Содержание к диссертации
Введение
2 Построение вспомогательных соотношений 11
2.1 Определения и краткая формулировка задач 12
2.2 Построение вспомогательных функций 16
3 Задача об управлении двумя смещениями 21
3.1 Формулировка задачи 22
3.2 Построение вспомогательных соотношений 24
3.3 Минимизация. Нахождение оптимального управления 25
3.3.1 Случай А Є [О, I] 26
3.3.2 Случай А є [1,21] 30
3.3.3 Определение функций оптимального управления 34
4 Задача управления третьим условием 37
4.1 Формулировка задачи 38
4.2 Построение вспомогательных функций 40
4.3 Минимизация. Нахождение оптимального управления41
4.3.1 Случай Д Є [0, I] 42
4.3.2 Случай А є [1,21] 45
5 Управление при малых временах 50
5.1 Управление колебаниями двумя смещениями 51
5.1.1 Постановка задачи 51
5.1.2 Случай 1/2 < Т < I 52
5.1.3 Случай 0 < Т < 1/2 55
5.2 Управление двумя силами 58
5.3 Достаточные условия существования граничного управления 61
6 Пример необходимости интегральных условий 65
Литература 70
- Построение вспомогательных функций
- Минимизация. Нахождение оптимального управления
- Управление колебаниями двумя смещениями
- Достаточные условия существования граничного управления
Введение к работе
Актуальность темы. Многие современнные технические устройства и системы, например самолеты и другие летательные аппараты, работают в экстремальных условиях, и поэтому в них могут возникать нежелательные и даже опасные колебания. В подобных устройствах такие колебания необходимо гасить как можно быстрее. С другой стороны, в некоторых объектах, наоборот, необходимо генерировать колебания заданной частоты. Таким образом возникает два сорта задач: задачи о гашении колебаний и задачи о возбуждлении колебаний. Как правило, при этом возникает оптимизационная задача: успокоить или возбудить систему с минимальным затрачиванием ресурсов.
В чисто математическом плане подобные задачи формулируются в терминах граничных задач для различных уравнений гиперболического типа. А критерием оптимальности может быть, в общем случае, произвольное условие, но, как правило, выбирается условие минимизации функционала, в той или иной степени связанного с нормой функции.
Вопросы, связанные с колебаниями сферы и сферического осциллятора, тесно связаны с процессами и задачами, возникающими в акустических системах, а также в квантовой и электромагнитной механике.
В случае колебаний при радиальной симметрии потенциал скорости сферической волны удовлетворяет следующему уравнению:
utt(r, t) -[r2ur(r, t)]r = О,
где переменная г — есть пространственная координата, at — координата по времени. Если известен такой потенциал волны, то по нему можно вычислить скорость распространения волны, ее энергию и другие необходимые на практике величины.
Вопросы о генерации, гашении и управлении колебаниями сферического слоя являются на сегодняшний день актуальными и интересными с точки зрения их прикладной важности во многих разделах физики.
Помимо акустики подобные задачи возникают в физике плазмы, например при рассмотрении колебаний газо-электронного облака в плазме при условии радиальной симметрии.
Идеи возбуждения электромагнитных волн при помощи колебаний сферы были положены в разоаботку кристаллического осциллятора, применяющегося в радио и основанного на колебаниях сферы из пьезоэлемента для создания электрического сигнала заданной частоты. Уже в 1894 году Аугусто Ричи был предложен сферический генератор электромагнитных волн.
Цель работы. Целью диссертационной работы является изучение задач граничного управления колебаниями сферически-симметричного слоя, явное построение граничного управления, формулировка и решение задач оптимизации управления в тех случаях, когда это необходимо, а также выяснение необходимых и достаточных условий существования граничного управления.
Научная новизна, теоретическая и практическая значимость.
Решены задачи управления колебаниями в случае смещения и силы. Найдено оптимальное управление, отвечающее общему виду критерия оптимальности в обоих случаях управления.
Получены необходимые и достаточные условия существования граничного управления колебаниями слоя при критических временах и меньших критических. Получены явные формулы для такого управления.
Апробация работы. Основные результаты диссертационной работы докладывались на семинарах В.А. Ильина, И.А. Шишмарева, Ф.П. Васильева и А.В. Арутюнова, конференции "ЛОМОНОСОВ-2009", и коференции, посвященной 70-летию академика В.А. Садовничего.
Публикации. Основные результаты диссертационной работы опубликованы в четырех работах, две из них — в изданиях, рекомендованных ВАК, две — тезисы докладов конференций.
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из шести глав (первая из которых вводная) и списка литературы. Текст изложен на 72 страницах, диссте-ратция содержит 3 рисунка. Список литературы включает в себя 26 наименований.
Построение вспомогательных функций
Помимо акустики вопросы связанные с колебаниями сферы и сферического осциллятора возникают в физике плазмы. Например в [1] рассматриваются колебания газо-электронного облака в плазме при условии радиальной симметрии. Появляются подобные задачи и в электромагнетизме. Уже в 1894 Аугусто Риги (итал. Augusto Righi) разработал новый метод получения электромагнитных волн, основанный на колебаниях сферического осциллятора. Подобные идеи были положены в разработку кристаллического осциллятора, применяющегося в радиоэлектронике и основанного на колебаниях сферы из пьезоэлемента для создания электрического сигнала заданной частоты1.
Задаче на граничное управление колебаниями шара В.А. Ильин посвятил две работы, в которых исследовался вопрос о существовании управления и такого минимального интервала времени, за который возможно такое управление.
В работе [14] рассматривалось граничное управление колебаниями шара при малых временах, а именно при Т 2R, где R — радиус шара, при условии существования конечной энергии решения. В этой работе управление искалось в классе W2(BT), где Вт = {[О, R] х [О, Т]}, а Т обозначает финальный момент времени, к которому необходимо завершить управление. Было доказано, что если Т 272, то управление определяется единственным образом. Причем, если Т строго меньше 2R, то управление существует при выполнении дополнительных условий.
В более ранней работе В.А. Ильина [13] было получено необходимое условие принадлежности решения уравнения колебаний шара указанному классу W , а именно: ограниченность интеграла энергии решения и выполнение следующего соотношения для почти всех моментов времени t Є [О, Т]. В настоящей работе рассматриваются колебания трехмерного сферического слоя в условиях радиальной симметрии, описывающиеся уже упоминавшимся уравнением в прямоугольнике Вт = {[0 Ri г R2] х [0 t Т]}, где Ri и R2 — радиусы внутренней и внешней сфер соответственно, финальный момент времени Т равен 2ml + А (см. [25], [26]). Здесь Д — произвольное число из интервала [0, 21], I = R2 — R\ — ширина слоя, m Є N U {0}. Управление колебаниями такого слоя сосредоточено на сферах. На сфере с радиусом {г = Ri} ведется управление при помощи функции fi(t), а на сфере с радиусом 1 Кристаллический осциллятор представляет собой электрическую цепь, в которой используются резонансные колебания сферы из пьезоэлемента для точного модулирования заданной частоты в цепи. Подобные устройства используются для создания точного часового сигнала в электронике и цифровых приборах и стабилизации частот в радиоприемниках и передатчиках. Наиболее распространенный пьезоэлемент, который используется в осцилляторе — кварц, откуда и идет название кристаллический осциллятор. {г = R2} задано управление u(t). Традиционно рассматриваются задачи отыскания граничного оптимального управления {//(i), v(t)}, переводящего этот слой за время Т из произвольного начального состояния { р(г), ф(г)} в произвольное финальное {і і(г), фі(f)}. В настоящей работе, в отличие от предыдущих, оптимальное управление находится из условия минимизации более общих видов функционалов, связанных с нормой функций. Вторая глава диссертации посвящена построению необходимых дополнительных функций. Также в ней формулируются основные исследуемые задачи и кратко формулируются методы их решения с основными моментами, использующимися в этих методах. Вводятся необходимые определения функционального класса, обощенных решений. В третьей главе данной работы рассматривается задача об управлении колебаниями при помощи смещения при достаточно большом времени Т, таком, что управление определено неоднозначно. В такой постановке функции управления ищутся в классе И О, Т] и минимизируется функционал от производных этих функций: где а и 6 — произвольные, отличные от нуля, константы. При стандартных предположениях на начальные, финальные и граничные функции: р(г), (г) Є ИДОЬ R2], ф(г), ф г) Є L2[RU Щ, fi(0) = 4 (Ri), fi(T) = cpx{Rx), u(0) = (p(R2), v(T) — pi(R2), получены явные формулы, описывающие управление {/i(i), z (i)}. Показано, что функции управления в данном случае представляют собой сумму линейной и периодической функций. В четвертой главе рассматривается управление воздействием силами на обе сферы: также при достаточно больших значениях Г, гарантирующих неединственное управление. Задание управлений подобным образом дает возможность учитывать влияние силы в процессе управления и является наиболее актуальным в физических приложениях. Здесь функции /j,(t) и v{i) ищутся уже в классе L2[0, Т] и при этом минимизируется функционал от самих этих функций: где аий" также произвольные, отличные от нуля, константы. В этом случае, также при стандартных предположениях на начальные и финальные функции: р(г), рх(г) Є W$[Ri, R2], ф(г), фі(г) Є L2[Ri, R2], управление {/x(t), u(t)} выписывается в явном виде. Однако, в отличие от задачи, рассмотренной в главе 3, сами функции управления уже не будут представлять собой сумму линейной и периодической функции. Кроме того, сами эти функции также не являются периодическими, но таковой уже является их линейная комбинация, a2R\n(t)-\-b2R2v{t), с периодом 21. Отдельный практический интерес представляют собой задачи, связанные с управлением за малый временной интервал. В работах В.А. Ильина [11] и [12] были полностью исследованы вопросы существования граничного управления колебаниями струны смещением либо на одном конце, при условии закрепления второго, т.е. либо одновременнно на обоих концах струны, а именно Также в работе П.А. Рево и Г.Д. Чабакаури [24] были рассмотрены аналогичные вопросы сущестования граничного управления смещением на одном конце при свободном втором: при малом выборе момента времени Т. Для таких постановок задач граничного управления было определено критическое значение времени Т гц- Кроме этого были получены необходимые и достаточные условия существования управления, которым должны подчиняться начальные и финальные условия, если Т Thru, и для таких интервалов времени показана единственность искомого граничного управления. В пятой главе проводится исследование аналогичного вопроса о существовании граничного управления при малых временах. Рассмотрено два варианта управления колебаниями сферического слоя: управление на двух сферах либо силой либо смещением
В обоих задачах определения управления промежуток времени меньше или равен критического, который, в данном случае, равен /, т.е. ширине слоя. Для обоих случаев найдены необходимые и достаточные условия существования граничного управления, которые накладываются на начальные и финальные данные. Всего таких условий три. Первое и второе условия задаются на отрезках:
Минимизация. Нахождение оптимального управления
В данной главе изучается граничное управление смещенем процессами колебаний и его оптимизация при произвольном большом временном интервале. Исследуются колебания сферического слоя при условии радиальной симметрии. На внутренней сфере, ограничивающей данный слой, задано управление ц(і), а на внешней — управление
Колебания в данном случае описываются уравнением (2.1): где область Вт совпадает с прямоугольником {0 R\ г 1} х {0 t Т}, R\ — это радиус внутренней сферы, R2 — внешней. Состояние слоя в каждый момент времени описывается двумя функциями { р{г), ф(г)}, которые называются смещением и скоростью соответсвенно. Решение уравнения ищется в классе W2(BT)- Смещение берется из класса W iRx, R2), а скорость — из L2(R\, R2). Функции управления ищутся в классе W2 (О, Т), где финальный момент времени Т определяется по формуле Т = 2ml + A, I = R — Ri, А Є [0, 21], m Є N U {0} (необходимо отметить, что в случае равенства нулю числа т, то Д строго больше /). Начальные условия имеют вид: и(г, 0) = ср(г), щ(г, 0) = ф(г), а финальные: и(г, Г) = (г), щ(г,Т)=ф1{г), где (f(r), (fi(r), ф(г) и фх{г) — заданные известные функции. Управление ведется на границе и задается условиями u{Ru t) = (i(t), u{R2,t)=v{t). Функции /i(t) и и{t) ищутся в классе И О, Т]. Основная задача для уравнения (2.1) имеет вид: utt(r, t) - [r2ur(r, t)]r = 0 в Вт, u(r,0) = tp(r), щ{г, 0) = ф(г), (3.1) u(Ru t) = /x(i), u(R2, t) = V{t). Решение этой задачи ищем в указанном во второй главе классе W BT). Определение. Решением из класса W {BT) задачи (3.1) назовем фукнцию u(r, t), которая для любой пробной функции Ф(г, t) Є С2(Вт), удовлетворяющей условиям Ф(ДЬ і) = Ф(Я2, і) = 0 для всех і Є [О, Т], Ф(г, Т) = Ф4(г, Г) = О для всех г Є [Дь Да], обращает в тождество следующее интегральное соотношение: Т Я2 И.2 Я2 / / и(г, і)Ф(г, t)r2drdt + / (Г)ФІ(Г, 0)r2dr - / (г)Ф(г, 0)r2dr+ 0 Яі Ях Яі т г о о Нетрудно заметить, что задача (3.1) при помощи замены (2.18), (2.19) v(x, t) = и(г, ), х = г — Лі V(ar, t) = (ж + Ді)г;(а;, t) сводится к задаче для волнового уравнения, исследованной В.А. Ильиным в работе [17]. Более того, нетрудно показать, что определение обобщенного решения для задачи колебаний сферического слоя при такой замене переходит в определение обобщенного решения для волнового уравнения, данного В.А. Ильиным. Из работы В.А. Ильина [11] следует, что задача отыскания граничных управлений u(t) и u(t) имеет, при Т I, бесконечно много решений. Поэтому возникает закономерный вопрос о выделении какой-то одной оптимальной пары управлений. В нашем случае критерием оптимальности выступает следующее условие: г {a2{RlU (t)}2 + b2[R2v {t)f}dt - min, (3.2) о где а я b — произвольные константы, отличные от нуля. Теперь сформулируем рассматриваемую нами задачу отыскания оптимального управления. Найти функции управления u(t) и v(t), которые переводят решение задачи (3.1) из начального положения в финальное и удовлетворяют условию минимизации (3.2) при произвольных фиксированных отличных от нуля константах а и Ь. Согласно определению функциональных классов, в которых мы решаем нашу задачу, должны выполняться условия согласования следов (2.10), (2.11): МО) - /?№), 1/(0) = v(R2), fi(T) = (Дх), K ) = i(#2). Пара функций оптимального управления находится методом условной минимиза ции. Однако в рассматриваемом случае требуется наложить дополнительные инте гральные условия согласования (2.7) на функции u(t) и v(t): Применяя замену (2.18), (2.19) и используя [17], мы находим функцию (2.20), которая имеет такие же начальные состояния, что и функция u(r, t), и при этом является решением уравнения колебаний сферического слоя (2.1) из класса W\(Вт): u(r, t) = { r+t (г + t)cp(r + t) + (r- t)cp(r )+ f pi (p)dp в Д1; rr+t (r + t) p(r + t) + Ri p(Ri) + J fnp(p)dp в Д2, Яі я2 Д2у (Я2) + (r- t)ip{r - t) + J рф(р)йр в Лз, r Я2 Rb4 (R%) + RMR\) + І рФ(р)(ір = C0 в д4. Я, Граничные значения функции й(г, і) равны: Ri+t 2Ri п\ J (Ді + M i + f) + RMRi) + I Pi {p)dp, когда t Є [0, 1} C0 когда t =[l,T]. я2 1 I 2 () + (#2 - МД2 - ) + / рФШр, когда Є [0, I] 2 [c0 когда t Є [/, T]. После замены: й(г, t) = u(r, t) — й(г, і), полученная функция будет удовлетворять задаче (2.22): Си = 0 в Вт, й(г, 0) = 0 щ(г, 0) = 0, й(Яь t) = Д( ), г2(Да, ) = Р( ), где: p(t)=p(t) p(t), u{t) = u{t) - u{t). При этом финальные условия перейдут в следующие: С i(r) = Vi(r)-2p i(r) = i(r) Опять воспользовавшись заменой (2.18), (2.19) и работой [17], а также формулой (2.26) для p(t) и v(t), мы можем сразу выписать явный вид решения й(г, t) задачи (2.22): тп+\ + «(г, t) = — J2 k{t + г - Ri - (2k + 1)/) - J2 Я - г + Лі - (2k - 1)/) fc=l , =0 Глава 3. ЗАДАЧА ОБ УПРАВЛЕНИИ ДВУМЯ СМЕЩЕНИЯМИ т+1 +-г J2gt-r + Rl-2kl)-J p(t + r-R1-2kl) (3-3) „к=0 к=1 Из этого представления сразу получаются дополнительные условия минимизации, налагаемые на функции /d(t) и v(t). Действительно, дифференцируя (3.3) по г и по і и подставляя значение t — Т = 2ml + А, а затем складывая и вычитая полученные выражения, придем к следующему виду условий, при которых необходимо проводить минимизацию.
Управление колебаниями двумя смещениями
Простой подстановкой в (5.31) значений для функций управления проверяется выполнение интегрального условия (5.9) Условие совпадения следов (5.32) также проверяется непосредственным вычислением. Таким образом, мы можем сформулировать теорему.
Теорема 5.4. Пусть финальный момент времени Т изменяется в пределах [0, I]. Рассмотрим задачу (5.27). Тогда для существования граничного управления (5.28) достаточно выполенения условий (5.29), (5.30), (5.31) и (5.32). Аналогичным образом проверяется, что условия (5.29), (5.30), (5.31) являются достаточными и в случае управления силой на двух концах. Рассмотрим задачу (5.27) с тремя условиями: (5.29), (5.30) и (5.31), но теперь граничное управление задается по формулам Функции управления принадлежат классу L2[0, Т]. Решение задачи ищем в таком же виде, что и в случае управления смещениями: u(r, t) = -(F(t - г + Ді) + G( + г - R2)), функции F(t) и G(t) — точно такие же, как и в первом случае. Однако, управление уже определяется иначе: RxHit) = F (t), R2v(t) = G (t), t є [0, T]. (5.34) Сформулируем теорему. Теорема 5.5. Пусть момент времени Т принадлежит отрезку [О, I]. Тогда для существования граничного управления (5.33) в задаче (5.27) достаточно выполнения трех условий (5.29), (5.30) и (5.31). При этом граничное управление определяется по формулам (5.34). В заключение приведем необходимые и достаточные условия, когда момент времени Т равен критическому, т.е. /. Следствие 5.5.1. Рассмотрим задачу граничного управления и(г, 0) = р(г), щ(г, 0) = ф(г), и{г, Т) = (pi{r), щ(г, Т) = фі(г). Пусть граничное управление ведется либо смещением (5.28), либо силой (5.33). Пусть момент времени Т равен I. Тогда необходимым и достаточным условием существования граничного управления в данном случае является выполнение следующего равенства Плюс, в случае управления смещениями, к этому условию добавляется требование согласования следов (5.32). Заметим, что из всего вышесказанного следует, что в перечисленных задачах существования граничного управления минимально возможный интервал времени, за который мы можем перевести систему из заданного произвольного начального в заданное ПрОИЗВОЛЫЮе финальное СОСТОЯНИе Определяется ПО формуле Т = Tkrit + є, где є — произвольное число, большее нуля. В этом случае граничное управление определяется неоднозначно. Если же Т Т ги, то управление определено однозначным образом, но существует не для всех начальных и финальных данных. При этом, чем меньше момент времени Т по сравнению с критическим Thru, тем жестче становятся условия на начальные и финальные функции. И если третье соотношение является аналогом необходимого и достаточного условия существования управления в случае Т = Tkru, то первые два условия возникают только при Т Т и и накладывают жесткие условия уже на отрезках на все четыре функции начального и финального состояний. Проиллюстрируем на примере необходимость интегральных условий согласования для корректного определения функций оптимального управления. Может показаться, что, поскольку эти условия автоматически следуют из формулы Ньютона-Лейбница и функционального класса решения, то они будут выполнены автоматически и при нахождении граничного управления, и полученный результат будет гарантировать их выполнение. Однако, это не так, и ниже в этой главе показано, что если нахождение граничного управления осуществляется без учета этих условий, то полученное решение не будет принадлежать требуемому функциональному классу. Рассмотрим следующую задачу нахождения оптимального управления. Си = utt - ± [r2ur(r, t)]r = О, u(r, 0) = 0, щ(г, 0) = 0, (6.1) u(Rltt)=fi(t), u(R2,t) = v(t). Финальные условия имеют вид: и(г, Т) = cos г, ut(r, Т) — —sin г. (6.2) Считаем, что радиус R\ равен тт, a Ri — равен 27г. Момент времени Т выбирается равным 31, где / = i?2 — Ri- Таким образом, Т = 2х + 7г, и из общей формулы для Т, Т = 2ml + А, видно, что m = 1, А = 7г.
Достаточные условия существования граничного управления
Помимо акустики вопросы связанные с колебаниями сферы и сферического осциллятора возникают в физике плазмы. Например в [1] рассматриваются колебания газо-электронного облака в плазме при условии радиальной симметрии. Появляются подобные задачи и в электромагнетизме. Уже в 1894 Аугусто Риги (итал. Augusto Righi) разработал новый метод получения электромагнитных волн, основанный на колебаниях сферического осциллятора. Подобные идеи были положены в разработку кристаллического осциллятора, применяющегося в радиоэлектронике и основанного на колебаниях сферы из пьезоэлемента для создания электрического сигнала заданной частоты1.
Задаче на граничное управление колебаниями шара В.А. Ильин посвятил две работы, в которых исследовался вопрос о существовании управления и такого минимального интервала времени, за который возможно такое управление. В работе [14] рассматривалось граничное управление колебаниями шара при малых временах, а именно при Т 2R, где R — радиус шара, при условии существования конечной энергии решения. В этой работе управление искалось в классе W2(BT), где Вт = {[О, R] х [О, Т]}, а Т обозначает финальный момент времени, к которому необходимо завершить управление. Было доказано, что если Т 272, то управление определяется единственным образом. Причем, если Т строго меньше 2R, то управление существует при выполнении дополнительных условий. В более ранней работе В.А. Ильина [13] было получено необходимое условие принадлежности решения уравнения колебаний шара указанному классу W , а именно: ограниченность интеграла энергии решения и выполнение следующего соотношения для почти всех моментов времени t Є [О, Т]. В настоящей работе рассматриваются колебания трехмерного сферического слоя в условиях радиальной симметрии, описывающиеся уже упоминавшимся уравнением utt(r, t) -[r2ur(r, t)}r = О в прямоугольнике Вт = {[0 Ri г R2] х [0 t Т]}, где Ri и R2 — радиусы внутренней и внешней сфер соответственно, финальный момент времени Т равен 2ml + А (см. [25], [26]). Здесь Д — произвольное число из интервала [0, 21], I = R2 — R\ — ширина слоя, m Є N U {0}. Управление колебаниями такого слоя сосредоточено на сферах. На сфере с радиусом {г = Ri} ведется управление при помощи функции fi(t), а на сфере с радиусом Кристаллический осциллятор представляет собой электрическую цепь, в которой используются резонансные колебания сферы из пьезоэлемента для точного модулирования заданной частоты в цепи. Подобные устройства используются для создания точного часового сигнала в электронике и цифровых приборах и стабилизации частот в радиоприемниках и передатчиках. Наиболее распространенный пьезоэлемент, который используется в осцилляторе — кварц, откуда и идет название кристаллический осциллятор. Глава 1. ВВЕДЕНИЕ {г = R2} задано управление u(t). Традиционно рассматриваются задачи отыскания граничного оптимального управления {//(i), v(t)}, переводящего этот слой за время Т из произвольного начального состояния { р(г), ф(г)} в произвольное финальное {і і(г), фі(f)}. В настоящей работе, в отличие от предыдущих, оптимальное управление находится из условия минимизации более общих видов функционалов, связанных с нормой функций. Вторая глава диссертации посвящена построению необходимых дополнительных функций. Также в ней формулируются основные исследуемые задачи и кратко формулируются методы их решения с основными моментами, использующимися в этих методах. Вводятся необходимые определения функционального класса, обощенных решений. В третьей главе данной работы рассматривается задача об управлении колебаниями при помощи смещения и(Дь ) = /і( ), u(R2, t) = u(t) при достаточно большом времени Т, таком, что управление определено неоднозначно. В такой постановке функции управления ищутся в классе И О, Т] и минимизируется функционал от производных этих функций: где а и 6 — произвольные, отличные от нуля, константы. При стандартных предположениях на начальные, финальные и граничные функции: р(г), (г) Є ИДОЬ R2], ф(г), ф г) Є L2[RU Щ, fi(0) = 4 (Ri), fi(T) = cpx{Rx), u(0) = (p(R2), v(T) — pi(R2), получены явные формулы, описывающие управление {/i(i), z (i)}. Показано, что функции управления в данном случае представляют собой сумму линейной и периодической функций. В четвертой главе рассматривается управление воздействием силами на обе сферы: также при достаточно больших значениях Г, гарантирующих неединственное управление. Задание управлений подобным образом дает возможность учитывать влияние силы в процессе управления и является наиболее актуальным в физических приложениях. Здесь функции /j,(t) и v{i) ищутся уже в классе L2[0, Т] и при этом минимизируется функционал от самих этих функций: В этом случае, также при стандартных предположениях на начальные и финальные функции: р(г), рх(г) Є W$[Ri, R2], ф(г), фі(г) Є L2[Ri, R2], управление {/x(t), u(t)} выписывается в явном виде. Однако, в отличие от задачи, рассмотренной в главе 3, сами функции управления уже не будут представлять собой сумму линейной и периодической функции. Кроме того, сами эти функции также не являются периодическими, но таковой уже является их линейная комбинация, a2R\n(t)-\-b2R2v{t), с периодом 21. Отдельный практический интерес представляют собой задачи, связанные с управлением за малый временной интервал. В работах В.А. Ильина [11] и [12] были полностью исследованы вопросы существования граничного управления колебаниями струны смещением либо на одном конце, при условии закрепления второго, т.е. «(О, t) = n(t), u(l, t) = О, либо одновременнно на обоих концах струны, а именно и(0, t) = ц{ї), u(l, t) = v{t). Также в работе П.А. Рево и Г.Д. Чабакаури [24] были рассмотрены аналогичные вопросы сущестования граничного управления смещением на одном конце при свободном втором: и(0, t) = /z(i), их{1, t) = О, при малом выборе момента времени Т. Для таких постановок задач граничного управления было определено критическое значение времени Т гц- Кроме этого были получены необходимые и достаточные условия существования управления, которым должны подчиняться начальные и финальные условия, если Т Thru, и для таких интервалов времени показана единственность искомого граничного управления.
