Содержание к диссертации
Введение
Предварительные сведения 12
Теорема 6 об аналитичности кривой пузыря 22
Комплексное число вращения в параболическом случае 32
Теорема 8 о непрерывном продолжении отображения модулей до границы 47
Пересечение и самопересечение пузырей 80
Комплексное число вращения в монотонных семействах диффеоморфизмов окружности 86
Пузыри дробно-линейных отображений и их возмущения 93
Поведение комплексного числа вращения вблизи -Иоо 106
Заключение 111
Список литературы 112
- Комплексное число вращения в параболическом случае
- Теорема 8 о непрерывном продолжении отображения модулей до границы
- Пузыри дробно-линейных отображений и их возмущения
- Поведение комплексного числа вращения вблизи -Иоо
Введение к работе
1. Актуальность темы и степень разработанности проблемы
Диссертационная работа посвящена изучению комплексного числа вращения для диффеоморфизмов окружности.
Теория динамических систем с дискретным временем изучает итерации отображения /: М —> М некоторого пространства в себя. Один из самых простых примеров динамической системы — это гомеоморфизм окружности /: S1 —> S1. Изучение динамики на окружности началось с работ А. Пуанкаре; он же предложил определение числа вращения гомеоморфизма окружности.
Определение. Пусть / : R/Z —> R/Z — сохраняющий ориентацию гомеоморфизм окружности, F R —> R — его поднятие на вещественную ось. Тогда число вращения f равно
rot / = lim -(Fon(x) -х), rot / Є R/Z
п^оо Ті где предел существует и не зависит от точки X.
Как показал А. Данжуа, для С2-гладких диффеоморфизмов окружности возможны два типа поведения :
1 A. Denjoy. “Sur les courbes dfinies par les quations diffrentielles la surface du tore”. In : J. Math. Pures Appl. 9e Sr. 11 (1932), p. 333-376 .
или диффеоморфизм непрерывно сопряжен иррациональному повороту х \ч- х + а (тогда число вращения иррационально и равно а),
или диффеоморфизм имеет g-периодическую орбиту (тогда число вращения рационально со знаменателем q).
В семействах диффеоморфизмов окружности вида f -\- а число вращения rot(/ + а) непрерывно зависит от а и растет с ростом а. Оказывается, в типичном семействе такого вида (например, для f(x) = х + esin27nr) график отображения а ь-> rot(/ + а) имеет счетное число ступенек (см. рис. ), где число вращения локально постоянно и рационально. Ступеньки возникают тогда, когда / + а имеет периодическую орбиту с неединичным мультипликатором : такая орбита сохраняется при малом изменении а. Для семейств диффеоморфизмов окружности вида /є + а В. И. Арнольд предложил рассматривать множество тех параметров на плоскости Оае, которые соответствуют ступенькам на графиках а ь-> rot(/e + а) — множество { (а, є) \ rot(/e + а) Є Q/Z}, см. . Это множество носит название языки Арнольда : каждый язык { (а, є) | rot(/e + а) = p/q } растет из точки а = p/q на оси Оа.
Следующее определение предложил В.И.Арнольд в 1978 г..
Определение 1. По аналитическому диффеоморфизму окруж-
2 В. И. Арнольд. Геометрические методы в теории обыкновенных дифференциальных уравнений. 4-е изд. Москва : Издательство МЦНМО, 2012 .
rot(/ + а
І а
Рис. 1. График функции а и- rot(/ + а) для /(ж) = ж + ^- sin27ra
І Г7 1
Рис. 2. Языки Арнольда для семейства / + а, где f(x) = х + esin2ra
ности / и комплексному числу uj в верхней полуплоскости, UJ Є И, построим эллиптическую кривую — фактор-пространство кольца { z Є C/Z | 0 < Imz < Imco>} по отображению f -\- и. Модуль этой эллиптической кривой тАи) Є DH/Z называется комплексным числом вращения отображения f + ш.
F(0) + w F(x) + w -^(1) + ^
Imz = Imw
Imz = 0
0 F(0) F(x) ж 1 F(l)
Рис. 3. Конструкция Арнольда (в поднятии с C/Z на С)
Верна следующая гипотеза В. И. Арнольда (1978 г.) :
НттДгє) = rot(/), если rot(/) диофантово. (1)
Гипотеза была доказана независимо в работах Э. Рислера и В. Мол давского ; доказательство опирается на теорему Арнольда - Эр-мана - Йоккоза о выпрямлении аналитических диффеоморфизмов окружности с диофантовым числом вращения.
Вопрос о предельном поведении Tf вблизи вещественной оси, также восходящий к В. И. Арнольду, изучался в следующих работах.
3 E. RISLER. “Linarisation des perturbations holomorphes des rotations et applications”.
In : Mmoires de la S.M.F. 2e sr. 77 (1999), p. 1–102 .
4 В. С. Молдавский. “Модули эллиптических кривых и числа вращения диффеомор
физмов окружности”. В : Функц. анализ и его прил. 35.3 (2001), с. 88—91 .
Э. Рислер. Доказана аналитичность т* в верхней полуплоскости.
В.Молдавский. Независимо от Э.Рислера получено элементарное доказательство гипотезы Арнольда.
Ю. Ильяшенко и В. Молдавский. Доказано, что если диффеоморфизм / имеет рациональное число вращения и все его периодические орбиты гиперболические (имеют мультипликаторы, отличные от 1), то равенство () не выполнено; напротив, величина тАге) отделена от R/Z.
Ж. Лакруа (не опубликовано). Доказано, что если диффеоморфизм / имеет рациональное число вращения и по крайней мере одну параболическую периодическую орбиту (орбиту с мультипликатором 1), то равенство () выполнено.
Вопрос о значении предела ІіттДгє) = rot(/) для лиувилле-вого числа вращения был включен Э.Жисом в его список проблем о динамике на окружности.
5 Risler, см. сн. .
6 Молдавский, см. сн. .
7 Y. Ilyashenko and V. Moldavskis. “Morse-Smale circle diffeomorphisms and moduli of com
plex tori”. In : Moscow Mathematical Journal 3.2 (April-June 2003), pp. 531-540 .
8 . Ghys. Groups acting on the circle : a selection of open problems. Лекция на открытии
весенней школы «Groups and Dynamics» в Les Diablerets. Mar. 9, 2008. url : .
В диссертационной работе проведено полное исследование предельного поведения комплексного числа вращения вблизи вещественной оси (часть результатов получена в соавторстве с К.Бюф-фом). Доказано, что комплексное число вращения т* продолжается на вещественную ось, то есть продолжается до непрерывного отображения т* DH/Z —> DH/Z. В частности, получен ответ на вопрос Э.Жиса. Результаты исследований позволяют определить новое интересное множество тДК/Z), связанное с диффеоморфизмом окружности — «пузыри» (см. ), которое является комплексным аналогом языков Арнольда.
Определение 2. Пусть / Є R/Z — максимальный по включению интервал, для которого все отображения окружности /+ш,ш Є /, имеют гиперболические периодические орбиты и не имеют параболических орбит. В частности, rot(/+Co>) постоянно и рационально на этом интервале, rot(/ + uS) = p/q.
Тогда tJI) — пузырь, соответствующий числу вращения p/q.
В силу результатов диссертации (теорема 6), в окрестности любой внутренней точке отрезка / отображение т* аналитическое, поэтому пузырь — аналитическая кривая в верхней полуплоскости. Из теоремы 8 следует, что эта кривая начинается и заканчивается в точке p/q (пузырь растет из точки p/q).
Рассмотрим отрезок на вещественной оси, для которого f+cu
имеет постоянное рациональное число вращения p/q. Этот отрезок состоит из нескольких (возможно, одного) интервалов, внутри каждого из которых отображение f -\- и гиперболическое, а на концах которых имеет параболическую орбиту. Под действием отображения т* каждый из таких интервалов переходит в пузырь, поэтому каждому числу вращения может соответствовать несколько пузырей, растущих из точки p/q.
Множество тДК/Z) есть объединение всех пузырей и вещественной оси (в силу теоремы 8).
Рис. 4. Пузыри. Схематическое изображение множества тДК/Z).
В работе изучена геометрическая структура « пузырей», в том числе с помощью численного эксперимента : а именно, описано поведение « пузырей » вблизи вещественной оси, изучен вопрос о пересечении и самопересечении пузырей.
Наконец, мы изучаем поведение т* (со>) вдали от вещественной оси, когда мнимая часть со стремится к +оо.
Таким образом, исследования, проведённые в работе, открывают и описывают новое множество (« пузыри »), связанное с семействами диффеоморфизмов окружности. Это обстоятельство относит диссертацию к кругу актуальных исследований по теории дифференциальных уравнений и динамических систем.
2. Цель работы
Целью работы являлось всестороннее исследование комплексного числа вращения для диффеоморфизмов окружности.
3. Научная новизна работы
Все результаты диссертации являются новыми. Основные результаты заключаются в следующем.
Доказана непрерывная продолжимость комплексного числа вращения на вещественную ось. Установлена связь этого продолжения с обычным числом вращения.
Для семейства аналитических диффеоморфизмов окружности / + си введен новый объект — « пузыри », комплексный аналог языков Арнольда. Частично изучена его геометри-
ческая структура, в том числе с помощью численного эксперимента.
Часть полученных результатов обобщены на случай монотонных аналитических семейств диффеоморфизмов окружности ,> 0.
4. Теоретическая и практическая значимость работы
Работа носит теоретический характер. Введенный в работе новый объект (пузыри) может оказаться не менее интересным, чем известные языки Арнольда. Полученные результаты применимы для изучения обычного числа вращения в семействах диффеоморфизмов окружности (как уже было сделано в работе). Разработанные методы могут оказаться полезными в исследованиях по голоморфной динамике на комплексной плоскости.
5. Методы исследования
8 диссертации применяются методы комплексного анализа,
метод контроля искажений (лемма Данжуа), а также метод ква
зиконформных отображений, основанный на теореме Альфорса -
Берса о выпрямлении конформных структур.
9 Risler, см. сн. .
6. Положения, выносимые на защиту
В диссертации доказаны следующие теоремы.
Комплексное число вращения т* непрерывно продолжается на вещественную ось, то есть продолжается до непрерывного отображения т*- DH/Z —> DH/Z.
Образ вещественной оси тДК/Z) состоит из вещественной оси и пузырей (см. определение ). Каждый из пузырей, соответствующих числу вращения p/q, — аналитическая кривая в верхней полуплоскости, которая начинается и заканчивается в точке p/q.
Отображение тАи) может не быть инъективным в верхней полуплоскости. Пузыри могут пересекаться и самопересекаться.
Конструкция комплексного числа вращения, первоначально определенная для семейства диффеоморфизмов / + со>, обобщается на случай произвольных монотонных аналитических семейств диффеоморфизмов окружности fU},Q> 0; результаты о непрерывности комплексного числа вращения вплоть до вещественной оси и об аналитичности кривой пузыря обобщаются на этот случай.
7. Апробация результатов
Результаты работы докладывались на следующих конференциях и семинарах.
На конференциях
Международная конференция «Holomorphic foliations and complex dynamics» (Москва, Россия), июнь 2012 г., доклад « Complex rotation numbers ».
Конференция ESF «Algebraic Methods in Dynamical Systems » (Бедлево, Польша), май 2010 г., постер «The rotation number and the moduli of elliptic curves ».
На семинарах
Коллоквиум Oliver club, Cornell University, Итака (США), октябрь 2015.
Семинар «Динамические системы» (Ю.С.Ильяшенко), МГУ, несколько докладов в разные годы (2010–2015).
Семинар «Римановы поверхности, алгебры Ли и математическая физика» (С.М.Натанзон, О.В.Шварцман, О.К.Шей-нман), Москва, Независимый московский университет, ноябрь 2014 и ноябрь 2012 г.
« Seminario de foliaciones y singularidades », UNAM, Instituto de Matemticas, Мехико, февраль 2014.
Еженедельный семинар лаборатории алгебраической геометрии, Москва, Высшая школа экономики, апрель 2012.
Семинар по многомерному комплексному анализу (семинар Витушкина), Москва, МГУ, март 2012.
Семинар отдела дифференциальных уравнений, Москва, Математический институт им. В.А.Стеклова, апрель 2011 и апрель 2010.
Sminaire l’UMPA de gomtrie et dynamique, ENS Lyon (Франция), апрель 2011 и февраль 2010.
8. Структура и объем диссертации
Комплексное число вращения в параболическом случае
Доказано, что если диффеоморфизм / имеет рациональное число вращения и по крайней мере одну параболическую периодическую орбиту (орбиту с мультипликатором 1), то равенство (1) выполнено.
Вопрос о значении предела lim rf(ie) = rot(/) для лиувиллевого чис-ла вращения был включен Э.Жисом в его список проблем о динамике на окружности[3].
В диссертационной работе проведено полное исследование предельного поведения комплексного числа вращения вблизи вещественной оси (часть результатов получена в соавторстве с К.Бюффом). Доказано, что комплексное число вращения т продолжается на вещественную ось, то есть продолжается до непрерывного отображения т - DH/Z — DH/Z. В частности, получен ответ на вопрос Э.Жиса. Результаты исследований позволяют определить новое интересное множество TJ-([R/Z), связанное с диффеоморфизмом окружности — «пузыри» (см. рис. 4), которое является комплексным аналогом языков Арнольда.
Определение 2. Пусть / Є R/Z — максимальный по включению интервал, для которого все отображения окружности / + Со , си Є /, имеют гиперболические периодические орбиты и не имеют параболических орбит. В частности, rot(/ + LO) постоянно и рационально на этом интервале, rot(/ + LO) = p/q. Тогда TJI) — пузырь, соответствующий числу вращения p/q.
В силу результатов диссертации (теорема 6), в окрестности любой внутренней точке отрезка / отображение т аналитическое, поэтому пузырь — аналитическая кривая в верхней полуплоскости. Из теоремы 8 следует, что эта кривая начинается и заканчивается в точке p/q (пузырь растет из точки p/q).
Рассмотрим отрезок на вещественной оси, для которого f -\- и имеет постоянное рациональное число вращения p/q. Этот отрезок состоит из нескольких (возможно, одного) интервалов, внутри каждого из которых отображение /+Со гиперболическое, а на концах которых имеет параболическую орбиту. Под действием отображения т каждый из таких интервалов переходит в пузырь, поэтому каждому числу вращения может соответствовать несколько пузырей, растущих из точки p/q.
Множество тДК/Z) есть объединение всех пузырей и вещественной оси (в силу теоремы 8). В работе изучена геометрическая структура «пузырей», в том числе с помощью численного эксперимента: а именно, описано поведение «пузырей» вблизи вещественной оси, изучен вопрос о пересечении и самопересечении пузырей. Рис. 4: Пузыри. Схематическое изображение множества fJR/Ж).
Наконец, мы изучаем поведение тАш) вдали от вещественной оси, когда мнимая часть си стремится к +оо.
Таким образом, исследования, проведённые в работе, открывают и описывают новое множество («пузыри»), связанное с семействами диффеоморфизмов окружности. Это обстоятельство относит диссертацию к кругу актуальных исследований по теории дифференциальных уравнений и динамических систем.
Целью работы являлось всестороннее исследование комплексного числа вращения для диффеоморфизмов окружности. Все результаты диссертации являются новыми. Основные результаты заключаются в следующем. Доказана непрерывная продолжимость комплексного числа вращения на вещественную ось. Установлена связь этого продолжения с обычным числом вращения. Для семейства аналитических диффеоморфизмов окружности f -\- и введен новый объект — «пузыри», комплексный аналог языков Арнольда. Частично изучена его геометрическая структура, в том числе с помощью численного эксперимента. Часть полученных результатов обобщены на случай монотонных аналитических семейств диффеоморфизмов окружности ,-J- 0. 1.4. Теоретическая и практическая значимость работы Работа носит теоретический характер. Введенный в работе новый объект (пузыри) может оказаться не менее интересным, чем известные языки Арнольда. Полученные результаты применимы для изучения обычного числа вращения в семействах диффеоморфизмов окружности (как уже было сделано в работе [7]). Разработанные методы могут оказаться полезными в исследованиях по голоморфной динамике на комплексной плоскости.
Теорема 8 о непрерывном продолжении отображения модулей до границы
Мы докажем, что при фиксированном а + ш кривую 7 можно выбрать настолько близкой к вещественной оси, что эллиптическая кривая Арнольда будет совпадать с эллиптической кривой Бюффа.
Напомним, что эллиптическая кривая Арнольда получена факторизацией полосы П = {— є Imz а + є} по двум голоморфным отображениям: сдвигу z z + 1 и отображению F + a + ia. Здесь є — достаточно маленькое число, зависящее от а + iot.
Пусть кривая 7 удовлетворяет требованиям 1—5 из п. 3.1 для числа а + ioi, причем она настолько близка к вещественной оси, что 7 П, (7) + А + шєП. Тогда фактормножество полосы П по действию сдвига z ь- z+ 1 и отображения F + а + ш является одновременно и кривой Арнольда, и кривой Бюффа. В частности, для такой кривой выполнено равенство Тр(7, їси) = TF(ia). (4) Заметим, что кривая 7 зависит от а, и естественно ожидать, что при малых а она должна быть близка к вещественной оси. В лемме 17 будет построено семейство кривых 7f Эти кривые непрерывно зависят от параметра t Є (О, т] и стремятся к вещественной оси при t — 0, а эллиптические кривые Бюффа (Вр , ЇСУ) определены при всех а О (в том числе определены кривые (p(7j,0)). По лемме 18 в таком семействе модули Бюффа не зависят от выбора кривой: 7 (7t А) — TF Cit , ш) для любых tXl t2 Є (0, т].
В качестве кривой 7 в равенстве (4) возьмем кривую tia) из семейства 7І, достаточно близкую к вещественной прямой.
Получим, что для достаточно малых а О и любого значения t0 Є (О, т] В лемме 16 мы покажем, что отображение модулей тр голоморфно в верхней полуплоскости, а отображение ч (7, ) — вблизи каждой точки своей области определения. Итак, функция 4 (7t , ) определена (а значит, голоморфна) в нуле и совпадает с отображением модулей тр на вертикальном интервале (0, is). Следовательно, она является аналитическим продолжением функции Тр в некоторую окрестность нуля. Теорема доказана.
Замечание 14. Значение предела lim тр(іа) = 4 (7t , 0) — модуль эллиптиче а— 0 ской кривой р(7г 50), а значит, лежит в верхней полуплоскости. Это дает еще одно доказательство теоремы Ильяшенко—Молдавского (см. Введение, теорема 5).
При доказательстве теоремы 6 мы использовали утверждение о голоморфности отображения модулей. Оно следует из теоремы Рислера (см. [7, гл. 2, предложение 2]). Теорема 15 ([7]). Пусть Fx — семейство аналитических отображений, аналитически зависящих от А и определенных в окрестности вещественной оси, причем Fx(z + 1) = Fx(z) + 1. Пусть кривая 7 инвариантна относительно целочисленных сдвигов, а ее образ под действием Fx лежит выше нее. Факторизуем окрестность криволинейной полосы Их, заключенной между 7 и л(7), - \, по отображениям Fx и z ь- z + 1. Тогда модуль полученной эллиптической кривой тх, а также униформизующее отображение для этой кривой ФА : ПА — С, Фл о F{z) = Фд( ) + тл, Фд(2 + 1) = A(Z) + 1 А(О) = О аналитически зависят от А.
Ясно, что конструкция Арнольда и конструкция Бюффа являются частными случаями описанной конструкции. Заметим, что свойства 1-5 в определении эллиптической кривой Бюффа р(75 а + а) сохраняются при малом изменении а + ш. Значит, если кривая Бюффа определена для некоторого числа а + га, то она определена и для его окрестности. Поэтому из теоремы Рислера мы получаем такое следствие:
Предложение 16 (Голоморфность отображения модулей). Значение TF(a+ ia) голоморфно зависит от а + ia. Для любой кривой 7 значение Тр(7, а + ia) голоморфно зависит от a + ia в любой точке, в которой определено. В следующей лемме мы построим семейство кривых 7t, стремящихся к вещественной оси, для которых эллиптическая кривая Бюффа определена. Лемма 17. Пусть f — гиперболическое отображение окружности, аF — его поднятие на вещественную ось. Рассмотрим полосу П = { z \ —є Imz є } в которую аналитически продолжается отображение F. Тогда существует семейство кривых t, t Є (0, т], на плоскости, обладающее следующими свойствами: Если число є взято достаточно маленьким, то точки уі близки к точкам Р(уі) (но сдвинуты в сторону репеллеров: уі Є (f(yi_1),Rj)). Тогда d(y1, A\) d(f(yq_i),A\), т.е. равенство (5) выполнено и для і = 1. Действительно, d(y1,A\) d(fq(y1), A\), а расстояние d(f(y 1),fq(y1)) мало. Все прообразы 7Y 1(yi) включим в искомый набор {х{\ и проведем аналогичную процедуру для всех пар соседних периодических орбит отображения /. Набор {х } = 7t П R построен. Построим систему карт в окрестности вещественной прямой, в которых отображение F линейно.
Пусть {b\,... ,Ьу} — периодическая орбита отображения / с мультипликатором Л. Тогда (Fq — к)(J)}) = bj для некоторого целого числа к. В окрестности точки Ъ\ Є R рассмотрим аналитическую карту zbi, которая линеаризует отображение Fq — к и сохраняет вещественную ось. Такая карта существует по классической теореме Шрёдера—Кёнига (см. [9], [8], [6], а современное доказательство см. в [17, гл. 1, разд. 5D]). В окрестностях точек Ъ\ + та, п Є Z, возьмем карты, отличающиеся от zbi сдвигом на п.
В окрестностях точек bj -\- І, і ф 1, возьмем такие карты zbi, чтобы отображение F в картах zb\ (в прообразе) и zb\ (в образе) действовало умножением на уЛ. Тогда отображение F в картах zbi (в прообразе) и zbi (в образе) тоже будет действовать умножением на уЛ. Такое построение проведем для всех периодических орбит отображения /. Распространим каждую карту zbi из окрестности периодической точки в окрестность отрезка веще-ственной прямой, пользуясь итерациями отображения Fq — &;, так, чтобы в точках из набора {а } соседние карты перекрывались.
Пузыри дробно-линейных отображений и их возмущения
Найдем предел /0 = Нт/ . Для этого выберем число (3 О так, чтобы поле v голоморфно продолжалось в полосу 0 lm z (3 и в ее замыкании не имело других нулей, кроме нулей на вещественной прямой. Рассмотрим контур 7, обходящий границу прямоугольника Do = {0 lm z f3, О Rez 1} против часовой стрелки. Для 0 а (3 положим La := J v/ z+ia .
С одной стороны, в силу 1-периодичности v интеграл La представляется в виде разности интегралов вдоль верхней и нижней сторон прямоугольника: La = Ia — Ja, где Ja = J , Q\,- . С другой стороны, его можно посчитать как сумму вычетов функции , У. в прямоугольнике Do. Предел J0 = lim Ja равен интегралу J , -в\, т.е. некоторому конечному комплексному числу. Оценим интеграл La. Вблизи каждой гиперболической особой точки поля v есть одна особая точка поля v(z) + iot. При а — 0 вычеты функции l/(v(z) + ia) в этих ее полюсах стремятся к вычетам функции l/v(z) в соответствующих особых точках поля v, т.е. к конечным комплексным числам.
При малых а вблизи параболической точки 6 поля v, v(z) = AAz — bj)Pj + , находятся p нулей поля v(z) + ia. В прямоугольник Dg попадают те из них, которые лежат в верхней полуплоскости. Такой нуль имеет вид w = 6„-+єо;1 (1 + о(1)), где є — один из корнейр-й степени из —г/Ал. Вычет функции l/(v(z) + ia) в точке гу равен
Если точка w лежит в верхней полуплоскости, то при достаточно малом а соответствующий корень є тоже лежит в верхней полуплоскости. Значит, вещественная часть вычета отрицательна при малых а и стремится к бесконечности, когда а стремится к 0. Следовательно, сумма этих вычетов стремится к бесконечности и La тоже стремится к бесконечности. Предел J0 Є С конечен, значит, 1а = Ja + La стремится к бесконечности.
Доказательства лемм для этого случая во многом повторяют доказательства из п. 4.3. Сведение к случаю псевдовключаемого диффеоморфизма Определение псевдовключаемого диффеоморфизма дано в п. 4.1. Лемма 30. Любой аналитический диффеоморфизм окружности f с числом вращения p/q липшицево сопряжен псевдовключаемому диффеоморфизму g = g\ + p/q.
Доказательство. Сначала докажем, что если в условиях леммы для некоторого диффеоморфизма g отображения fq и gq липшицево сопряжены, то / и g также липшицево сопряжены.
Пусть h — отображение, сопрягающее fq и/. Построим сопряжение h между fиg. Фиксируем произвольную дугу L между соседними неподвижными точками отображения fq. На этой дуге положим h = h. На образах этой дуги под действием F определим h таким образом:
Если определено еще не на всех дугах, соединяющих неподвижные точки диффеоморфизма , берем любую из оставшихся дуг и повторяем ту же операцию.
Построенное таким образом отображение будет сопрягать отображения и — это следует из равенства (6). Если отображения и -1 были липшицевыми, то отображения и -1 тоже будут липшицевыми.
Теперь докажем, что отображения и липшицево сопряжены для некоторого псевдовключаемого диффеоморфизма = 1+/. Пусть у отображения есть периодических орбит длины . Легко убедиться, что точки этих орбит упорядочены на окружности так же, как корни -й степени из 1 под действием поворота на /.
Рассмотрим аналитическое поле на окружности, обладающее следующими свойствами: Особыми точками поля являются корни -й степени из 1. Поставим их в биективное соответствие периодическим точкам отображения , сохранив их порядок на окружности. Собственные значения поля в особых точках равны 1ln, где — мультипликаторы соответствующих орбит отображения . В точках, соответствующих параболическим орбитам отображения , поле имеет тот же порядок касания с 0, что — c тождественным отображением.
Усредним поле по действию поворота на 1/. Получим 1/-периодическое поле с такими же мультипликаторами в особых гиперболических точках и тем же порядком касания в параболических.
Отображения и = (1 + /) = (1) на дугах, соединяющих неподвижные точки, удовлетворяют условиям леммы 25. Значит, они липши цево сопряжены. Отсюда следует, что отображения / и д тоже липшицево сопряжены. Следствие 31. Пусть диффеоморфизм окружности g удовлетворяет условиям леммы 30. Пусть Eia = E(Gia) — эллиптическая кривая, построенная с помощью конструкции Арнольда по отображению д. Тогда существует квазиконформный гомеоморфизм между эллиптическими кривыми Eia и Eia, отклонение которого равномерно ограничено по а.
Доказательство. Это следует из предыдущей леммы и леммы 22. Семейство эллиптических кривых Sia и его свойства Конструкция эллиптических кривых Sia. Пусть f = gl + p/q псев-довключаемый диффеоморфизм окружности. Поднимем поле v до 1-периодичесі поля на всей прямой и аналитически продолжим его в некоторую полосу О Im z f3. Полученное поле мы тоже будем обозначать через v. При а f3 рассмотрим криволинейную полосу, заключенную между R и gl+ia(R) +р/а; обозначим через Sia эллиптическую кривую, полученную факторизацией окрестности этой полосы по отображениям z \- z -\- 1 ИЖИ 9І+іа(.Х) + РЫ Лемма 32. При любом достаточно малом а существует квазиконформное отображение ha из Еіа в Sia, отклонение которого равномерно ограничено по а.
Поведение комплексного числа вращения вблизи -Иоо
Теорема (Самопересекающийсяпузырь). Существует аналитический диффеоморфизм окружности f, для которого нулевой пузырь самопересекается (возможно, самокасается). и теорема 10: Теорема (Пересечение пузырей). Для каждого рационального числа p/q существует аналитический диффеоморфизм окружности f, для которого нулевой и p/q-й пузырь имеют общую точку. Для начала установим следующее вспомогательное утверждение. Предложение 53. Для любого натурального числа т и любой точки т Є И/Ж существует аналитический диффеоморфизм окружности f с нулевым числом вращения и 2т гиперболическими неподвижными точками, для которого тДО) (модуль кривой Бюффа (f)) равен т.
Доказательство основано на следующем наблюдении. Эллиптическая кривая (f) есть результат склейки колец А, модули которых равны , l m ,. Склейка производится по отображениям перехода между линеаризующими картами особых точек. Таким образом, ((/) восстанавливается по модулям аналитической классификации диффеоморфизма /: мультипликаторам особых точек и отображениям перехода между линеаризующими картами соседних особых точек.
Мы будем действовать в обратном порядке: разрежем эллиптическую кривую С/(1, т) на кольца, которые впоследствии превратятся в А , и выясним, по каким отображениям (в выпрямляющих картах для этих колец) их нужно склеивать. Так мы восстановим набор модулей аналитической классификации для отображения /, апо ним построим и само отображение /.
Доказательство. Рассмотрим эллиптическую кривую Т = С/(1,т) с обра зующими 1,т. Рассмотрим произвольный набор из 2га замкнутых кривых 7j С т, идущих вдоль второй образующей TR/ТЖ. Сейчас мы построим диффеоморфизм /, для которого существует биголоморфное отображение из (/) в т, причём проекция вещественной оси на (/), состоящая из 2га замкнутых кривых, перейдет в J л Z т. Для этого разрежем т по 7j- Мы получим кольца Аъ А2, ..., Л2т, идущие вдоль второй образующей; пусть mod A2k_x = тт—, mod A2k = — —, где P2k-i 1 P2k- Каждое такое кольцо можно биголоморфно отобразить в кольцо {z Є С 0 Im(±z) 7r}/{z z + \ogpk}, а затем отображение ехр переведёт его в кольцо Ал = (Н \ {0})/{z PjZ]. Возникает отображение Ф; : Aj - Aj, где Ал = (Н \ {0})/{z ь- PjZ] для нечётных j Ал = (Н \ {0})/{z ь- p?z} для чётных j. Выберем поднятия отображений Ф до отображений Ф : А „ — И \ {0}. Каждое отображение Ф аналитично в окрестности кольца Ал, так как граничные окружности кольца Ал аналитические.
У нас возникают отображения переклейки ipj.j+i R+ — К-, ПрИЧЄМ 1pj.j+1(PjZ) = Pj+11pj.j+1(z). На каждом кольце Ал будет кривая 5л = Ф„-(К/Ж); после склейки эти кривые склеиваются в одну. Пусть 5 = Ф (1R/Z), и точки r„, s„ — левый и Рис. 19: Построение отображения / для т = 1. Пунктиром обозначены кривые 77 и их образы при биголоморфизмах, жирным обозначена кривая [R/Z Є Т и её образы при биголоморфизмах. правый конец кривой
Чтобы построить /, возьмём набор из 2тп копий вещественной оси и склеим по аналитическим отображениям ф--+1. Получится абстрактное вещественно-аналитическое многообразие, гомеоморфное окружности. Как известно, любое вещественно-аналитическое многообразие, гомеоморфное окружности, вещественно-аналитически эквивалентно окружности [R/Z. Зна 83 чит, существует набор вещественно-аналитических отображений 1р : R — R/Z, для которых ijjj.j+i = ір7Іі0,ф; в силу равенства -0- +1(pz) = Pj+itpj.j+i(z), отображения tpjpjtpj1 )) определяют один аналитический диффеоморфизм / на окружности R/Z.
Докажем, что отображение / искомое. Диффеоморфизм / имеет 2т неподвижных точек — это точки ipj(0); отображения -0- есть их линеаризующие карты. Продолжим их в комплексную область. В качестве кривой 7, необходимой для конструкции Бюффа, возьмем кривую, проходящую через точки ipJsj), ipj(r,j) и лежащую в объединении областей определения i\j l. Пусть U С C/Z — окрестность криволинейного кольца между 7 и f{l).
Тогда под действием набора отображений i\) l проекции на (/) ком понент связности пересечений U Г\ (DH+/Z), U Г\ (DH /Z) переходят в поднятия колец Ал. Участки кривой 7 перейдут в кривые, гомотопные 5; (при гомо топии с фиксированными концами). Тождественные склейки превратятся в ipj.j+i. Поэтому кривая ((/) биголоморфно эквивалентна Т: биголомор физм задают отображения Ф"1 о tpj1. Кривая 7 при этом биголоморфизме переходит в кривую, гомотопную первой образующей тора т, а всякий от резок вещественной оси между z Є 7 П R/Z и f(z) — в кривую, гомотопную второй образующей. Итак, тДО) = т.
Доказательство теоремы 9 о самопересечении пузырей. Идея доказательства очень проста: мы докажем, что в семействе / + Со может дважды встретиться одно и то же (с точностью до аналитического сопряжения) отображение окружности.
Пусть jx и f2 — два северо-южных отображения окружности, которые отличаются аналитическим сопряжением. Рассмотрим отображение fif 1.
Допустим, i"ot(/1/2 1) =: ш диофантово. Тогда по теореме Арнольда—Эр-мана—Йоккоза fif 1 является поворотом в некоторой карте: найдется ана 84 литический диффеоморфизм g, для которого (д fi9 l 9 Ї21 9 l)(z) = 9{fifel)9 l{z) = Z + LO Положим f12 = gf\ 29 l Тогда f\f2 1(z) = z+u. Поэтому fi(z) = f2(z)JrUJ. С другой стороны, jx и f2 сопряжены, поэтому по замечанию 45 соответствующие эллиптические кривые Бюффа имеют одинаковый модуль: г? (0) = Т7 (0). Значит, в семействе f\-\-uJ нулевой пузырь будет самопересекаться или самокасаться в точке т? (0) = т? (си) = т? (0), что и требовалось. Осталось подобрать сопряженные отображения jx, f2, чтобы число вращения i"ot(/1/2 1) было диофантово. Фиксируем северо-южное отображение
/і3 и ПУСТЬ І2 = ho fi h l Сначала добьемся, чтобы i"ot(/1/2 1) принимало значение 1/2. Пусть fi(a) = 6, /і (с) = (і. Выберем /і так, чтобы отображение f2l удовлетворяло равенствам f2l(b) = с и f21(d) = а; этого всегда можно достичь для североюжных отображений. Тогда i"ot(/1/2 1) = 1/2? так как орбита точки d имеет период 2.
Теперь построим непрерывное семейство аналитических диффеоморфизмов ЇЇ, соединяющее h и id: ЇЇ = id и ЇЇ = /і. Так как число вращения отображения f\ (ЇЇ fx (ЇЇ) 1) 1 непрерывно зависит от параметра t и меняется от rot(/1/] 1) = rot(i i) = 0 до 1/2, для какого-то значения параметра оно будет диофантовым, что и требовалось.
Доказательство теоремы 10 о пересечении разных пузырей. Доказательство аналогично доказательству предыдущей теоремы. Возьмем гиперболическое отображение окружности f2 с числом вращения p/q, имеющее 2q периодических точек. Пользуясь предложением 53, построим отображение fl с нулевым числом вращения, имеющее 2q неподвижных точек, для которого