Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА I. Введение. Формулировка результатов 3
1. Введение 3
2. Основные определения и формулировка результатов 10
ГЛАВА 2. Факторизация символа и некоторые вопомогательные результаты 20
1. Факторизация символа 20
2. Некоторые вспомогательные предложения об аналитических функциях 26
ГЛАВА 3. Случай, когда Jm (аг)=0 32
1. Доказательство теоремы 1,2,3 32
2. Случай симметрического ядра 45
ГЛАВА 4. Случай, когда Зт(оСгоі2)Ф0 48
I. Jm (о(го(2) > 0 48
2.Jm{pL^-OL2)<0 76
Литература 100
- Основные определения и формулировка результатов
- Факторизация символа
- Некоторые вспомогательные предложения об аналитических функциях
- Случай симметрического ядра
Введение к работе
Эта работа положила начало изучению уравнений типа свертки, и метод, разработанный в ней, стал основным методом для изучения таких уравнений. Исследование уравнения (2) в [8] проводится по следующей схеме.
В этих работах впервые уравнение Винера-Хопфа приводится к краевой задаче Римана, которая далее решается стандартными методами. В большинстве дальнейших исследований краевая задача Римана. или некоторые ее обобщения, является основным инструментом при решении уравнения типа (I).
Работы Дудучава Р.В., Карапетянца Н.К., и Самко С.Г. [18--21, 33, 34] посвящены исследованию уравнений п(р - f в различных функциональных пространствах, где М -оператор более общий, чем оператор Винера-Хопфа. Изучаются условия, при которых оператор Н является нетеровым и вычисляется индекс. Во всех этих работах исследуемые операторы или предполагаются нетеровыми, или ищутся условия, при которых они являются не-теровыми в различных пространствах. Однако в практических задачах условие нетеровости редко выполняется. При решении, например, задачи теории массового обслуживания об определении асимптотической функции распределения случайной величины, равной времени пребывания требования в системе обслуживания, приходим к уравнению (2), в котором ядро К(х) - плотность распределения вероятностей некоторой случайной величины. Следовательно, в этом случае символ обращается в нуль, а при этом условии оператор Винера-Хопфа не может быть нетеровым (см. [ 17 ] , [ 37 ] ) в пространстве L (0 ) , в котором ищется решение. Другие задачи теории вероятностей ( [ 7 J ) приводятся к неоднородным уравнениям Винера-Хопфа, где ядро также является плотностью распределения вероятностей.
Именно поэтому большой интерес представляет исследование уравнений (I), (2), когда символ обращается в нуль. В работах Чеботарева Г.Н. ,Дыбина В.Б., Карапетянца Н.К. ,Гахова Ф.Д., Сма-гиной В.И. [ 9,22,24,26,46,47,48] изучается случай, когда символ имеет конечное число нулей целого порядка на действи - 7 тельной оси. В этом случае эффективно строятся пары пространств ЗС и "о » такие, что оператор Винера-Хопфа, рассматриваемый как оператор, действующий из Х2 в Хьуже является нетеровым ( Х СЕсХ2 } где Е1 -то пространство, в котором этот оператор первоначально рассматривался). В работе [ 30 3 при тех же предположениях о характере нулей символа: рассмотрены возможности применения метода редукции при решении уравнения (I) в пространстве L. (0,оо) . Результаты, относящиеся к этому случая» рассмотрены в [ 12 J , [ 38 J
В случае, когда символ имеет нули дробного поряди пространства Х и Х2 имеют достаточно сложную структуру, поэтому в этом случае желательно получить некоторые достаточные условия на правую часть уравнения (I), при которых это уравнение имеет решение в/,(0(оо); С . или других функциональных пространствах. Решению этих вопросов посвящены работы Дыбина В.Б., Ка-рапетянца Н.К., Товмасяна Н.Е. и других авторов .
Основные определения и формулировка результатов
Работы Дудучава Р.В., Карапетянца Н.К., и Самко С.Г. [18--21, 33, 34] посвящены исследованию уравнений п(р - f в различных функциональных пространствах, где М -оператор более общий, чем оператор Винера-Хопфа. Изучаются условия, при которых оператор Н является нетеровым и вычисляется индекс. Во всех этих работах исследуемые операторы или предполагаются нетеровыми, или ищутся условия, при которых они являются не-теровыми в различных пространствах. Однако в практических задачах условие нетеровости редко выполняется. При решении, например, задачи теории массового обслуживания об определении асимптотической функции распределения случайной величины, равной времени пребывания требования в системе обслуживания, приходим к уравнению (2), в котором ядро К(х) - плотность распределения вероятностей некоторой случайной величины. Следовательно, в этом случае символ обращается в нуль, а при этом условии оператор Винера-Хопфа не может быть нетеровым (см. [ 17 ] , [ 37 ] ) в пространстве L (0 ) , в котором ищется решение. Другие задачи теории вероятностей ( [ 7 J ) приводятся к неоднородным уравнениям Винера-Хопфа, где ядро также является плотностью распределения вероятностей.
Именно поэтому большой интерес представляет исследование уравнений (I), (2), когда символ обращается в нуль. В работах Чеботарева Г.Н. ,Дыбина В.Б., Карапетянца Н.К. ,Гахова Ф.Д., Сма-гиной В.И. [ 9,22,24,26,46,47,48] изучается случай, когда символ имеет конечное число нулей целого порядка на действительной оси. В этом случае эффективно строятся пары пространств ЗС и "о » такие, что оператор Винера-Хопфа, рассматриваемый как оператор, действующий из Х2 в Хьуже является нетеровым ( Х СЕсХ2 } где Е1 -то пространство, в котором этот оператор первоначально рассматривался). В работе [ 30 3 при тех же предположениях о характере нулей символа: рассмотрены возможности применения метода редукции при решении уравнения (I) в пространстве L. (0,оо) . Результаты, относящиеся к этому случая» рассмотрены в [ 12 J , [ 38 J
В случае, когда символ имеет нули дробного поряди пространства Х и Х2 имеют достаточно сложную структуру, поэтому в этом случае желательно получить некоторые достаточные условия на правую часть уравнения (I), при которых это уравнение имеет решение в/,(0(оо); С . или других функциональных пространствах. Решению этих вопросов посвящены работы Дыбина В.Б., Ка-рапетянца Н.К., Товмасяна Н.Е. и других авторов 23, 25, 31, 42, 4, 13 J .При решении уравнений (I), (2) существенно используется возможность факторизации символа (представление символа в виде произведения функций, аналитически продолжающихся в Х = : Jm2 ОІ ). В работе Хайкина М.И. [45 ] доказывается, что если аргумент символа 1-3 (А) ограничен, и существует А О такое, что тез {хє R.; Ц-:К(хМ А [=0(Лх);то мно жители Q+ (Л) ({ U(К) =$+ (A)Q-(A ) являются преобразованиями Фурье-Лапласа обобщенных функций класса + , и, опираясь на эту теорему, решается однородное уравнение (2). Во всех перечисленных выше работах в той или иной форме использовалась граничная задача Римана для решения уравнений (1)-(2). В работах [1,2,3,27,28,29,36] используются иные методы. Работа Асплунда [ 3 J посвящена изучению уравнения (1) при условии, что ядро уравнения принадлежит алгебре Бьёр-линга. Решение ищется в сопряженном этой алгебре пространстве. В 1958г. появилась работа Спицера [ 41 ] » которая положила начало изучению уравнений вида (I) с вырождающимся символом, при условии, что ядро уравнения - неотрицательное. В этой работе вероятностными методами исследовалось однородное уравнение (2) в пространстве L. (0too) . Теоретико-функциональными методами результаты этой статьи были обобщены в работе М.Г. Крейна и Ю.И.Шмульяна [36] . В работах Н.Б.Енгибаряна, Л.Г.Арабаджяна, А.А.Арутюняна [1,2,27,28,29] уравнение (I) решается методом факторизации. Сомножители, входящие в факторизацию символа, удовлетворяют системе нелинейных функциональных уравнений. Доказывается, что эта система решается методом последовательных приближений, когда ядро уравнения (I) неотрицательно. Во всех работах [1,2,27,28,29,36,41] существенно используется неотрицательность ядра уравнения (I). Как видно из вышеизложенного, эта тематика является актуальной и активно разрабатываемой. Целью работы является исследование уравнений (I), (2), в пространствах L (0 ) ,{р 3) когда обращение в нуль символа уравнения имеет произвольный степенной характер. Символ вырождается в конечном числе точек. Полученные результаты представляют теоретический и практический интерес, поскольку I) получены в явном виде линейно независимые решения однородного уравнения (2); в случае, когда этих решений бесконечное множество, получены условия, при выполнении которых бесконечная линейная комбинация этих решений принадлежит //(0,ж ) , d 4- Р 4 .
Факторизация символа
Полученные результаты представляют теоретический и практический интерес, поскольку I) получены в явном виде линейно независимые решения однородного уравнения (2); в случае, когда этих решений бесконечное множество, получены условия, при выполнении которых бесконечная линейная комбинация этих решений принадлежит //(0,ж ) , d 4- Р 4
2) получены необходимые и, в некотором, достаточно широком классе, достаточные условия, при выполнении которых уравнение (I) имеет решение в lS(0,oo) }І і р . Преобразование Фурье решения записывается в явном виде. 4. Новизна полученных результатов. В работе подробно исследуется ранее не рассматривавшийся случай: символ i-J (\) допускает оценку: при СГт (о -о ) ФО Результаты, относящиеся к ис следованию неоднородного уравнения (I) при Jir) (oC oL )— О, fbl{pLi ot1)i:0 также являются новыми. 5. Применяемая методика. С помощью преобразования Фурье уравнение (I) приводится к обобщенной граничной задаче Римана, которая далее решается методами теории аналитических фуБкций. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [4 - 6 , 51] . множество функций, имеющих вид будем обозначать R.. Класс функции вида (3), когда п(х) = 0 п.в. при Х 0 , обозначим R , а класс функций вида (3) с Ь(х)=о п.в. при Л 0 обозначим ft , Свойства этих классов описаны в [35]. Обозначим через йр , Rp , Й/р классы преобразований Фурье функций, принадлежащих соответственно Z. (- о ,оо) , Z. ( 0, =) , [ (-00,0) (где Z. (0,оо) - класс функций из /Г(-о,оо) , обращающихся в нуль на (-со, о). Аналогично определяется Z. (-о,0) ). Класс йр при некоторых р состоит,вообще говоря,из обобщенных функций, действующих на (пространство бесконечно дифференцируемых быстро убывающих функций) таким образом: Здесь - преобразование Фурье функции f . Если функция hZ_ (- уоо) , то Ь будет обозначать следующую обобщенную функцию: Из этого определения ясно, что класс р инвариантен относительно умножения на функции из ft (умножение понимается в смысле (4)). Аналогично ftp С Rp ) инвариантно относительно умножения на функции из ft (R"3- Операторы ОГ+ и v7J , переводящие йр в Rp и Йр соответственно, определим следующим образом: - II где Х(і) - функция Хевисайда. В настоящей работе исследуется уравнение (І) в случае, когда символ уравнения допускает следующее представление Здесь Н(К) - образ Фурье функции Пб/_ (-00,00) f і-Н(А) 0 для всех Л , а б -(Л имеет следующий вид: 8;М = 1 ; A-Jtjl 2, где Q-j , ,- - постоянные, отличные от нуля. Кроме того, предполагается, что 9j (А) не обращается в нуль нигде, кроме точки У-, и что при Л Ї Xj , 9: (А) - дважды непрерывно дифференцируема, ОЛ- , 0С2\ - комплексные числа, такие, что йго і: О , RfcoL- 0 Будем различать два случая: (а) разности Xv-oLr J . J J действительные числа для всех у ; (б) среди чисел С І\-ОС1: имеются комплексные.
Некоторые вспомогательные предложения об аналитических функциях
Случай р = для всех = 4)-., остаются справедливыми теоремы 1,2,3. В случае, когда RjLU ZlfbjJf=[Rjio(i.t2LfbjJj])j lly )i достаточно требовать, чтобы преобразование Фурье правой части (I) допускало представление (13). Тогда теоремы 1,2,3 будут верны при замене т.- на кк)— і при /= )---,Ц и подстановке G(A) из (13). В случае (б) ограничимся рассмотрением символа, вырождающегося в одной точке ноль: Здесь {-Н(К)ФО для всех Л и Н(\) -преобразование Фурье функции h Є /_ ( оо , хэ) } 9(A) имеет следующий вид: 9(\) = i , Ul 2& 0 АИ«А« ,0 Л (14) Здесь О. и & - ненулевые постоянные, RjZUi 0) RJLU2 О . В главе 2 будет доказано, что в случае, когда Jm(o(1-o(2) (} В этих формулах 0 / 1 &SL О } йД О. Предположим, что правая часть (I) допускает представление: где З7(А) -преобразование Фурье правой части (І),& (Л)є єр ) ) J\ ,m = m m(N Mi)) где Тогда результаты, полученные для случая (б); можно сформулировать так: Теорема 4. Однородное уравнение (2) при vJm(o{j- ?(2) О в классах L. (0,оо);І4р4 } не имеет нетривиальных решений. Для разрешимости уравнения (І) в тех же классах при условии, что правая часть (I) допускает представление (2Ц необходимо и достаточно выполнение следующих условий: \Ш U(r)(T+t)Kdtdt = 0 , к-ОД,2г.. (24) О -ОО Здесь (-0 - прообраз Фурье функции а+[ Щ- 1= ( где 6 (Л) определяется из представления (21), а л(Т) - прообраз Фурье функции і - Q (Д) Теорема 5. При Jim (o(i-o(1) О неоднородное уравнение (I) с правой частью, преобразование Фурье которой допускает представление (21), YY\ =[ RjioL +ZJT/ЛтДІ + "р J -f" і ; имеет решение, принадлежащее Z_ (0У) ; l p 00 . - 17 Однородное уравнение (2) в тех же классах имеет бесконечное множество решений. Базис в пространстве решений образуют функции при у1 0) такие, что при у 0 w\tx. \ к. J а при У) О $Mjie = [" (А)Ф;(А /(Л+ ifЛК. Теорема 6. Б условиях теоремы 5 для того, чтобы функция ОС где Ст - постоянные, являлась решением уравнения (2) в классе ЛР(0,оо) 4 р4 I) при Jm[b 0 необходимо, чтобы коэффициенты Ст к допускали оценку и достаточно требовать, чтобы С т,кі--- - 1 I М \ SL)OL j (28) для произвольного Є 0. Замечание I. При доказательстве теорем 1-5 ограничиваемся изучением случая Re ipo O 0 (в теоремах 1-3) и &л(оСго(.г) 0 (в теореме 4). В случае, когда RJL(UV CL2-\ 0 для некоторых j; следует использовать следующую факторизацию символа уравнения:
Случай симметрического ядра
Но так как 4 +( Д) удовлетворяет также и (44), то имеем или где R, (А) Є R-p . Так как 9-(А) имеет вид (17), где р - чисто мнимое число, то существует целое число п такое, что функция принадлежит R, . После умножения равенства (48) на эту функцию получим: Правая часть этого равенства принадлежит йл . Рассмотрим левую часть. Так как З- СХ)- (Х) аналитически продолжается в D , то функция может иметь в точке і полюс порядка не выше п п с Пусть 21 f\ \к - главная часть разложения Лорана в точке I этой функции. Тогда функция аналитически продолжима в D+ . Кроме того 6(A) ftp следовательно. 6(A) а О , или j o J (49) Так как J"6\)-G(A)G ftp , то при { р ж из последнего равенства следует, что \F(\) = G(A) . Следовательно,/60-9( п.в.; и является решением уравнения (I). Осталось рассмотреть случай р—оа .В этом случае из (49) следует, что G(A) = A)+ -; где С - некоторая постоянная, или в прообразах Фурье Таким образом, надо доказать, что уравнение (I) с правой частью, равной характеристической функции (О,о&) , не имеет решения в /_ (0 ) . Предположим противное, пусть Ф о удовлетворяет уравнению (1).с цравой частью, равной X(i) . Перейдем к уравнению (44): то есть Ф+(А) = 0 ( Ф+(Л) ищется в классе й ). Следовательно, (I) с правой частью, равной X(-fc) не имеет решения из Итак » доказано, что при У О все решения уравнения (I) в пространствах Z.pf0;oo), 1- р«оо ; являются прообразами Фурье решений уравнения (44), принадлежащих /2 л ; 4 р4 о . Аналогично доказывается, что (I) и (45) эквивалентны при у О . Лемма доказана. Перейдем непосредственно к доказательству теорем 1,2,3. I. Рассмотрим сначала уравнение (І) в пространствах Z_ Д р . В силу леммы 5 уравнение (I) можно свести к уравнению (44) при у О или к уравнению (45) при у О. а) Пусть У - О . Исследуем уравнение (44); Сначала преобразуем это уравнение. Так как ( —М и Ф "(Д) принадлежат И, , то можно умножить обе части уравнения на эти функции. Тогда получим Теперь выясним, каким условиям должна удовлетворять функция і & L. (J)» чтобы это уравнение имело решение. Прежде всего, -так как левая часть (50) аналитически продолжается в D" то и должна быть аналитична в X) ..А это означает, что функция должна иметь нуль порядка не ниже У в точке і , так как [(А-1)/(Л+03 имеет в этой точке полюс порядка у , а Ф0 С\)ф О для всех А Є Э . Итак, если лі/ -прообраз Фурье функции 9_(Л) 6М[Ф (А)] , то для разрешимости уравнения (50) необходимо выполнение следующих условий:
Кроме того, для разрешимости (50) в R,p необходимо выполнение ещё некоторых условий, так как наличие сомножителя Q+(A) в левой части (50) накладывает некоторые ограничения на поведение функции + -(А) г(А /ФЛ J в окрестности нуля.