Введение к работе
Актуальность темы. В последние десятилетия в науке значительно возрос интерес к симметрийным методам исследования. Это связано с тем, что симметрия является фундаментальным свойством и присуща практически всем объектам и явлениям. Многообразие ее форм дает возможность применять симметрий-ный принцип в различных отраслях науки, в том числе и в теории дифференциальных уравнений. Использование симметрийного подхода позволяет получать качественно новую информацию о дифференциальных уравнениях, что особенно важно для тех из них, которые не имеют регулярных методов решения. В частности, это относится к уравнениям Абеля второго рода (уравнениям А2).
Проблема изучения уравнения А2, представляющего собой естественное обобщение уравнения Риккати, является классической. Эти уравнения упоминаются в трудах Л. Эйлера, Н. Абеля, Ж. Ли-увилля, К. Якоби, Г. Дарбу, а также в работах российских ученых Б. М. Кояловича, В. П. Максимовича, В. Г. Имшенецкого, А. Н. Коркина, Д. М. Синцова и др. К ним сводятся многие уравнения 2-го и 3-го порядков, часто встречающиеся в различных областях естествознания. Несмотря на их простой внешний вид, для уравнений А2 не известна общая форма решения (т. е. общий вид зависимости решения от произвольной постоянной). В данном случае как традиционные методы, так и групповой анализ С. Ли оказываются малоэффективными, и до недавнего времени было известно всего семь разрешимых уравнений такого типа. Применение дискретно-группового анализа (ДГА) позволило существенно увеличить количество интегрируемых уравнений А2 (около 1500). Однако остается открытым ряд вопросов, в частности, о максимальности построенных дискретных метагрупп преобразова-
ний (ДМП), а также их строении. Кроме того, современное развитие точных методов решения обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ), а также проблема классификации ОДУ и их свойств требуют нового подхода к самой постановке задач. Возникла насущная необходимость в алгоритмах, которые позволяют находить необходимые и достаточные условия существования моделей с априорными симметриями (прогнозирующие алгоритмы) или описывать все модели заданного вида с требуемой симметрией (алгоритмы обратной задачи).
В свете указанных выше проблем системное исследование уравнений А2 и разработка новых алгоритмов поиска дискретных симметрии этих уравнений весьма актуальны.
Цели и задачи исследования. Целью работы являлось сим-метрийное исследование уравнений А2 с применением методов ДГА и аппарата общей алгебры, а также решение классической задачи Б. М. Кояловича.
В соответствии с указанной целью были поставлены и решались следующие задачи:
1. Получение дискретных симметрии, порождаемых частными
решениями уравнений А2 вида
yy'x-y = R(x), (1.1)
и изучение их строения.
-
Поиск ДМП, допускаемых классом уравнений (1.1), с использованием основных методов ДГА и принципа обратной задачи.
-
Решение вопроса о максимальности построенных ДМП на заданном классе преобразований.
4. Постановка и решение обратной задачи Б. М. Кояловича.
Методика исследования. В работе применяются основные
методы теории дифференциальных уравнений и дискретно-
группового анализа. Наряду с ними широко используется аппарат общей и дифференциальной алгебры.
Научная новизна состоит в том, что:
-
Впервые проведено комплексное исследование уравнений А2.
-
В работе впервые введен ряд понятий и построены ранее неизвестные алгебраические объекты, имеющие реальный носитель - множества уравнений А2.
-
Найдены дискретные симметрии этих уравнений, в том числе приводящие к ранее неизвестным разрешимым случаям.
-
Впервые для уравнений А2 применены алгоритмы, основанные на принципе обратной задачи.
-
Впервые предложен способ получения уравнений А2, обладающих полуфундаментальной системой решений (ПФСР).
-
Доказан ряд теорем, имеющих как теоретическое, так и прикладное значение, среди них теорема, позволяющая принципиально решить классическую проблему Б. М. Кояловича.
Все полученные результаты являются новыми.
Теоретическая и практическая ценность. Работа носит как теоретический, так и прикладной характер, поскольку исследование строения дискретных симметрии класса уравнений А2, получаемых методами ДГА (теоретический аспект), тесно взаимосвязано с поиском новых разрешимых случаев (прикладной аспект). Это дает возможность на основе построенных симметрии находить новые интегрируемые уравнения А2, а последние, в свою очередь, порождают новые дискретные симметрии на исследуемом классе уравнений, что особенно важно в связи с исключительной ролью, которую играют симметрии и разрешимые уравнения А2 в разнообразных приложениях. Разработанные алгоритмы являются уни-
6 версальными и, в частности, могут быть использованы для изучения других классов уравнений 1-го порядка.
Апробация работы. Основные материалы данной работы докладывались и обсуждались:
- на заседаниях Санкт-Петербургского городского семинара
по современному групповому анализу, Санкт-Петербург, 1993,
1994, 1995, 1996;
- на ежегодных Герценовских чтениях, Санкт-Петербург,
1993, 1994, 1995, 1996;
на трех научных конференциях, в том числе двух международных (Санкт-Петербург, 1993, Самара, 1993, Саранск, 1994);
на заседании кафедры математического анализа РГПУ им. А. И. Герцена, Санкт-Петербург, 1995.
на заседаниях научных семинаров математического факультета ВГУ, Воронеж, 1995.
Публикации. По теме диссертации опубликовано 7 печатных работ, список которых приведен в конце автореферата.
Объем и структура работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы, содержащего 78 наименований. Материал изложен на 73 страницах, включая 5 таблиц, 3 рисунка.
