Электронная библиотека диссертаций и авторефератов России
dslib.net
Библиотека диссертаций
Навигация
Каталог диссертаций России
Англоязычные диссертации
Диссертации бесплатно
Предстоящие защиты
Рецензии на автореферат
Отчисления авторам
Мой кабинет
Заказы: забрать, оплатить
Мой личный счет
Мой профиль
Мой авторский профиль
Подписки на рассылки



расширенный поиск

Инвариантные множества и асимптотическое поведение траекторий квадратичных отображений плоскости Бельмесова Светлана Сергеевна

Инвариантные множества и асимптотическое поведение траекторий квадратичных отображений плоскости
<
Инвариантные множества и асимптотическое поведение траекторий квадратичных отображений плоскости Инвариантные множества и асимптотическое поведение траекторий квадратичных отображений плоскости Инвариантные множества и асимптотическое поведение траекторий квадратичных отображений плоскости Инвариантные множества и асимптотическое поведение траекторий квадратичных отображений плоскости Инвариантные множества и асимптотическое поведение траекторий квадратичных отображений плоскости Инвариантные множества и асимптотическое поведение траекторий квадратичных отображений плоскости Инвариантные множества и асимптотическое поведение траекторий квадратичных отображений плоскости Инвариантные множества и асимптотическое поведение траекторий квадратичных отображений плоскости Инвариантные множества и асимптотическое поведение траекторий квадратичных отображений плоскости Инвариантные множества и асимптотическое поведение траекторий квадратичных отображений плоскости Инвариантные множества и асимптотическое поведение траекторий квадратичных отображений плоскости Инвариантные множества и асимптотическое поведение траекторий квадратичных отображений плоскости Инвариантные множества и асимптотическое поведение траекторий квадратичных отображений плоскости Инвариантные множества и асимптотическое поведение траекторий квадратичных отображений плоскости Инвариантные множества и асимптотическое поведение траекторий квадратичных отображений плоскости
>

Диссертация - 480 руб., доставка 10 минут, круглосуточно, без выходных и праздников

Автореферат - бесплатно, доставка 10 минут, круглосуточно, без выходных и праздников

Бельмесова Светлана Сергеевна. Инвариантные множества и асимптотическое поведение траекторий квадратичных отображений плоскости: диссертация ... кандидата Физико-математических наук: 01.01.02 / Бельмесова Светлана Сергеевна;[Место защиты: ФГАОУВО «Национальный исследовательский Нижегородский государственный университет им. Н.И. Лобачевского»], 2017

Содержание к диссертации

Введение

Глава 1. Предварительные сведения о динамике отображений семейства F x, у) = (ху, (х — /І)2) 23

1. Общие свойства отображений семейства FM, /І є [0,2] 23

1.1. Рекуррентные формулы для координатных функций отображения F(x, у) (п 1) 25

1.2. Инвариантные множества отображений семейства FM 27

1.3. Существование неограниченной инвариантной кривой Г в квадранте -DMj0o 2. Замечание о невозмущенном отображении Fo 45

Глава 2. Об эндоморфизмах Морса-Смейла в семействе FM при

3. Основные технические результаты 51

3.1. Нелокальная теорема о неявной функции для полиномиальных эндоморфизмов Fp 54

3.2. Доказательство существования С -гладкой инвариантной кривой Г 65

4. Теорема о сингулярных эндоморфизмах Морса-Смейла 70

Глава 3. О рождении замкнутой инвариантной кривой в семей стве Fu при и, = 87

5. Вспомогательные вычисления 87

5.1. Вычисление собственных векторов матрицы Якоби J(Fp(x,y)) в неподвижной точке 92

5.2. Дальнейшие преобразования для отображе

6. Новый пример семейства квадратичных отображений, допускающего рождение замкнутой инвариантной кривой 99

Глава 4. О динамике отображения следа Fiix y) = (ху, (х — 2)2) 103

8. Построение максимальных порождающих областей 104

9. Плотность множества G в G\ 123

10. Замечание о седловых периодических точках отображения F2 на гипотенузе hi 143

Литература

Введение к работе

Актуальность темы. Диссертационная работа относится к качественной теории дискретных динамических систем и принадлежит к направлению, которое, с одной стороны, восходит к методу секущей поверхности А. Пуанкаре и, с другой - к работам П. Фату, Г. Жулиа по исследованию рациональных и, в частности, полиномиальных отображений плоскости комплексного переменного.

Метод секущей Пуанкаре широко применялся в работах ученых нижегородской математической школы: А. А. Андронова, Е. А. Леонтович, Н. Н. Баутина, Ю. И. Неймарка, Н. Ф. Отрокова, Л. П. Шильникова и других.

Рациональные и, в частности, полиномиальные отображения плоскости комплексного переменного изучались, например, в монографии П. Монте-ля, в работах Г. Бролина, М. В. Якобсона, М. Ю. Любича.

Классическим примером квадратичного отображения плоскости М2 является отображение Эно (ж, у) і—> (у, 1 — Ьх + ау2), где а, Ь- вещественные параметры. Исследованию отображения Эно и некоторых его обобщений посвящены работы С. Фридланда и Дж. Милнора, С. В. Гонченко, М. Ли, М. И. Малкина и других.

Отметим наиболее близко относящиеся к данной работе статьи Г. Свиртча1, Ф. Балибре, Дж. Г. Гуирао, М. Лэмпарта, Дж. Ллибре2, П. Малицки3, в которых исследованы некоторые аспекты динамики отображения Лотки-Вольтерра F(x, у) = (ж(4 — х — у\ ху).

Численному изучению различных полиномиальных отображений плоскости посвящены работы К. Миры4'5, Д. Фурнье-Прунаре5, Л. Гардини5,

Swirszcz, G. On a certain map of a triangle// Fund. Math. - 1998. - V.155. - P. 45 - 57. Balibrea F., Guirao J. G., Lampart M., Llibre J. Dynamics of a Lotka-Volterra map// Fund. Math. - 2006. - V.191. - P. 265 - 279.

** Malicky P. Interior periodic points of Lotka-Volterra map // J. of Difference Equations and Applic. - 2012. - V.18, № 4. - P. 553 - 567.

4 Mira C. Chaotic dynamics from the one-dimensional endomophism to the two-dimensional diffeomorphism - Singapore: World Scientific, 1987. - 449 p.

Gardini L., Fournier-Prunaret D., Mira C. Some contact bifurcations in two-dimensional examples// Grazer Math. Ber. - 1997. - V.334. - P. 77 - 96.

К. Фрузакиса6, Я. Кеврекидиса6, Б. Пекама6, Э. Лоренца7

В диссертации исследуется однопараметрическое семейство квадратичных отображений плоскости

F^{x, у) = [ху, (х — ц) ), (0.1)

где (х; у) Є М2, М2 - плоскость, /і Є [0, 2].

В настоящее время формируется математический аппарат для моделирования одномерных квазикристаллов8, который основан на глубоком изучении дискретных аналогов уравнения Шредингера. Отметим работы Дж. Беллисарда11, М. Бэйка12, А. Городецкого и Д. Даманика13, посвященные рассмотрению спектральных свойств дискретного оператора Шредингера. При изучении дискретных аналогов уравнения Шредингера в работах Ю. Авишаи14'15, Д. Беренда14'15 и В. Ткаченко15 используется схема, с помощью которой можно продуцировать специальные отображения, получившие название отображений следа (”trace maps”). Здесь же14 показано, что изучение коэффициентов отражения и прохождения плоской волны с заданным импульсом в поле кристаллической решетки, узлы которой образуют цепь Тью-Морса (Thue-Morse chain), приводит к рассмотрению последовательности разностных уравнений Шредингера, которая связана с исследованием динамики отображения, топологически сопряженного с отображением F2(x,y) = (ху}(х — 2)2), входящим в семейство (0.1) при /і = 2.

Frouzakis С. Е., Kevrekidis I. G., Peckham В. В. Aroute computational chaos revisited: noninvertibility and the breakup of an invariant circle // Physica D. - 2003. - V. 177. - P. 101 - 121. Lorenz, E. N. Computational chaos - a prelude to computational instability// Physica D. -1989. - V.35. - P.299 - 317.

Векилов Ю. X., Черников M. А. Квазикристаллы // УФН. - 2010. - Т. 180. - С. 561 - 586. Bellisard J. Spectral properties of Schrodinger’s operator with a Thue-Morse potential// Number Theory and Phisics (Les Houches, 1989), Springer Proc. Phys, Springer, Berlin. - 1990. - № 47. - P. 140 - 150.

Baake M., Grimm U., Joseph D. Trace maps, invariants, and some of their applications// Int. J. Modern Phys. - 1993. - В 7. - P. 1527 - 1550.

Damanik D., Gorodetski A. Hyperbolicity of the trace map for the weakly coupled Fibonacci hamiltonian// Nonlinearity. - 2009. - V.22 - P. 123 - 143.

Avishai Y., Berend D. Transmission through a Thue-Morse chain// Phys. Rev. B. - 1992. - V. 45. - P. 2717 — 2724.

Avishai Y., Berend D., Tkachenko V. Trace maps// Int. J. of Modern Physics B. - 1997. - V. 11(30). - P. 3525 - 3542.

Отметим также, что на конференции по низкоразмерностной динамике в 1993 году А. Н. Шарковским16 была сформулирована задача существования неограниченных си - предельных множеств траекторий отображения F

В результате возникает математическая проблема изучения однопара-метрического семейства (0.1) и, в частности, отображения следа F Укажем также, что изучение квадратичных отображений плоскости представляет научный интерес и как изучение простейшего вида нелинейности. Таким образом, тема диссертации является актуальной.

Цель работы. Цель диссертации состоит в исследовании динамики отображений однопараметрического семейства (0.1), а именно:

  1. в изучении общих свойств отображений FM, связанных с существованием специальных инвариантных множеств (в частности, некоторых инвариантных кривых) при /і Є [0,2];

  2. в полном описании неблуждающего множества (F^) отображений FM при /і Є [0,1] и доказательстве теоремы о том, что отображение FM при всех /і Є (0,1] является сингулярным эндоморфизмом Морса-Смейла;

  3. в доказательстве рождения замкнутой инвариантной кривой из эллиптической неподвижной точки при переходе параметра /і через значение о и численном моделировании эволюции родившейся замкнутой инвари-антной кривой при /і Є (|,2), в результате которого обнаружен и описан новый сценарий разрушения замкнутой инвариантной кривой;

  4. в доказательстве существования F2 - вполне инвариантного множества G', представимого в виде объединения континуума непрерывных одномерных неограниченных кривых и обладающего следующими свойствами:

(і) в любой трубчатой окрестности произвольной кривой из G' в М2 существует континуум кривых из G', причем G' является нигде не плотным множеством в некотором подмножестве первого квадранта плоскости; (гг) любые две кривые множества G' либо не пересекаются, либо пересекаются в единственной точке17.

^" Problem list "Mathematisches Forschungsinstitut Oberwolfach. Tagungsbericht 20/1993,"In: Low Dimensional Dynamics, 25.04.-1.05.1993. - Р. 17.

Заметим, что, во-первых, множество О' содержит линии, на которых дифференциал отображе-

Методы исследования. В работе используются методы качественной теории динамических систем, в частности, теории дискретных динамических систем, методы функционального анализа, теории функций и топологии.

Научная новизна. Все результаты диссертации являются новыми и получены автором самостоятельно. Перечислим основные из них.

  1. Теорема А (о том, что отображение FM при каждом /і Є (0,1] представляет собой сингулярный эндоморфизм Морса - Смейла);

  2. Теорема В (о рождении замкнутой инвариантной кривой из эллиптической неподвижной точки при переходе параметра /і через значение ^);

  3. Теорема С (о существовании F2 - вполне инвариантного множества G' с описанными выше свойствами в пересечении замыкания первого квадранта с внешностью треугольника А2 = {(ж; у) : ж, у > 0, х + у < 4} и о блуждающих точках отображения Fq).

Теоретическая и практическая ценность. Работа носит теоретический характер. Полученные в ней результаты и разработанные методы могут применяться к исследованию различных классов дискретных (в частности, квадратичных) динамических систем на плоскости, а также могут быть использованы при создании математического аппарата физики одномерных квазикристаллов.

Результаты работы являются частью научно-исcледовательских работ, проводимых при финансовой поддержке Федеральной целевой программы ”Научные и научно-педагогические кадры инновационной России” на 2009 - 2013 годы (проект НК-13П/13 на 2009 - 2011 годы, проект № 14.В37.21.0361 на 2012 - 2013 годы) и грантом Министерства образования и науки Российской Федерации (проект № 1410 на 2014 - 2016 годы).

В 2009 - 2010 г. исследования автора по теме диссертации были поддержаны аспирантской стипендией имени академика Г. А. Разуваева.

Апробация работы. Результаты работы докладывались и обсужда-

ния i*2 обращается в 0; во-вторых, среди кривых множества О' существуют С1 - гладкие кривые. Поэтому множество О' не удовлетворяет определению множества со структурой локальной ламинации, приведенному в работе Anosov D. V., Zhuzhoma E. V. Nonlocal asymptotic behavior of curves and leaves of laminations on universal coverings // Proceedings of the Steklov Institute of Mathematics. - 2005. - V. 249. - P. 1 — 221.

лись на Международной конференции по дифференциальным уравнениям и динамическим системам (Суздаль, 2006, 2008, 2010, 2012, 2014), на V I-ой молодежной школе-конференции (Казань, 2007), на 50 - ой, 51 - ой, 52 - ой и 55 - ой научных конференциях МФТИ ”Современная математика и ее приложения” (Москва-Долгопрудный, 2007, 2008, 2009, 2012), на Международной конференции ”13th International Conference on Functional Equations and Inequalities” (Закопане – Майле Сиче, Польша, 2009), на Международной конференции ”European Conference on Iteration Theory” (Нант, Франция, 2010), на ”Sixth International Conference on Dynamic Sytems and Applications” (Атланта, Джорджия, США, 2011), на Международной конференции ”Дифференциальные уравнения и смежные вопросы”, по-свящённой 110 - летию со дня рождения И. Г. Петровского (Москва, 2011), на Международной конференции ”Анализ и особенности”, посвященной 75 - летию со дня рождения В. И. Арнольда (Москва, 2012), на Международной конференции ”NOMA” (Сарагоса, Испания, 2013), на ”The Seventh Intern. Conf. on Differential and Functional Differential Equations” (Москва, 2014), на международной конференции ”20th European Conference on Iteration Theory” (Лагов, Польша, 2014), на Международной конференции по алгебре, анализу и геометрии (Казань, 2016), на Научном семинаре по математической физике в ИПМ им. М. В. Келдыша в 2009, 2012 г. (научные руководители: д. ф.-м. н., проф. М. В. Масленников, д. ф.-м. н., проф. В. А. Дородницын, д. ф.-м. н., проф. В. В. Веденяпин, д. ф.-м. н., проф. Ю. Н. Орлов), на Научном семинаре кафедры дифференциальных уравнений и математического анализа ННГУ (научные руководители: д. ф.-м. н., проф. А. Д. Морозов, д. ф.-м. н., проф. Л. М. Лерман) в 2010– 2011 гг., на Научном семинаре кафедры функционального анализа и его приложений ВЛГУ им. А. Г. и Н. Г. Столетовых (научные руководители: д. ф.-м. н., проф. А. А. Давыдов, д. ф.-м. н., проф. В. И. Данченко) в 2011 г., на Научном семинаре ”Проблемы современной математики” кафедры прикладной математики НИЯУ ”МИФИ” (научный руководитель: д. ф.-м. н., проф. Н. А. Кудряшов) в 2012 г., на Научном семинаре ”Бесконечномерный анализ и его приложения” кафедры теории функ-

ций и функционального анализа мехмата МГУ (научные руководители: д. ф.-м. н., проф. О. Г. Смолянов, д. ф.-м. н., проф. Е. Т. Шавгулид-зе) в 2012 г., на Научном семинаре кафедры дифференциальных уравнений и математической физики РУДН (научный руководитель: д. ф.-м. н., проф. А. Л. Скубачевский) в 2013 г., на Научно-исследовательском семинаре ” Эргодическая теория и динамические системы” мехмата МГУ (научные руководители: академик РАН Д. В. Аносов, д. ф.-м. н., проф. А. М. Сте-пин) в 2013 г, на Научно-исследовательском семинаре ”Динамические системы и дифференциальные уравнения” мехмата МГУ (научные руководители: д. ф. -м. н., проф. А. М. Степин, д. ф.-м. н., проф. А. А. Давыдов) в 2016 г.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, 4 глав, списка литературы и приложения. Общий объем диссертации составляет 163 страниц, набранных в макропакете LATEX в формате машинописного текста. Библиография включает 118 наименований, в диссертации имеется 18 рисунков.

Публикации. Основные результаты автора по теме диссертации опубликованы в работах [1] [25], указанных в конце автореферата. Все результаты из совместных статей, выносимые автором на защиту, получены им самостоятельно. Личным вкладом автора в статьи, опубликованные совместно с научным руководителем, являются формулировки и доказательства всех результатов. Л. С. Ефремовой принадлежат постановка задачи и общее руководство. В работах [5], [19], [20] Д. Фурнье-Прунаре принадлежит вычисление ляпуновских величин, которое в диссертацию не включено.

Рекуррентные формулы для координатных функций отображения F(x, у) (п 1)

При п = 1 из системы уравнений ху = ж, (ж — /І)2 = у, находим неподвижные точки Аі(0; /І2), (/І + 1; 1) и Аз (/І — 1; 1). Решая характеристическое уравнение (0.3), получаем Аі(Аі) = 0, Аг(Аі) = /І2; Л / л \ 1±л/9+8д л / л \ 1±л/9—8д Аі 2 Ао = и Аі 2 Ач = —. Тип неподвижных точек зависит от значения параметра /І. При /І Є [0,1) неподвижная точка АІ(0;/І2) является стоком, поскольку (АіДАї)! 1; а при /І 1 седлом, так как Аі(Аі) 1, А2(Аі) 1. Неподвижная точка А2(/І+ 1; 1) при любом /І 0 является источником (Ai;2(A2) 1). Мультипликаторы неподвижной точки Аз (/І — 1; 1) при всех /І Є (0,1) удовле Л (А l-V SU Л /1 творяют неравенствам АцАз) = — 1 и А2(Аз) = 1, поэтому при данных значениях параметра /І точка А% {ц — 1; 1) является седлом. При 1 и, справедливо неравенство Лі 2( 3) 1, и A3 (/І— 1; 1) - сток. Если /І = , то мультипликаторы АіДАз) - комплексно сопряженные числа, и Аі;2(Аз) = 1. Следовательно, А ц — 1; 1) эллиптическая точка. И, наконец, при и, т, неподвижная точка Аъ(ц — 1:1)-источник, так как Аі;2(Аз) 1.

Заметим, что при /І = 1 точки Аі(0; 1) и Аз(0; 1) совпадают, и отображение F\ имеет только две неподвижные точки Аі(0; 1) с мультипликаторами \\{А\) = 0, \2(Ai) = 1 и источник (2; 1). Предложение 1.4 доказано. П

Справедливость утверждений (0.7.4) и (0.7.5) теоремы 0.7 вытекает из рекуррентных формул (1.2) и (1.3), установленных в лемме 1.1.

Одним из характерных свойств отображений семейства F является существование при каждом /І Є (0,2] инвариантного треугольника А,, = \ (х: у) : ж, у 0, # + Л 1 . Лемма 1.5. При любом /І Є (0,2] замкнутая область Дм инвариантна относительно отображения F .

Доказательство. Согласно определения 0.1, необходимо убедиться в справедливости включения FM(AM) С Ам. Возьмем произвольно и зафиксируем точку (ж; у) Є Дм. Из инвариантности множества К\ и формулы (0.1) следует, что /мд(ж, у) 0 и д і(х, у) 0. Поэтому достаточно убедиться в справедливости неравенств fu,i(x,y) 9ц,і{хіУ) ХУ (х — fi,)2 -\ = 1 Т 1. (1.6) 2/і /І2 2/і /І2 Так как (ж;«) Є А,,, то при всех х Є [0,2/ІІ имеем: у Є [0,д2(1 — #-)1 и 7 / r"J й» / 2/J./J справедливо неравенство тг + 2 (1 — ) + 9— — + 1. После стан дартных преобразований правой части последнего неравенства получаем: xy . (x—u) ж (4—u ) . x(u — 4) . л где 0 x1 4:Ц2. Тогда выполнено неравенство х2(4-«2) . х(«2-4) . л 4«2(4-«2) . 2«(«2-4) 2 Н 2 — 4 2 2 +1 = 1 Следовательно, + у 1 и формула І.о установлена при лю-бом /І Є (0, 2]. Последнее означает, что F x, у) Є Дм. Лемма 1.5 доказана.

Рассмотрим границу 9ДМ треугольника Ам. Лемма 1.6. Пусть F - отображение (0.1), /І Є (0,2]. Тогда: (1.6.1) при любом /І Є (0,2] справедливы соотношения F k x) = к у, Ffj,(k y) = (0; /І2); (1.6.2) отображение F на гипотенузе h треугольника Ам определено в силу следующего равенства F \h (ж, у) = (хц(р — ж/2), (р — 2у/ц)2) так, что при каждом /І Є (0,2) FM(/iM) представляет собой отрезок прямой 2х+цу = /І3, лежащий в треугольнике Ам и совпадающий с гипотенузой h/j в том и только том случае, если /І = 2 (в этом последнем случае граница 9ДМ инвариантна относительно F i). Доказательство. 1. Справедливость утверждения (1.6.1) вытекает из формулы (0.1). В самом деле, для произвольных точек (ж;0) Є k x, (0; у) Є k y при всех /І Є (0,2] имеем: FM(:r;0) = (0, (ж — /І)2), FM(0;y) = (0;/І2). Так как ж Є [0;2/І], ТО (Х — /І)2 Є [0,/І2], И равенства F ik x) = k y, F ik y) = (0;/І2) установлены. 2. Возьмем произвольно и зафиксируем точку (ж; у) на гипотенузе h . Имеем: Y + \ = 1. Тогда для сужения F h справедливо равенство Ffj,\h (ж5 у) = (xfi(p — ж/2), (/І — 2у/ ц)2). Найдем образ гипотенузы /гм относительно отображения F . F lh (х, у) = (Ж/І(/І — f)), (/І —)2) = (2/і (1 —і Ш-Д 1 МД ) ) = /о /і У ( 2w\9 /о 2w2 2 /і і 4w2 2ш/ 1 — ), Д ) ) = 2ш/ , Д — 4« + Л). Из последнего равенства следует, что образ F h ) представляет собой отрезок прямой вида 2ж + /іу = /І , (1.7) лежащий в замкнутом треугольнике Ам при всех /І Є (0, 2]. 3. Убедимся в справедливости включения (дДг) С Дг. Действительно, при /І = 2 уравнение (1.7) примет вид х + у = 4. Последнее означает, что 2( 2) = 2. Тогда, пользуясь утверждением (1.6.1), убеждаемся в спра ведливости включения і ( 9Д2) С 9Д2. Лемма 1.6 доказана. Справедливость утверждения (0.7.6) теоремы 0.7 следует из лемм 1.5, 1.6. Справедливость утверждений (0.7.7) - (0.7.9) вытекает из утверждения (0.7.6) теоремы 0.7 и топологической сопряженности8 каждого из отображений f2,i\h2(xi у) = ж(4 — х) и Q2,i\h2(x, у) = (2 — у)2 с логистическим отображением у = 4ж(1 — ж) (см. [70, 2]).

Убедимся в справедливости утверждения (0.7.10) теоремы 0.7.

Существование неограниченной инвариантной кривой Г в квадранте -DMj0o 2. Замечание о невозмущенном отображении Fo

Пусть функция Ф : (а, Ь) х (с , d!) — М1 определена в прямоугольнике (а, Ь) х (с , d!) С М2 так, что 1. Ф Є С1 ((а, Ь) х (с , с? ); М1) 13; 2. в каждой точке (ж; у) Є (а, 6) х (с , d!) такой, что Ф(ж; у) = 0 справедливо неравенство -Ф(х: у) Ф 0 (неравенство - -Ф{х\ у) Ф 0); кроме того, ргі({(х] у) : Ф(ж; у) = 0}) = (а, 6), рг2({(ж; у) : Ф(х] у) = 0}) = (с, і), (с, і) С (с , (і ), где рг\} рг2 естественные проекции плоскости М2 на координатные оси Ох и Оу соответственно. Тогда существует функция х = х(у), х(у) Є Cl((c} d), (а, Ь)) (функция у = у{х), у{х) Є С1 ((а, 6), (с, d))) удовлетворяющая равенству Ф(х(у); у) = 0 для каждого у Є (с, і) (равенству Ф(ж; у(ж)) = 0 для каждого х Є (а, &)). Доказательство теоремы 3.3 основано на применении теоремы Бэра-Хаусдорфа, подобно тому, как это сделано в работе [110]. Вопросы расширения функций рассматривались, например, в [111]. Из теоремы 3.3 и формулы (1.2) вытекает Следствие 3.4. Пусть F - отображение (0.1), /І Є (0,2]. Тогда для функции у = у п(х) при п = 1 справедливы равенства (а,Ь) = (0,+оо), десь через С1 ((а, Ъ) х (с , d1); R1) обозначено пространство С -гладких отображение прямоугольника (а, Ъ) х (с , d ) на вещественную прямую R1 (c,d) = (0,+oo); а при всех n 2 равенства - (a,b) = (/І,+oo); (с, d) = (0, +00).

Действительно, при n = 1,2 имеем: yu-\(x) = -, у,,о{х) = , c л7. Следо-вательно, непрерывная ветвь графика функции у = у \(х), проходящая через неподвижную точку (/i+l; 1), определена на интервале (0, +оо), а непрерывная ветвь графика функции у = у іх), проходящая через неподвижную точку А2{ц + 1; 1), определена на интервале (/І, +ОО). Кроме того, имеем: умд((0, +оо)) = (0,+оо), yMj2((/i, +)) = ((0,+оо)). Последнее вместе с теоремой 3.3 означает, что для любого п 2 имеют место равенства (а, 6) = (/І, +ОО), (С, І) = (0, +оо).

Рассмотрим теперь задачу существования С1 - гладких неявных функций, определенных равенством (3.1) при е = /І + 1 и /І Є (0,1], графики которых проходят через неподвижную точку А2{ц + 1; 1). Неподвижная точка УІ2(/І + 1; 1) - источник отображения FM, поэтому при всех п 1 справедливо равенство /yU,n( ,2/)U2(M+i;i) = М + 1. Кроме того, используя формулу (1.2), получаем следующее равенство для частной

Используя (3.3), убеждаемся в справедливости следующей леммы. Лемма 3.5. Пусть F - квадратичное отображение (0.1), /І Є (0,1]. Тогда при любом п 1 справедливы неравенства ж 42(м+і;і) О О f (X ti) I г\ Из леммы 3.5 и теоремы 3.2 вытекает

Следствие 3.6. Пусть F - квадратичное отображение вида (0.1). Тогда для каждого /І Є (0,1] и п 1 существуют окрестность Un(A2) = Usnii(p + 1) х Un (l) неподвижной точки А2(р + 1; 1) и С1 -гладкая строго убывающая неявная функция у = г] п(х), определенная при всех х Є Uni\(ji + 1) со множеством значений на интервале Un ,(l), являющаяся решением задачи (3.1) с начальным условием г) п( -\-1) = 1.

При п = 1 и п = 2, используя формулу (1.2) и уравнение (3.1), получаем, что Т] i(x) 0 при всех х 0 и Т] 2(х) 0 при всех х /І. Основной результат данного раздела содержит

Теорема 3.7. Пусть F - квадратичное отображение (0.1). Тогда при любых п 2 и /J, Є (0,1] существует С1 -гладкая на неограниченном интервале (/І, +оо) строго убывающая сюръекция у = г) п(х) этого интервала на интервал (0,+оо), являющаяся решением уравнения f(j,,n(%,y) = /І + 1 на интервале (/І, +ОО) и такая, что г) п( + 1) = 1.

Доказательство теоремы 3.7 основано, прежде всего, на применении теоремы 3.3 и леммы 3.5. Важную роль в доказательстве теоремы 3.7 играет также доказанное далее предложение 3.9, в котором устанавливается возможность взаимного пересечения непрерывных ветвей кривой f(j,,n(%,y) = /І + 1 с непрерывными ветвями прообразов критической прямой Сц.

Доказательство существования С -гладкой инвариантной кривой Г

Действительно, в силу утверждения (0.7.5) теоремы 0.7 связная компонента полного прообраза отрезка {(ж;у) : у = с,х Є [жі,Ж2]} содержит вертикальный отрезок {(ж;у) : х = с ,у Є [2/1,2/2]}, поэтому в силу связности отрезка для любой точки (ж; с) Є (жі,Ж2) х {с} существует точка (с ;у ) Є {с } х (2/1,2/2) такая, что FM(c ,2/ ) = (ж,с). Последнее означает, что гм - сюръекция ір 2п на ір 2п_1 (г = 1,2,3).

Покажем, что гм - инъекция 1р 2п на lp 2n_v Пользуясь монотонностью функции /мд(ж,2/) по переменной х (у), для любых двух различных точек (жі;2/і), {х2 іУ2) Tp 2п таких, что х\ Х2 (2/1 2/2), имеем: {fjj,,\{x\-,Уі),9[л,і{%і,Уі)) Ф {f/j,i{x2i2/2)59ц,і(х2і2/2))5 где (//i,l( l, 2/lj; ?/x,l(#l, 2/lj), \Ііл,і{Х2іУ2)] 9ц,і{Х2,У2)) р 2n-l (X = , О). Следовательно, гм - инъекция множества 1р 2п на множество ір 2п-і. Значит, і - биекция множества 1р 2п на множество 1р 2п-і. Тогда корректно определено обратное отображение F l, частные производные ко ординатных функций которого непрерывны вір 2n-i. Таким образом, і задает диффеоморфизм множества 1р 2п на множество lp 2n-v Лемма 4.10 доказана. Используя определения множеств Tj) . і и Tj) . 2 получаем отсюда // Ал 1 U \- Рі,2п—1 - -Ро,2п) n=i (4.6) Т А и То і и То 2) \{ 2(м + i;i)} Из лемм 4.7, 4.10 и равенства (4.6) вытекает Следствие 4.11. При каждом и, Є (0,1] множество Dn л инвариатно относительно отображения F . Утверждение (АЛЛ) теоремы 4.1 для множества Dn А доказано. Перейдем к исследованию асимптотического поведения траекторий точек множества Dn А . Уточним расположение периодической орбиты пе-риода два и ее прообразов. Лемма 4.12. Отображение F при любом /І Є (0,1] имеет единственную периодическую орбиту В периода два, образованную г-, I и?-\-\ — \/ и?-\-\ ц2 \ т- і М2 +1+ л/М2 +1 и2 точками В\ ; К Ь - 2 ; г так, (1-у/і2+1)2 (1+л/М2+1)2 что В\ Є Тр 1, Въ Є Тр 2 Доказательство. 1. Существование единственной периодической орбиты В периода два было установлено ранее в предложении 1.7. 2. Покажем, что В\ Є Тр 1. При всех /І Є (0,1] для координат точки В\ Д2 +1 —л/д2 +1 (л/и2 +1 —1)л/и2 +1 U\/и?-\-\ справедливы равенства: = = X— и h л /і Н 2 М V М (1+л/і+м2)2 = 1 + 1+ 12 . Тогда / — 2 — І 2 (1 — л/М2+1)2 Vі 82 —ь д /1 ч— /І у і1 Их/(і2 +1 і г г О — /І, —h л/1 Н— 1. (4.7) \J /J,2 + i + i м V м Кроме того, при всех /І Є (0,1] выполнено: м2+і—Л/М2+І М2 1 мл/м2+і -і — л/м2+1+М+1 (1—л/м2+1)2 л/м2+1—і л/м2+1—і 1 і М 1 і м(л/м2+1+1) [л , Г , 1 п = — 1 Л г — = — 1 Н = —1 + л/1Н—И— и, л/ +1-1 М2 V 2 АТ 2 і А +1 — л/и +1 и поэтому жув1— лУ/«2+1)2 Последнее вместе с неравенствами (4.7) означает, что точка В\ ле жит в неограниченном криволинейном секторе, границами которого слу жат неограниченная непрерывная дуга \[х\ у) :\) х її, у = tLL \ и луч [x; y) : x = и,, у tLJ . Следовательно, Вл Є і p і (см. определение мно жества Тр і). Пользуясь леммой 4.10, при любом д Є (0,11 получаем В2 Є Тр 2. Лемма 4.12 доказана. В силу следствия 4.8 и леммы 4.12 прообразы произвольного порядка п 1 периодической орбиты периода два относительно сужения FJJ\K1 +00 принадлежат множеству (J (Тр 2n_1 U Тр 2п). п=1 При любом п 1 обозначим через {(К,/ 1)_п(жк WR-,)} подмножество полного прообраза п - ого порядка точки В\, не содержащее периодическую орбиту В. Из лемм 4.10, 4.12 следует, что \{FU\K,) п(хв1;Ув-,)} – од-ноточечное множество. Обозначим единственную точку этого множества через (ХрП] Урп). В силу лемм 3.16, 4.10, 4.12, и следствия 4.8 справедлива Лемма 4.13. Пусть Тм - квадратичное отображение вида (0.1), /І Є (0,1]. Тогда при каждом п 1 справедливы предельные равенства lim х пП = /І + 1, lim yTJ1 = 1. пн +оо х пн +оо х Целая траектория {(FM 1) 2n( B1; увУ\п ъ ({(Рц\к1) 2п(%в2] Ув2)}пе%) является гетероклинической, притягивающейся к В\ (В2) и отталкивающейся от точки A i. Из определения множеств Тр 1, TD А ;2 вытекает включение FH(TPUI) С TD„IAI,2- (4.8) Включение (4.8) вместе с леммами 4.6, 4.7, 4.10, 4.12 и 4.13 доказывает следующее утверждение. Теорема 4.14. Пусть F - квадратичное отображение (0.1), /І Є (0,1]. Тогда для любой точки (х: у) Є Dn Л , за исключением периодической ор-биты В периода два, образованной источниками В\, Вч, и всевозможных ее прообразов, справедливы предельные равенства (4.1). Таким образом, утверждение (4.1.2) теоремы 4.1 доказано. Теорема 4.1 доказана полностью. Из утверждения (0.7.6) теоремы 0.7 и теоремы 4.14 вытекает

Следствие 4.15. Пусть F - квадратичное отображение вида (0.1), /І Є (0,1]. Тогда Ам С D AX и для любой точки (х]у) Є Ам справедливы равенства (4.1).

Теорема 4.1 завершает полное описание асимптототического поведения траекторий в первом квадранте плоскости М2.

Из теоремы 4.1 следует, что при всех /І Є (0,1] неблуждающее множество {F K-i) отображения FJJ\K1 конечно из состоит из неподвижной точки (/І + 1; 1) и периодической орбиты В периода два. Опишем предельное поведение траекторий в K i. Рассуждая аналогично тому, как это было сделано при доказательстве утверждения (0.7.12) теоремы 0.7, и пользуясь утверждениями (0.7.1), (0.7.2) теоремы 0.7 получаем, что F \K2 - диффеоморфизм К2 на образ FjJi{K2).

Из утверждения (0.7.3) следует, что при всех /І Є (0,1) замыкание К і содержит две неподвижные точки: седло Аз(р — 1; 1) и сток ЛІ(0;/І2). Значит, существуют непрерывные функции у = 7f (ж) У = 1І{Х)- і = 1? 2, графики которых являются неустойчивыми 7ь 72 и устойчивыми 7і, 7І сепаратрисами седла А% [9], причем 7Г U 72 = м( з), 7i U 7І = ЭД ( з), и 72 является неустойчивой сепаратрисой, идущей из седла А% в сток А\ (см. рисунок 8). Тогда корректно определены множества

Дальнейшие преобразования для отображе

Основным результатом данной главы является теорема C, в которой доказано существование Fi - вполне инвариантного множества G , представи-мого в виде объединения континуума непрерывных одномерных неограниченных кривых и обладающего следующими свойствами: (і) в любой трубчатой окрестности произвольной кривой из G в М2 существует континуум кривых из G, причем G является нигде не плотным множеством в некотором подмножестве первого квадранта плоскости; (гг) любые две кривые множества G либо не пересекаются, либо пересекаются в единственной точке, лежащей на гипотенузе hi инвариантного треугольника Ai. Более того, в теореме C выделено некоторое множество, состоящее из блуждающих точек отображения Fi.

Доказательство теоремы C проводится поэтапно 8-9. В 10 доказано существование множества гомеоморфного канторову дисконтинууму на гипотенузе hi инвариантного треугольника А2, в котором всюду плотны седловые периодические точки отображения Fi, являющиеся источниками относительно сужения Fi\h2. Существование данного множества приводит к следующему новому эффекту: во множестве G П G\ всюду плотно множество кривых, траектории точек которых притягиваются к указанному множеству, гомеоморфному канторову дисконтинууму, и всюду плотно множество кривых, траектории точек которых уходят в +оо как по координате ж, так и по координате у.

В 8 построено множество G, представляющее собой объединение внутренностей некоторых попарно не пересекающихся неограниченных множеств, названных в работе максимальными порождающими областями, с вершинами в гомоклинических точках к неподвижной точке (3; 1) сужения F2\h2 и в самой неподвижной точке (3; 1) так, что внутренность каждой максимальной порождащей области является связной компонентой множества G, определенного во Введение (см. также ниже). Для построения первой такой области Н оьах(А2) используются С1 - гладкие ветви неявных функций, определенных равенством f2,n{x,y) = 3 при всех (ж; у) Є Сд2, п 1, с начальным условием /2,п(3,1) = 3 . Остальные порождающие области Нах(Агк) при любых к 1 строятся с помощью прообразов порядка к относительно і ЬІСл области Н1!1ах(А2). В этом же параграфе доказано, что множество G открыто и исследовано асимптотическое поведение траекторий принадлежащих ему точек. Рассмотрим квадратичное отображение F2(x,y) = (ху, (х — 2) ) (8.1) Прежде, чем сформулировать основной результат главы 4, напомним определения некоторых необходимых нам множеств (см. Введение). Так, Сд2 = {(х; у) Є К\ : х + у 4} , GA = {(х; у) Є К\ : х + у 4}; +00 G = G\ П ([J F2_ (D2;0o)), г=0 где і 2 (- 2,оо) – І-ый полный прообраз множества D2,oo, и множество G = Сд2 \ G. 104 Заметим, что Сд2 - инвариантное множество. Действительно, возьмем произвольную точку (ж, у) Є Сд2. Тогда имеем: х + у 4, при этом /2, і (х, у) + #2, і (ж5 у) = ХУ + (х 2)2 ж(4 — ж) + (ж — 2)2 4. Следовательно, і (ж, у) Є Сд2. Сформулируем основной результат главы 4. Теорема C. [100] Непустое множество G открыто и всюду плотно в Сд2 и состоит из блуждающих точек отображения F i. Множество G представляет собой объединение континуума непрерывных одномерных неограниченных кривых таких, что любые две кривые множества G либо не пересекаются в Сд2, либо пересекаются в единственной точке, лежащей на гипотенузе hi треугольника /S.2. В любой трубчатой окрестности произвольной кривой из G в Сд2 существует континуум кривых из G , причем G является нигде не плотным множеством в гД2 . Основным результатом 8 является следующее утверждение. Теорема 8.1. Пусть Fi - квадратичное отображение (8.1). Тогда непустое множество G открыто и для любой точки (х]у) Є G справедливы предельные равенства lim /2„(ж, у) = +оо, lim g2n(x,y) = +00. (8.2) П—7 +00 П—т +00 На первом шаге доказательства теоремы 8.1 убедимся в том, что множество G представляет собой объединение внутренностей попарно не пересекающихся максимальных порождающих областей (см. далее определения 8.7, 8.9)19 с вершинами в гомоклинических точках к неподвижной точке (3; 1) сужения і 2І/і2 и в самой неподвижной точке (3; 1) так, что внутренность каждой максимальной порождающей области является связной компонентой множества G.

Для построения максимальных порождающих областей нам потребуется множество D2,oo (см. теорему 0.7 во Введении). В силу утверждения (0.7.10) теоремы 0.7 сужение F2\D2OO – диффеоморфизм. Для границы dD2:oo множества 2,оо, образованной лучами {(ж; у) : х = 3, у 1}, {(ж; у) : х 3, у = 1}, имеем: і 2({(ж; у) : х = 3, у 1}) = {(ж; у) : у = 1, ж 3} . Поэтому для дальнейших построений достаточно рассмотреть всевозможные прообразы луча {(х]у) : ж = 3, у 1}.

При доказательстве теоремы 8.1 используется, во-первых, теорема 3.3, с помощью которой устанавливается существование нелокальных ветвей С1 - гладких неявных функций, определенных равенством f2,n(x,y) = 3 при всех (ж; у) Є Сд2, п 1, с начальным условием /2;П(3,1) = 3; во-вторых, с использованием построенных ветвей неявных функций далее строится максимальная порождающая область Ногах(А2) и, в-третьих, с помощью прообразов порядка к относительно і ІСл (к 1) области Ногах(А2) строятся максимальные порождающие области Нах(Агк) с вершинами в гомоклинических точках сужения F2\h2 к неподвижной точке Ь(3; 1).