Введение к работе
Актуальность темы. Исследования, имеющие целью различные обобщения и применения теории аналитических функций одного комплексного переменного встречаются у многих авторов (Д Гильберт, Т. Карлеман, И.Г. Петровский и др.). Наиболее существенные из них, естественным образом, связаны с узловыми вопросами анализа, геометрии и механики.
В основополагающих работах М.А.Лаврентьева, И.Н.Векуа, Л.Берса, Ф.Д.Гахова, Б.В.Боярского, В.С.Виноградова и их последователей обобщены многие геометрические и аналитические свойства решений уравнений Коши-Гимана на весьма широкий класс линейных и нелинейных уравнений эллиптического типа на плоскости. Глубокие результаты впервые были получены в исследованиях М.А.Лаврентьева по квазиконформным отображениям, которые связаны также с задачами газовой динамики. К этому кругу проблем относятся обобщения на решения линейных равномерно эллиптических систем уравнений
Wz - qi{z)wz - q2{z)wz + a(z)w + b(z)w = f(z), (1)
где \qi{z)\ + \q2{z)\ < qo < 1.
Полная теория систем уравнений (1), когда q\ = q2 = 0 и коэффициенты принадлежат классу Lp, р > 2, построена И.Н.Векуа и Л.Берсом, которая известна под названием теории обобщенных аналитических функций.
В работах Л.Берса и Л.Ниренберга, Б.В.Боярского перенесены ряд важных свойств аналитических функций на решения уравнения (1).
Теория обобщенных аналитических функций и теория решений уравнения (1) получили дальнейшее развитие и нашли многочисленные приложения в работах В.С.Виноградова, Б.В.Боярского, И.И.Данилюка, А.Д.Джураева, В.Н.Монахова, С.НАнтонцева, Л.Г.Михайлова, З.Д.Усманова, Н.К.Блиева, и др. В работах перечисленных авторов изучены краевые задачи Гильберта, а также задачи Гимана. Установлена нетеровость этих краевых задач и получены формулы индекса. Краевые задачи в ограниченных областях для эллиптических уравнений, а также для уравнений с эллиптическими псевдодифференциальными операторами на компактном многообразии являются нетеровыми. Свойства нетеровости краевых задач в неограниченных областях для уравнения (1) сохраняется, если коэффициенты принадлежат классу LPj2(C)^ р > 2 ( множеству функций f{z) таких, что f{z) и \z\~2f{-) Є p(|z| < 1))- Если в неограниченных областях от коэффициентов уравнения (1) и многомерных эллиптических систем, состоящих из 2п уравнений (п > 1)
w, + Q(z)wz + A(z)w + B(z)w = f, (2)
где собственные значения матрицы Q(z) лежат внутри единичного круга, не потребовать условия суммируемости, то свойство нетеровости краевых задач
не сохраняется. Этот вопрос для систем (1) и (2) равносилен (даже для их разрешимости в целом) справедливости или несправедливости теоремы Лиувилля. И.Н.Векуа было замечено, что если коэффициенты однородного уравнения (1) не принадлежат классу Ьр^7 то пространство ограниченных решений уравнения (1) может быть, как нулевым, так и конечномерным или бесконечномерным. В случае постоянных коэффициентов нарушение теоремы Лиувилля было указано В.С.Виноградовым. В этом случае пространство ограниченных решений уравнения (1) всегда конечномерно, а для системы (2) может быть и бесконечномерным. В.С.Виноградовым найдено необходимое и достаточное условие тривиальности, конечномерности и бесконечномерности пространства решений степенного роста для однородной системы (2) и дан алгоритм получения решений.
Изучение вопроса разрешимости и распространения свойств аналитических функций, а также связанные с ними краевые задачи для систем уравнений (2) изучались в работах А.Дугласа, Б.В.Боярского, А.И.Вольперта, В.С.Виноградова, А.П.Солдатова, Б.Гольдшмидта, Р.Гильберта, И.В.Вендланда, В.Н.Монахова, С.И.Антонцева, А.Д.Джураева, Э.Мухаммадиева, С.Байзаева и др.
Обобщенные аналитические функции с сингулярными коэффициентами впервые изучал Л.Г.Михайлов , который перенес многие свойства аналитических функций на этот случай. В монографии Н.К.Блиева изучены уравнения обобщенных аналитических функций, когда коэффициенты принадлежат пространству Бесова B^^G), 1 < р < 2, а = (2 — р)/р.
В связи с этим важным становится изучение задач о нахождении ограниченных, в том числе, двоякопериодических решений для эллиптических систем первого порядка на плоскости. На важность изучения таких задач впервые указал В.С.Виноградов.
В монографии Л.Берса, Ф.Джона, М.Шехтера рассматривается специальная краевая задача, в которой требуется найти периодическое решение эллиптического дифференциального уравнения высокого порядка. Исследование проводится в гильбертовом пространстве Щ, t > 0. Функциональными методами вопросы о разрешимости сводятся к известной теореме Фредгольма-Рисса-Шаудера об уравнениях в гильбертовом пространстве и доказывается фредгольмовость задачи. Э.Мухаммадиевым изучались вопросы разрешимости и фредгольмовости эллиптических уравнений в пространствах периодических функций, заданных во всем пространстве.
Уравнения обобщенных аналитических функций на замкнутой римановой поверхности (рода больше двух) изучены в работах Родина Ю.Л. Даны формулы представления решений и получены аналоги теоремы Абеля и Римана-Роха. Задача существования обобщенных аналитических автоморфных функций методами краевой задачи Карлемана исследована Показеевым В.И. Им
же получены первые формулы представления решений через автоморфные функции и изучены задачи нахождения двоякопериодических обобщенных аналитических функций. Аналогичные представления решений для конечной области, на поверхностях более общих, чем риманова поверхность, получены Дани люком И. И.
В работе С.Байзаева для эллиптических систем первого порядка изучался вопрос об ограниченности решений (в том числе периодических) на всей плоскости. В случае линейных систем исследованы вопросы нормальной разрешимости, нетеровости, вычисления индекса задачи об ограниченных решениях в гельдеровых пространствах. Найдены признаки существования ограниченных на всей плоскости периодических решений квазилинейных эллиптических систем первого порядка с главной положительной однородной правой частью.
Задача нахождения двоякопериодических решений эквивалентна задаче нахождения решений на комплексном торе. Для системы (1) задача нахождения двоякопериодических решений является естественным развитием теории эллиптических функций.
Теория эллиптических функций создана в основном в XIX столетии совместными усилиями крупнейших математиков: И.Абелем, К.Якоби, Ж.Лиувиллем, К.Вейерштрассом. Эллиптические функции, как обращение эллиптических интегралов встречаются во многих задачах механики твердого тела, аэродинамики, электростатики, теория упругости и др. Теоретически более простое построение эллиптических функций с применением теории аналитических функций дано Вейерштрассом. Для описания таких функций он ввел функции ((z) -дзета, a(z)-сигма, p(z)-ue. В качестве образующих поля эллиптических функций можно взять ри р'.
В связи с вышесказанным весьма актуальным является разработка методов исследования эллиптических систем первого порядка в классах двоякопериодических функций, что является естественным развитием методов теории обобщенных аналитических функции И.Н.Векуа и теории эллиптических функций Вейерштрасса, когда коэффициенты системы принадлежат пространству Lp, р > 2.
Цель работы. Для эллиптических систем первого порядка (1) исследовать проблему построения теории двоякопериодических решений. Для уравнения обобщенных аналитических функций и более общей системы (1) с помощью эллиптических функций Вейерштрасса ставится задача построения двоякопериодических решений с заданными полюсами, а также с заданными нулями и полюсами. Нахождение приложения двоякопериодических обобщенных аналитических функций к многомерным эллиптическим системам и нелинейным уравнениям.
Методы исследования. В работе применяется и развивается аппарат, разработанный на базе эллиптических функций Вейерштрасса, который яв-
ляется естественным развитием методов теории обобщенных аналитических функций, основанный на соотношениях и формулах, связывающих класс дво-якопериодических решений рассматриваемых эллиптических систем с классом эллиптических функций второго рода. Научная новизна.
Получены интегральные представления двоякопериодических функций первого и второго рода в функциональных пространствах Wp, р > 2, через дзета и сигма функции Вейерштрасса и изучаются основные свойства получаемых интегральных операторов в Lp, р > 2.
Доказана фредгольмовость задачи нахождения двоякопериодических решений системы (1), (2) в классе VK1, р > 2, когда коэффициенты принадлежать пространству Lp, р > 2.
Для решения однородного уравнения обобщенных аналитических функций установлены аналог первой формулы представления и ее обращения, связывающие класс двоякопериодических обобщенных аналитических функций с классом эллиптических функций второго рода. Даны условия существования и формулы построения двоякопериодических обобщенных аналитических функций с заданными полюсами, а так же с заданными нулями и полюсами.
Для неоднородного уравнения обобщенных аналитических функций найдены условия на коэффициенты при выполнении которых, в одном случае оно допускает решение при любой правой части, а в другом случае найдены условия разрешимости для правой части уравнения. В каждом случае даны описания ядра и коядра задачи.
Построен некоторый квазипериодический гомеоморфизм уравнения Бель-трами, который на своей плоскости обеспечивает существование эллиптических функций Вейерштрасса. Найдены условия существования двоякопериодических решений уравнения Бельтрами и построены эти решения.
Для системы (1) установлены аналоги формулы представления Б.В.Боярского, Л.Берса и Л.Ниренберга, связывающие класс двоякопериодических решений системы с классом эллиптических функций второго рода на плоскости квазипериодического гомеоморфизма уравнения Бельтрами. В некоторых частных случаях системы (1) найдены необходимые и достаточные условия разрешимости и полностью описаны ядра и коядра задачи. Для системы (1) общего вида указаны два способа получения двоякопериодических решений.
Исследована задача нахождения двоякопериодических по каждому переменному (при фиксировании остальных) решений для переопределенной системы уравнений обобщенных аналитических функций со многими комплексными переменными. Даются приложения двоякопериодических
обобщенных аналитических функций и полностью описаны ядро и коядро задачи. Найдены применения двоякопериодических обобщенных аналитических функций к описанию ядра и коядра задачи нахождения двоякопериодических решений для некоторых классов эллиптических систем вида (2) и эллиптических систем второго порядка, а также для нелинейных уравнений.
Теоретическая и практическая значимость. В работе построена теория двоякопериодических обобщенных аналитических функций и решений системы (1), представляющая собой существенное расширение классической теории эллиптических функций, но вместе с тем сохраняющая ее основные характерные черты. Разработан аналитический аппарат на базе теории эллиптических функций Вейерштрасса, который применяется к исследованию квазилинейных равномерно эллиптических систем вида (1), эллиптических систем второго порядка на плоскости (линейных и нелинейных).
Прикладное и теоретическое значение самих эллиптических функций и системы уравнения (1) могут определять применения полученных результатов к задачам анализа, геометрии и механики.
Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на заседаниях семинара Института математики АН РТ, на семинаре отдела уравнений с частными производными АН РТ (рук. академик АН РТ А.Д.Джураев, 1981-2000г.), на семинаре отдела уравнений математической физики АН РТ (рук. академик АН РТ Л.Г. Михайлов) на семинаре отдела уравнений в частных производных МИРАН им. ВА.Стеклова (1977-199ІГ рук. чл. корр. РАН А.В.Бицадзе), на семинаре кафедры теория функции и математического анализа ТНУ (рук. академик АН РТ Н.Р.Раджабов), на семинаре кафедры математического анализа МГУ им. М.В.Ломоносова (рук. проф. А.И.Прилепко, 2009), на семинаре кафедры Высщей математики Вологодского государственного технического университета (рук. проф. Э.М.Мухамадиев, 2009), на семинаре кафедры математического анализа Курган-Тюбинского госуниверситета, на международной конференции "Обобщенные функции и приложения в математической физике", Москва, 1981г., на республиканской научной конференций по математической физике Душанбе, 1983г., на всесоюзной конференции по теории и приложениям функционально-дифференциальных уравнений (Душанбе, 1987г), на школе-семинаре "Актуальные вопросы комплексного анализа" (Ташкент, 1989г.), на конференции "Нелинейные проблемы дифференциальных уравнений и математической физики" - вторые Боголюбовские чтения (Душанбе, 1992г.), на международной конференции "Нелинейные уравнения математической физики и их приложения" (Киев, 1996г.), на международной конференции "Современные проблемы математики, механики и их приложений", посвященной 70-летию ректора МГУ академика ВА.Садовничего
(Москва, 2009г.), на ряде международных и республиканских конференциях по дифференциальным уравнениям и теории функции, проводившиеся в Таджикистане (1997, 1998, 2000, 2003, 2005, 2006, 2007, 2008, 2009, 2010).
Публикации. По теме диссертации опубликованы около 38 работ. Основные результаты диссертации содержатся в 28 работах, список которых приведены в конце автореферата. Из работ, написанных совместно с И.В.Показеевым, в диссертации изложены результаты, которые получены непосредственно автором.
Структура и объем работы. Диссертационная работа изложена на 294 страницах машинописного текста, состоит из введения, четырех глав и 33 параграфа. Библиография содержит 124 источника на русском и иностранных языках. В каждой главе введена сквозная нумерация параграфов, формул и теорем.
