. Тем не менее, в работе было установлено, что специальным образом выбранная система корневых функций образует безусловный базис в L2{a,b).
За последнее время В.А.Ильиным разработан и успешно применяется новый перспективный метод изучения несамоспоряженных дифференциальных операторов. Им было замечено, что при наличии в системе бесконечного числа присоединенных функций свойство ба-зисности в отличие от свойства полноты 1) существенно зависит от выбора корневых функций (для одного и того же оператора с одними и теми же краевыми условиями можно построить замкнутые и минимальные в L-i системы корневых функций, одни из которых могут образовывать базис в L2, а другие нет); 2) не определяется только конкретным видом краевых условий, на свойства базисности влияют также значения коэффициентов дифференциального оператора, причем указанное свойство изменяется при каком угодно малом изменении значений коэффициентов в метрике тех классов, в которых заданы эти коэффициенты. Таким образом, в этой ситуации нельзя сформулировать условия базисности в терминах краевых условий.
Рассмотрим формально несамосопряженный обыкновенный диф-
ференциальный оператор произвольного порядка п
Lu = и(п) +рі(х)и(га-і:) + .. ,+рп(х)и, (1)
определенный на некотором интервале G. Обычно (1) называют формальным дифференциальным выражением, и термин "дифференциальный оператор" употребляют только после присоединения к выражению (1) каких-либо краевых условий. Основанная на этом схема рассмотрения спектральных задач привязана к конкретным краевым условиям и не позволяет охватить системы корневых функций всех несамосопряженных краевых задач с точечным спектром. В связи с этим В.А.Ильин предложил новую трактовку корневых функций, которые понимаются как регулярные решения соответствующего уравнения со спектральным параметром безотносительно к виду краевых условий. Такое рассмотрение включает в себя системы корневых функций всех краевых задач, обладающих точечным спектром, систему экспонент, а также некоторые системы, полученные объединением подмножеств корневых функций двух различных краевых задач.
Как показали работы В.А.Ильина [11 - 15], условия базисности и равносходимости с тригонометрическим рядом в несамосопряженной ситуации более естественно выражать в терминах первых членов асимптотических разложений собственных значений \к и корневых функций по степеням l/цк, где //jt — специальным образом выбранный корень га-й степени из А*,, и в терминах соотношений между нормами корневых функций. Тем более, что для конкретных краевых задач давно разработаны методы отыскания асимптотических разложений собственных значений и корневых функций по степеням \/цк- Поэтому полученные в терминах первых членов этих разложений условия базисности и равносходимости с тригонометрическим рядом являются вполне конструктивными.
В работах [11 - 13, 15] требуется, чтобы рассматриваемая система
обобщенных корневых функций оператора (1) удовлетворяла следующим двум условиям А: 1) для некоторого фиксированного р > 1 была замкнута и минимальна в LP(G); 2) чтобы указанные выше числа /х*. удовлетворяли неравенствам
| Im/Xfcl < const (для всех к Є N), (2)
yj 1 < const (для всех и, > 0). (3)
Центральными результатами этих работ являются следующие две теоремы.
Теорема 1 (В.А.Ильин). Для того чтобы произвольная система {ukix)}^ обобщенных корневых функций оператора (1), удовлетворяющая при фиксированном р > 1 двум условиям А, обладала свойством базисности в Lp на любом компакте основного интервала G, необходимо и достаточно, чтобы для любого компакта Ко интервала G существовала постоянная C{Kq), обеспечивающая справедливость для всех номеров к неравенства
1М1м«о ІМІМО < С(Ко), (4)
в котором q = р/(р — 1) и {^(з:)}^ — система, биортогонально сопряженная к {«fc(x)}i.
Теорема 2 (В.А.Ильин). Для того чтобы при фиксированномр > 1 разложения произвольной функции f(x) яз класса LP(G) по произвольной системе обобщенных корневых функций оператора (1), удовлетворяющей при том же р > 1 двум условиям А, и в тригонометрический ряд равносходились равномерно на любом компакте интервала G, необходимо и достаточно, чтобы для любого компакта Ко
интервала G существовала постоянная С(К0), обеспечивающая справедливость для всех номеров к неравенства (4), в котором q = р/(р— 1) (д = оо при р — 1).
Отметим, что даже для систем экспонент обе теоремы 1 и 2 являются новыми и содержат утверждения, не вытекающие из работ всех предыдущих авторов.
Доказательства теорем 1 и 2 базируются на применении формулы среднего значения Е.И.Моисеева [16].
В работе [14] на интервале G рассмотрен дифференциальный оператор второго порядка
Lu= u" +pi(x)u' +Р2(х)и (5)
при минимальных требованиях гладкости на его коэффициенты. Основной результат этой работы утверждает
Теорема 3 (В.А.Ильин). Пусть {зд(х)}~ —произвольная полная и минимальная в L2(G) система корневых функций оператора (5), для которой справедливо неравенство (2) и у которой длины всех цепочек корневых функций равномерно ограничены. Пусть далее, система {vk(x)}%, являющаяся биортогонально сопряженной к систе-ме {uk(x)}i> состоит из корневых функций оператора L*, формально сопряженного к оператору (5). Тогда для того, чтобы система {ufc(a;)}i являлась безусловным базисом в L2(G), необходимо и достаточно, чтобы выполнялись неравенство (3) и неравенство
IKIUa(G) ll"A:|U,(G) < cnst (для всех к Є N).
В дальнейшем, для краткости, будем называть условие (2) карле-мановским, условие (3) — условием "сумма единил".
Цель работы. Исследуется проблема базисности в Lp, 1 < р < оо (и, в частности, связанные с ней проблемы равномерной минимальности в Lp, 1 < р < оо; необходимость карлемановского условия и
условия "сумма единиц") систем корневых функций обыкновенных линейных нссамосопряжеяных дифференциальных операторов произвольного конечного порядка п.
Научная новизна. Все доказанные в работе теоремы и леммы являются новыми.
В работе получены следующие основные результаты:
установлены оценки норм корневых функций оператора (1); установлена конечность ранга собственных функций оператора (1); рассмотрен вопрос об отсутствии конечных точек сгущения последовательности собственных значений оператора (1); исследовано распределение собственных значений оператора (1) при условии равномерной минимальности в LV(G) (1 < р < оо) систем корневых функций и, в частности, доказана необходимость условия " сумма единиц"; доказана равномерная ограниченность рапга собственных функций при условии равномерной минимальности в LP(G) (1 < р < оо) систем корневых функций оператора (1);
доказана необходимость карлемановского условия для базисности в LP(G) (1 < р < оо) систем корневых функций дифференциального оператора второго порядка; установлен критерий базисности в L2(G) систем корневых функций дифференциального оператора второго порядка; доказано, что среди систем корневых функций, связанных с дифференциальными операторами второго порядка, отсутствуют базисы условные в L2(G); установлены необходимые и достаточные условия слабой сходимости в LP(G) (1 < р < оо) биортогональ-ных разложений по системе корневых функций дифференциального оператора второго порядка.
Приложения. Работа носит теоретический характер. Ее результаты могут быть использованы в спектральной теории дифференциальных операторов; при изучении базисности неортогональных систем функций (в частности, систем экспонент); при обосновании ме-
тода Фурье решения задач математической физики; при исследовании некоторых задач теории упругости и квантовой механики, приводящих к изучению несамосопряженных дифференциальных операторов.
Апробация работы. Основные результаты диссертации неоднократно докладывались на семинаре академика В.А.Йльина, проф. А.А.Дезина, проф. Е.И.Моисеева (ВМиК МГУ), на семинаре проф. В.Д.Будаева (Смоленский государственный педагогический институт), а также послужили основой доклада на I Республиканской конференции по механике и математике (Баку, 1995).
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 10 работах автора, список которых приведен в конце автореферата.
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав (разбитых на параграфы) и списка литературы. Объем работы 168 страниц, включая 14 страниц списка литературы, содержащего 109 наименований.
