Введение к работе
Актуальность работы
Диссертационная работа посвящена разработке вычислительных методов построения равновесных стратегий управления в эволюционных играх. Теория эволюционных игр является активно исследуемым направлением прикладной-математики. Создание этой теории было вызвано актуальностью выявления закономерностей развития экономических, социологических, биологических систем. Представляет интерес изучение и разработка законов управления в таких системах.
Развитие теории эволюционных игр тесно связано с такими направлениями как дифференциальные игры, оптимальное управление, математическое програмирование, негладкий и выпуклый анализ.
Становление теории дифференциальных игр относится к началу 60-х годов и связано с именами российских и зарубежных математиков Н.Н. Красовского, Л.С. Понтрягина, Р. Айоекса, У. Флеминга. Крупный вклад в развитие теории оптимального гарантированного управления внесли Э.Г. Альбрехт, М. Барди, В.Д. Батухтин, Т. Башар, Е.Н. Баррон, Р. Белпман, А. Брайсон, Р.В. Гамкрелидзе, В.И. Жуковский, М.И. Зелихин, Н. Калтон, А.Ф. Клейменов, А.Н. Красовский, М. Дж. Крэндалл, А.В. Кряжпмский, А.Б. Кружанский, Дж. Лей-тман, П.-Л. Лионе, А.А. Мелпкян, Е.Ф. Мищенко, М.С. Никольский, Ж.-П. Обен, Г. Ольсдер, Ю.С. Осипов, А.Г. Пашков, B.C. Падко, Н.Н. Петров, Л.А. Петросян, Г.К. Пожарпцкий, Б.Н. Пшеничный, А.И. Субботин, Н.Н. Субботина, В.Е. Третьяков, В.Н. Ушаков, А. Фридман, Хо Ю-ши, А.Г. Ненцов, Ф.Л. Черноусько, А.А. Чикрий, Р. Эллиот и многие другие.
В качестве решения эволюционной игры в диссертации рассматривается совокупность позиционных управлений, основанных на гарантированной постановке задач оптимального управления, что является характерной чертой теории дифференциальных игр. Построение равновесных стратегий управления базируется на решениях вспомогательных задач гарантнроваяого управления. В этих задачах вычисление функции оптимального гарантированного управления — функции цены, и синтез оптимальных позиционных стратегий осуществляется в рамках аппроксимационных сеточных схем для обобщенных решений уравнений Гамильтона-Якоби. В этом смысле диссертация тесно
связана с результатами теории уравнений Гамнльтона-Яхоби, разработанными в работах А.И. Субботина 1,г для обобщенных минимаксных решений. Используются также конструкции вязкостных решений, предложенных в работах М.Дж. Крэндалла, П.-Л. Лионса. 3'4
В частности, особое внимание уделяется конечно-разностным операторам для локальной аппроксимации минимаксных (вязкостных) решений, в которых значения гамильтониана вычисляются на обобщенных градиентах различных типов. Аппроксимационные решения сеточных схем (аппроксимационные функции цены) и информация об их обобщенных градиентах позволяют строить гарантированные управления методом экстремального сдвига, предложенным в работах Н.Н. Красовского. 5>6
Равновесные решения (динамические равновесия по Нэшу) синтезируются на базе построенных гарантированных управлений в рамках конструкции, разработанной А.Ф. Клейменовым. 7
Цель работы. Целью работы является разработка и обоснование конструкций для эффективного вычисления позиционных стратегий управления, реализующих динамическое равновесие по Нэшу (равновесные траектории) в эволюционных играх, исследование свойств равновесных траекторий в конкретных игровых моделях математической экономики.
Методы исследования. Разработанные методы опираются на теорию оптимального управления и дифференциальных игр, конструкции функционального, выпуклого и негладкого анализа. Исследуемые динамические модели обобщают классические постановки биматричных игр. Диссертация выполнена в рамках исследований по теории пози-
1 Субботин А.И. Обобщение основного уравнения теории дифференциальных игр // Докл. АН СССР 1980. Т. 254. No. 2. С. 293-297.
2Субботин А.И. Минимаксные неравенства и уравнения Гамильтона-Якоби. М.:Наука, 1991. 215 с.
3Crandall M.G., Lions P.-L. Viscosity solutions of Hamilton-Jacobi equations // Trans. Amer. Math. Soc. 1983. Voi. 277. No. 1. P. 1-42.
4Crandall M.G., Lions P.-L. Two approximations of solutions of Hamilton-Jacobi equations // Math. Comput. 1984. Vol. 43. No. 167. P. 1-19.
5Красовский Н.Н. Управление динамической системой. М.: Наука, 1985. 518 с.
6Красовский Н.Н.. Субботин А.И. Позиционные дифференциальные игры. М: Наука, 1974. 456 с.
7Клейменов А.Ф. Неантагонистические позиционные дифференциальные игры. Е«атерин-бурпНаука, 1993. 185 с.
ционных дифференциальных игр, которая разрабатывается в научной школе Н.Н. Красовского по оптимальному управлению. Используются идеи локальных аппроксимаций (выпуклых, вогнутых, линейных) в конечно-разностных операторах для сеточных схем вычисления функций цены. Метод экстремального сдвпга на сопутствующие движения, связанные с узлами сетки, применяется для построения оптимальных стратегий.
Научная новизна
Разработаны конечно-разностные операторы со среднеквадратичными градиентами, повышающие эффективность процесса вычисления фунцпи цены и оптимальных управлений. Конструкции оптимального синтеза терминальных задач адаптированы для эволюционных игровых задач с бесконечным горизонтом. Проведено моделирование и исследование асимптотических свойств равновесных траекторий.
Теоретическая и практическая ценность. Изложенные в диссертации методы построения оптимальных стратегий носят конструктивный характер и применимы к достаточно широкому кругу задач теории эволюционных игр. Предлагаемые конструкции и процедуры могут быть положены в основу разработки эффективных алгоритмов и программ, реализуемых на ЭВМ и позволяющих не только прогнозировать эволюционный процесс но и вносить управляющие коррективы для достижения определенных параметров.
Апробация работы. Материал по теме дисертации докладывался в 1995 году на семинарах в Институте прикладного и системного анализа (IIASA, Лаксенбург, Австрия); на международной научной конференции "Дифференциальные и интегральные уравнения" (Челябинск, 1999) Результаты представлялись на научных семинарах отдела динамических систем Института математики и механики УрО РАН, кафедры информатики и процессов управления Уральского Государственного Университета.
Публикации. По теме диссертации опубликовано три статьи в журнале "Прикладная математика и механика" и тезисы доклада на научной конференции.
Состав и объем диссертации. Диссертация состоит из введения и пяти глав. Нумерация параграфов сквозная. Список литературы включает 86 наименований. Объем работы составляет 116 страниц ма-
шинописного текста.
