Введение к работе
Актуальность темы: Для использования метода Фурье разделения переменных при решении некоторых задач математической физики и механики, приходится аппроксимировать граничное значение решения по некоторой части собственных функций соответствующего дифференциального оператора. При попытках приблизить или представить граничные значения с помощью линейных комбинаций этих функций, возникают вопросы о полноте, минимальности и базисное таких систем функций в некотором банаховом пространстве. Для того чтобы пояснить происхождение этих вопросов, рассмотрим следующую модельную задачу. Пусть в
наклонной полу полосе Пц = !(х, у):х + iy = х + t с . х е((), я), t > ()[.
Оє(О.л) - фиксированное число, задана следующая краевая задача для уравнения Лапласа:
Ди(х,у) = 0,(х.у)єП0.
U(tcosG,t-sinG) = U(;t + tcosG.tsinG) = 0,t >0;
U(x,0) = ч f?x dy у После замены переменных (x, у)-> (^, т); 4=x+yctg9: т. = ——, и sin О применяя метод Фурье U(^,т) = f(E,)-eiT . получим полиноминалыю зависящие от X семейство дифференциальных уравнении относительно функции f: f" + 2*coser' + A.2f = 0; f(0)=f(n) = 0. Ненулевые решения этого уравнения существуют лишь при значениях А = , п=+1, +2, ...; и система решении имеет вид: sin 9 r„(^) = e,l,,'-sinn^.n = +1.+2,. sinQ Такая же система возникает и при рассмотрении уравнений более общего вида Г" + 2аЫ + ЬХ2{ = 0; f(о) = і(тс) = 0. при этом a = -avb-a , b>a~; a.beR. Поэтому интерес к изучению базисных свойств систем вида в последнее время возрос. С точки зрения приложения большой интерес представляет случай, когда коэффициенты a(t) и b(t) разрывные функции. Еще в 1937 г. в работе Shepherd W.M. [1], были найдены коэффициенты а„. п>1, из уравнения а„ cosnt = cosmt, 0 < t <: —. x . к Sa„ smnt = -sinmt. — < t < 7t 7 " 2 Очевидно, что a,„ n>l, - являются бпортогональиыми коэффициентами при функции cos ml, 0 < \ < Г(ф -sinmt, — < t < тс, по системе |sin(nt+ -,()<к—, ф(|)=< 0. - < t < тс. Такая же и подобная система применяются для построения явного решения нестационарной задачи распространения внутренних волн в канале с барьером в работах С.А.Габова, П.А.Крутицкого [2], П.А.Крутицкого [3]. Число таких примеров можно увеличить. Рассмотрим некоторые из них. у"(х) + 2Ву'(х) + сХ.2у(х) = 0, хє(0.тс).1 у'(о) + аЛу(о) = у'(л:) + аЯ.у(л:) = 0 J Соответствующие собственные функции будут: yk(x) = Aeakx+e^ k = 0,±l,...; В-а + iVc + B2 где А -4-і, с - ГГ > 0. а-b+iVc-B2 л/с - В2 Следуя работе В.А.Ильина [4] рассмотрим следующий разрывной дифференциальный оператор II порядка: у"(х) + Х.2у(х) = 0, Vxg(0,c)u(c,ji) y(o) = y'W=o, Ху(с-()) + у'(с + 0) = у'(с-0)-\у(с+0) = 0 Собственные функции этой задачи есть: [sinnx, х є(0,с) Уп(")= , , (cosnx, x є (с, re). (3) вообще говоря Базисным свойствам системы eonxsin[(n+a)x + p], п>1, посвящено много работ, когда а=Р=0, комплексный параметр. Очевидно, что если параметр о в системе (3) является не вещественным, то эта система не представима п виде (2). Этот простой пример показывает целесообразность исследования базисных свойств систем вида a(t)q,n(t) + b(t)v|,n(t), п>0, (4> і лс a. b. (p. >|/ - комилексно-зиачные функции на некотором отрезке. Когда о - чисто мнимая величина, система (3) имеет важное приложение при решении некоторых задач управления. Следуя книге Л.Г.Бутковского [5], рассмотрим следующую задачу управления для распределенной колебательной системы —^ = ^ + Г(х) й(х - »(!)). П < .ч < *. I > П. y(x.») = Qi,(x).^| =Q,(x). ft Требуется найти такой закон изменения сосредоточенной нагрузки f(t) и скорости приложения этой нагрузки, чтобы решение Q(t. х) успокоилось в заданное время Т, то есть Q(T, \)=0. Применяя метод Фурье к решению задачи (5), получим следующую систему интегральных уравнений первого порядка относительно двух неизвестных функций f(t) и 9(t): fe,kt sin[9(t)k]f(t)dt = Dk. k>l. Задачи такого типа часто возникают в приложениях, при гашении колебаний больших механических систем Л.А.Муравей [6. 7]. При линейном f)(t)sat -случае, после замены t=at. мы приходим к попросу об минимальности системы e^'-sinkt. k>l, <х = -, (6) в 1.:(0, л). По-видимому базпеность системы (6) впервые рассмотрена в работе [8], и доказана, что она при |а|<-т= образует базис Рисса в 1->(0. я). Оказывается это неокончательным результат. В серии работ Е.И.Моисеев (см., например, [9, 10]), используя базисность системы синусов {sin[(n t- сх)х + р|| в Ьг(0, к), построил явные решения некоторых краевых задач для уравнений смешанного типа в специальных областях в виде биортогонального ряда, где а. [5 є R - некоторые параметры. Частные случаи системы (2), (4), в связи со спектральної"! теорией дифференциальных операторов, изучались в работах А.В.Бпцадзе [II], С.М.Понамарева [12], А.А.Шпаликова [Щ и др. Окончательные результаты в этом направлении относительно систем синусов sinf(n +a)t +ш| получены в работах Е.П.Моисеева [13]. Г.Г.Девдариапи [14], А.М.Седлецкого [15]. При определенных условиях на функции a(t). b(t). cp(t), i|/(t). полнота и минимальность систем (2). (4) в общем случае исследована в работах Ю.А.Казьмина [16], Ю.П.Любарского, В.А. Ткаченко [2% Ю.И. Любарского [20]. Во всех этих работах случай с разрывом (относительно коэффициентов) не рассматривается. Например, в работе А.Н.Барменкова [18]. найдено необходимое и достаточное условие полноты системы (2) в L,,(a. b) рє(І. +г>). когда a(l). b(t) и cp'(t) гельдеровы функции на [a. b]. В основном, проблемы полноты и минимальности систем вида (2), (4) редуцируются к краевым задачам Римана с карлемановским сдвигом на границе соответствующей области. Получающиеся при этом краевые задачи со сдвигом имеют ряд особенностеіі по сравнению с известными в литературе [21, 22], и не полностью изучены. Этим объясняется не рассмотрения случай с разрывом коэффициентов систем (2), (4). Поэтому каждый автор по своему подходил к решению этих задач и получили различные критерии полноты и минимальности. Отметим, что при этом в общем случае базисность этих систем (исключая некоторые частные случаи) не рассмотрена. Подводя итоги, заметим следующие вопросы относительно базисных свойств систем (2), (4), которые не были исследованы: рассмотреть случай, когда функции a(t) и b(t) в системах (2), (4), имеют разрывы 1 рода. критерии минимальности системы (2) в L,,, рє(І,+ =о). критерии полноты и минимальности системы (2) в пространствах суммируемых и непрерывных функций (Li и С). базисность систем (2) и (4) в Lp. снимать жесткие ограничения, налагаемые на функции а, Ь, <р и Ч'-В связи с исследованием базисных свойств систем (2), (4), рассматриваются системы степеней вида (для определенности в дальнейшем назовем "двойными") {а(0ф»(.>. B(typ»(.)}J. (7) {а(с)ф»(.> в((у'И)~ <8) Нетрудно заметить, что эти системы являются обобщениями следующей системы экспонент , +*> (У) (n+tt-signii)tl J —X которая достаточно хорошо изучена начиная с работ Levinson N. [23] и Винер П.. Пели Р. [24]. Впервые необходимые и достаточные условия базисности в Lp(-n, л) системы (9) была найдена и сформулирована в компактной форме в работе А.М.Седлецкого [25[, где aeR - действительный параметр. Исследование базисных свойств системы (7) является не случайным, более того представляет теоретический интерес. Еще в 1926 г. Дж. Уолш [26] доказал следующую теорему: Теорема У: Пусть С - произвольная кривая Жордана конечном плоскости z. Тогда любая функция f(z), непрерывная на С, может быть равномерно приближена на С суммой полинома от z и полинома от z. Переформулируем эту теорему на языке полноты систем функций в пространстве С [-к, к]. Пусть С - имеет следующее параметрическое представление: C = {z6C/z = z(t), -7t где С - комплексная плоскость. По определению [26], кривая Жордана есть замкнутая, непрерывная кривая без точек самопересечения. Теорема У: Пусть С - кривая Жордана на конечной плоскости z : z(-7r)=z(rt), Со[-л, л]= ff(t) єСГ-тг.7t]/f(-7i)= f(t)}- Тогда система Полнота и минимальность в пространствах Lp, р>1. системы вида {кє[а(.)ф»(.)]:іп1[а(<)ф»(«)]}оОТ, исследована в работах [17, 19]. Отметим, что системы вида (7), (8) рассматриваются впервые. Цель работы. Основной целью работы является установление критериев полноты, минимальности и базпености систем вида (2). (4). (7) и (8) в пространствах Lp, р>1. (L^=C). когда a(t), b(t) A(t) и B(t) кусочно-непрерывные функции на отрезках определения. Научная новизна. Все доказанные в работе теоремы и леммы являются новыми. В работе предложен новый подход к исследованию базисных {а(і)є""; B(t)e~"" J в Lp, р>|, (L„sC). в общем случае, когда a(t), b(t) A(t) и B(t) кусочно-непрерывные функции. Найдено необходимое условие базисности системы (7) в Li. Полученные результаты применяются к системам собственных функций некоторых конкретных разрывных дифференциальных операторов, которые рассматриваются впервые. Установлено необходимое и достаточное условие базисности систем экспонент со сдвигом JA(t)eiMl;B(t)e~lv('>"l , в М-я, л), рє(І, +оо), (отдельно в Lj) при различных предположениях на сдвиг v(t), когда A(t) и B(t) кусочно-непрерывные функции. Получено необходимое и достаточное условие базисности Рисса в Ьг(0, л) "одинарной" системы экспонент -^(()6^^ + 1)(1)61^1 V . Полученные результаты применяются к конкретным системам, в частности для системы je'01" sinntl получен окончательный результат, ас R. Приложения. Работа носит теоретический характер. Ее результаты могут быть использованы в спектральной теории разрывных дифференциальных операторов; при обосновании метода Фурье решения задач математической физики: при исследовании некоторых задач теории управления; при построении явных решений некоторых задач механики; в теории аппроксимации функций. Апробация работы. Основные результаты работы неоднократно докладывались на семинарах акад. В.Л.Ильина, чл. корр. РАН Л.В.Бицадзе, проф. Е.И.Моисеева (ВМиК МГУ); проф. Е.И.Моисеева, доц. В.В.Тихомирова (ВМиК МГУ); проф. Е.И.Моисеева, доц. И.С.Ломова (ВМиК МГУ); проф. Ю.Л.Казьмина (Мех. мат. фак. МГУ): проф. A.M. Селдеикого (МЭИ); проф. Л.А.Муравья (МАТИ). Структура н объем диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав (разбитых на параграфы) и списка литературы. Объем 212 страницы, включая 9 страниц списка литературы, содержащего 102 наименований.
=
(I)
а(1)ф"(1) + Ь{0фП(1). п>(). (2)
і 2
(5)
свойств "одинарных" систем (2), (4). Для этого сначала вводится
"двойные" системы (7) и (8). Устанавливается связь между базисными
свойствами систем (2), (4), (7) и (8). Найдено необходимое и
достаточное условие базисное системы экспонент