Содержание к диссертации
Введение
1 Исследование регулярных экстремалей в задачах оптимального управления с фазовыми ограничениями 11
1.1 Постановка задачи и основные определения 12
1.2 Гельдеровость 2(t) 19
1.3 Ослабление условий регулярности 36
1.4 Липшицевость 2(t) 47
2 О некоторых свойствах кратчайшей кривой в сложной области 54
2.1 Вспомогательный материал 55
2.2 Уравнение кратчайшей для сложной области 60
3 Исследование вариационных систем общего вида 67
3.1 Критерий метрической регулярности и модифицированный вариационный принцип Экланда
3.2 Приложения 74
Заключение 75
Список условных обозначений 76
Литература
- Гельдеровость 2(t)
- Липшицевость 2(t)
- Уравнение кратчайшей для сложной области
- Критерий метрической регулярности и модифицированный вариационный принцип Экланда
Введение к работе
Актуальность работы. Актуальность диссертационной работы прежде всего обусловлена тем, что теория задач оптимального управления с фазовыми ограничениями является современным и широко исследуемым разделом математики. Значимым вопросом теории задач оптимального управления с фазовыми ограничениями является исследование экстремалей принципа максимума Понтрягина. Задачи оптимального управления с фазовыми ограничениями имеют широкий спектр различных инженерных приложений. Данная диссертационная работа посвящена исследованию свойств регулярных экстремалей в задачах с фазовыми ограничениями.
Цель диссертационной работы. Основной целью диссертационной работы является исследование необходимых условий оптимальности в задачах оптимального управления с фазовыми ограничениями типа равенств и неравенств, свойств функции распределения меры-множителя Лагранжа и приложений полученных результатов к изучению свойств кратчайшей кривой.
Задачи диссертационной работы.
Исследование достаточных условий непрерывности функции распределения меры-множителя Лагранжа из принципа максимума Понтрягина для задач оптимального управления с фазовыми ограничениями типа равенств и неравенств.
Исследование достаточных условий липшицевости функции распределения меры-множителя Лагранжа из принципа максимума Понтрягина для задач оптимального управления с фазовыми ограничениями типа равенств и неравенств.
Исследование свойств кратчайшей кривой в области, задаваемой регулярной системой ограничений типа равенств и неравенств.
Исследование вариационных систем общего вида.
Объект и предмет исследования. Объектом исследования диссертационной работы являются задачи оптимального управления с фазовыми
ограничениями типа равенств и неравенств, кратчайшая кривая, вариационная система. Предметом исследования являются необходимые условия оптимальности в задачах оптимального управления с фазовыми ограничениями типа равенств и неравенств; свойства функции распределения меры-множителя Лагранжа; свойства кратчайшей кривой в сложной области; вариационные принципы; свойства вариационных систем.
Методы исследования. Для решения поставленных задач использовались методы функционального анализа, вариационного анализа, многозначного анализа, выпуклого анализа, математического анализа, нелинейного анализа, теории функций вещественной переменной, теории экстремума.
Научная новизна. Все результаты, полученные в работе, являются новыми. В диссертационной работе получены новые результаты, касающиеся свойств регулярных экстремалей Понтрягина в задачах с фазовыми ограничениями типа равенств и неравенств, и свойств кратчайших кривых в области, задаваемой регулярной системой ограничений типа равенств и неравенств. Получены новые результаты, касающиеся исследования вариационных систем общего вида.
Теоретическая и практическая значимость. Диссертационная работа носит в основном теоретический характер. В работе исследуются свойства функции распределения меры-множителя Лагранжа из принципа максимума Понтрягина для задач оптимального управления в виде равенств и неравенств. Вопрос о непрерывности или абсолютной непрерывности меры-множителя Лагранжа является важным для различных приложений, в частности для некоторых проблем механики и задач кинематического управления (см. х, 2, 3). Скорость в таких задачах рассматривается как фазовая переменная. Если модуль скорости ограничен сверху какой-то константой (что вполне естественно для задач кинематического управления), то это приводит к фазовым ограничениям и к мере-множителю Лагранжа в необходимых условиях оптимальности. Методы, которые обычно используются для решения таких задач, как правило, подразумевают абсолютную непрерывность
1Alexandrov V. V., Budninskiy М.А. On Kinematic Control Extremals // European Control Conference (ECC), Zurich, Switzerland. 2013. P. 210 - 214.
2Bryson E. R., Yu-Chi Ho. Applied optimal control, 1969.
3Buskens C, Maurer H. SQP-methods for solving optimal control problems with control and state constraints: adjoint variables, sensitivity analysis and real-time control // Journal of Computational and Applied Mathematics. 2000. V. 120. P. 85 - 108.
или даже гладкость этой меры. Поэтому предлагаемое направление исследования может представлять интерес не только с чисто теоретической точки зрения, но и оказаться полезным для инженерных приложений.
Степень достоверности. Достоверность обусловлена строгостью математических доказательств и использованием апробированных научных методов.
Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались автором на следующих семинарах и конференциях:
научный семинар "Численные методы в оптимизации и теории управления" отдела методов нелинейного анализа ФИЦ ИУ РАН под руководством В. А. Березнева,
научный семинар "Методы оптимизации" кафедры оптимального управления ВМК МГУ под руководством профессора Ф. П. Васильева,
научный семинар "Экстремальные задачи и нелинейный анализ" кафедры нелинейного анализа и оптимизации факультета физико-математи -ческих и естественных наук РУДН под руководством профессора А. В. Арутюнова,
международная конференция "Воронежская зимняя школа С.Г. Крейна -2016" (г. Воронеж, 2016),
международная научная конференция "Ломоносов - 2016" (г. Москва, 2016),
научная конференция "Ломоносовские чтения" (г. Москва, 2016).
Публикации. По теме диссертации опубликовано 9 печатных работ, 5 из которых опубликованы в журналах, рекомендованных ВАК.
Структура и объем диссертации. Диссертация изложена на 85 страницах, состоит из введения, трех глав, разбитых на параграфы, заключения, списка условных обозначений и списка литературы, содержащего 78 наименований.
Гельдеровость 2(t)
В главе исследуется свойства непрерывности и абсолютной непрерывности меры-множителя Лагранжа, возникающей в принципе максимума Понтрягина для задачи с фазовыми ограничениями типа равенств и неравенств. Ниже показано, что при определенных условиях регулярности функция распределения этой меры является гельдеровой, а если же вдобавок выполняется усиленное условие Лежандра, то даже липшицевой. Также рассматриваются примеры задач управления с фазовыми ограничениями, для которых можно гарантировать a priori (то есть без вычисления экстремального процесса), что соответствующая мера непрерывна.
Результаты этой главы развивают некоторые результаты работы [56] на более общий, чем рассмотренный в [56], случай задачи оптимального управления с фазовыми ограничениями типа равенств и неравенств. В главе активно используется аппарат теории функций действительного переменного и в частности такое понятие, как замыкание функции по мере.
Вопросом непрерывности меры-множителя интересовались многие исследователи как у нас в стране, так и за рубежом. Отметим работы [9], [10], [12], [58], [63], [64], [67]. Свойства непрерывности меры-множителя имеют важное значение для приложений и методов численного решения задач оптимального управления с фазовыми ограничениями (см., например, [59], [60]). Эти свойства необходимо учитывать при построении новых оптимизационных методов решения таких задач. Численным методам решения задач оптимального управления в целом посвящено большое число работ (см., например, [13] – [16] и библиографию там).
Рассмотрим следующую задачу оптимального управления Ф(х\,t\,t2,и(-)) := ео(р) + / (po(x,u,t)dt — min, ж = (p(x,u,t), t Є [ti, 2]5 t\ t l, gi(x,t) = 0, g2(x,t) 0, (1) r(x,u,t) 0, ei(p) = 0? e2{p) 0, P= {x\,x2MM) Будем считать, что вектор-функции г, е , принимают значения в евклидовых пространствах размерности d(r), d(ei), d(gi) соответственно, функции ео, (ро, р являются скалярными, х = - , t Є [ і, ] – время (концы времени t\ и t i не предполагаются фиксированными), х есть фазовая переменная из n-мерного евклидового пространства Мп, и и Є Mm - переменная управления. Вектор р Є Мп х Мп х Iі х Iі называется концевым. Управляющая функция, или просто управление, есть измеримая существенно ограниченная функция м(-), т.е. элемент пространства L(X){[ti,t2]).
Предположим, что функции ео, ej, (/?о, ty? непрерывно дифференцируемы, функции ?j дважды непрерывно дифференцируемы, а функции (/?, /?о, г дважды непрерывно дифференцируемы по и для всех ж, t.
Определение 1 Пусть u{t), t Є [ і, ] – управление, а x{t), t Є [ і, ] – соответствующая этому управлению траектория, то есть х = p(x{t),u{t),t), иp- соответствующий концевой вектор. Допустимым процессом будем называть тройку {р,х,и), если она удовлетворяет . концевым ограничениям: е\{р) = 0, &2{р) 0, . смешанным ограничениям: r(x(t),u(t),t) 0 для п.в. t Є [ti, ], и . фазовым ограничениям: gi(x(t),t) = 0, g2(x(t),t) 0 Vt Є [ti, ]. Как видно, фазовые ограничения накладываются лишь на фазовую переменную ж, а смешанные ограничения и на фазовую переменную ж, и на переменную управления и. Оказывается, что естественные предположения регулярности (см. ниже Определение 4) уже заведомо гарантируют абсолютную непрерывность соответствующей меры-множителя Лагранжа, отвечающей смешанному ограничению в силу принципа максимума. Более того, ее функция распределения принадлежит классу W\iO0. Эти предположения регулярности, к сожалению, не выполнены для фазовых ограничений, что влечет определенные сложности при исследовании свойств соответствующей меры-множителя Лагранжа. Поэтому, несмотря на то, что смешанные ограничения формально представляют собой более широкий класс ограничений по сравнению с фазовыми ограничениями, они тем не менее, благодаря условию регулярности, классифицируются в другой тип ограничений. Именно исследованию свойств меры-множителя Лагранжа, отвечающей фазовым ограничениям, и посвящена эта глава. Определение 2 Будем говорить, что допустимый процесс оптимален, если значение функционала Ф является наименьшим на множестве всех допустимых процессов.
Липшицевость 2(t)
Решим уравнение F(it,/ii, Д2, v,t) = 0 относительно переменных it,/ii, Д2, ї B окрестности (it ,/ii( ), Д2( ), , t ). Вычислим матрицу якоби в этой точке. Обозначим через В матрицу, состоящую из строк тН-(щЛЛ, jr1 (it , ), - -{щЛЛ, с І Є L: j Є Q: і Є I. Принимая во внимание с), с!) и е), получаем,
Ввиду а) матрица А отрицательно определенная. Таким образом, в силу Предложения 11 Якобиан не равен нулю. Применяя теорему о неявной функции (см. [2]), учитывая способ построения последовательности {«}, получаем, что существует окрестность О точки t и, однозначно определенные на О функции a(t), (3(t),ui(t), p(t) такие, что F(a(t), (3(t),ui(t), p(t),t) = 0 and a(t ) = u : (3(t ) = /4, ui(t ) = Д2( ), p(t ) = , a(ti) = u (ti): (3(ti) = /ii(tj), cu(ti) = faiti), p(ti) = v{ti).
Траектория x (t) есть липшицевая функция. Таким образом, по теореме о неявной функции, все функции а,(3,ш,р липшицевы. Но из липщшицевости х , монотонности /І2 и (52) следует линейный рост /І2 справа от t .
Линейный рост слева от t Є (tf, ] доказывается аналогично. Проведенные рассуждения справедливы для любой точки t Є Т, откуда следует липгди-цевость /І2 на всем интервале времени Т.
Замечание 3 Автору не удалось построить пример экстремали, для которой выполнены условия регулярности, нарушено усиленное условие Лежандра, и функция /І2 является гельдеровой, но не липшицевой. Вопрос о существовании такой экстремали остается открытым. 2 О некоторых свойствах кратчайшей кривой в сложной области Рассматривается замкнутая фазовая область, которая задается ограничениями вида: д\{х) = 0, #2(ж) О, где х Є Мп, а #і,#2 – заданные вектор-функции, принимающие значения в М 1 и М 2 соответственно. Именно такую фазовую область будем ниже называть сложной. При этом всюду ниже будем полагать, что векторы if1 (ж), і = 1,.., L, IT2(ж), І Є /(ж) линейно независимы при любом х. Здесь J(x) := \j : 0о(ж) = 0}.
Изучены некоторые свойства кратчайшей кривой в сложной области. Получено уравнение кратчайшей кривой. Важно отметить следующее. Казалось бы, из принципа оптимальности уравнение кратчайшей при наличии неравенств выводится тривиально. Действительно, любой кусок кратчайшей является снова кратчайшей, и тогда путем рассмотрения отдельных ее частей, лежащих на границе области х : #2(ж) 0 и внутри нее (предположим, что &2 = 1), придем к искомому результату. Такой метод применим, если эти части целиком лежат на границе или внутри области. Но такой части кратчайшей, которая бы целиком лежала на границе области может и не найтись, в то время как множество точек выхода кратчайшей на границу может являться, например, канторовым множеством положительной меры. Приведем соответствующий пример.
Пусть О С [0,1] - канторово множество положительной меры. Поскольку С замкнуто, то по теореме Уитни существует гладкая неположительная функция (р : [0,1] — К. такая, что (р 1({0}) = С. Возьмем п = 2, #2(ж) = tp{x\) — Х2, и пусть ограничения типа равенств отсутствуют. Кратчайшая, соединяющая две точки (0,0) и (1,0) есть, очевидно, X\{t) = t, X2(t) = 0, t Є [0,1]. Легко видеть, что множество С х {0} лежит на границе указанной области, а множество ([0,1] \ С) х {0} лежит в ее внутренности.
Заметим, что здесь также возникает и вопрос о том классе функций, к которому принадлежит кратчайшая кривая. Ясно, что при наличии неравенств она уже не класса С2([0,1]), как в случае с геодезической. Соответствующий контрпример несложно построить.
В этой главе показано, что кратчайшая кривая для сложной области принадлежит пространству И ,оо([0,1]). При этом не делается никаких дополнительных предположений относительно множества точек выхода кратчайшей на границу области. (Если часть кратчайшей целиком лежит на границе или внутри, то там она, конечно, класса С2.) Используя этот результат, получено уравнение кратчайшей кривой для сложной области в общем случае.
Если фазовые ограничения типа равенств отсутствуют, то задачу о кратчайшей для сложной области еще называют задачей об обходе препятствия, [3]. На возможность вывода уравнения кратчайшей через ПМП впервые указал Р.В. Гамкрелидзе в [17, 49].
Уравнение кратчайшей для сложной области
В этой главе изучаются свойства управляемости дифференциальных управляемых систем с геометрическими концевыми ограничениями, то есть ограничениями вида р Є С, где С - некоторое замкнутое множество. Доказательства опираются на некоторую абстрактную теорию и модифицированный вариационный принцип Экланда (см. [62]). Смысл модификации состоит в том, что если аргумент задачи распадается на две части, одна из которых конечномерна и ограничена, то возмущать в классическом вариационном принципе достаточно лишь бесконечномерную часть. С его помощью получен критерий метрической регулярности, а в свою очередь на основе этого критерия доказываются условия управляемости. Эти условия управляемости представляют собой уже известные (классические) условия управляемости по Робинсону, записанные для частного вида систем с геометрическими концевыми ограничениями. Поэтому к основному результату Главы 3 следует отнести скорее сам метод исследования, базирующийся на модификации классического вариационного принципа. Предлагаемый метод охватывает задачи только с конечномерным образом, но может быть также развит и на задачи с образом в пространстве Аспланда (см. [69]), и в частности, на задачи с образом в гильбертовом пространстве. Соответственно он может быть также использован для решения некоторых задач оптимального управления с регулярными смешанными ограничениями. Смешанные ограничения - это регулярные фазовые ограничения общего типа, которые включают ограничения как на фазовую переменную ж, так и на переменную управления и (подробнее о смешанных и фазовых ограничениях см. Главу 1).
Рассмотрим банахово пространство X, евклидово пространство У, гладкое по Фреше отображение ср : X — Y и замкнутое множество S С У, которое содер 68 жит точку у = 0. Пусть х Є X, tp(x ) = у . В этой главе нас будет интересовать вопрос о существовании решения включения р(х) Є у + S (62) в окрестности точки (ж , у ). Включение вида (62) еще называют вариационной системой, поскольку необходимость решать подобного рода задачу приходит к нам из вариационного анализа, в связи, например, с негладким правилом множителей Лагранжа, см. подробнее в [69].
Определение 14 Будем говорить, что функция ср является метрически регулярной в точке х относительно множества S, если существуют числа с, 5 0 такие, что для любых (х,у) Є В{х ) х В$(у ) имеет место: d(x, tp (у + S)) с d(ip(x),y + S).
Здесь Bs(x) - шар радиуса 5 с центром в х, а d(x, А) - расстояние до множества. Причем расстояние до пустого множества считается равным +оо. Определение 15 Функция ср удовлетворяет условию Робинсона относительно множества S в точке х , если Ns П ker ip (x ) = {0}. (63) Здесь Ns - нормальный конус Мордуховича ко множеству S в точке у = 0 (см. [68]). Если множество S выпуклое, то это определение превращается в классическое определение регулярности по Робинсону, которое говорит, что Ns + im tp (x ) = Y.
Теорема 8 Пусть функция ср удовлетворяет условию Робинсона (63) в точке х . Тогда ср является метрически регулярной в точке х относительно множества S.
Доказательству теоремы предпошлем некоторый модифицированный вариационный принцип. Смысл нижеследующей леммы состоит примерно в том, что если аргумент задачи распадается на две части, одна из которых конечномерна и ограничена, то возмущать в вариационном принципе достаточно лишь бесконечномерную часть.
Пусть Е = Мп, и М - замкнутое подмножество произведения X х Е. Элементы М будем обозначать через (x,t), где х Є X, t Є Е. Пусть заданы полунепрерывные снизу и неотрицательные на М функции f(x) : X — Ш1 и r(t) : Е — К1. Обозначим Ф(ж, ) := /(ж) + r(t).
Лемма 8 Предположим, что существует такое ограниченное множество В С Е, что MCIxB. Пусть заданы числа є, А 0 и точка (жо,о) : Ф(жо, о) . Тогда существуют точка (x ,t ) Є М, а также функция ф(х) : X — М такие, что: a) \\х — хо\\ А; b) Ф(ж , ) Ф(жо, о); c) ф(хо) А, и IVK ) VK ")! 2ж — я/ Ц Ух ,х" Є X; 8 d) функция Ф(ж, t) + f (ж) достигает своего абсолютного минимума на мно-жестве М в точке (x ,t ).
Доказательство, очевидно, достаточно провести для случая А = 1, так как общий случай сводится к этому умножением нормы в X на А-1. ґроме того, его будет удобно провести в конструктивной формулировке, см. [39]. Пусть числа cik 0, к = 0,1, 2,.. таковы, что YlT=i ак — 1, и ао . Положим /3k = OL\ при к 1. Заметим, достаточно показать, что найдется последовательность точек {xk-jtk) Є М: \\Xk — XQ\\ 1, Xk — x при к — оо, и числа 7о [0,1], 7& [0?Pk], к 1, такие, что имеет место b) и функция U(x,t) := Ф(ж, і) — є У кСк(х) к=0 8т.е. функция ф липшицева равномерно в X с константой 2. Эту константу можно уменьшить до любого числа к 1. достигает на множестве М минимума в точке (ж , ). Здесь &(ж) = 1 — (Ц. ж — Xk\\ - так называемая холм-функция, [39]. Действительно, рассмотрев тогда Ф(х) = YlT=o kak \\х хк\\ получим все условия а)-с!) теоремы. Положим 7о = sup{7 0 : Ф(х, t) — є7 о(ж) 0 V (ж, t) Є М}. ясно, что 7о 1- Действительно, для этого достаточно в выражении выше рассмотреть точку х = XQ. Заметим, что если 7о = 1, то теорема очевидно доказана с 7& = 0 при к 0 и дальнейшие рассуждения уже не нужны. Поэтому ниже будем считать, что 7о 1 Положим Фі(ж,) := Ф(ж,) — 7о6)(ж)- Эта функция по определению полунепрерывна снизу и неотрицательна на М. Покажем, что ее нижняя грань на (Вао(хо) х Е)Г\М равна нулю. Действительно, если эта грань равна некоторому числу к 0, то для всех (ж, t) Є М: \\х — Хо\\ ао имеем
Фі(ж,) = Ф(ж,) + 7оао" ж — а?о11 — 7о к Отсюда, поскольку функция Ф неотрицательна, увеличив число 7о на є 1к,, получим, что по-прежнему Фі(ж,) 0 для всех (x,t) из М. Это однако противоречит определению 7о Если нижняя грань достигается в какой-то точке (ж , ), то снова приходим к утверждению Леммы 8. Если же нижняя грань не достигается, то найдется точка (xi,ti) Є М: Фі(жі, t\) [3\е. Уменьшая при этом, если потребуется, число /Зі, добьемся того, чтобы Ф(жі, t\) Ф(жо,о) Повторим всю конструкцию, но заменив Ф на Фі, є на (Зіє: ао на «і, Жо на #1, to на ti, и о на i. В итоге найдем векторы Х2 Є аі(жі), ж з Є Ва2{х2), и т.д. жп Є Вап1(хп-і), а также точки ti,t2,--,tn Є і?, причем (xn tn) Є М при всех п. Последовательность {хп} - это последовательность Коши и в силу полноты X она сходится к некоторому вектору х Є X. По предположению Леммы 8 последовательность {tn} ограничена. Переходя к подпоследовательности, tn — t . В силу замкнутости М имеем (ж , ) Є М. Из полунепрерывности снизу функции Ф и того, что Фп(хп) f3ns следует, что П(ж , ) 0. Однако функция П по построению неотрицательна. Поэтому П(ж , ) = 0, и точка (x ,t ) искомая точка минимума. Легко также проверить, что верно a) и b). Лемма доказана.
Доказательство Теоремы 8. Проведем доказательство от противного. Пусть ср не является метрически регулярной в точке х . Тогда для любых 6, с 0 существуют векторы х Є В$(х ), ys Є В$(у ), которые зависят также и от числа с, что
Критерий метрической регулярности и модифицированный вариационный принцип Экланда
Поэтому минимальное значение функционала в задаче (66) будет строго больше, чем є, что, однако, невозможно ввиду 2). Поэтому t 5 0. ясно также, что в силу 2) будет t$ (Т. Применим к задаче (67) необходимые условия экстремума из [69]. Существуют число А 0, вектор \ Є Ns(Cs), где (б = р{хТ) ЦУя 2/ , и векторы as,bs Є -Ві(О) такие, что Xs(c as + 2\/\ys\ bs) + (р (х})\$ = 0, AJ/J = (\s,ys)i Xs + Aj = 1. (69) (70) (71) Здесь, получая условие (70), мы уже учли (68). Из (70), поскольку у ф 0, выводим, что А Aj. Но из (71) А = 1 — Aj. Поэтому \\Л -. (72) Возьмем последовательные пределы при S — 0 и потом при с — оо. Переходя к подпоследовательности, в виду (71) и (72), можно считать, что Х$ — А ф 0: А Є Ns. Переходя к пределу в (69) при 6 — 0, с — оо получим, что (р {х )\ = 0, что противоречит условию Робинсона. Поэтому функция ср метрически регулярна относительно S. П
Если предположить, что Y банахово или даже гильбертово, то утверждение Теоремы 8 уже неверно. Действительно, с одной стороны, известно, что в банаховых пространствах принцип Лагранжа для задачи условной минимизации функции f(x) при ограничениях (р(х) = 0 уже неверен, если образ оператора (pf(xo) незамкнут. Здесь хо - точка локального минимума. Но с другой стороны, принцип Лагранжа есть следствие Теоремы 8.9 Поэтому Теорема 8 неверна для общих отображений ср одного банахова пространства в другое. Более того, даже в предположении замкнутости образа производной, метод доказательства встречает серьезные трудности, когда Y банахово. Эти трудности, которые связаны с потерей компактности, потерей проекции на S и др., вообще говоря, совершенно неясно как преодолевать. По всей видимости, на этом направлении не стоит ожидать какого-либо общего утверждения без дополнительных априорных и предположений на пространство Y и множество S (см. [69]).
Действительно, отображение (/, р) не может быть метрически регулярным относительно множества {/(жо)} х {0} в точке XQ в силу свойств локального минимума. Поэтому из Теоремы 8 для (/, у) нарушается условие Робинсона. Однако отрицание этого условия и есть принцип Лагранжа.
Естественные приложения результатов, подобных Теореме 8, лежат в области оптимального управления. Рассмотрим управляемую динамическую систему: х = f(x,u), t Є [0,1], х(0) = О Є Мп, и(-) Є LQO([0, !]) Пусть S - замкнутое подмножество Мп, содержащее нуль, которое может и не иметь гладкой структуры. Например, “еж”, полученный объединением всех координатных осей в Шп. На плоскости это будет “крест”.
Пусть система обладает состоянием покоя, т.е. нулевым решением x(t) = О при некотором щ(-) Є LQO([0, !]).
Представим, что означенный выше “еж” не жестко закреплен в нуле и совершает некоторые колебания в малой окрестности нуля, переходя, соответственно, во множество у + S при малых по норме у. Тогда представляется небезынтересным вопрос о том, а при каком условии мы всегда сможем попасть в “ежа”, причем при любом его малом отклонении от нуля у? Такая постановка задачи носит явный инженерный характер. Если ответ на этот вопрос положительный, то система называется локально управляемой относительно S.
В точке покоя необходимо вычислить оператор L = (р (щ) : Loo([0,l]) — Шп. Известно, что LSu = 8х(1), где Sx(t) есть решение уравнения в вариациях (линеаризованной системы): 5х = fx(0,uo(t))5x + fl(0,uo(t))5u, Sx(0) = 0, би є LQO([0, І]). Далее необходимо вычислить im L. Пересечение ортогонального дополнения к образу (im L)1- со множеством Ns(0) - т.е. с нормальным конусом к S в нуле (это множество, как правило, легко вычисляется), должно быть тривиально. Тогда в рассмотренной системе будет локальная управляемость относительно множества S.