Введение к работе
Целью работы является постановка п исследование разрешимости задачи оптимального управления для линейного уравнения типа Соболева
Ы = Мх + Ви, (1)
i(0) = *„ (2)
где оператор L Є С(Х;У), kerL ф {0}, оператор Л/ : dom М —» У линеен, замкнут и плотно определен, оператор В Є С{14;У), X У и U - гильбертовы пространства; а также получение необходимых и достаочных условий оптимальности такого управления.
Актуальность темы. Задача минимизации квадратичного функционала на решениях системы (1), (2) в конечномерном случае рассматривалось ранее L. Pandolfi, Г. А. Куриной, И. К. Асмыковичем и В. И. Яновичем. Кроме того, задачи управляемости и наблюдаемости для систем (1), (2) ставили и изучали S. L. Campbell и W. J. Terrell, N. К. Son, I. Bock и J. Lovisek, и другие исследователи. В их работах неоднократно встречалось предположение об однозначной разрешимости задачи Конш (2) для уравнения (1) при любых начальных условиях ц-о и любых управлениях и. Данное предположение, естественно, некоторым образом подразумевало множества допустимых начальных условий го и управлений и, но к четкому определению таких множеств не привело.
С другой стороны, в последние годы Г. А. Свиридюком и его учениками Т. Г. Сукачевой, Т. А. Бокаревой, В. Е. Федоровым был разработан общий метод исследования уравнений типа Соболева, основанный на теории групп и полугрупп операторов с ядрами и понятии фазового пространства. В рамках данной теории была изучена разрешимость задачи Коїли (2) для уравнения (1), и получены ее классические решения в случаях (L, а)-ограниченного и (,р)-секторпального оператора М.
...1--
С точки зрения автора диссертации, представлялось актуальным поставить и исследовать задачи оптимального управления системой (1), (2) в бесконечномерном случае и при этом с максимально возможной четкостью определить те условия на управление и начальное состояние системы, которые приводили бы не только к минимизации некоторого квадратичного функционала, но и к однозначной разрешимости системы (1), (2) в рефлексивных пространствах. Кроме того, интересным представлялось получение необходимых и достаточных условий оптимальности управления.
Подчеркнем интерес автора именно к уравнениям с необратимым оператором при производной по времени, то есть при условии ker L ф {0}.
Методы исследования. Для решения указанной выше задачи используется теория разрешающих полугрупп операторов с ядрами и метод фазового пространства, а также принцип максимума в форме вариационного неравенства.
Научная новизна. В работе получены следующие новые результаты:
доказано существование и единственность сильного решения задачи (1), (2);
получены достаточные условия управляемости системы (1),
(2);
для поставленной задачи оптимального уравнения доказаны
существование и единственность решения;
о получены необходимые и достаточные условия оптимальности управления;
абстрактные результаты применены к конкретным задачам математической физики для уравнений Баренблатта-Желтова-Кочиной и эволюции свободной поверхности фильтрующейся жидкости, а также к системе обыкновенных дифференциальных уравнений.
Теоретическая значимость. Полученные результаты могут быть использованы для дальнейшего развития качественной теории исследуемых задач, а также при изучении вопросов наблюдаемости и стабилпзируемогти решений. Кроме того, эти результаты могут быть использованы при исследовании задач оптимального управления для конкретных систем, сводящихся к абстрактной системе (1), (2).
Апробация работы. Результаты, изложенные в диссертации, докладывались на Воронежской зимней математической школе 1995 г., Всероссийской научной конференции "Алгоритмический и численный анализ некорректных задач" (Екатеринбург), Сибирской конференции по неклассическим уравнениям математической физики (Новосибирск), Воронежской весенней математической школе "Современные методы в теории краевых задач (Понтрягинскпе чтения - VII)", G-й межвузовской конференции "Математическое моделирование и краевые задачи" (Самара), Международной конференции "Комплексный анализ, дифференциальные уравнения п смежные вопросы" (Уфа), Международной конференции по неклассическим задачам математической физики (Кисегач); на семинаре проф. В.Н.Врагова в Институте математики СО РАН, семинаре проф. Г.А.Свиридюка в Челябинском государственном университете.
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1]-[9]. В совместных статьях [1], [5] автору настоящей диссертации принадлежат третий и четвертый параграфы,
—6—
в совместной статье [2] - третий параграф.
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав и списка цитированной литературы. Общий объем диссертации составляет 102 страгащы машинописного текста. Библиография содержит 100 наименований работ отечественных и зарубежных авторов.