Введение к работе
Актуальность темы. Проверка интегрируемости и построение точных аналитических решений дифференциальных уравнений является весьма насущной проблемой как в теоретическом, так и в прикладном аспекте. Хотя впервые исследования подобного рода проводились сотни лет тому назад, но проблема еще не разрешена. Даже основополагающее определение понятия интегрируемости допускает на сегодняшний день различные трактовки. Среди подходов к общей теории интегрируемости можно назвать, например, групповой анализ, исследующий дифференциальные уравнения с точки зрения их инвариантности относительно групп преобразований. Основы группового анализа были заложены еще в ХГХ веке в исследованиях норвежца М.СЛи. Также можно упомянуть теорию солито-нов, начатую с наблюдения Дж.С. Расселом в 1834 году уединенной волны в одном из лондонских каналов и выросшую в мощную дисциплину, объединяющую иерархии сложных нелинейных уравнений. Высшим достижением указанной теории является, пожалуй, метод обратной задачи рассеяния, впервые разработанный Грином, Гарднером, Крускалом и Миурой, и позже В.Е.Захаровым и АБ.Шабатом. К вышеперечисленным подходам тесно примыкает также симметрийный анализ, который выявляет алгебраическую структуру определенных операторных соотношений. По мнению АК.Ньюэлла, именно алгебраические свойства лежат в основе всех методов проверки интегрируемости дифференциальных уравнений.
Одним из объектов, описываемых нелинейными дифференциальными уравнениями, является волоконная оптика, в свою очередь связанная с теорией переноса электромагнитного излучения. Нелинейные эффекты в световоде проявддотоя при-сравтгтпьно не_
^^ РОС И/ШЙОНАЛЬНАЯ
6ЙБЛЧОТЄХА
СЯецсрСдо л
больших уровнях мощности источника излучения, что обусловлено высокой плотностью излучения, приходящегося на очень малую площадь сечения световода. Ведь диаметр световода измеряется микрометрами, что вполне сравнимо с длиной волны проходящего по нему излучения. Особая роль в важных для практических нужд теоретических построениях принадлежит поиску специальных решений нелинейных уравнений, таких как солитоны — сигналы, сохраняющие свою форму при взаимодействиях
Теория солитонов явилась стимулом к усовершенствованию сверхширокополосных систем связи и созданию новых быстродействующих запоминающих устройств вычислительной техники нового поколения. Это привело к еще большему усложнению математических моделей, что, в свою очередь, вызвало необходимость модернизации методов исследования
Цель работы. Работа посвящена исследованию на интегрируемость систем нелинейных дифференциальных уравнений второго порядка и построению их точных аналитических решений.
Методы исследования. В работе использован метод, который западные исследователи часто называют сингулярным анализом, поскольку он выводит заключение об интегрируемости исследуемых конкретных дифференциальных уравнений из отсутствия сингуляр-ностей у решений данных уравнений. Естественно, как и любой частный метод исследования, он имеет свои границы применимости, и наряду с преимуществами, не лишен недостатков. К сожалению, частный характер этого метода делает невозможным строгое доказательство неких общих формулировок, однако, он является прекрасным средством для эвристических умозаключений.
Первое применение техники сингулярного анализа к системам обыкновенных дифференциальных уравнений связано с работами
С.В.Ковалевской о вращении твердого тела вокруг неподвижной точки. Примерно в то же время анализ уравнений второго порядка проводил ТШенлеве, в результате чего свойство отсутствия у решений подвижных (зависящих от констант интегрирования) сингуляр-ностей (где нарушается однозначность) получило название свойства Пенлеве, а сама процедура проверки указанного свойства именуется тестом Пенлеве-Ковалевской.
Идея сингулярного анализа уравнений с частными производными в случае двух независимых переменных состоит в поиске ряда Лорана для решения исходной задачи в виде (Цжимбо, Крускал и Мива, 1982)
либо ряда более общего вица (Вейсс, Табор и Карнивэйл, 1983)
Yuj{t,x)9hP{t,x)
Последовательно находим показатель степени -р, с которого начинается разложение, те «резонансные» значения индексов у, при которых обращаются в ноль множители при соответствующих коэффициентах ряда, при этом один из индексов, соответствующий произвольной функции сингулярного многообразия (f(l,x), равен -/, подсчитываем число произвольных функций (констант интегрирования), которое, очевидно, должно совпадать с порядком исследуемого уравнения, и, наконец, обрываем ряд, что нередко позволяет вывести пару Лакса и получить специальные решения (см. рис 1).
Ищем решение ut = K[u] в виде
и = Xм; -<Р}~Р вблизи ф (t,x) = 0.
О 1. Анализ главного порядка.
-
Резонансы.
-
Произвольные функции.
-
Обрыв разложений. 5. Солигонные свойства (Пенлеве)
или специальные решения (не Пенлеве).
Симметрия: (Up.i)f=K'(up) us>1,
оператор рекурсии:
НеПен-
леве
и = ир+ сг
.5
(up)t=K[up]
Конец
Рис. 1. Алгоритм сингулярного анализа эволюционного уравнения.
Сингулярный анализ имеет то преимущество, что достаточно просто позволяет выписать общее или специальное решение конкретного исследуемого уравнения. Правда, следует обязательно подчеркнуть, что указанный анализ носит локальный характер, т.е. решение выписывается не во всем пространстве независимых переменных, а лишь в некоторой окрестности сингулярностей. Кроме того, метод весьма чувствителен по отношению к преобразованиям, будучи инвариантным лишь относительно дробно-линейных преобразований.
Сингулярный анализ дифференциальных уравнений допускает различные модификации, помимо тех двух, что указаны выше. Например, показатели степени и резонансные индексы могут быть дробными («слабый» тест Пенлеве). Хотя все рассуждения носят, скорее, эвристический характер, нежели характер строго доказываемых утверждений, однако он является достаточно мощным орудием исследования интегрируемости нелинейных моделей и позволяет явно выписать их решение.
Научная новизна работы заключается в том, что впервые путем анализа матричных аналогов первого и второго уравнений Пенлеве без поэлементного сравнения матриц, а с помощью разложения в матричный ряд Лорана, получены условия интегрируемости и построены формальные решения. Соотношения на коэффициенты ряда представлены в форме задач на собственные значения линейного оператора. Новой является также линеаризация нелинейной системы уравнений, связанной с гамильтоновой структурой обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка, к системе двух простых параболических уравнений. При предположении, что функция f(t) в разложении Джимбо-Крускала-Мивы есть решение первого уравнения Пенлеве, ряд удалось оборвать. Найден новый случай ин-
тегрируемости системы связанных НУШ со смешением мод и обобщен ранее полученный при условии отсутствия смешения. Некоторые решения моделей теории переноса также получены впервые.
Практическая ценность. Полученные результаты могут способствовать лучшему пониманию как математических аспектов сингулярного анализа, так и прояснению механизма нелинейных физических эффектов теории переноса. Возможно, они будут способствовать разработке и усовершенствованию волоконно-оптических линий связи и созданию устройств оптической памяти для вычислительной техники.
Апробация работы. Результаты проведенных исследований неоднократно докладывались на региональных, всероссийских и международных конференциях, в частности следующих:
II Межреспубликанская школа-семинар молодых ученых «Современные проблемы спектроскопии, лазерной физики и физики плаз-мы»./Минск, 16-20 октября 1989.
XTV Международная конференция по когерентной и нелинейной оптике (КиНО' 91)./Ленинград, 24-27 сентября 1991.
Международная конференция по математической физике./ Челябинск, 10-16 июля 1995.
Международная конференция «Комплексный анализ, дифференциальные уравнения и смежные вопросы»./Уфа, 28 мая-1 июня 2000.
- Международная конференция, посвященная 70-летию академика Л.М.Ильина «Асимптотики решений дифференциальных уравне-ний»./Уфа, 26-30 мая 2002.
- Всероссийская научная конференция «Современные проблемы фи
зики и математики»./ Стерлитамак, 15-18 сентября 2004.
Публикации. По теме диссертации выпущен 1 препринт и опубликовано 6 статей и 7 тезисов докладов. Из работ [5], [6], [9],
[11], [14], [15], выполненных в соавторстве, на защиту выносятся результаты, полученные лично соискателем.
Структура и объём работы. Работа состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы из 98 наименований, изложенных на 96 страницах машинописного текста.
