Введение к работе
Актуальность темы. Проблема регулярности обобщенных решений нелинейных эллиптических уравнений второго порядка к настоящему нремени изучена достаточно подробно, начиная с работ С. Н. Бернштсйна и далее в работах Г. Леви, Э. Хопфа, Ю. Шау-дера, Де Джорджи, М. Миранда, Ч. Морри, О. А. Ладыженской и Н. Н. Уральцевой и других известных математиков.
Для обобщенных решений нелинейных уравнений высокого порядка и систем уравнений известно, что решение, вообще говоря, не будет гладким в Г2, даже если функции образующие задачу достаточно гладкие. Примеры таких уравнений и систем были построены в конце GO-x годов в работах Де Джорджи, Э.Джусти и М.Миранда, В.Г.Мазьи. В то же время из известной работы С.Агмона, А.Дуглиса, Л.Ниренберга следует, что гладкость любого С"—непрерывного решения нелинейной системы уравнений порядка 2т, т ^ 1 будет улучшаться в Q при повышении гладкости функций, образующих систему.
Таким образом, возникает вопрос: какие нужно сделать дополнительные предположения, чтобы доказать принадлежность обобщенного решения пространству Ст. В работах И.В.Скрыпника была Застановлена априорная минимальная гладкость обобщенного решения, обеспечивающая его С"1 — непрерывность. В работах А.И.Ко-шелева и С.И.Челкака выделен класс эллиптических нелинейных систем уравнений, обобщенные решения которых принадлежат пространств}' Гельдера С",,а, а > 0. Этот класс систем уравнений удовлетворяет условию, ограничивающему разброс собственных чисел главной матрицы системы; показана точность условия для систем уравнений второго и четвертого порядков. Регулярность обобщенных решений при специальных соотношениях размерности пространства и порядка системы уравнений исследовалась также в работах И.Нечаса, Фрезе, Т.Тодорова, Видмана и др. авторов.
Итак, в общем случае, в связи с указанными выше примерами, можно ожидать регулярности обобщенных решений нелинейных систем уравнений только на множестве По полной меры в Q. На-
чало изучению частичной регулярности было положено Ч.Морри (19G8 г.), который доказал, что множество особенностей решения = Г2\Г2о замкнуто в П и lneasnll — 0. Дальнейшее исследование по изучению частичной регулярности и уточнению размерности проводилось в работах Э.Джусти, М.Миранда, М.Джаквинта, Д.Модика, С.Кампанато, Р.Каннарсаи др.
Частичная регулярность обобщенных решений краевых задач в окрестности границы исследована в меньшей степени. Основные результаты относятся к исследованию регулярности решения краевых задач для нелинейных систем уравнений второго порядка. Для этих систем установлена частичная регулярность решений при различных краевых условиях: при условии Дирихле (Коломвини), с однородными условиями Неймана (М.Джаквинта и Д.Модика), с негладкими условиями на конормальную производную, а также при более общих краевых условиях ( в работах А.А.Архиповой). Для квазилинейных систем уравнений порядка 2т, т > 1 А.А.Аракчеевым изучена частичная регулярность обобщенных решений задачи Дирихле.
Таким образом, для квазилинейных систем уравнений высокого порядка оставались неисследованными вопросы регулярности обобщенных решений задачи Неймана, а для нелинейных систем уравнений - задач Дирихле и Неймана.
Цель работы. Исследование частичной регулярности обобщенных решений задач Дирихле, Неймана и некоторых их обобщений для эллиптических квазилинейных и нелинейных систем уравнений высокого порядка. Установление оценки размерности множества особенностей решения.
Методика исследования. При исследование регулярности обобщенных решений важным этапом является установление повышения степени суммируемости производных обобщенного решения (Lp-оценка). При выводе Lp- оценки используется некоторая модификация леммы Геринга. Эта лемма позволяет утверждать повышение степени суммируемости функции, удовлетворяющей так называемым "обратным неравенствам Гельдера". Модификация леммы
Геринга используемая в работе доказана А. А. АрхипоБой. Она позволяет включать в "обратные неравенства Гельдсра" интегралы по многообразиям меньшей размерности.
При доказательстве частичной регулярности обобщенное решение исследуемой краевой задачи сравнивается с решением некоторой модельной (линейной или нелинейной) задачи. Изучение регулярности обобщенных решений как модельной, так и исследуемой краевых задач проводится в шкалах пространств Морри и Кампана-то. Результаты о гельдеровости решений и их производных следуют из свойств этих пространств.
Научная новизна и практическая значимость работы. В диссертации для эллиптических нелинейных систем уравнений установлена принадлежность решения и Є И^'Ч^) пространству W(Q) с некоторым р > 2. Для уравнений с квазилинейной главной частью доказана регулярность обобщенного решения краевой задачи в области Qq открытой относительно Г21) . Дана оценка множества особенностей Е = П\По в терминах хаусдорфовой меры, точнее доказано, что мера хаусдорфа множества S размерности п — р, р > 2 равна нулю (Лп_р(Е) = 0). Для нелинейных систем уравнений исследование частичной регулярности проведено для малых размерностей п ^ 4. Для п = 3,4 установлено, что и Є Cm_1,Q(fio) с некоторым а > 0, причем Я„_р(Е) = 0, р > 2. В плоском случае доказано, что и Є C"l,a(fi). Все эти результаты являются новыми. Они имеют теоретический характер и могут быть использованы при изучении краевых задач для нелинейных систем уравнений.
Апробация работы. Результаты работы докладывались на семинаре кафедры математической физики СПбГУ (руков. проф. Н.Н.Уральцева), на семинаре по нелинейным задачам математической физики кафедры высшей математики N1 СПГЭТУ (руковод. проф. В.М.Чистяков).
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы
'V х Є По 3 V(x) : V{x) П SI С По
в работах [1] — [3].
Объем работы. Диссертационная работа состоит из введения и трех глав. Работа содержит 108 страниц текста. Библиография — 53 наименования.
