Функциональные инварианты аналитической классификации вырожденных элементарных особых точек ростков голоморфных векторных полей Мещерякова Юлия Игоревна

Содержание к диссертации

Введение

1 Формальная классификация вырожденных элементарных особых точек 23

1.1 Доказательство теоремы о формальной классификации 23

1.2 Эквивалентность формальных нормальных форм 28

1.3 Предварительная нормализация ростков класса V\iP аналитическими заменами. 31

2 Секториальная нормализация вырожденных элемен тарных особых точек 36

2.1 Доказательство теоремы о секториальной нормали зации. Случай OQ = р = 1, а\ — А = 0 37

2.1.1 Исследование системы гомологических урав нений 37

2.1.2: Существование и единственность решений системы гомологических уравнений 39

2.1.3 Обсуждение вопроса сходимости 43

2.1.4 Оценки функций Ді и Д2 45

2.1.5 Определенность подынтегральных выражений 45

2.1.6 Оценки /i2 и 52 45

2.1.7 Оценки производных невязки 46

2.1.8 Инъективность секториальных нормализующих нормированных отображений 48

2.1.9 Обратимость отображений Н± 53

2.2.1 Схема доказательства 56

2.2.2 Гомологическое уравнение 57

2.2.3 Редукция гомологического уравнения к вспомогательному уравнению 58

2.2.4 Существование и единственность решения вспомогательного уравнения 59

2.2.5 Оценки решений вспомогательного уравнения 61

2.2.6 Свойства выпрямляющего отображения Л. Стандартные области иед 62

2.2.7 Решение гомологического уравнения, в области tte,R 63

2.2.8 Решение второго уравнения системы гомологических уравнений 64

2.2.9 Решение первого уравнения системы гомологических уравнений 64

2.2.10 Оператор Ф = -1 66

2.2.11 Оценки функций, определяемых параметрами формальной нормальной формы 66

2.2.12 Оценки для невязки 67

2.2.13 Оценки оператора % 68

2.2.14 Сжимаемость оператора S. Существование решения h системы (2.22) 69

2.2.15 Доказательство второго утверждения теоремы 3 71

2.2.16 Окончание доказательства теоремы 3 72

3 Аналитическая классификация ростков класса 73

3.1 Схема доказательства теоремы об аналитической классификации 74

3.2 Нормализующий атлас и его функции перехода . 75

3.3 Пространство модулей RT 78

3.4 Построение биекции П2 : RT -> Мр,\ 82

3.4.1 Модули Мартине - Рамиса 83

3.4.2 Построение „временной части" ф инварианта / 84

3.4.3 Биективность отображения Щ 85

3.5 Окончание доказательства теоремы 5 86

3.6 Доказательство теоремы 4 86

4 Простейшие приложения. 88

4.1 Симметрии ростков с вырожденными элементарны ми особыми точками 88

Список цитированной литературы 92

• Эквивалентность формальных нормальных форм
• Определенность подынтегральных выражений
• Редукция гомологического уравнения к вспомогательному уравнению
• Оценки функций, определяемых параметрами формальной нормальной формы

Введение к работе

Постановка задачи

Рассмотрим голоморфное векторное поле «(*, У) = 1^ + . (4 где (ж,у) Є (С²,0), 0 — особая точка (и(0) = 0).

Особую точку векторного поля на плоскости назовем вырожденной, если линейная часть ростка в этой точке вырождена.

Особую точку векторного поля на плоскости назовем элементарной^ если хотя бы одно собственное значение линейной части поля в этой точке отлично от нуля.

Ростком векторного поля (отображения) в точке 0 называется класс всех векторных полей (отображений), совпадающих с ним в некоторой (зависящей от поля) окрестности этой точки.

Пусть V — класс ростков голоморфных векторных полей в (С²,0) с изолированной вырожденной элементарной особой точкой 0.

Два ростка векторных полей v и v в точке 0 называются аналитически (топологически, формально) эквивалентными, если существует росток в точке 0 аналитической (гомеоморфпой, формальной) замены координат Н, переводящий интегральные кривые поля v в интегральные кривые поля v: H'v = v о Н.

В настоящей работе исследуется аналитическая классификация ростков из V (т.е., классификация вырожденных элементарных особых точек голоморфных векторных полей в (С²,0)); такие особые точки называют седлоузлами.

Историография вопроса

Дадим краткий обзор основных результатов, полученных ранее в области аналитической классификации особых точек. Заметим, что проблема аналитической классификации ростков векторных полей естественным образом распадается на три части:

Получение формальной классификации.

Связь формальной и аналитической классификаций.

Получение полной системы инвариантов аналитической классификации.

Случай особой точки типа фокус исследован А. Пуанкаре (A. Poincare, [42]). Формальная и аналитическая классификации здесь совпадают; собственные значения (АьАг) определяют систему инвариантов аналитической классификации.

Достаточно прост и случай особой точки типа узел. А. Пуанкаре и X. Дюлак (Н. Dulac, [42], [56-58]) получили совпадение формальной и аналитической классификаций при наличии трех инвариантов: собственных значений (Аі, Аг) и (иногда) еще одного параметра.

В случае же особых точек типа седло и седло-узел возникли сложности, поэтому рассмотрим более подробно перечисленные выше составные части аналитической классификации.

Первая часть проблемы аналитической классификации — иссле- дование действия группы формальных замен — была исследована А. Пуанкаре: основным результатом его диссертации стала теорема, утверждавшая, что нерезонансные ростки векторных полей с особой точкой 0 формально эквивалентны своей линейной части ([42], см. также [3]).

В резонансном случае существенно осложняется даже формальная классификация.

Росток векторного поля в (С^п,0), спектр линейной части которого в нуле есть A = (Ai,..., А„), будем называть:

1) резонансным, если для некоторого j Є {1,..., п} выполняется CO- отношение Xj — (A, fe), где к = (кг, ..._ук_п) Є Щ., \к\ = ^2 h > 2, Щ_ - множество целых неотрицательных чисел и нерезонансным в противном случае; ростком типа Пуанкаре, если выпуклая оболочка векторов Ai,..., А„ на комплексной плоскости не содержит нуля, vl ростком типа Зигеля в противном случае; ростком с линейной частью типа (C,v) (С > 0), если для любого s выполняется неравенство \X_S — (А, к)\ > С\к\~" при всех целочисленных векторах А; с неотрицательными компонентами &;, таких, что \к\ > 2.

Вектор-моном х^твк, где х^т = х¹ .. .х^п - моном от координат собственном базисе ei,..., е„, будем называть резонансным, если Ajt = (A,m), \т\ > 2.

А. Пуанкаре и X. Дюлак [41, 42] показали, что резонансный росток v(х) — Ах + f(x) векторного поля с особой точкой 0, где Л - матрица линейной части ростка v и ряд f(x) содержит мономы степени не меньше 2, формальной заменой можно привести к так называемой предварительной нормальной форме v(y) = Ау + и(у), где ряд и?(у) состоит только из резонансных мономов.

Вторая часть проблемы аналитической классификации — сходимость нормализующих рядов, при вычислении которых приходится делить на выражения типа (А, к) — А^. Здесь (к, j) Є J, где J = {(k,j)\k Є %ⁿ+, \k\ = Ysh > 2, j Є {1,...,n}}. Эти выражения обращаются в нуль для резонансных наборов. Для нерезо-нансиого набора Л множество чисел (А, к) — Xj имеет предельную точку нуль только в том случае, если выпуклая оболочка векторов Ai,..., А_п на комплексной плоскости содержит нуль (т.е. в случае Зигеля). Числа из этого множества называются малыми знаменателями, появление которых значительно затрудняет сходимость нормализующих рядов.

Для нерезонансных ростков типа Пуанкаре сходимость нормализующих рядов была получена А. Пуанкаре [72, 3]. X. Дюлак установил сходимость нормализующих рядов для резонансных ростков типа Пуанкаре [56, 3], К. Зигель - для ростков с линейной частью типа (С, v) [28, 3]. Позже результаты К. Зигеля усилили А.Д, Брю-но [9, 10, 15, 16] и Ж.-К. Йоккоз (J.-C. Yoccoz, [89]).

Первые результаты о расходимости нормализующих рядов получили Л. Эйлер (L. Euler, [65]) и А. Пуанкаре [73]. Также расходящиеся нормализующие ряды исследовали X. Дюлак [57], Г.А. Пфей-фер [74], К. Зигель [78, 79, 80], А.Д. Брюно [14,17] и В.А. Плисе [45]. Причины расходимости изучались б работах В.И. Арнольда [1, 2, 5, 6]; А.С. Пяртли [43, 44], Ю.С. Ильяшенко [29, 30, 35].

Топологическую классификацию особых точек вещественных векторных полей и отображений исследовали Гробман, Ф. Хартман,

Ф. Такенс ([23], [38], [81, 82, 83]). Инвариантные многообразия и вопросы нормализации вещественных полей и отображений на инвариантном многообразии рассматривались в работах Ж. Адамара, О. Перрона, В.А. Плисса, М. Хирша, К. Пью, М. Шуба, Ф. Дюмор-тье, Ю.Н. Бибикова, В.Ф. Лазуткина, А.Д. Брюио ([11], [53], [59], [60]), см. также [3,.7]..

Гладкая классификация вещественных полей исследовалась К. Ченем, Ф. Такеисом, В.А. Кондратьевым, B.C. Самоволом, Г.Р. Бе-лицким, Г. Седлом ([37], [46], [55], [77]). Топологическая классификация особых точек на комплексной плоскости рассматривалась в работах Ю.С. Ильяшенко, Н.Н. Ладиса, К. Камачо, Ж. Пэйлиса, Н. Кейпера, Дж. Гукенхеймера, М. Шаперона (см. [54, 7, 3]).

Наконец, переходим к третьей, и основной, части проблемы аналитической классификации — построению полной системы инвариантов аналитической классификации ростков голоморфных векторных полей. Один из традиционных методов решения данной проблемы заключается в следующем: строится система инвариантов формальной классификации, исследуется сходимость соответствующих формальных замен, и, если они сходятся - проблема решена, если расходятся — исследования прекращаются. С помощью данного метода была получена аналитическая классификация особых точек в следующих случаях: в нерезонансном случае - при отсутствии малых знаменателей; в резонансном случае - для ростков типа Пуанкаре, а также для седловых ростков при выполнении очень жесткого так называемого условия Л Брюно [11]. В оставшихся случаях были доказаны лишь частные результаты о расходимости нормализующих рядов, однако задача об аналитической классификации оставалась открытой.

В дальнейшем были предприняты попытки исследования более грубой, так называемой орбитальной аналитической классификации особых точек.

Ростки v и v называются орбиталъно аналитически (формально) эквивалентными, если существует локальная голоморфная замена координат, переводящая фазовый портрет одного ростка в фазовый портрет другого (если существует формальная замена координат Н и формальный степенной ряд & с ненулевым свободным: членом такие, что Н' v = к v о Н)..

Оказалось, что, как правило, задачу об орбитальной классификации векторных полей удается свести к задаче о классификации ростков отображений (а именно, преобразований монодромии исходных ростков векторных полей, [7]). Поэтому усилиями многих исследователей была построена теория нормальных форм отображений, которая во многом параллельна теории нормальных форм векторных полей (см. [7, 3]).

В 1982 - 83 гг. Ж. Мартине и Ж.-П. Рамис (J. Martinet, J.-P. Ramis, [69, 70, 75]) получили аналитическую орбитальную классификацию резонансных седел и седло-узлов. Были построены функциональные инварианты орбитальной аналитической классификации. Оказалось, что орбитальная аналитическая и орбитальная формальная классификации не совпадают.

Одновременно и независимо аналогичные результаты для резонансных седел получены Ю.С. Ильяшенко, СМ. Ворониным и П.М. Елизаровым [31](см. также [20, 25, 26, 27, 63]). Первые результаты в решении задачи аналитической классификации ростков од- номерных отображений были получены Ж. Экаллем (J. Ekalle, [61, 62]) и СМ. Ворониным [18, 19]. Они одновременно и независимо показали, что аналитическая классификация ростков одномерных отображений с тождественной линейной частью вида z (~4 z + az² + ..., а ф О, не совпадает с формальной и имеет функциональный модуль - так называемый "модуль Экалля-Воропина". Исследования в этом направлении были продолжены Б. Мальгранжём (В. Malgrange, [68]), Л.М. Мархашовым [39], А.А. Щербаковым [48 - 50], П.М. Елизаровым и Ю.С. Ильяшенко [64]. Ж. Мартине, Ж-П. Рамис, Ю.С. Илья-шенко и СМ. Воронин обобщили эти результаты, получив аналитическую классификацию ростков одномерных отображений с резонансной линейной частью вида z ь> -..., где А = ехр(—2тгг^), q,p - взаимно простые натуральные числа, и впоследствии, использовали их при решении задачи об аналитической орбитальной классификации седловых резонансных особых точек [31, 71, 75]. (Напомним, что росток голоморфного векторного поля с особой точкой 0 называется седловым резонансным, если отношение собственных значений его линеаризации в нуле есть отрицательное рациональное число.)

Многомерные аналоги этих задач рассматривались в работах [21, 86].

В 1997 г. СМ. Ворониным и А.А. Гринчий [22, 87, 88] получена аналитическая классификация резонансных седел.

Современное состояние проблемы

Здесь приводится краткое описание всех известных результатов, полученных в задаче исследования седлоузлов (т.е вырожденных элементарных особых точек).

Формальная нормализация ростков класса V

Нормальные формы орбитальной эквивалентности получены в [70] (см. также [67]). Приводимость к некоторой полиномиальной формальной нормальной форме формальными заменами следует из результатов Г.Р. Белицкого [8], и была также получена А.Д. Брю- но [11].

Аналитическая нормализация

Аналитическую орбитальную нормализацию струй конечного порядка (в точках центрального многообразия орбитальной формальной нормальной формы) использовал уже X. Дюлак [58]. Аналитическая орбитальная нормализуемость на областях типа „прямого произведения диска на сектор" была получена в работе X. Хукуха-ра, Т. Кимура и Т. Матуда (Н. Hukuhara , Т. Kimura, Т. Matuda, [66]).

Аналитическая орбитальная классификация и отображение модулей

Аналитическая орбитальная классификация ростков класса V была получена Ж. Мартине и Ж.-П. Рамисом. Производная отображения модулей (отображения, ставящего в соответствие ростку его модуль орбитальной аналитической классификации) исследовалась П. М. Елизаровым [63]. В частности, им была вычислена производная отображения модулей в формальной нормальной форме и, с ее помощью, построены обширные классы попарно (орбитально аналитически) неэквивалентных ростков. (Неорбитальная) аналитическая нормализуемость

Отметим, что все результаты об орбитальной эквивалентности ростков из V молено трактовать как результаты об эквивалентности ростков класса V¹^², состоящего из ростков класса V с нормализованной (т.е. такой же, как у орбитальной формальной нормальной формы) первой компонентой. Поэтому можно считать доказанной теорему о секториальной нормализации для ростков класса V¹!². Результаты Мартине - Рамиса, соответственно, дают аналитическую (неорбитальную) классификацию ростков класса V¹/².

Методы исследования

Основным методом исследования является метод, который систематически используется в задачах аналитической классификации последние 25 лет, и который условно можно назвать методом „нормализующих атласов". Состоит он в том, что нормализация исследуемого объекта проводится там, где ее удается провести. Построенный набор нормализующих отображений образует так называемый нормализующий атлас на некотором многообразии (области). Суть метода состоит в том, что функции перехода этого атласа обычно и дают список инвариантов аналитической классификации.

Кроме того, в работе использовались: теорема о сжимающих отображениях (для доказательства теоремы о секториальной нормализации, т.е. при построении карт нормализующего атласа); метод конструирования аналитических объектов, основанный на использовании техники почти комплексных структур ([67, 86]).

Актуальность темы исследования

В настоящей работе исследуется аналитическая классификация вырожденных элементарных особых точек. Доказана теорема об аналитической классификации, являющаяся аналогом результатов Ж. Мартине и Ж.-П. Рамиса об орбитальной аналитической классификации вырожденных элементарных особых точек. Существенность этого результата заключается в том, что он позволяет почти полностью завершить программу Пуанкаре исследования особых точек векторных полей на плоскости: не до конца исследованными теперь остаются лишь седловые особые точки с „плохим" отношением собственных значений линейной части.

Отметим, что метод нормальных форм является одним^: из основных методов современной качественной теории обыкновенных дифференциальных уравнений, а программа Пуанкаре и составляет основу этого метода. Поэтому полученные результаты могут найти применение во всех аналитических задачах теории динамических систем, в которых возникают вырожденные элементарные особые точки. Так, например: при исследовании особых точек голоморфных векторных полей в С³ с резонансной линейной частью (соответствующие фактор-системы имеют вырожденные элементарные особые точки); при исследовании неэлемеитарных особых точек на плоскости (при раздутии такой особенности могут появиться вырожденные элементарные особые точки, см. [76]).

О высокой актуальности данной тематики говорит также и интерес к ней зарубежных исследователей: орбитальная аналитическая классификация впервые была построена французами Мартине и Рамисом.

Наконец, отметим, что недавно в точности такой же результат получил Л. Тессье (L. Teyssier, [84, 85]), однако другим методом. Именно, в указанных статьях для каждого ростка v из V исследуется аналитическая классификация ростков, пропорциональных v\ с учетом известных результатов [70] об орбитальной аналитической классификации ростков из V это позволяет получить аналитическую классификацию ростков всего класса V.

В настоящей же работе основной является теорема о сектори-альной нормализации ростков из V. С ее помощью строится нормализующий атлас (см. [67]) для ростка г? Є V. По возникающим в пересечении областей функциям перехода (отображениям, сохраняющим нормальную форму ростка) мы определим инварианты аналитической классификации ростка v.

Краткое содержание диссертации

Первая глава посвящена исследованию формальной классификации вырожденных элементарных особых точек в (С²,0).

Пусть V — класс ростков голоморфных векторных полей в (С²,0) с вырожденной элементарной особой точкой 0, т.е. таких, что линейная часть ростка в нуле вырождена, но не все ее собственные значения равны нулю.

В работах [70], [67] было показано, что росток из V формально орбитально эквивалентен одному из ростков вида д уР⁺¹ д _х ^

Обозначим через V_Pi\ — класс ростков, формально орбитально эквивалентных V_Pt\.

Теорема 1 (О формальной классификации) Каждый росток из V_Pjx формально эквивалентен одному из ростков р где а(у) = J2 a_ky^k_y а₀ ф 0, а_к Є С, ft = 0,1,... ,р. Jfc=0

Параграф 1.1 посвящен доказательству теоремы о формальной классификации. Класс формальной эквивалентности ростка v_Plx,a, называемого формальной нормальной формой, обозначим V_Pxa-

Определение 1 Будем говорить, что наборы \х ~ (р, а, А) и Д — (р, а, Л) эквивалентны, если р = р, А = Л, наборы а — (ао: »Ар) и а = (do,,.., а_р) удовлетворяют условию а_к — djfcejj, fc = 0,... ,р, где є_р — некоторый корень степени р из единицы.

Теорема 2 Две формальные нормальные формы v^ и vp, формально эквивалентны тогда и только тогда, когда fi эквивалентно Д.

Доказательство теоремы 2 приведено в параграфе 1.2. В параграфе 1.3 доказана следующая

Лемма 1 (о предварительной нормализации) Для любого ^v Є V_Pi\ и любого iV N существует росток v, такой, что v аналитически эквивалентен v и v = і х a_ky^k + y^N+1#*.»))&. где <р{х,у), -ф(х,у) - голоморфные в (С²,0) функции. Через Vp_Xa обозначим класс ростков из V_Pjx,a вида (*).

Пусть а 6 (;> р)- Д^ля J Є N, 1 < j < 2р рассмотрим области Ц = {(»,!/) ЄС² : |х| <є, О < |у| <е, Jargy + g-^l < а}. Систему областей {fij} (j = 1,..., 2р) будем называть хорошим покрытием (см. [67]) области {|:г| < є, 0 < |г/| < є}; параметры а и будем называть, соответственно, раствором и радиусом хорошего покрытия.

Определение 2 Пусть U — окрестность нуля в С, 5 С С -сектор конечного радиуса с вершиной в нуле. Область П = U X S будем называть секториальной областью. Полуформальное отоб-ражение Н = ^ fk{^x)y^{k с} голоморфными в Ї7 коэффициентами будем называть асимптотическим для голоморфного отображения Я : Г! -> С² на секториальной области Q, = U х S, если для любой частичной суммы Н_п ~ ^2 fk(x)y^k имеем:

Н(х, у) - Я_п(х, у) = о(у^п) при (г, у) П, У -> 0.

Теорема 3 (о секториальной нормализации) Для любого ростка v Є Vp\_a и любого хорошего покрытия Q = {Hj} с заданій ним раствором и достаточно малым радиусом существует един-ствеппый набор голоморфных отображений Hj : fij —> Hj(lj) С С², таких, что: 1. Hj сопрягает на Qj росток v и его формальную нормальную форму Vp^a'-

Щ v_PXa = voHj на Qj.

2. Нормированная формальная нормализующая замена Н ростка т v является асимптотической для Hj па Qj.

Теорема о секториальной нормализации доказана во второй главе.

В силу громоздкости доказательства теоремы, параграф 2.1 посвящен доказательству важного частного случая. Полное доказательство общего случая теоремы приводится в параграфе 2.2. * Отметим, что теорема о секториальной нормализации является обобщением аналогичной теоремы для орбитальной эквивалентно сти (см. [бб, 67, 70]).

Третья глава содержит основной результат диссертационной работы, здесь доказана теорема об аналитической классификации ростков класса V_Pj\_s и построены функциональные инварианты данной классификации. Именно, здесь мы строим нормализующий атлас для ростка v Є V и определяем инварианты аналитической классификации ростка v по функциям перехода этого атласа.

Пусть M_Ptx — пространство всех наборов (с,ір,ф) таких, что с Є С^р; <р = (^1)---) <Рр), Ф = (^ь )Фр)-, 4>з ^и Фз голоморфны в (С,0); ^-(0) = ^-(0) = 0, *4(0) = 1, Vfc

Пусть р_а - наибольший общий делитель р и всех тех к Є {1,..., р}, * для которых а,к ф 0, п_а = р/ра- Два набора (с, (р, ф) и (с, ф, ф) из Лір,а будем называть эквивалентными, если для некоторого С Є <С, С = (Сі,..., Ср) и некоторого 5 Є 2, 0 < s < р_а ^cj+sn_a ⁼ Vj" ' ^Cj) ^j+sn₀(^) = Сз₊і+_ІПаФз(С^ z)_t (2) ^j+sn_a(^Z) = Фз(^СІ^1г) (нумерацию считаем циклической). Пусть M_Pt\,a ~~ пространство классов эквивалентности из ЛЛ_Р,\.

Теорема 4 (об аналитической классификации) Существует такое отображение т : V_p,a_i0 -> М_Ріа,о, лі : г/ і-» т„ что справедливы следующие утверждения:

1. Эквивалентность и эквимодальность, г; ~ v ф> m_u = 77;

2. Реализация. Для любого т Є Af_P)A_j0 существует такое v' V_p,A,_a, таот=т„;

3. Аналитическая зависимость. Для любого аналитического семейства v ростков из V_Pj\_}a некоторые представители рь_е моду-лей т_щ также образуют аналитическое семейство.

Эта теорема является точным аналогом известной теоремы об орбитальной аналитической классификации ростков из V_p,\ ([70]; [67], 3, с.ЗЗ). Отметим, что количество модулей в задаче об аналитической классификации увеличилось вдвое по сравнению с задачей об орбитальной аналитической классификации. Действительно, орбитальная аналитическая классификация имеет р + 1 числовых (один формальный модуль Аир модулей с = (сі,..., Ср) аналитической классификации), и р функциональных модулей {p up аналитических модулей набора с), и 2р функциональных модулей {v?j}, {Фз}-

Все три утверждения теоремы 4, для краткости, заменим одной фразой: „Пространство М_Рг\_А является пространством модулей аналитической классификации ростков класса V^_a".

Наряду с аналитической эквивалентностью здесь рассматривается и строгая эквивалентность.

Определение 3 Ростки v, v Є V_{pX а} назовем строго эквивалентными, если они эквивалентны, причем сопрягающая их замена координат имеет вид Н(х,у) = (х + о(1),у + о{у^р+1)).

Замечание 0.1 Строгая эквивалентность удобнее эквивалентности в силу единственности формальной нормализующей замены. Каждый росток из V^_Ao не только формально эквивалентен своей формальной нормальной форме v_Pt\,_ay но и строго формально эквивалентен ей.

Тогда имеет место следующая

Теорема 5 Пространство Ai_Pt\ является пространством модулей строгой аналитической классификации ростков класса V_pXa.

Доказательству теоремы 5 посвящены параграфы 3.1. - 3.5. Теорема 4 получается из теоремы 5 и доказывается в параграфе 3.6.

Отмеченная выше неединственность нормализующей замены в задаче об аналитической классификации объясняет взаимосвязь пространств Лі_р,\ и Мр^а* пространство M_Pix_tQ получается из пространства ЛЛ_Рл\ факторизацией по отношению эквивалентности (2), происходящему из этой неединственности.

Четвертая глава — приложения теории нормальных форм.

Определение 4 Аналитической (формальной) группой симметрии ростка v V назовем группу G_v {G_v), состоящую из всех голоморфных (формальных) замен координат, сохраняющих

Группа симметрии любого ростка v содержит подгруппу &t ~ {ргр}*єСі состоящую из всех сдвигов вдоль фазовых кривых ростка v за фиксированное время.

Фактор-группу G_v/G+ (если она корректно определена) назовем главной частью группы симметрии ростка v.

Группой симметрии инварианта т Є М_Рі\_>а назовем подгруппу С* X Іі_Ра (где р_а - наибольший общий делитель р и всех тех индексов к, для которых ak ф 0, а — (ао, а\_у..., а_р)), состоящую из всех чисел (С, з) Є С* х Z_Pa таких, что для некоторого представителя {с, (р, ф} справедливы равенства bi^ci^lz) = Фз+зп_а{г)-Теорема 6 1. Формальная группа симметрии ростка класса VpXa изоморфна прямому произведению мультипликативной группы С*, аддитивной группы С и группы вычетов Х_Ра, гдер_а - наибольший общий делитель р и всех тех индексов к, для которых а^фО, а= (а₀, ai,...,%).

2. Главная часть аналитической группы симметрии ростка v Є Vp,\,a корректно определена и изоморфна группе симметрии его инварианта.

Следствием данной теоремы является следующее достаточное условие аналитической эквивалентности седло-узловой особой точ- ки ростка голоморфного векторного поля и его формальной нор-иг мальной формы.

Следствие 0.1 Если главная часть аналитической группы симметрии ростка v из V_Pt\_ta не является конечной, то росток v аналитически эквивалентен своей формальной нормальной форме V_pxa-

Апробация

Результаты, изложенные в диссертационной работе, были представлены в работах [90, 96, 99, 100] на Воронежской зимней математической школе „Современные методы в теории краевых задач" (Воронеж, 1999г.) [91], Всероссийской научно-практической конференции ,Дроблемы физико-математического образования в педа-гогических вузах России на современном этапе" (Магнитогорск, 1999г.) [92], Воронежской зимней математической школе „Современный анализ и его приложения" (Воронеж, 2000г.) [93], Четвертом сибирском конгрессе по прикладной и индустриальной математике (ИНПРИМ-2000) (Новосибирск, 2000г.) [94], Международной конференции по дифференциальным уравнениям и динамиче- * ским системам (Суздаль, 2000г.) [95], Международной конференции „Дифференциальные и интегральные уравнения. Математические модели" (Челябинск, 2002г.) [97, 98].

Благодарности

В заключение выражаю огромную благодарность научному руко- водителю Сергею Михайловичу Воронину за ценные советы и кон- сультации; коллективу кафедры математического анализа Чел ГУ за внимание к работе; моему мужу Мещерякову Константину Борисовичу за понимание и поддержку, а также нашим родителям Павловым Светлане Павловне и Игорю Николаевичу, Мещеряковым Марии Алексеевне и Борису Кузьмичу за безграничное терпение и заботу.

Эквивалентность формальных нормальных форм

Формальная эквивалентность г и vp, означает, что существует сопрягающая их формальная замена координат Н вида В силу замечания 1.1 Я имеет вид: где (х,у) С2, а(0) ф 0, /3(0) = 0, /3 (0) ф 0. Расписав (1.8) как систему уравнений, получим: Существует формальное решение (5{у) (/3(0) = 0;/3 (0) 0) второго уравнения системы (1.9). Функция, стоящая в правой части уравнения, имеет в нуле полюс порядка [р + 1), в левой - полюс порядка (р-\-1). Т.о. Из разрешимости первого уравнения системы (1.9) и из (1.10) следует, что порядок функции Yl ojb/3 — XI акУ в нУле не меньше Т.о. из (1-Ю) и (1-11) имеем: где Ф = С(1), у - 0. Сравнив в (1.12) коэффициенты при у-1, и учитывая, что /9(0) = 0, /? (0) 0, получим А = А. Положим, р(у) = yj(y), где 7(у) = 7о + 9(2/) при # -+ 0, 70 0. Тогда из второго уравнения системы (1.9) имеем: 7 РЫ = 1 + 0(у) при у - 0. Отсюда 7о = єр, где еР — некоторый корень степени р из единицы. Интегрируем второе уравнение системы (1.9): где Фі(у) = С?(у) при г/ — 0. После замены /? = г/7(у) получим: Пусть 7) = сР+7Ы/ + (з/ +1) fc 1, 7fc 7 0- Домножая (1.13) на ур) получим: Левая часть имеет порядок &, а правая - не меньше р. Отсюда к Из (1.11) и (1.14) немедленно следует 2. Достаточность. Пусть и Д эквивалентны в указанном выше смысле. В частности, выполняются равенства (1-9). Тогда замена Н : (х, у) i- (х, ер у) сопрягает формальные нормальные формы v иг;д. Замечание 1.2 Из доказательства теорем 1, 2 следует, что формальная нормализующая замена, сопрягающая две предварительные нормальные формы, обязательно имеет вид ряды. Н определена единственным образом с точностью до произвола в выборе: 1) коэффициента UQ формального ряда а(у) , 2) коэффициента ер при линейном члене решения /3(у) второго уравнения системы (1.9) — корня из единицы степени р, такого, что ак — pQ k Для всех к = 1,2,... ,р; 3) некоторого числа С — константы интегрирования второго уравнения системы (1.9). Следующая лемма является аналогом леммы о предварительной орбитальной нормализации, использовавшейся X. Дюлаком при исследовании предельных циклов [58]. Лемма 1 Для любого v Є VP)A и любого N Є N существует росток v, такой, что v аналитически эквивалентен v и й=иЕ akyk+yN p(x,y)j + По теореме о формальной классификации имеем формальную эквивалентность ростков ии% где некоторой формальной замены координат Н выполняется условие Н v = VQ О Н. Пусть І7дг — укорочение ряда Я порядка N N + 2. Тогда Следующий шаг доказательства — выпрямление сепаратрисы. По теореме Адамара - Перрона, существует инвариантная для поля v голоморфная кривая 7 проходящая через начало координат и касающаяся в этой точке вектора е\ = (1,0) (еі — собственный вектор линейной части поля v в нуле, соответствующий ненулевому собственному значению ао). Пусть у = {у = а (ж)}, где а (х) — голоморфная в (С, 0) функция, Так как 7 касается в точке (0,0) оси абсцисс, то а\ = 0.

Покажем, что а(х) — o(xN), х —f 0. Пусть к — номер первого ненулевого коэффициента в разложении (1.16). А т.к. 7 — инвариантная для поля v = ( 1,г 2)) то а {х) х{хуУ) — v i{x,y) при у — а(х). Порядок в нуле левой части последнего равенства равен к, правой - не ниже min{2A;, N + 1}. Отсюда к N + 1. Так что а(х) — о(хй). Доказательство леммы проведем индукцией по N, 0 N N—2. Более того, докажем, что, если исходное поле v удовлетворяет ограничению (1.15), то и соответствующая ему предварительная нормальная форма v из ( ) имеет такой же вид. База индукции: N = 0. Сделаем замену HQ : (х1 у) - (х,у — а{х)). HQ = id + o(xN). Эта замена переводит поле v в поле щ = Щ-voHQ1 = uo + o(a;,t/\N), также имеющее вид (1.15). Для поля VQ прямая {у = 0} является сепаратрисой, т.е. 2-я компонента поля щ на этой прямой равна 0. Но именно это и означает, что поле щ представимо в виде ( ) при JV = 0. Докажем утверждения леммы при N = 1. В силу доказанного выше, можем считать, что поле г? уже приведено к предварительной нормальной форме ( ) при N — 0. Тогда где ръ{х) и і(ж) голоморфны Б (С, 0), р\{х,у) и ф2{х,у) - голоморфны в (С2,0). Из условия (1.15) следует, что ро(х) = o(\x\N), Щ{х,у) = odlx lf-1), фг(х) = оМ -1), ф2(х,у) = o(\\x,y\f ). Покажем, что голоморфной заменой координат Hi : (х,у) )- (х + oi(x),y + yj3(x)) поле -и можно привести к виду где рі(іс,у) =0(11 ,2/11 ),-02( ,2/)=0(113:,1/11 -2). Из условия J7{r = vi о Л"х получим систему р (1 + о4Ь = ij: afc(ff + у/З) + {у + y/3)0i; Сократим второе уравнение системы на у. Далее, полагая у равным 0 в первом и втором уравнении, получим систему дифференциальных уравнений I порядка: Т.к. щ{х) = o{\x\N), N 2, а0 0, то эта система имеет голоморфные в нуле решения а(х), Р(х)} причем а(х) = ofl1! )» /3(х) od l "1) (их можно найти, например, методом вариации постоянной). Т.о. Н\{х,у) — (х,у) + о(х, y\\N), а это означает, что щ удовлетворяет условиям (1.15) и ( ) при N 1. Далее, предположим, что лемма доказана при N — к. Тогда можно считать, что поле v удовлетворяет условиям ( ) и (1.15) для N = kvN k-2. Покажем, что поле v голоморфной заменой координат приводится к предварительной нормальной форме ( ) для N — к + 1, удовлетворяющей ограничениям (1.15). Т.к. для v верно ( ) при N = к, то где рк(х), fc+i(a;) - голоморфны в (С,0), узь+і у), ь+2(я;,у) -голоморфны в (С2,0). Более того, Jfcfa) — (\x\N k) Фк+іі іУ) о(Ку[Г- ), V%+I(S) = оОягГ- -1), У +2( ,їО = о{\\х,у\\"-к-2)-Голоморфная замена Нк+\ : {х,у) -» (х + ука(х),у + г/А+1/3(а:)) переводит поле г в Выписав для первого уравнения системы коэффициенты при ук, для второго - при yk+l, получим систему дифференциальных уравнений I порядка: а0 ф 0, щ{х) = о(я"- ), N N 2. Данная система имеет голоморфные в нуле решения ф) = о(\х\ -к), 0(х) = odxf- -1). Т.о. Нм = id + о(а:,у ), следовательно щ+і при JV — к + 1 имеет вид ( ) и удовлетворяет ограничениям (1.15). Лемма доказана.

Определенность подынтегральных выражений

Условие (р(х,у) = o(yN) при у —У 0, (ж, у) Є 2 означает, что Оценки производных р х{х,у)} ір у{Х)У) получаем из интегральной формулы Коши: определяются равенствами: константа А; удовлетворяет неравенствам: Действительно, при таком выборе константы к окружности ух и уу целиком лежат в области V, если (ж, у) 2) и требуемые оценки производных функции (р следуют из оценок (р на этих окружностях. 2. Сжимаемость. Из леммы 4 можем считать, что выполняются следующие оценки: ДУ СіІуМДу Сг\у\, \А 2х\ СЗДМду М (Д некоторой константы Сі, зависящей от радиуса меньшего полидиска). Покажем, что для некоторого а 1 maot{\\hi-hi\\;\\gi-gi\\}, sup\g2-g2\ Qfmax{hi-fti;flfi Обозначим р = d I (hi, gi); (hi, pi) J . sup z 4(Д2- А) (м1/,-1/,,2) 2Є7Ї, It/-1! С\у\ sup (z 4 4p\z\6) 4pCh2 f, г =7іг если полняется (2.16). Отметим, что выполнение всех условий (2.9)-(2.16) при любом фиксированном 5 С2 можно обеспечить за счет уменьшения є. Следовательно, если 5 достаточно велико, а радиус є области Q+ достаточно мал, то оператор Л действует из Л4 в Ла и является сжимающим. Следствие 2.1 Пусть для функций Аі, Д2 наО,у+ выполняются условия теоремы 7. Тогда для всех достаточно малых є области существует единственное решение (h,g) системы функциональных уравнений (2.2), удовлетворяющее условию h — О (у), g — 0{yz) при (х,у) Є fi+, у - 0. Для доказательства инъективности секториальных нормализующих нормированных отображений воспользуемся одним из вариантов хорошо известного эмпирического принципа "отображение, близкое к тождественному, инъективио в выпуклой области". Обозначим через pv{zi, z ) точную нижнюю грань длин кривых, лежащих в V, и соединяющих точки z\ и z% области DcC2. Определение 5 Модулем выпуклости области Т назовем число qv Замечание 2.2 Модуль выпуклости выпуклой области равен 1. Модуль выпуклости круга с разрезом {0 argz 2тг} равен оо. Лемма 5 Пусть V = {{х,у) Є С2 : а argy $}, где а (і, (р — (/? — Если отрезок [21,22] лежит в V, то PT {Z\,Z2) \z\ — 221. Пусть 21,22 Є V. Пусть теперь [21,22] 2?, 7 произвольная кривая, лежащая вР,и соединяющая точки 2і и 22- Область V есть объединение двух полупространств: Щ = {(#)/) - 1т(уе а) 0} и Щ = {(ж,?/) : 1т(уе Р) 0}. Т.к. точки z\ и 22 не лежат одновременно ни в одном из этих полупространств, то на кривой 7 найдется точка ZQ Є ПІ Г! Пг- но тогда кривая 71, составленная из отрезков [2i, ZQ] И [ZO, 22], лежит в V и соединяет 2i и 22, а ее длина не больше длины 7 І7і І7І

Рассмотрим двумерную плоскость П, проходящую через точки zo, 21, и 22 и пусть О - точка ее пересечения с комплексной прямой {у = 0}. Ясно, что точка О лежит в треугольнике Д С П с вершинами 2о, 2i, и 22, так что длина ломаной 72 = 21О22 не больше длины ломаной 71 Пусть точка О Є С2 имеет координаты (XQ, 0), х0 Є С. На отрезке [яь г] Є С выберем точку XQ таким образом, чтобы \х\ — XQ\ \xi — я о, \х2 — XQ\ \х2 — а?о (это возможно, т.к. \х\ — Х2І ki — Яо + Іх0 DJ И пусть О = (XQ, 0) Є С2. Рассмотрим ломаную 73 — 2іО 22, лежащую в области ї , и соединяющую точки 2і и-22- Длина .73 не превосходит длины 72) поскольку проекции ее звеньев на у - плоскость такие же, как и у у2, а длины проекций ее звеньев на х - плоскость не больше, чем у 72 Рассмотрим трехмерное пространство Щ С М4, проекция которого на х - плоскость совпадает с прямой, проходящей через точки хь Х2 и 2IQ, И пусть Т % — Щ П V. Область Т % - внешность двугран ного угла раствора 9 (0 в 7г). Пусть I - ребро этого двугранного угла, тогда 0+ Є I. Рассмотрим замкнутые полуплоскости Si.и S2, проходящие через прямую I и точки z\ и z% соответственно, и ограниченные прямой I. Si и S% образуют двугранный угол раствора 0, не меньшего в: в в тт. Рассмотрим сначала предельный случай, когда в = 7Г и Si U S2 -плоскость. Пусть Оо точка пересечения отрезка [zi, z%\ с прямой I. Длина ломаной 74 = Z\OQZ2 = [zi, z \ не превышает длины ломаной: 73) при этом отрезки ZIOQ И Z2O0 образуют с прямой / равные углы. Ясно, что и в общем случае, выбирая на I точку Оо, для которой выполняется указанное свойство равенства углов, мы также получим ломаную 74 для которой,1741 5 І73І- Указанными условиями точка Оо определяется однозначно, следовательно, pvizuz?) есть длина соответствующей ломаной z\0z i Рассмотрим теперь отношение длины отрезка [z\, z%\ к длине ло МаНОЙ Z\0Z2. ДЛЯ ЭТОГО, ВО-ПерВЫХ, ПОЛуЧИМ Оценку угла Z\OQZ2 Пусть lL — прямая, перпендикулярная /, и лежащая в бисектори-альной: плоскости полуплоскостей Si и S2 трехмерного пространства Пз- Т.к. полуплоскости Si и S2 симметричны относительно прямой Iх, а прямые Z\OQ И Z2OQ образуют равные углы с прямой /, то эти прямые также симметричны относительно Iх (и, в частности, эти 3 прямые лежат в одной плоскости). Пусть z[ - проекция точки zi на плоскость S-1, проходящую через /х, перпендикулярно / и А - проекция точки z[ на Iі. В прямоугольных треугольниках Z\AOQ И Z[AOQ катет AOQ -общий, а гипотенуза первого треугольника не меньше гипотенузы второго. Следовательно, /Lz\QA /.Z[OQA. Но первый из этих

Редукция гомологического уравнения к вспомогательному уравнению

Пусть а{у), ш(у) = А — параметры формальной нормальной формы, и пусть по прежнему q(y) = а(у)и (у). Выберем некоторое ро 0 так, чтобы функции j4-y и ш (у) были голоморфными на круге {\у\ 1к Ро}- Тогда для некоторых сі, Oi О справедливы оценки Пусть Ve a {у : \у\ є, argt/ Є (т - а, + а)} - сектори-альная область. Тогда — А{у) — — + A In г/ - выпрямляющее отображение на (д для векторного поля из = ы(у)-Ц-: А (у)и = щ.. Для заданного а (,];) выберем а , /З Є (а, ) так, что а р; пусть T (P,R) - область из пункта 2.4. Лемма 10 L Зр\ Є (0, ро), RQ 1, такие, что А ипъективно на (и, в частности, на Х о определено обратное отображение A l : V0 -+ VQ). B.VR RQ Зр = p{R) 0 : А-1фр#) О „,«. 3. Для некоторых положительных констант сз с\ справедливы оценки: Чисто техническое. Начиная с этого места, параметры р, А, а (т.е. коэффициенты многочлена а) формальной нормальной формы будем считать фиксированными. Зафи зависящей только от N (и параметров формальной нормальной формы). В соответствии со схемой редукции из пункта 2.2.3, по лемме 8, решение д второго уравнения системы (2.28) на области О, существует, если д 2 Є BN+P, iV Р + 1, И единственно, если его искать в классе BN- Это решение определяется цепочкой Д2 «- h — Яг1 ъ 6 — ZSl2 -f ф = Ф2 - р = 2 гф д = Qi p, где Ф2 - оператор из п. 2,5. Обозначим через Ф2 оператор, решающий второе уравнение системы (2.28), так что Ф2 : А 2 9- Тогда Ф2 = Qi о Z l о Ф2 о Z о Q 1, и из лемм 9, 11 следует Лемма 12 Оператор Ф2 действует из BN+P в BN и ограничен: ЗС = C(N): VA2 eBN+p Ф2А2лг СД2 Пусть в системе (2.28) Аі Є BN, А2 Є BN+P- ПО лемме 12 для решения g второго уравнения имеем g 6 BN так что функция Д12 = (Аі + kg) J а, к = ха (у) также принадлежит классу Б . Определим, в соответствии с пунктом 2.2.3, функции ф и 5\2, и в (2.31)сделаем замену переменных — Л(у). Тогда для функций ф = Zф и д\2 = Z5\2 получим уравнение которое решается также, как и уравнение (2.30). К сожалению, функции ф и 5i2, вообще говоря, не попадают ни в один из классов Bs. Заметим, однако, что для функций h — Zh и Ді2 имеют место равенства Поскольку на асимптотические равенства (2.32), (2.33) наличие множителя е никак не влияет, то, по лемме 8, получим существование (в предположении Ді Є Ду, Дг Є #jv+p,N p4-l) решения h первого ксируем также раствор а сектори ал ьных областей, и соответствующие параметры о/, j3, RQ и pi из последней леммы. Через Г2Єіл будем обозначать произведение {\х\ є} х 2?д, где VR — A 1(V(p,R)), R RQ, Є 0. Из второго утверждения леммы 10 следует, что для любого є 0, R RQ область П)д содержит некоторую секториальную область типа Qj, (см. параграф 2.1) при j = 1 раствора а и достаточно малого радиуса.

Поэтому теорему 3 достаточно доказать для областей вида Пе,д, называемых ниже стандартными: Пусть Q = Vle,R - стандартная область. Для любого N 0 рассмотрим пространство Бдг, состоящее из голоморфных на Q функций р с конечной нормой \\ P\\N — SUP \ф{хтУ)\\y\ N Пусть CI = ЇЇ {(х,А(у)) : (х, у) ГЇ}; рассмотрим оператор замены переменой" Z : лр — p{x,y) »- ф — ф(х,) = р{х, A-1 ( )) и операторы умножения Q\ : р i-v tpqf Q2 : у? ь+ а д. Следующая лемма очевидна в силу оценок (2.37) и (2.36): Лемма 11 1. Qi - биекция BN на BN+I+P, « = 1,2, 2. Z - биекция BN на BN/P, 3. Операторы Qi : BN -» BN+P+I, Z : BN -» BNjp a гпакоісе обратные к ним, ограничены; нормы всех этих операторов не превышают некоторой константы, зависящей только от N (и параметров формальной нормальной формы). В соответствии со схемой редукции из пункта 2.2.3, по лемме 8, решение д второго уравнения системы (2.28) на области О, существует, если д 2 Є BN+P, iV Р + 1, И единственно, если его искать в классе BN- Это решение определяется цепочкой Д2 «- h — Яг1 ъ 6 — ZSl2 -f ф = Ф2 - р = 2 гф д = Qi p, где Ф2 - оператор из п. 2,5. Обозначим через Ф2 оператор, решающий второе уравнение системы (2.28), так что Ф2 : А 2 9- Тогда Ф2 = Qi о Z l о Ф2 о Z о Q 1, и из лемм 9, 11 следует Лемма 12 Оператор Ф2 действует из BN+P в BN и ограничен: ЗС = C(N): VA2 eBN+p Ф2А2лг СД2 Пусть в системе (2.28) Аі Є BN, А2 Є BN+P- ПО лемме 12 для решения g второго уравнения имеем g 6 BN так что функция Д12 = (Аі + kg) J а, к = ха (у) также принадлежит классу Б . Определим, в соответствии с пунктом 2.2.3, функции ф и 5\2, и в (2.31)сделаем замену переменных — Л(у). Тогда для функций ф = Zф и д\2 = Z5\2 получим уравнение которое решается также, как и уравнение (2.30). К сожалению, функции ф и 5i2, вообще говоря, не попадают ни в один из классов Bs. Заметим, однако, что для функций h — Zh и Ді2 имеют место равенства Поскольку на асимптотические равенства (2.32), (2.33) наличие множителя е никак не влияет, то, по лемме 8, получим существование (в предположении Ді Є Ду, Дг Є #jv+p,N p4-l) решения h первого уравнения системы (2.28), а также единственность решения (в классе BN), И формулу для его вычисления (она получается из (2.34), после замены ір на ф и S на S ). Используя (2.39), получим из нее окончательно для функции h — Zh формулу где Ai2 = ZAi2. Определим оператор Фі : Ді2 н» h формулой (2.40). Лемма 13 Оператор Ф\ действует из В3 е Ва \ и ограничен.

Оценки функций, определяемых параметрами формальной нормальной формы

В этом пункте будут приведены некоторые оценки, которые потребуются в дальнейшем для исследования нелинейного оператора ТІ. Пусть ро - из пункта 2.2.6, так что ш, 1/а - голоморфны в точках круга {\у\ ро}, и справедливы оценки (2.36). Следующие леммы очевидны: а{у)-а (.у)9),Г22{у,д) =я(у + д)-$(у)-4(у)до- Тогда существует константа С\, такая, что для всех х, у, \х\ I, \у\ ро/2 и любого S, 0 S ро/2 имеем: 1. Из условия \g\ 6, \h\ S следует Пусть v VpXa, v — vPixta = Д = (Д Дг). В соответствии с определением класса УЯ)л,о это значит, что Ді(#, у) = G(yN), &2{х у) = {yN+p), ПРИ У — 0- Отсюда следует, что существуют такие константы С2,ео, что при всех (х,у) Є С2, \х\ є0, \у\ о справедливы оценки І Ді(«.»)І CMN-\ \ЩЫ ,У)\ сьігГ 1-1- (2-46) Отметим, что константы еоі С% зависят только от ростка v Є Vi a. 2.2.13 Оценки оператора ТІ В этом пункте мы покажем „ограниченность" и липшицевость оператора It. Пусть $1 = П)д - стандартная область, Hjv - нормированное пространство из пункта 2.2.7. Положим р = p{R) = sup{yj : (ж, у) Є е,л}; в соответствии с леммой 10, Положим є = min{o,Poi 1} гДе о _ из пункта 2.2.12, а р0 - из пункта 2.2.6. Пусть є, р Є (0, є /2), Гї = ГЇЄ)д, р = /э(й). Рассмотрим пространство = Ду-р х Д/v с нормой Пусть Aij= {h є ІЗ : Ьлг d} - замкнутый шар в Л? радиуса d. Лемма 15 Пусть N р + 1, а параметры d и р таковы, что ТЬгАї существуют некоторые константы Ck 0, k = 3,4,5,6, не зависящие от pud, такие, что 1. Пусть d = Сз + C4d2p- Гогда . Отображение Tt на шаре М$ липшицево с константой L = р(Сб Доказательство. При {#, у) Є fi имеем \у\ р 1, так что Следовательно, \x + h(x,y)\ є , \у + д{х,у)\ є , и также \у + (ж, 2/) 2j/. Значит, мы можем использовать формулы (2.44) для оценки слагаемых Aj и формулы (2.42) - для оценки слагаемых 7. Их применение дает для компонент 7?i, 7 оператора Тс" следующие ограничения: так что достаточно положить Сз = ( 2N+P, С4 = 2Ci- Аналогично для доказательства липшицевости, для любых двух точек h\h2 Є Лч , hl = (hi}gi),i = 1,2, получим \hj\ 6, \д$\ 5, \х + ftj(ar,y) со, її/ + ffj(y) г0. Тогда из оценок (2.45), (2.46) получим оценки разностей [Aj — А , А - = Aj W, W = id + h , а из оценок (2.43) - оценки разностей TtY h1) — lZij(h2). В результате получим (2.50) с константой L = р{Съ + CgcQ, где Съ = 2Сг, Се ЗСі. Напомним, что при заданной невязке А оператор S определяется равенством: S : h н ф о 71( A , h), где Ф - оператор, решающий гомологическое уравнение. Следующая лемма является очевидным следствием леммы 14 и предложения 2.2: Лемма 16 Пусть параметры pud удовлетворяют условиям (2.48). Тогда оператор S отображает шар Ai f в шар М. ,, d" Cdf и является липшицевым на Л4 с константой V — CL. Напомним, что d — С + C$d2, L — р{С$ + Cd).

Положим d .= СС% + 1, и выберем р так, чтобы выполнялось неравенство (2.48), а также неравенства Cd2Cip 1 и CL 1. Тогда d dy так что S(Mj) С Л4 , и 5 - сжимающий на M.#: его константа Липшица V = LC 1. Заметим, что нормированное пространство В - банахово, и потому метрическое пространство Л4 = Л4 (с метрикой disttb1, h2) = ЦЬ1 — h2j r) - полно. Поэтому, по теореме о сжимающих отображениях, существует и единственно решение h = (Л, д) Поскольку область 0)д содержит некоторую секториальную область типа Пі (раствора а и достаточно малого радиуса), то тем самым первое утверждение теоремы 3 доказано. Замечание 2.6 В этом рассуждении константу d на самом деле можно взять произвольной, большей ССз, а выполнение неравенств d d, (2.48) и V 1 можно обеспечить за счет выбора р. Следовательно, по теореме единственности для аналитических функций, наши рассуждения доказывают единственность сектори-ального нормализующего отображения Н\ — id + (h,g) и в более широком классе функций, для которых нормализующая за-мена координат ростка г», Н(х,у) = ] Hk{x)y Обозначим через А Л Яп - п-ю частичную сумму ряда Я. Пусть голоморфная замена координат Яп переводит росток -и в росток vn: Hnv = vn о #„; тогда vn Є V" J д . Пусть Tin — секториальная нормализующая замена для ростка и„, определенная в соответствии с пунктами 2.2.2 -2.2.15, тогда Но тогда замена координат Я = 7{п о Нп является нормализующей для ростка v. Для замены Я справедливы асимптотические формулы (2.52). Но они же справедливы (при п N + р) в силу ( ) и для Я. Поэтому, из замечания 2.6 следует совпадение Я и Я (на некоторой секториальной области): Я = Нп о Нп. Из (2.53) тогда следует: Поскольку п - произвольно, то это и означает, что Я - асимптотическое отображение для Я.

Похожие диссертации на Функциональные инварианты аналитической классификации вырожденных элементарных особых точек ростков голоморфных векторных полей

Функциональные инварианты в задачах локальной аналитической классификацииВоронин, Сергей Михайлович

О некоторых свойствах алгебр матричных инвариантов над бесконечными полями конечной характеристики Кузьмин Сергей Геннадьевич

Функциональные инварианты одной задачи локальной аналитической классификацииГринчий, Алена Аркадьевна