Введение к работе
Актуальность темы. Многие важные задачи математической физики и биологии, в особенности изучение вопросов долгосрочного прогнозирования и регулирования грунтовых вод на мелиорируемых территориях, приводят к граничным задачам для линейных нагруженных строго и слабо гиперболических уравнений второго порядка с двумя независимыми переменными. Отметим также связь, которая существует между нелокальными краевыми задачами для различных уравнений с частными производными и нагруженными уравнениями. Таким образом изучение локальных и нелокальных граничных задач для уравнений указанного типа представляет не только теоретический, но и практический интерес.
Объект и цель исследования. Цель исследования диссертации - отыскание и изучение корректно, поставленных локальных и нелокальных граничных задач для линейных нагруженных гиперболических уравнений и систем второго порядка.
Научная новизна. В диссертационной работе установлена корректность некоторых граничных задач типа Дарбу для линейных нагруженных гиперболических уравнений и систем второго порядка с двумя независимыми переменными. Граничные услови" *> этих задачах определяются дифференциальным оператором первого г.., ядка, а носителем этих условий служат два луча 7i и 72 с общей точкой О в начале координат. С помощью методов функционального анализа, интегральных и функциональных уравнений получены условия однозначной разрешимости поставленных задач в соответствующих классах. В работе также показано, что в отличие от классических задач Гурса и Дарбу для гиперболических-уравнений второго порядка, в случае нагруженных уравнений младшие члены влияют на корректность поставленных задач.
Исследована также нелокальная граничная задача для одного нагруженного гиперболического уравнения второго порядка. На основе теории интегро-функциональных уравнений доказаны теоремы существования и единственности. Для одного класса вышеуказанных нелокальных задач с использованием спектральной теории положительных операторов доказано, что соответствующая однородная задача имеет ненулевое решение. Следует отметить, что полученный результат существенным образом обусловлен участием в уравнении нагруженных членов.
Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались на научных семинарах отдела теории дифференциальных уравнений в частных производных ИПМ им. И. Н. Векуа- ТГУ, на семинарах кафедр высшей математики и теоретической механики ГТУ, на расширенных заседаниях семинара ИПМ им. И. Н. Векуа ТГУ (Тбилиси, 1993,
1995), на научной конференции профессоро-преподавательского состава Батумской государственной морской академик (Батуми, 1996), на международном симпозиуме по проблемам механики сплошных сред ГТУ (Тбилиси, 1997.), на съезде математиков Грузии (Тбилиси, 1997).
Объем и структура диссертации. Диссертация занимает 106 стр. Она состоит из введения, трех глав и списка цитированной литературы.