Введение к работе
Актуальность работы. Сингулярно возмущенные системы обыкновенных дифференциальных уравнений используются для моделирования процессов различной природы. Так, в моделях химической кинетики наличие малого параметра связано с тем, что в химической системе одновременно происходят резко отличающиеся по скорости процессы.
Основы теории сингулярных возмущений были заложены в работах Тихонова А.її. Наиболее широкое распространение получил метод пограничных функций Васильевой-Тихонова. Дальнейшее развитие теория получила в работах Буту-зова В.Ф., Васильевой А.Б. и их учеников. Исследованию сингулярно возмущенных систем дифференциальных уравнений посвящены также работы Вишика М.И., Ильина A.M., Кащенко С.А., Красовского Н.Н.., Кэлли А., Ломова С.А., Люстер-ника Л.А., Маслова В.П., Мищенко Е.Ф., Моисеева Н.Н., Найфэ А.Х., О'Молли, Розова Н.Х., Чанга К., Хауэса Ф. и многих других авторов.
Основное предположение обычно состоит в том, что основной функциональный определитель быстрой подсистемы отличен от нуля. Однако, во многих прикладных задачах, в частности в задачах химической кинетики, это условие нарушается, и возникают различные критические ситуации. Различные критические случаи рассматривались в работах Вутузова В.Ф., Васильевой А.Б., Волосова В.М., Крсйна С.Г., Кононеико Л.И., Нефедова Н.Н., О'Молли, Соболева В.А., Чернышова К.И.
Нарушение этого условия может привести к возникновению траекторий-уток.
Термин "утка" возник в математической литературе в связи с применением нестандартного анализа к исследованию дифференциальных уравнений. Первое упоминание об утках принадлежит, по видимому, Ж.-Л. Калло, М. Дьеие, Ф. Дьене (1978). Исследование траекторий-уток для различных классов систем проводилось в работах многих авторов. Следует отметить работы Бенуа Э., Горелова Г.Н., Дьене Ф., Дьене И., Звонкипа А.К., Калло Ж.-Л., Колесова А.Ю., Мищенко Е.Ф., Самборского С.Н., Соболева В.А., Треш А., Урлаше Э., Шубина М.А. Заметим, что если первоначально термин "утка" употреблялся применительно к предельным циклам уравнений тина уравнения Ван-дер-Поля (так называемые циклы-утки), то позднее речь идет об объектах более общей природы — о траекториях-утках как одномерных устойчиво-неустойчивых медленных интегральных многообразиях.
Одним из основных методов исследования сингулярно возмущенных систем является метод интегральных многообразий Боголюбова- Митропольского. Теория интегральных многообразий применялась для исследования сингулярно возмущенных систем в работах Бариса Я.С, Задираки К.В., Лыковой О.Б., Митропольского Ю.А., Самойлснко A.M., Соболева В.А., Стокса А., Стрыгина В.В., Фодчука В.И., ХеЙла Дж.
Данная работа посвящена исследованию класса систем обыкновенных нелинейных сингулярно возмущенных дифференциальных уравнений и применению полученных результатов для анализа задач теории горения.
Для задач теории горения является характерной высокая скорость тепловыделения при сравнительно низкой скорости расходования горящего вещества. Это различие носит настолько резкий характер для газофазных систем, что явление самовоспламенения приобрело название "теплового взрыва".
Одной из главных задач теории горения является определение критических усло-
пий теплового взрыва. Критичность понимается в следующем смысле: критический режим разграничивает область взрывных и невзрывных режимов. При этом реакция горения будет протекать максимально долго, не срываясь ни в режим взрыва, ни переходя к медленному режиму. Следовательно, с технологической точки зрения, во многих случаях критический режим является наиболее эффективным. Исследованиям критических явлений посвящены работы Бабушка В.И., Гольдштейна В.М., Горелова Г.Н., Грея П., Дубовицкого Ф.И., Кэссой Д.Р., Ли-наиа А., Мержанова А.Г., Семенова Н.И., Соболева В.А., Тодеса О.М., Франків аменецкого Д. А.
Цель работы. Изучение вопросов существования траекторий-уток некоторых классов сингулярно возмущенных систем обыкновенных дифференциальных уравнений, построение асимптотических разложений решений-уток с заданными начальными условиями; применение математических результатов к анализу критических условий теплового взрыва в задачах теории горения.
Методы исследования. В работе используются методы теории обыкновенных дифференциальных уравнений, функционального анализа, идеи теории сингулярных возмущений и интегральных многообразий.
Научная новизна. Основные результаты диссертации являются новыми. Выделены классы сингулярно возмущенных систем обыкновенных дифференциальных уравнений, для которых получены достаточные условия существования решений-уток и построены асимптотические разложения. Получены асимптотические формулы для критических режимов и критических условий теплового взрыва газа, пометенного в инертную пористую или запыленную среду.
Теоретическая и практическая ценность. Полученные в диссертации результаты имеют теоретическое значение и могут быть использованы при качественном исследовании сингулярно возмущенных систем обыкновенных дифференциальных уравнений. Разработанные в диссертации алгоритмы построения асимптотических разложений решений-уток могут быть использованы для моделирования и расчета критических явлений в химической кинетике и теории горения.
Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались на IV Международном Семинаре "Структура Пламени" (Новосибирск, 1992), на конференции "Нелинейные проблемы дифференциальных уравнений и математической физики — Вторые Боголюбовские чтения" (Киев, 1993), на XI Российском Коллоквиуме "Современный групповой анализ и задачи математического моделирования" (Самара, 1993), на II Международной научно-технической конференции "Актуальные проблемы фундаментальных наук" (Москва, 1994), на III Международном семинаре "Устойчивость и колебания нелинейных систем управления" (Самара, 1994), на Международной конференции "Дифференциальные уравнения и их приложения" (Саранск, 1994), на Воронежской зимней математической школе "Современные методы теории функций и смежные проблемы прикладной математики и механики" (Воронеж, 1995), на Международной конференции "Математика. Компьютер. Образование" ( Москва-Пущино, 1995), на семинаре кафедры математики физического факультета Московского государственного университета (1995, руководители семинара — проф. В.Ф.Бутузов и проф. А.Б.Васильева), на Воронежской весенней математической школе "Современные методы в теории краевых
задач. — Понтрягинские чтения VI" и конференции "Современные методы нелинейною анализа" (Воронеж, 1395).
Личный вклад и публикации. По теме диссертации опубликовано 12 работ. Основные результаты получены автором. В диссертацию включены самостоятельно полученные ІЦепакиной Е.А. результаты из ее совместной с Соболевым В.Л. статьи [1], который предложил постановки задач и методы их решения.
Структура и объем работы. Диссертация изложена на 128 страницах и состоит из введения, двух глав и списка литературы. Библиография содержит 98 наименований.
