Введение к работе
Актуальность темы. Интерес к размерности Хаусдорфа в теории обыкновенных дифференциальных уравнений обусловлен, прежде всего, обнаружением в фазовых пространствах некоторых нелинейных систем странных аттракторов, для которых размерность является одной из количественных характеристик сложности их топологического строения. Трудности вычисления хаусдорфовой размерности, исходя непосредственно из ее определе.ния, делают актуальной задачу получения соответствующих аналитических оценок.
При исследовании систем, в которых возможно хаотическое поведение решений, возникает задача нахождения условий существования или отсутствия странных аттракторов. Достаточным условием последнего является глобальная асимптотическая устойчивость системы.
Цель работы состоит в установлении частотных оценок хаусдорфовой размерности аттракторов и условий глобальной асимптотической устойчивости систем обыкновенных дифференциальных уравнений.
Методы исследования. В работе используются: частотная теорема Якубовича—Калмана, модифицированная теорема Дуади—Оэстерле, аналог теоремы Хартмана—Олеха, результаты Ляпунова о разрешимости матричных уравнений, критерий орбитальной устойчивости Леонова, теория Флоке, теоремы Ляпунова, Перрона, Бругина о правильных и приводимых системах.
Научная новизна. В диссертации получены новые частотные условия, позволившие оценить хаусдорфову размерность аттракторов, а при некоторых дополнительных предположениях дать условия глобальной асимптотической устойчивости п-мерных нелинейных систем.
Рассмотрена одна трехмерная система, являющаяся обобщением широко известной системы Лоренца. Исследованы ее простейшие свойства. В случае единственного состояния равновесия установлена асимптотическая устойчивость в целом, доказана диссипативность, даны оценки области диссипатив-пости.
Опираясь па доказанные в диссертации частотные теоремы, получены оценки хаусдорфовой размерности аттракторов и условия глобальной асимптотической устойчивости обобщенной системы Лоренца. Как следствие этих теорем получены результаты для системы Лоренца. Проведено их сравнение с ранее известными. Показано, в частности, что они улучшают соответствующие результаты Р. Смита и Р. Темама.
Применение теорем относительно обобщенной системы Лоренца продемонстрировано также на примерах следующих
конкретных физических систем: жидкого гироскопа, вращения твердого тела в сопротивляющейся среде, конвективного движения жидкости во вращающемся эллипсоиде, взаимодействия волн в плазме. Полученные при этом результаты либо являются новыми, либо улучшают известные.
Поскольку использованный в работе подход к установлению условий глобальной устойчивости тесно связан с критерием орбитальной устойчивости Г. А. Леонова, исследуется также круг вопросов, связанных с этим критерием. В диссертации впервые доказано, что в случае периодических решений условие орбитальной асимптотической устойчивости Леонова эквивалентно хорошо известному условию Андронова—Витта.
Теоретическая и практическая ценность. Результаты диссертации могут найти применение в исследованиях многомерных нелинейных систем, в которых возможно хаотическое поведение решений, в частности, при изучении различных физических систем, сводимых к обобщенной системе Лоренца.
Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались на семинарах кафедры теоретической кибернетики математико-механического факультета ЛГУ (1984— 1990 гг.), на III Уральской конференции «Функционально-дифференциальные уравнения и их приложения» (Пермь, 1988г.).
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, двух глав и списка литературы, включающего 68 наименований, изложена «а 96 страницах машинописного текста.
Публикации. По теме диссертации опубликовано 9 рабог L1-9J.