Содержание к диссертации
Введение
1 Предварительные сведения 17
1.1 Обозначения и некоторые сведения из анализа 17
1.2 Обозначения и некоторые сведения из теории многозначных отображений 20
1.3 Обозначения и некоторые сведения из теории бифуркации 37
2 Некоторые специальные варианты топологической степени мультиполей для многозначных отображений и разреши мость операторных включений 43
2.1 Степень в конечномерном пространстве 44
2.2 Степень в нормированном пространстве 63
2.3 Степень мультиполей для мультиотображений типа селектируемых 72
2.4 Степень совпадения линейных фредгольмовых и многозначных отображений 77
3 Метод направляющих функций на заданном множестве 86
3.1 Периодическая задача 86
3.1.1 Направляющая функция для случая выпуклой правой части 86
3.1.2 Направляющая функция для случая нормальной правой части 94
3.1.3 Негладкая направляющая функция для случая выпуклой правой части 97
3.1.4 Негладкая направляющая функция для случая невыпуклой непрерывной правой части 103
3.2 Асимптотическое поведение решений 106
3.2.1 Случай выпуклой правой части 106
3.2.2 Случай невыпуклой почти полунепрерывной снизу правой части 118
3.2.3 Случай нормальной правой части 123
4 Метод интегральных направляющих функций 125
4.1 Периодическая задача 125
4.1.1 Интегральная направляющая функция для случая выпуклой правой части 125
4.1.2 Интегральная направляющая функция для случая невыпуклой почти полунепрерывной снизу правой части 136
4.1.3 Интегральная направляющая функция для случая нормальной правой части 140
4.1.4 Интегральная направляющая функция для случая каузальной правой части 142
4.1.5 Негладкая интегральная направляющая функция для случая выпуклой правой части 147
4.1.6 Негладкая интегральная направляющая функция для случая невыпуклой почти полунепрерывной снизу правой части 154
4.1.7 Негладкая интегральная направляющая функция для случая невыпуклой непрерывной правой части 157
4.1.8 Негладкая интегральная направляющая функция для случая каузальной правой части 159
4.2 Асимптотическое поведение решений 162
5 Метод многолистных векторных направляющих функций 167
5.1 Периодическая задача 167
5.1.1 Многолистная направляющая функция для случая выпуклой правой части 167
5.1.2 Многолистная направляющая функция для случая нормальной правой части 176
5.1.3 Негладкая многолистная направляющая функция для случая дифференциальных уравнений 179
5.1.4 Негладкая многолистная направляющая функция для случая выпуклой правой части 185
5.1.5 Негладкая многолистная направляющая функция для случая непрерывной правой части 189
5.1.6 Набор многолистных направляющих функций для случая дифференциальных уравнений 191
5.1.7 Набор многолистных направляющих функций для случая выпуклой правой части 201
5.1.8 Набор многолистных направляющих функций для случая нормальной правой части 208
5.1.9 Набор многолистных направляющих функций для случая непрерывной правой части 212 5.1.10 Набор негладких многолистных направляющих функций для случая дифференциальных уравнений 214
5.1.11 Набор негладких многолистных направляющих функций для случая выпуклой правой части 218
5.1.12 Набор негладких многолистных направляющих функций для случая непрерывной правой части 223
5.2 Бифуркации периодических решений 226
5.2.1 Случай дифференциальных уравнений 226
5.2.2 Случай дифференциальных включений 237
Публикации автора по теме диссертации 248
Литература
- Обозначения и некоторые сведения из теории многозначных отображений
- Степень мультиполей для мультиотображений типа селектируемых
- Асимптотическое поведение решений
- Негладкая интегральная направляющая функция для случая невыпуклой непрерывной правой части
Введение к работе
Актуальность темы. Тридцатые годы прошлого века считаются периодом зарождения теории дифференциальных включений, а работы французского математика А. Маршо и польского математика С. Зарембы - пионерскими. Но только в середине прошлого века теория дифференциальных включений получила мощный импульс развития. Это связано в первую очередь с тем, что дифференциальные включения являются очень удобным аппаратом для описания управляемых систем различных классов, систем с разрывными характеристиками, изучаемых в ряде разделов теории оптимального управления, математической экономики, математической физики и др. В силу этого, задачи о периодических колебаниях, о глобальной структуре множества периодических решений, об асимптотическом поведении решений для систем такого рода являются весьма актуальными. Периодические задачи для дифференциальных включений исследовались в работах В.И. Благодатских, Ю.Г. Борисовича, А.И. Булгакова, Е.А. Ганго, Б.Д. Гельмана, М.И. Каменского, А.Д. Мышкиса, В.В. Обуховского, А.И. Поволоцкого, Л.И. Родиной, АА. Толстоногова, Е.Л. Тонкова, В.В. Филиппова, И.А. Финогенко, J.P. Aubin'a, А. СсШпа, К. Dcimling'a, L. Gornicwicz'a, N.V. Loi'a, N.S. Papagcorgiou, S. Plaskacz'a, P. Zecca и др.
Изучению бифуркационного феномена в нелинейных системах посвящены работы МА. Красносельского, А.В. Арутюнова, Ю.Г. Борисовича, В.Г. Звягина, А.Ф. Измайлова, М.И. Каменского, A.M. Красносельского, В.В. Обуховского, Д.И. Рачинского, Ю.И. Сапронова, J.C. Alexander'a, S. Domachowsk'ro, P.M. Fitzpatrick'a, L. Gorniewicz'a, W. Kryszewsk'ro, N.V. Loi'a, J. Mawhin'a, J. Pejsachowicz'a, P. Rabinovich'a, J.A. Yorke и др.
Вышеупомянутые задачи потребовали для своего изучения развития геометрических и топологических методов анализа многозначных отображений (мультиотображений). Геометрические и топологические методы анализа, применяемые к задачам о нелинейных колебаниях динамических систем, восходят к именам А. Пуанкаре, Л. Брауэра, П.С. Александрова, Г. Хопфа,
Ж. Лере, Ю. Шаудера. В дальнейшем эти методы были развиты и продемонстрировали свою эффективность в трудах М.А. Красносельского, Н.А. Бобылева, Ю.Г. Борисовича, П.П. Забрейко, В.Г. Звягина, М.И. Каменского, A.M. Красносельского, В.В. Обуховского, А.И. Перова, А.И. Поволоцкого, Б.Н. Садовского, Ю.И. Сапронова, В.В. Стрыгина, Д.И. Рачинского, К. Deimling'a, A. Fonda, L. Gorniewicz'a, J. Mawhin'a и др. Отметим, в частности, чрезвычайно плодотворное направление, связанное с понятием направляющей функции, основу которого заложили разработки М.А. Красносельского и А.И. Перова.
Кроме того, достаточно действенной здесь оказалась теория топологической степени мультиполей с выпуклыми значениями, разработке которой посвящены труды Ю.Г. Борисовича, Б.Д. Гельмана, Ю.Е. Гликлиха, А.Д. Мыш-киса, В.В. Обуховского, J.-P. Aubin'a, R. Bader'a, A. Cellina, J. Dugimdji, H. Frankowska, A. Granas'a, A. Lasota, Z. Opial'a и др. Однако в ряде задач теории периодических решений дифференциальных включений аппарат выпуклозначных мультиотображений не может быть непосредственно применен. Достаточно заметить, что многозначный оператор сдвига по траекториям дифференциальных включений не является выпуклозначным даже в простейших случаях.
Настоящая диссертационная работа посвящена разработке новых геометрических и топологических методов анализа мультиотображений, позволяющих эффективно решать задачи о существовании периодических и ограниченных решений, а также задачи о качественном поведении решений дифференциальных уравнений и включений различных классов.
В работе развивается теория топологической степени мультиполей, соответствующих новым классам мультиотображений, которые естественным образом возникают в приложениях. Один из таких классов составляют мультиотображения, представимые в виде композиции аппроксимируемых мультиотображений и однозначных отображений. Этот класс достаточно обширен: он включает в себя как выпуклозначные полунепрерывные сверху мультиотображения, так и многозначные операторы сдвига по траекториям
дифференциальных включений и дифференциальных уравнений, не обладающих свойством единственности решения. Второй рассматриваемый класс -это мультиотображения, обладающие непрерывными сечениями.
Для обоих классов строится топологическая степень совпадения, которая находит приложения в обосновании методов направляющих функций на заданном множестве и интегральных направляющих функций.
Развитые методы применяются к различным категориям задач.
Первым типом рассматриваемых задач является задача о периодических решениях систем, описываемых дифференциальными включениями как с выпуклозначной правой частью, так и с правой частью, не обладающей свойством выпуклости значений. Для эффективного решения этой задачи применяется модификация классического понятия направляющей функции - направляющая функция на заданном множестве. Существенным преимуществом по сравнению с классическим подходом является возможность "локализовать" проверку основного условия "направляемое" на области пространства, зависящей от самой направляющей функции.
Другим важным развитием метода направляющих функций, получившим отражение в работе, является метод многолистных направляющих функций. Он позволяет существенно расширить классы систем, к которым применимы геометрические методы отыскания периодических решений.
Несомненным достоинством этого метода является не только наличие преимуществ предыдущего подхода, но и возможность проверки основного условия "направляемости" на области не всего пространства, а его подпространства меньшей размерности.
При исследовании периодической задачи для дифференциальных включений, помимо метода строгой многолистной направляющей функции, вводится его более общий случай: метод обобщенной многолистной направляющей функции. Не менее эффективным оказался и метод нескольких многолистных направляющих функций. Применение комплекса этих методов позволило получить ряд существенно новых результатов о существовании периодиче-
ских решений дифференциальных уравнений и включений.
В диссертации рассматривается также задача о периодических решениях систем, описываемых функционально-дифференциальными включениями как с выпуклозначной правой частью, так и с правой частью, не обладающей свойством выпуклости значений. Для ее решения был введен новый класс направляющих функций - интегральные направляющие функции.
Существенным развитием метода интегральных направляющих функций является его обобщение на включения с каузальными операторами. Отметим, что это понятие было впервые введенно Л. Тонслли и А.Н. Тихоновым и оказалось мощным инструментом для унификации задач в теории обыкновенных дифференциальных уравнений, интегро-дифференциальных уравнений, функционально-дифференциальных уравнений, интегральных уравнений Вольтерра, функциональных уравнений нейтрального типа и др.
В классических работах по методу направляющих функций, как правило, предполагается, что эти функции являются гладкими на всем фазовом пространстве. Это условие может представиться ограничительным, например, в таких ситуациях, когда направляющие потенциалы различны в различных областях пространства. Для снятия указанного ограничения в диссертации рассматриваются негладкие направляющие потенциалы для каждого класса направляющих функций и их обобщенные градиенты.
Универсальность рассматриваемых в диссертации методов позволяет применять их и к задаче о существовании ограниченных решений дифференциальных уравнений и включений, а так же функционально-дифференциальных уравнений и включений различных классов.
Третьим типом рассматриваемых задач является исследование асимптотического поведения решений дифференциальных и функционально-дифференциальных включений различных классов. Разработанные в диссертации методы позволяют получить существенно новые оценки норм траекторий соответствующих дифференциальных включений.
Завершается ряд рассматриваемых в диссертации проблем задачей о би-
фуркации периодических решений дифференциальных включений. Для ее решения предлагается новый подход на основе понятия многолистной направляющей функции, позволяющий значительно облегчить нахождение ключевой характеристики данной задачи - бифуркационного индекса.
Значительная часть результатов, полученных в диссертационной работе для дифференциальных включений, является новой и для теории дифференциальных уравнений.
Цель диссертационной работы. Разработка на основе развития теории топологической степени для новых классов мультиотображений метода направляющих функций трех новых типов: направляющих функций на заданном множестве, интегральных и многолистных направляющих функций. Получение новых приложений разработанных методов к задачам о существовании периодических и ограниченных решений, о качественном поведении решений дифференциальных уравнений и включений.
Методы исследования. При решении изложенных выше задач используются методы многозначного анализа, нелинейного функционального анализа, негладкого анализа, качественной теории дифференциальных уравнений и включений, а также теории бифуркаций.
Научная новизна. Все результаты диссертационной работы являются новыми. Наиболее значимыми являются следующие результаты:
-
построена теория топологической степени мультиполей, соответствующих новым классам мультиотображений с невыпуклыми значениями в конечномерном и нормированном пространствах;
-
развита на основе построенной топологической степени теория степени совпадения для соответствующих классов мультиотображений и линейных фредгольмовых отображений;
-
введено понятие набора направляющих функций для случая дифференциальных включений и получены достаточные условия существования их периодических решений;
-
осуществлена локализация метода направляющих функций для диффе-
ренциальных включений;
-
введен в рассмотрение класс интегральных направляющих функций для исследования существования периодических решений функционально-дифференциальных включений;
-
обобщен метод интегральных направляющих функций на случай дифференциальных включений с каузальными операторами и получены новые достаточные условия существования их периодических решений;
7) введен класс многолистных векторных направляющих функций
(МВНФ) как новый инструмент исследования вынужденных колебаний в ди
намических системах, описываемых дифференциальными включениями;
-
получены в терминах полного набора строгих (обобщенных) МВНФ и правильной МВНФ новые достаточные условия существования периодических решений дифференциальных уравнений и включений;
-
указанные выше классы направляющих функций применены к новым задачам исследования асимптотического поведения решений дифференциальных и функционально-дифференциальных уравнений и включений;
-
все предложенные классы направляющих функций расширены на случай негладких потенциалов;
-
существенно расширены классы динамических систем, к которым применимы разработанные в диссертации методы (в частности, на системы, описываемые дифференциальными и функционально-дифференциальными включениями, правые части которых не обладают свойством выпуклости значений и являются, например, нормальными мультиотображениями);
-
распространен метод МВНФ на задачу исследования бифуркации периодических решений дифференциальных уравнений и включений.
Теоретическая и практическая значимость. Работа носит теоретический характер. В диссертации разработан достаточно широкий спектр новых методов нелинейного и многозначного анализа, которые эффективно применены в исследовании периодических и ограниченных решений, асимптотического поведения решений, а также бифуркации периодических реше-
ний систем, описываемых различными классами дифференциальных уравнений и включений. Результаты диссертационной работы могут применяться в теории оптимального управления, в задачах математической экономики и физики, теории игр. Отдельные элементы диссертации включены в программу дисциплины "Математические методы в решении прикладных задач", читаемой в рамках магистерской программы "Математическое образование" в Воронежском госпедуниверситете.
Степень достоверности и апробация результатов работы. Результаты диссертации докладывались на международной научной конференции "Нелинейный анализ и функционально-дифференциальные уравнения" (Воронеж, 2000), Воронежских зимних математических школах (Воронеж, 2002, 2004, 2008, 2015, 2016), Воронежских весенних математических школах "Понтрягинские чтения" (Воронеж, 2002, 2014-2016), международных школах-семинарах по геометрии и анализу (Абрау-Дюрсо, 2002, 2004), международной научной конференции "Современные проблемы функционального анализа и дифференциальных уравнений" (Воронеж, 2003), международных научных конференциях "Общие проблемы управления и их приложения. Проблемы преподавания математики" (Тамбов, 2003, 2015), международной научной конференции "Топологические и вариационные методы нелинейного анализа и их приложения" (Воронеж, 2005), международной конференции "Дифференциальные уравнения и топология" (Москва, 2008), международных научных конференциях "Крымская осенняя математическая школа-симпозиум"(Крым, 2009, 2014-2016), международной открытой конференции "Современные проблемы анализа динамических систем. Приложения в технике и технологиях" (Воронеж, 2014), международной математической конференции "Шестые Богдановские чтения по обыкновенным дифференциальным уравнениям" (Минск, 2015), Всероссийской конференции с международным участием "Теория управления и математическое моделирование" (Ижевск, 2015), международной школе-семинаре "Нелинейный анализ и экстремальные задачи" (Иркутск, 2016), Symposium on
Nonlinear Analysis (Торунь, Польша, 2007, 2015), International Symposium on Optimization and Optimal Control (приглашенный докладчик, член организационного и программного комитетов, Гаосюн, Тайвань, 2009), The Seventh International Conference on Differential and Functional Differential Equations (Москва, 2014), International Workshop on Nonlinear and Variational Analysis (приглашенный докладчик, Гаосюн, Тайвань, 2016) и других конференциях. Результаты обсуждались на семинарах под руководством профессора А.И. Перова (Воронеж, 2002, 2003), профессора В.В. Обуховского (Воронеж, 2000 2016), профессора М.И. Каменского (Воронеж, 2006, 2011), профессора Л.И. Родиной (Ижевск, 2015), а также во время стажировки в Национальном университете им. Сун Ят-Сена (Гаосюн, Тайвань, июль-август, 2016).
Исследования, включенные в настоящую диссертацию, поддержаны РФФИ грант № 03-01-06293 "Молодые ученые, аспиранты и студенты" (2003); грантом для молодых участников проекта VZ-010 "Волновые процессы в неоднородных и нелинейных средах" Минобразования РФ и CRDF (США) (2004) и грантом на участие в работе школы "SPDE in Hydrodynamics: Recent Progress and Prospects" фонда CIME (Италия) (2005).
Предложенные понятия, утверждения, методы исследования вошли в отчеты по грантам Российского фонда фундаментальных исследований (проекты Ж№ 02-01-00189, 05-01-00100-а, 08-01-00192-а, 09-01-92003-ННС-а, 09-01-92429-КЭ_а, 11-01-00328-а, 12-01-00392-а, 14-01-92004 ННС_а, 14-01-00468 А, 16-01-00386 А), Министерства образования и науки РФ (проект № 3488) и Российского научного фонда (проект № 14-21-00066).
В 2014 г. за монографию "Method of Guiding Functions in Problems of Nonlinear Analysis" диссертант был удостоен в составе авторского коллектива премии правительства Воронежской области за достижения в области науки и образования.
Публикации. Основные результаты отражены в работах [1-37], в том числе в монографии [1] и статьях [2-22], опубликованных в журналах из перечня ведущих рецензируемых научных журналов и изданий, рекомендован-
ій
ных ВАК Минобрнауки РФ. Из совместных работ [1], [3-8], [10], [15], [17], [19], [21-26] и [30] в диссертацию вошли только результаты, полученные лично диссертантом.
Структура и объем диссертации. Диссертация изложена на 272 страницах и состоит из введения, пяти глав, содержащих 13 параграфов, и списка цитируемой литературы, включающего 155 наименований.
Обозначения и некоторые сведения из теории многозначных отображений
Очевидно, что стягиваемыми являются выпуклые и звездообразные множества. Определение 2.1.2. Пространство X называется локально стягиваемым в точке Хо Є X если всякая окрестность U точки х$ содержит окрестность UQ, стягиваемую по U к точке. Определение 2.1.3. Пространство X называется локально стягиваемым, если оно локально стягиваемо в каждой своей точке. Пример 2.1.1. Всякое объединение выпуклых множеств линейного топологического пространства X локально стягиваемо. В частности, всякий полиэдр локально стягиваем.
Определение 2.1.4. (см. [111]) Множество А С X называется R$—множеством, если существует убывающая последовательность {Ап} компактных стягиваемых множеств таких, что А = П{Ап:п = 1,2,...}.
Отметим, что множества такой топологической структуры естественно возникают при изучении дифференциальных уравнений и включений. Пример 2.1.2. Рассмотрим задачу Коши для дифференциального включения следующего вида: x (t) Є G(t,x(t)), х(0) = хо, в предположении, что правая часть G : [0, а] х W1 — Ки(Шп) включения удовлетворяет верхним условиям Каратеодори и условию подлинейного роста [1.2; 26]. Тогда множество решений Е(6г,0,Жо) этой задачи является / -множеством в банаховом пространстве С([0,а];Кп) (см., например, [119]).
Определение 2.1.5. (см., например, [9], [44]) Непустое компактное множество А С X называется асферичным, если для любого є 0 существует 5 : 0 5 є такое, что для каждого п = 0,1,... любое непрерывное отображение д : Sn — Wj(A) может быть продолжено до непрерывного —п+1 отображения д : В — W(A). Определение 2.1.6. Множество Л С X называется ретрактом пространства X, если существует такое непрерывное отображение (ретракция) г : X — А, сужение которого на А является тождественным, т.е. г(х) = X для всех X Є А.
Из теоремы Титце-Дугунджи [1.1; 9] вытекает, что всякое замкнутое выпуклое подмножество М метризуемого локально выпуклого пространства Е является ретрактом этого пространства.
Определение 2.1.7. Множество А С X называется окрестностным ретрактом, если существует ретракция г : И А) — А, где И- А) - некоторая окрестность А.
Определение 2.1.8. Вложением пространства X в пространство Y называется такое отображение h : X — У, которое обладает свойствами: 1 h(X) С Y - замкнутое множество; 2 h : X — h(X) - гомеоморфизм.
Определение 2.1.9. Пространство X называется абсолютным ретрактом или AR-пространством, если для любого метрического пространства Y и любого вложения h : X — У множество /i(X) является ретрактом пространства Y. Если же множество /i(X) является окрестностным ретрактом, то пространство X называется абсолютным окрестностным ретрактом, или ANR-пространством.
Отметим, что класс ЛТУЛ-пространств достаточно широк. В частности, всякий конечный полиэдр является ЛТУЛ-пространством.
Более того, конечномерный компакт является ЛТУЛ-пространством тогда и только тогда, когда он локально стягиваем (см. [14]). В частности, каждое компактное многообразие является ЛТУЛ-пространством и, кроме того, если Хо, Х\ - ЛТУЛ-пространства и XQ П Х\ - ЛТУЛ-пространство, то объединение Хо U Х\ также является ЛТУЛ-пространством.
Приведем теперь примеры асферичных множеств.
Пример 2.1.3. Если подмножество Z ЛТУЛ-пространства Y тривиальной формы, т.е. Z стягиваемо в каждой окрестности пространства У, то Z является асферичным в Y.
Пример 2.1.4. (см. [111]) Пусть Y - ANR-иростраяство. Тогда если подмножество М ЛТУЛ-пространства Y является компактным, то следующие два утверждения эквивалентны: 1 М - Д -множество; 2 М - асферично. Пусть X, Y - произвольные пространства, G : X — K(Y) - мульти-отображение. Определение 2.1.10. Классом Ao{X,Y) называется совокупность аппроксимируемых многозначных отображений G, т.е. пн. св. мультиотображе-ний G : X — K(Y) [1.2, 16], допускающих для каждого є 0 однозначную є-аппроксимацию де : X — Y [1.2, 23].
Определение 2.1.11. Классом A(X,Y) называется совокупность многозначных отображений G : X — /С(У), удовлетворяющих условиям: 1СєЛ(Х,У), 2 для любого є 0 существует 5Q 0 такое, что для всех (0 S So) и любых двух ( -аппроксимаций gs,gs X — У мультиотображения (7 найдется непрерывное отображение (деформация) /г : X х [0,1] — Y такое, что (i) h(x,0) = gs(x), h(x,l)=gs(x) для всех х Є X; (ii) h(x, А) является є-аппроксимацией мультиотображения G для каждого А Є [0,1] . Расссмотрим следующую совокупность мультиотображений. Определение 2.1.12. Пн. св. мультиотображение G : X — K(Y) называется J-отображением, или G Є J(X,Y), если для любого х Є X множество G(x) является асферичным. Пример 2.1.5. Пусть Y является ЛТУЛ-пространством. Тогда пн. св. многозначное отображение G : X — K(Y) является -отображением в каждом из следующих случаев: для любого х Є X множество G(x) является (а) выпуклым множеством; (б) АД-пространством; (в) стягиваемым множеством; (г) / -множеством. В частности, всякое непрерывное однозначное отображение д : X — Y является -отображением.
Пример 2.1.6. Рассмотрим подробнее случай (г). Как известно, множество решений задачи Коши для дифференциального включения вида: x (t) Є G(t,x(t)), х(0) = хо, где правая часть G : [0, а] х Жп — Ки(Шп) включения удовлетворяет верхним условиям Каратеодори и условию подлинейного роста, зависит полунепрерывным сверху образом от начального значения XQ (СМ., например, [119]). Тогда из примера 2.1.2 следует, что мультиотображение Е : Жп —о С([0, а]; Мп), сопоставляющее каждой точке Хо Є Шп множество решений задачи Коши Е(жо), является -отображением.
Степень мультиполей для мультиотображений типа селектируемых
Будем рассматривать сначала периодическую задачу для дифференциального включения следующего вида: x\t) Є F(t,x(t)), (3.1) х(0)=х(Т), (3.2) предполагая, что мультиотображение F : К. х Жп — Ки{Шп) удовлетворяет верхним условиям Каратеодори, условию подлинейного роста и Т-периодично (Т 0) по первому аргументу: F{t, х) = Fit + Т, х) для всех iet, х еШп (очевидно, это условие позволяет рассматривать мультиотображение F заданным на [0,Т] х W1). Замечание 3.1.1. (см. [12]). При сделанных предположениях определен мультиоператор суперпозиции Рр : С([0,Т];Мп) — P(L1([0, Т]; Кп)), сопоставляющий каждой функции ж(-) множество всех суммируемых сечений мультифункции F(t,x(t)). Известно, что этот мультиоператор замкнут.
Всюду в дальнейшем под решением задачи (3.1), (3.2) будем понимать абсолютно непрерывную функцию ж(-), удовлетворяющую почти в каждой точке включению (3.1) и условию периодичности (3.2).
Для изучения задачи (3.1), (3.2) будем использовать топологическую степень совпадения пары отображений (см. п. 2.4).
Пусть G С Шп - непустое множество. Обозначим символом Сур — пространство непрерывных Т-периодических функций х : К. — Жа с нормой жс = sup ж() и пусть Ly - пространство суммируемых Т-периодичес t[0,T\ гр ких функций / : К. — Жп с нормой /z,i = /0 /(s)rfs. Обозначим теперь Г(С) := {х Є Ср : ж() Є G для всех Є [0,Т]}. Для функции У : Мп — К, Мсіи для любого г Є Ж. пусть V-\M) := {х Є Шп : У(ж) Є М}, Vr := {жєГ: У(ж) г}. Для М С Мп символом хм обозначается характеристическая функция множества М и Ms = LLGM Вп(х} 6), где Вп(х} 5) С Мп - открытый шар с центром в точке х и радиуса # 0. Развивая понятия, введенные в [40, 133, 135], дадим следующие определения. Определение 3.1.1. Непрерывно дифференцируемая функция V : G — Ш называется невырожденным потенциалом, если W{x) ф 0 для всех х Є G. Определение 3.1.2. Невырожденный потенциал V : G — Ж. называется направляющей функцией на множестве G для включения (3.1), если выполнено условие (VV(x),y) 0 для всех х Є G, у Є F(t,x). (3.3)
Справедливо следующее утверждение. Теорема 3.1.1. Пусть V : W1 — К. - такая непрерывно дифференцируемая функция, что выполнены следующие условия: (г) Vo является непустым, открытым и ограниченным множеством; (и) V является направляющей функцией для включения (3.1) на множестве V l(0); (гіг) deg(W, Vo) ф 0. Тогда задача (3.1), (3.2) имеет Т-периодическое решение х(-) Є r(Vo) Доказательство, (j) Покажем сначала, что утверждение теоремы справедливо, когда условие (ii) предполагается выполненным на множестве У-1 ([0, є}) для некоторого є 0. Для невырожденного потенциала V определим отображение Yy : Шп — Шп следующим образом: W(x), если \\VV(x)\\ 1, VV(x) \г ( \ ш \ I 1 II 1/11 1 если Уїмж) 1. W(x) Нетрудно видеть, что отображение Y непрерывно. Зададим мультиотображение Н : [0,Т] х Шп х [0,1] — Ки(Шп) следующим образом: H(t, х, А) = (1 - А)Уу(ж) + XF(t, x(t)). Рассмотрим периодическую задачу x\t) єЯ(і,ж,А), А Є [0,1), (3.4) ж(0) = ж(Г). (3.5)
Пусть Л Є [0,1) и х - некоторое решение (3.4), (3.5) такое, что ж Є r(Vo). Покажем, что х Є T(Vb), т.е., что V(x(t)) 0, для всех t Є [0,Т]. Предположим, что при некотором г Є [0,Т] имеем У(ж(т)) = 0. Это означает, что х(т) Є У_1(0) и в силу условия (ii) W(X(T)) = 0. Следовательно, найдется 5 0 такое, что W(z()) 0 для всех Є [т - ,т + 6] П [0,Т]. Предположим без ограничения общности, что т — 5 Є (0,Т) и что У(ж()) Є [0, є] для всех Є [г — 6, т]. Тогда имеем: 0 V(x(r))-V(x(r-5))= [ (VV(x(t)),xf(t)))dt = JT-S = Г [(l-\)(VV(x(t)),Yv(x(t)))+\(VV(x(t))J(t))]dt 0 JT-S для каждого сечения f(t) Є F(t,x(t)). Получили противоречие. Таким образом, или задача (3.1), (3.2) имеет решение на dT(Vo) и в этом случае теорема доказана, или для любого А Є [0,1] задача (3.4), (3.5) не имеет решения на 9r(Vo).
Тогда определим оператор / : dom / := {х Є Ст х — абсолютно непрерывна} С Ст — LT, и при каждом А Є [0,1] мультиоператор суперпозиции Q(-,X) = Ря(-,А) : Ст — P(LT). Нетрудно проверить, что / - линейный фредгольмов оператор нулевого индекса и Q(-,X) - семейство замкнутых /-компактных мультио-ператоров. Запишем (3.4) в абстрактном виде как їх Є Q(x,\), или їх = (1 - \)Yv{x) + Xf при каждом / Є Рр- По свойству гомотопической инвариантности топологической степени совпадения (1её(/,Я(-,1),Г(У0)) = (1её(/,Я(-,0),Г(Уо)). Из условий (і), (ііі) и леммы VI. 1 из [134] следует, что deg(/,tf(-,0),r(Vo)) = deg(W,V0) ф 0. Тогда из свойства существования точки совпадения заключаем, что 1{х) є G{x,X) для х є r(V0). (jj) Пусть теперь условие (ii) имеет место на множестве V (0). Так как V l(0) - компактное множество и W{x) 0 для всех х Є V l(0), то найдется 6 0 такое, что W{x) 0 для всех х Є V l(0)s-Подберем функцию v Є С1(Шп, [0,1]) так, чтобы v = 1 на V l (0)s/2 и z/ = 0 наМп\у-1(0)(5.
Так как мультиотображение F удовлетворяет верхним условиям Кара-теодори, то (см., например, [90]) для каждого ет 0 существует мультиотображение Fm : К. х М.п — і -и(Мп) такое, что: (а) мультиотображение Fm по первому аргументу Т-периодично; (б) Fm(t, z) С F(t, z) п.в. (t, z) Є R х R»; (в) существует замкнутое подмножество Jm промежутка J = [0,Т] такое, что fi(J\Jm) єт (где /і - мера Лебега) и мультиотображение Fem\jEmXRn пн. св.; (г) если u,w : J — W1 измеримы и w(t) Є F(t,u(t)) п.в. t Є J, то Ц) Є Fm(t,u(t)) п.в. Є J. Образуем МНОЖеСТВО $то = Uj=m+1 Єі Такое, ЧТО /і($то) —, 0m--l m для каждого т Є N и м(Пт=1 ) = О- Таким образом, lim Xem(t) = О Для т— оо всех Пт=і «г и множество [О, Т] \ вт является компактным. Построим для каждого т Є N и (t,x) Є [0,Т] х Мп мультиотображение Fm( ,z) = F(t,x) + z/(z) ( а( )(1 + \\x\\)Xem(t) + — J VW, где функция ск(-) та же, что и в условии подлинейного роста. Нетрудно видеть, что мультиотображения Fm также удовлетворяют верхним условиям Каратеодори и условию подлинейного роста. Покажем теперь, что для каждого дифференциального включения x (t) Є Fm(t,x(t)) (3.6) условие (ii) выполнено на множестве У-1 ([0, є]). Действительно, для каждых (t, х) Є 9тх (V l(0)5/2 П Vo) и ут Є Fm(t, х) имеем: {VV(x),ym} = {VV(x),y} + (a(t)(l + \\x\\)Xem(t) + Л W( )II О, так как v = 1 на l _1(0)j/2; здесь у Є F(t,x). Пусть теперь t Є [0, Т]\9т. Тогда для каждых х Є V l(0) и ут Є Fm(, ж) получаем W( ),2/m = W(a;),y) +ф) ґа( )(1 + ж)х т( ) + ) \\VV(x)\\ О, где у Є F(t,x). Так как мультиотображение (,ж) - {(W(x),ym) : ут Є FTO(,:r)} является пн. св. на компактном множестве ([0,Т] \ вт) х V О) , то найдется еп 0 такое, что {VV(x),ym} 0 для каждых t Є [0,Т] \ 9т, х Є V 1[0,єп] С V l(0)s/2 и ут Є Fm(t,x). Таким образом для є = тіп(єп, #/2) условие (іі) будет выполнено на мно жестве V ([0, є]) и по доказанному каждое из дифференциальных включе ний (3.6) будет иметь Т-периодическое решение х т{-). Переходя к пределу при т — оо, получаем искомое решение х (-) включения (3.1) как пре дельную точку последовательности х т{-) решений включения (3.6).
Асимптотическое поведение решений
Будем рассматривать задачу о существовании решений, удовлетворяющих приведенной выше оценке (3.28), для дифференциального включения следующего вида: x (t)eR(t,x(t)), (3.57) ж(0) = х0. (3.58) в предположении, что мультиотображение R :Шх Ш.п — К(Ш.п) удовлетворяет условиям почти полунепрывности снизу и подлинейного роста.
Замечание 3.2.5. При выполнении условий (Fi ) и (F2co) определен на каждом компактном интервале / Є Ж. мультиоператор суперпозиции VF : C(I;Rn) -ю P(L\l;Rn)), сопоставляющий каждой функции х(-) множество всех суммируемых сечений мультифункции t —о F(t,x(t)). Известно (см., например, [119]), что этот мультиоператор пн. сн. и имеет замкнутые разложимые значения (см. [1.1; 11])- Следовательно, согласно [1.2; 22]), мультиоператор VF имеет непрерывное сечение.
Определение 3.2.3. Регулярная функция V : Жп — К. называется негладким направляющим потенциалом для включения (3.57) вдоль функции #(), если найдется такое Го 0, что условие д()ж го, t Є К, влечет (v, g (t)x + g(t)y) 0, если t 0; (v, g (t)x + g{t)y) 0, если t 0; для всех у Є F(t, x), v Є dV(g(t)x). Замечание 3.2.6. Без ограничения общности будем считать го 0(О)жо Пусть функция V : Шп — К. является негладким направляющим потенциалом для включения (3.57) вдоль функции д(-).
Теорема 3.2.3. Если выполнено условие коэрцитивности (3.33), то каждое решение задачи Коши (3.57), (3.58) удовлетворяет оценке \\x(t)\\ к- -—, let, (3.59) II v лі- g{Jty К J для некоторого к 0. Замечание 3.2.7. Коэффициент к может быть задан следующим образом. Положим Vb := M{V(x), \\х\\ г0}. (3.60) В силу условия (3.33) найдется к г$ такое, что V(x) V0} \\х\\ к. (3.61)
Доказательство. (і) Рассмотрим сначала случай/: 0. Разобьем интервал [0, +оо) на компактные промежутки [0,i], [ti, ], [ n5 n+i]5 п Є N). Рассмотрим промежуток [0, t\\. Тогда мультиотображение F : [0, t\\ хЖа — К(Ш.п) будет удовлетворять всем условиям теоремы 3.2.17 (см. [12]) и множество всех решений задачи (3.57), (3.58) на промежутке [0,i] непусто и в силу леммы Гронуолла ограничено. Возьмем произвольное решение х(-) задачи (3.57), (3.58) на промежутке [0,і]. Взяв в качестве начальной точки x(t\), найдем решение включения (3.57) на промежутке [ 1, 2] и так далее. В итоге получим, что все решения задачи (3.57), (3.58) продолжимы на промежуток [0, оо) и их множество непусто.
Пусть х(-) - некоторое решение задачи (3.57), (3.58) на промежутке [0,+ос). В силу непрерывности функции t — ?()ж(), учитывая замечание 3.2.6, можно указать наибольшее т\ 0 такое, что g(t)\\x(t)\\ г0 к, t є [0,ті). (3.62) Если т\ = +оо, то \\x(t)\\ к- —-, Є [0,+ос) (3.63) и утверждение доказано. Если т\ +оо, то оценка (3.62) справедлива только на конечном промежутке. Покажем, что g(t)\\x(t)\\ к, te [0,+ос). (3.64) В предположении противного найдется т2 т\ такое, что 0(т2)ж(т2) к. (3.65) Из (3.62) и (3.65) следует существование т\ т т2, при котором р(т )ж(т ) = к. (3.66) Пусть т[= sup{r Є [ті,т ), д{т)\\х(т)\\ = r0}, следовательно, и g{t)\\x(t)\\ г0 для te[r[,n]. (3.67) В силу (3.60), получаем следующую оценку V(g(r[)x(r[)) V0. (3.68) 120 Так как регулярная функция V : Шп — К. является негладким направляющим потенциалом для включения (3.57) вдоль функциид(-), то, учитывая оценку (3.67) и применяя лемму 3.1.1, получим V(g(n)x(n)) - V{g{r[)x{r[)) = / V0(g(t)x(t),g (t)x(t) + g(t)x (t))dt "Т, / {v{t),g {t)x{t)+g{t)x {t))dt 0, Jr{ где v(-) является произвольным суммируемым сечением мультифункции t —о dV(g(t)x(t)) на отрезке [т , ]. Отсюда и из соотношений (3.61), (3.66) и (3.68) имеем V0 V(g(n)x(n)) V(g(i{)x(i{)) V0.
Это противоречие и доказывает справедливость оценки (3.64). Таким образом, получили, что каждое решение задачи (3.57), (3.58) при t 0 удовлетворяет соотношению " v Л - git) (ii) Пусть теперь t 0. Обозначим г = — t и определим х(т) = х(—т) = x(t), F(T,X) = —F(—T,X) = —F(t,x), /3(т) = a(—t). Ясно, что мультио-тображение F : К. х Шп — К(Ш.п) удовлетворяет условиям, аналогичным указанным выше.
Будем рассматривать теперь задачу о существовании решений, удовлетворяющих приведенной выше оценке (3.64), для дифференциального включения следующего вида: х (т)еР(т,х(т)). (3.69) Ясно, что любое решение включения (3.69) на [0, +оо) определяет решение включения (3.57) на (—оо,0]. Функция V : Шп — К. является негладким направляющим потенциалом для включения (3.69). Действительно, для всех у Є F(r,ж), v Є dV(g(r)x), д(т)\\х\\ = g(t)\\x\\ TQ В силу определения 3.2.3 и четности функции #(), имеем (г , (т)ж + д{т)у) = (v, -д {-т)х + д(-т)у) = = {У, д\-т)х + д(-т)у) = - (v, g {t)x + g{t)y) О, где у = -у Є F(-r, ж) = F(t, х).
Негладкая интегральная направляющая функция для случая невыпуклой непрерывной правой части
Обобщим полученные ранее результаты на случай негладких интегральных направляющих функций.
Будем рассматривать сначала периодическую задачу (4.1), (4.2) для функционально-дифференциального включения, предполагая, что муль-тиотображение F : К. х С — Kv(M.n) удовлетворяет верхним условиям Каратеодори, условию подлинейного роста и Т-периодично по первому аргументу.
Напомним, что при выполнении указанных выше условий определен мультиоператор суперпозиции PF : С([-т,Т];Шп) Ь1([0,Т];Шп), сопоставляющий каждой функции х(-) множество всех суммируемых сечений мультифункции F(t,Xt) (см. замечание 4.1.2).
Определение 4.1.6. Локально липшицеву функцию V : Шп — К. назовем строгой негладкой интегральной направляющей функцией задачи (4.1), (4.2), если найдется N 0 такое, что для любой абсолютно непрерывной функции х Є Ст с жІ2 N и a/() F(,:rt) п.в. t Є [0,Т] выполняется следующее условие т {v(s)J(s))ds 0 для каждого суммируемого сечения v(s) Є dV(x(s)) и f(s) Є F(s,xs) [1.2; 25, 26].
По аналогии с гладким случаем, если функция V является невырожденным потенциалом, то топологическая степень многозначного векторного поля dV корректно определена и, более того, ее значения не зависят от радиуса шара Bjf с центром в нуле и радиуса К К (см., например, [12, 100, 119])). Это общее значение степени также называют индексом на бесконечности ind (У, оо) негладкого невырожденного потенциала V. Справедливо следующее утверждение.
Теорема 4.1.11. Пусть V : W1 —К. - регулярная [1.2; 36] строгая негладкая интегральная направляющая функция задачи (4-1), (4-2) такая, что ind (V, ос) ф 0. Тогда задача (4-1), (4-Ю имеет решение. Замечание 4.1.8. (см. [23]). Отметим, что условия теоремы выполнены, если, например, функция V четна, или lim V(x) = ±оо. ж- +оо Доказательство. Для доказательства воспользуемся теоремой 2.4.3. Рассмотрим следующие операторы: / : doiri / := {х Є Ст х - абсолютно непрерывна} С Ст — LT, 1{х) = х и мультиоператор суперпозиции G = PF Ст — P(LT). Легко видеть, что / - линейный фредгольмов оператор нулевого индекса и Кег/ = Шп. Канонический оператор проектирования 7Г : LT — W1 может быть задан в виде і гт nf = f f(s)ds Нетрудно проверить, что мультиоператоры 7Г о G и kp q о G компактны. Отметим, что для А Є (0,1) решение х Є dom / включения 1{х) Є XG(x) удовлетворяет задаче x {t) Є XF(t,xt), х(0) = х(Т). 148 Это означает, что х(-) - абсолютно непрерывная функция такая, что x (t) = Xf(t) п.в. t Є [0,Т], / Є PF(x). Тогда, применяя лемму 3.1.1 и определение обобщенного градиента, получаем [ (v(s),f(s))ds = l [ (v(s),x (s))ds Л j0v0 (x(s)y(s))ds = l(V(x(T)) - V(x(0))) = О, для каждого суммируемого сечения v(s) Є dV{x{s)). Откуда следует, что 1М2 N. С другой стороны, из условия (F3) вытекает, что 11ж 112 М , где М 0. Но тогда найдется и М 0 такое, что \\х\\с М.
В качестве U возьмем шар Вг С Ст с центром в нуле и радиуса г = maxiK,M,NT-1/2}. То гда имеем 1{х) І XG(x) для всех х Є dU, Л Є (0,1). Пусть теперь и Є дії П Кеті произвольно. Поскольку м NT 1 2, из определения строгой негладкой интегральной направляющей функции получаем, что гр [ {v(s),f(s))ds 0 J0 для каждого измеримого сечения v(s) Є dV(u) и f(s) Є F(s,u). Но, полагая v(s) = v, получаем гр гр f (vj(s))ds=(vj f(s)ds)=T(v,nf) 0, J0 J0 для всех v Є dV{u) и, следовательно, v,y) 0 149 для всех v Є dV(u), у Є 7iG(u).
Это означает, что мультиполя dV(u) и TTG(U) ГОМОТОПНЫ на dU П Кег/, и, следовательно, degKer/( L UKeTi) = deg(W, UKeTi) ф О, 1 и Кег ( где 7кег/ = с ПКег/. Таким образом, все условия теоремы 2.4.3 выполнены, и задача (4.1), (4.2) имеет решение BU. Некоторые более общие условия направляемости также позволяют получить принцип существования периодического решения. Приведем следующее определение.
Определение 4.1.7. Локально липшицева функция V(x) называется прямым потенциалом, если найдется К 0 такое, что (v,v) О для всех v,v Є dV(x), х єШп : \\х\\ К. Если функция V(x) является прямым потенциалом, то с помощью топологической степени многозначных отображений (см., например, [12, 100]) для нее естественным образом определяется топологический индекс на бесконечности ind (У, оо).
Определение 4.1.8. Прямой потенциал V : Жп — К. называется негладкой интегральной направляющей функцией для включения (4.1), если найдется N 0 такое, что (v(s)J(s)) ds 0 для всех / Є PF(x), (4.18) для всех суммируемых сечений v(s) Є dV(x(s)), для любой абсолютно непрерывной функции х Є Ст такой, что жІ2 V и Цж )!! F(, Я ) п.в. te [0,Т].
Теорема 4.1.12. Пусть V : W1 — К. - регулярная негладкая интегральная направляющая функция задачи (4-1), (4-2) такая, что ind (V, ос) ф 0. Тогда задача (4-1), (4-Ю имеет решение. Доказательство. Для к Є N положим Мк = sup{ дУ(ж) :жєБп(А;)}, где В (к) обозначает замкнутый шар в Шп с центром в нуле и радиуса к. Следуя [79], определим отображение Г] : Жп — К. : ту(ж) = 1 + (ж - к) Мк+2 + (к + 1 - ж) М +1, А; ж к + 1. Нетрудно видеть, что отображение Г] непрерывно и удовлетворяет условию г](х) тах{1, 9У(ж)} для всех х Є М.п. Мультиотображение Y : Rn — Kv(Rn) : Y(x) = пн. св. и удовлетворяют условию У(ж) 1 для всех х Є Шп. Рассмотрим вспомогательную периодическую задачу для функционально-дифференциального включения следующего вида x\t) Є FY{t, xt) = F(t, xt) + emY(x), (4.19) x(0) = x(T). (4.20)
Нетрудно видеть, что правая часть включения (4.19) имеет выпуклые компактные значения, удовлетворяет верхним условиям Каратеодори и условию подлинейного роста. Следовательно, определен мультиоператор суперпозиции PpY : С([—т,Т];Ш.п) — P(L1([0,T]; Кп)), сопоставляющий каждой функции х(-) множество всех суммируемых сечений мультифунк-ции FY(t,xt).