Содержание к диссертации
Введение
Глава I. Краевая задача типа Т. Редже, порожденная дифференциальным уравнением 2п -го порядка в регулярном случае 20 стр
1.1. Постановка задачи 20 стр
1.2. Асимптотические формулы для решений уравнения 1(Л = Л2пр(х)Дх) 23 стр
1.3. Вспомогательные утверждения 27 стр
1.4. Асимптотика решений для уравнения {-\Уу{1я)+Я{х)у = пр{х)у 38 стр
1.5. Оценка роста функции Грина задачи Н0 в регулярном случае 44 стр
1.6. 2п -кратное разложение в равномерно сходящиеся ряды по собственным функциям краевой задачи HQ в регулярном случае 53 стр
Глава II. Изучение спектральных характеристик задачи Н0 в нерегулярном случае 59 стр
2.1. Исследование спектра задачи Н0 в нерегулярном случае 59 стр
2.2. Изучение ядра резольвенты и его оценка в нерегулярном случае...67 стр
2.3. 2/7-кратное разложение в ряд по собственным функциям краевой задачи Н0 в нерегулярном случае 71 стр
2.4. Определение вычета ядра резольвенты краевой задачи Н0 в случае простого полюса Л = Я0 и доказательство единственности разложений ..73 стр
Глава III. Оценка нормированных собственных функций задачи Н0 в случае дифференциального уравнения второго порядка 85 стр
3.1. Оценка нормированных собственных функций спектральной задачи Я0 при и = 1 в случае постоянных коэффициентов 85 стр
3.2. Оценка нормированных собственных функций спектральной задачи Я0 при п = 1 в случае гладких коэффициентов 101 стр
Литература 112 стр
- Асимптотические формулы для решений уравнения 1(Л = Л2пр(х)Дх)
- Оценка роста функции Грина задачи Н0 в регулярном случае
- Определение вычета ядра резольвенты краевой задачи Н0 в случае простого полюса Л = Я0 и доказательство единственности разложений
- Оценка нормированных собственных функций спектральной задачи Я0 при п = 1 в случае гладких коэффициентов
Введение к работе
Актуальность темы. Многочисленные проблемы теории колебаний пространственно-распределенных систем приводят к необходимости изучения собственных значений и соответствующих им собственных функций дифференциальных операторов, а также к вопросам, связанным с изучением различных функционалов от собственных чисел и собственных функций.
Особенно возрос интерес к проблеме спектрального анализа, когда
выяснилось, что спектральный анализ несамосопряженных
дифференциальных операторов является основным математическим аппаратом при решении задач квантовой механики.
Как известно, многие задачи математической физики, механики, теории упругости, оптимального управления приводят к задаче изучения спектра несамосопряженных дифференциальных операторов и разложения произвольной функции в ряд по собственным функциям такого оператора. Классические результаты в этом направлении принадлежат Ж. Лиувиллю, Ж. Штурму, В.А. Стеклову, Г.Д. Биркгофу, Я.Д. Тамаркину, М.Г. Крейну.
Цель работы. Диссертация посвящена вопросам изучения асимптотического поведения собственных значений, оценкам ядра резольвенты и 2п -кратного разложения в равномерно сходящиеся ряды по собственным функциям несамосопряженной задачи, которая является обобщением известной задачи Редже на уравнение 2п -го порядка для случая весовой функции р{х)ф\ в регулярном {р{а)ф\) и в нерегулярном
(р(а) = \) случаях. Доказано единственность этих 2п-кратных разложений. В
случае уравнения второго порядка получены оценки нормированных собственных функций задачи Т.Редже для гладких коэффициентов. Доказано, что нормированные собственные функции в регулярном случае равномерно
ограничены, а в нерегулярном случае они растут как ^/1п|Я^|.
Научная новизна. 1. В регулярном случае (когда р{а)ф\) получены
асимптотические формулы для собственных значений задачи Н0.
2. Доказано, что ядро резольвенты задачи Н0 в регулярном случае
_ і 0|-2и+1
убывает как Я
3. Указан класс функций D для которых имеет место 2п -кратное
разложение в равномерно сходящиеся ряды по собственным функциям задачи Н0 в регулярном случае и доказано что эти разложения
единственны.
4. Получена асимптотика собственных значений в общем нерегулярном
случае (когда р{а) = \, р\а) = р"(а) = ... = p{2n~l)(a) = Q,
ap{2n\a) + (5q(a)*Q).
5. Доказано, что ядро резольвенты задачи Н0 в нерегулярном случае
і , |2й2-2й+1
растет как Я
6. Указан класс функций fj(x)eD и в общем нерегулярном случае, для
которых имеет место 2п -кратное разложение в равномерно-сходящиеся ряды по собственным функциям задачи Н0
fj(x) = llCpAJp(pp(x),j = 0,2n-\ (1), где Ср определяются явно.
Р=\
Доказано, что разложение (1) единственно. 7. Для случая уравнения второго порядка получены оценки нормированных собственных функций задачи Н0, причем доказано, что в регулярном случае они равномерно ограничены, а в нерегулярном случае при q(x) є С[0 а], р(х) є С^0 а] имеет место оценка
ук (х)| < С Jin Хк , где С - const.
хє[0,а]'
Практическая значимость. Результаты работы могут быть использованы при решении различных задач механики, теории упругости, математической физики, оптимального управления, так как, как известно, спектральные краевые задачи моделируют многие прикладные задачи. Результаты работы могут найти применение и в самой математике при обосновании метода Фурье, при изучении сходимости различных разложений и т.д.
Личный вклад соискателя. Диссертация является самостоятельным научным исследованием. Доказательства всех основных положений получены соискателем. В совместной работе научному руководителю принадлежат постановка задач и намеченная методика их решения.
Внедрение результатов работы. Результаты работы внедрены в учебный процесс в виде разделов в спецкурсах: а) спектральные краевые задачи, б) обобщенная проблема оценок собственных функций несамосопряженных краевых задач, используются при чтении курсов дифференциальных уравнений и уравнений математической физики, а также при разработке тем дипломных и курсовых работ.
Апробация работы. Основные результаты диссертационной работы
докладывались на Третьей и Четвертой международных конференциях, г.
Махачкала 2007-2009, на научно-теоретических конференциях, проводимых
в Дагестанском государственном университете (2005-2009г.), на
межвузовских конференциях «Функционально-дифференциальные
уравнения и их приложения» (2005-2009г.), на заседаниях семинара по спектральной теории кафедр дифференциальных уравнений и математического анализа (2005-2009г.) Дагестанского государственного университета, на научном семинаре, руководимом профессорами А.Г. Костюченко и А.А. Шкаликовым при механико-математическом факультете
МГУ им. М.В. Ломоносова, на кафедре вычислительной математики и математической физики южного федерального университета.
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1]-[10].
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав и списка литературы из 52 наименований. Полный объем диссертации составляет 117 страниц машинописного текста.
Асимптотические формулы для решений уравнения 1(Л = Л2пр(х)Дх)
Линейные формы условий Uv(y,Л) получаются заменой v - го столбца матрицы W{X) столбцом [y(a),...,y(2" l)(а)].
Введем векторные обозначения для краевых значений Y(a) = [7,(a),Y2(a)], Y{(a) = (y(a),...y-l\a)), Y2(a) = (/" ( ),...,/ ""V)), V{y )-Wx{y,A),V2{yA)\,Vx{y,l) = {UQ{y,X),-..,Un_x{y,X)), у2{уЛ) = {ип{уЛ),..,и1п_х{уЛ)). Справедлива следующая Лемма 2.4.1. Вектор строки Y(a) и V(y,X) при Л 0 связаны соотношением Для формулировки леммы 2.4.2 введем обозначения Hv - ганкелева матрица 2л-го порядка, у которой элементы с суммой индексов v равны 1, а остальные, нулю. Нумерация элементов начинается с нуля. Положим: кк1(Я,М) = АН2и_2_к_,Мг, k,l = 0,...,« -1, (21) Л = [1Д,...Д2"-1]5М = [1,//,...,/І2"-1], C = [ckl] = BJVlx{\)-Wu{\y\ FSX,») = [hkl,ckl]. Элементы матрицы Fn(X,/j) - однородные полиномы по Я и // степени не выше 2п — 2. Лемма 2.4.2. Если для векторов Y{a), Z{d) выполнены условия V2(y,X) = V2(z,M) = 0, то при Я, /і Ф 0 Y(a) BZT (а) = (М- Я)Г, (a)Fn (Я, ju)Zj (а). Лемма 2.4.3. Если (pp{x),(pq{x) - собственные функции задачи 2.4.1, отвечающие простым собственным значениям Я ,Я , а ФР(і(я)5Ф9)і(я) -вектор-строки: то Л,#Л ) рр {x)cpq {x)p{x)dx + ФрХ {a)Fn {Яр, Яц )Oql (a) = rpSpq, о где г Ф 0 при всех р, a 5pq - символ Кронекера. Таким образом, с учетом формул (2.3.3) и (2.3.5) мы получаем явный вид С в разложении (2.3.1) в случае простого полюса Яр, а именно: 2/7-1 /" /» где Ф.,И = к(а) pi""4fl)],a F„(A ,Я ) определяется формулой (21) Третья глава посвящена оценке нормированных собственных функций спектральной задачи в случае дифференциального уравнения второго порядка. Глава состоит из двух параграфов. 3.1 посвящен оценке нормированных собственных функций спектральной задачи Н0 при п = 1 -у" + q{x)y = Я2р(х)у, х є (0,а), а 0, (23) у(0) = 0, у {а) + (Н-іИЯ)у(а) = 0, H&R, heR, h 0 (24) 1/2 а Jp(jc)jy(x) dx = 1, где Я - 8 + ісг. (25) 0 J Очевидно, что при Н = 0, h = 1 задача (23)-(25) совпадает с задачей /f0 при и = 1. Пусть g(x) = g 0, /?(х) = р 0. Справедливы следующие теоремы: Теорема 3.1.1. Нормированные собственные функции задачи Н0 при п = \ в регулярном случае (когда р 1) равномерно по & ограничены, т. е. О С, maxl у(х) С,, где С, и С, не зависят от к. хє[0,в] Теорема 3.1.2. Для нормированных собственных функций задачи Н0 при п = 1 в нерегулярном случае (когда р = 1) справедлива следующая оценка С, л/lnA: maxl Л (л;) С2 л/Тп А:, где С, и С2 не зависят от к. В 3.2 доказано, что в случае гладких коэффициентов (ф)єС[0а]) р(х) є Cj-o fl]) для задачи Я0 при п = 1 (т. е. задачи (23)-(25)) имеют место следующие теоремы: Теорема 3.2.1. Пусть q{x) є С[0а], р(х) є С а], Н = 0, h = \, тогда нормированные собственные функции задачи Н0 при я = 1 в регулярном случае (р(а) ФІ) равномерно ограничены, т. е. О С, maxlу(х)\ С,, где С, и С, не зависят от к. Теорема 3.2.2. Пусть #( )єС[0д], р( )єС[20я], // = 0, /г = 1, тогда для нормированных собственных функций задачи Н0 при я = 1 в нерегулярном случае (когда р(а) = 1) справедлива следующая оценка где С, и С2 не зависят от к. По материалам диссертации были сделаны сообщения на научно-теоретических конференциях, проводимых в Дагестанском государственном университете (2005 - 2009 гг.), на межвузовских конференциях «Функционально-дифференциальные уравнения и их приложения» (2007 2009 гг.) на заседаниях семинара по спектральной теории кафедр дифференциальных уравнений и математического анализа (2005 - 2009 гг.) при ДГУ, на семинаре проф. А.А. Шкаликова и проф. А.Г. Костюченко при механико-математическом факультете МГУ в 2009 г. Основные результаты диссертации отражены в работах [43]-[52]. Пользуясь случаем, приношу искреннюю благодарность своему научному руководителю профессору Г.А. Айгунову за постоянное внимание и руководство работой.
Оценка роста функции Грина задачи Н0 в регулярном случае
Раннее было показано, что ядро резольвенты спектральной задачи Н0 является мероморфной функцией спектрального параметра Я. Более того, заключаем, что полюса ядра резольвенты R(x,t,X) образуют счетное множество точек Хк, причем, кроме, быть может, конечного числа, все полюса функции R(x,t,X) - простые. Поэтому в некоторой окрестности простого полюса Х0 главная часть функции Грина R(x,t,X) задачи Н0 имеет вид [2] С0 (Я - Я0) ! р0 (х)ц/й (0.
В этой формуле y/0(t) - собственная функция сопряженной спектральной задачи H Q. В этом параграфе мы укажем способ, позволяющий находить коэффициент С0 (а, следовательно, и вычет ядра резольвенты) в случае простого полюса Я0.
Теорема 2.4.1. Пусть все собственные числа Лп спектральной задачи Я0 однократны и X = 0 не является собственным числом. Тогда разложение (2.3.1) единственно. Доказательство теоремы 2.4.1 будет разделено на несколько этапов. Пусть о0,й?,,...,й?2и-1 " различные корни степени 2п из единицы, упорядоченные таким образом, что a?2n-l-v - mv Из чисел iXmv (v = 0,l,...,2w-l;/l - комплексное число) составим матрицу Вандермонда W(X). В дальнейшем будем также пользоваться разбиением матрицы W(X) на квадратные блоки W(Z) = Линейные формы условий Uv (у, Я) получаются заменой v - го столбца матрицы W(Z) столбцом [у{а),...,у{2" х){а)\. Введем векторные обозначения для краевых значений ,(2«-1), -л,(«) Y(a) = [Yl(a),Y2(a)],Yl(a) = (y(a),...yn-4a)),Y2(a) = (y("\a),...,y -l\a)), У(у,Л) = ту,Л),Г2(у,Л)],Г1(у,Я)-(и0(у,Я),...,ип_1(у,Я)), У2{у,Я) = {ип{уЛ),..-,и2п_х{у,Я)). В этих обозначениях спектральная задача Н0 запишется в виде Ы = Я2"р(х)у(х), (0 х а) 7,(0) = 0, У2(у,Я) = (2.4.1) Обозначим через Яр собственное значение спектральной задачи Н0, а через (р (х) - соответствующую собственную функцию, нормированную каким-нибудь способом. Введем вектор-строку Л =[1,Я ,...Д" ] и вектор-функцию f(x) = [fo(x),-,f2n-i(x)] В этих обозначениях формула (2.3.1) перепишется в виде А ) = 1С ,(х)Л, (0 х а) P=I (2.4.2) Для доказательства теоремы 2.4.1 нам потребуется формула Лагранжа для дифференциального выражения I(y): \{l{y)z - yl(z))dz = Y(a)BZ\a) - Y(0)BZJ(0), ,2« в которой y(x), z(x) є C(o"a), матрица В порядка 2n имеет вид: на побочной диагонали матриц В и В1 стоят единицы с чередующимися знаками, а символ (.)т - означает транспонирование. Кроме того, нам понадобятся следующие леммы: Лемма 2.4.1. Вектор строки Y(a) и V(y,A) при Я О связаны соотношением Y{a) = det (A) V(y,AWJW Для формулировки леммы 2.4.2 введем обозначения Hv - ганкелева матрица 2п -го порядка, у которой элементы с суммой индексов v равны 1, а остальные нулю. Нумерация элементов начинается с нуля. Положим: Ьк1(А,/л) = \H2n_2_k_,MJ, к,1 = 0,...,« -1, 2л-1 А = [1,А,...,Аг-1], M = [l,M, ,MZn lL (2.4.3) C = [ckl] = B,W2l{\)-Wn{\r, Fn(X ) = lK,ckl-\. Элементы матрицы Fn{X,fS) - однородные полиномы по Я и /л степени не выше 2« — 2. Лемма 2.4.2. Если для векторов Y(a), Z(a) выполнены условия V2(y,A) = V2(z,M) = 0, то при А, 1 0 Y(a)BZr (а) = (М- X)YX {a)Fn (Я, ju)Zj (а). Лемма 2.4.3. Если ФЛХ),ФЛХ) - собственные функции задачи 2.4.1, отвечающие простым собственным значениям Яр,Яд, а Ф {(а),Ф х(а) -вектор-строки: [ (а),..., )], ),..., )], то hpHnKJq)(pp{x) pq{x)p{x)dx + Фр№рМР \)ФчЛ{а) = rp8pq, о где гр Ф О при всех р, a Spq - символ Кронекера. Предполагая леммы 2.4.1-2.4.3 доказанными, установим справедливость теоремы 2.4.1. Пусть вектор-функция f(x) є С(о,а) имеет два различных представления в виде ряда (2.4.2) по собственным функциям задачи (2.4.1), сходящихся в С }а). Вычитая почленно эти ряды, получим: [0 ] = сЛ(х)Л,. (2.4.4) Ряд сходится в С"0 , и не все Ср равны нулю; пусть Cq 0. Умножим (2.4.4) справа на HnATq(pq(x)p(x) и проинтегрируем от 0 до а, получим: 0 = 1 СрЛрНпА] ) рр {x) pq {x)p{x)dx. (2.4.5) p=i о Ряд (2.4.4) продифференцируем почленно к - раз (к = 0,...,п-1) и положим х = а: [0,...,0] = ±СУрк\а)Ар. (2.4.6) Р=1 Умножим ряд (2.4.6) справа почленно на H2n-2-k-ijhTqc/ci Pq)(а) а затем просуммируем по к и / от 0 до п — 1, получим: 0 = ІСрФЛІ(а) (Яр,А,)Ф[1(в). (2.4.7) Р=\ Сложим почленно ряды (2.4.7) и (2.4.5) Г а 1 0 = ТСр\АрНпА1\(рр(х) (х)р(х)ск + ФрЛ(а)РЛЯрЛ,)Ф] )\ Согласно лемме (2.4.3), член в фигурных скобках отличен от нуля лишь при р = д, следовательно, правая часть не равна нулю, а левая равна, что невозможно. Таким образом, разложение f(x) в ряд по собственным функциям единственно. Теорема 2.4.1 доказана. Доказательство леммы 2.4.1 непосредственно следует из определения краевых условий Uv{y,X) и теоремы о разложении определителя по элементам столбца.
Определение вычета ядра резольвенты краевой задачи Н0 в случае простого полюса Л = Я0 и доказательство единственности разложений
Тем самым мы пришли к задаче того же типа, что и (3.1.1)-(3.1.3), при этом р(х) = р, вместо h стоит signh, т. е. +1, собственные числа задачи А, (3.2.1)-(3.2.3) \\.п =—— (« = 1,2,..., где Хп - собственные числа задачи (3.1.1) (3.1.3)). Собственные функции задачи (3.1.1)-(3.1.3) и (3.2.1)-(3.2.3) связаны соотношением уп (х) = А(х) цп (( )) и очевидно \\уп (х)\\с = ОІ\\цп Щ\с) и л„00с " (ЦУ» Wlc) ОчевиДно также, что замена условия (3.2.3) на г] ( )) dtl = \ приведет лишь к умножению собственных функций на о константу. В силу сказанного, в рассматриваемом случае гладких коэффициентов достаточно изучить задачи с р(х) = р = const, что в дальнейшем и будем предполагать. Кроме того, будем считать, что h = 1. Введем обозначения: ф(хД) - решение уравнения (3.1.1) с начальными условиями ф(0Д) = О, ф Д0Д) = 1; ф0(хД) - решение уравнения типа (3.1.1) с q(x) q и начальными условиями ф0(0Д) = 0, фд.Д0Д) = 1. Таким образом ф(хД) это некоторое решение уравнения (3.1.1) с произвольным из рассматриваемого класса коэффициентом q{x), а ф0(хД) - решение более простого уравнения с постоянным коэффициентом q(x) = q . Очевидно, собственными числами задачи (3.1.1)-(3.1.3) являются те и только те Я, которые удовлетворяют условию ц х (а, X) + (Н - іХ)ц)(а, X) = 0, а соответствующие этим X функции ф(хД) будут собственными функциями задачи (3.1.1)-(3.1.2). Так как в случае постоянного коэффициента q(x) = q задачу (3.1.1)-(3.1.3) изучать проще, мы постараемся вывести некоторые соотношения, связывающие ф(х, X) и ф0 (х, X). Так как ф(хД) решение уравнения (3.1.1), то справедливо равенство: q{x)(p{x,h) = (р"(х,Я) + Я2 р(х)ср(х,Я), заменив х на т, умножим это равенство на ф0(лг тД) и проинтегрируем от О до х по dx, получим: х {ф0 (х - т, л) (т)ф(х, X)dx = ф0 (х - т, А,)ф (х, Х)\х0 + ф о (х - т, л)ф(т, X)\XQ + о 104 Л Л + фд (х - х, А,)ф(т, X)dx + ф0 (х - х, X) X2 р ф(т, X)dx о о или учитывая начальные условия и подставляя вместо фо(х-тД) его значение q -q 0(x-x,X)-X2 р-ф0(х-тД), из уравнения (3.1.1) получим: X X ф0 (х - х, X)q{x)q (x, X)dx - -ф0 (л, X) + ф(х, V) + д ф0 (х - х, А,)ф(т, X)dx или л ф(х, А,) - ф0 (х, .) + J[ (T) - q] ф0 (х - т, А.)ф(т, A.)flfr, (3.2.4) о отсюда, подставляя в правую часть равенства вместо ф(т, X) его значение по формуле (3.2.4) и продолжая этот процесс до бесконечности, получим х (р(х,Я) = 0(хД) + Л#(г,) - q]- p0(x- TXiX) pu{rXiX)drx + со X + І][Фі)-ч]- Ро(х-тх,Я)\. (=2 о О - JW,)-?] Ро(тм - ДМ . м-А (3.2.47) Оценим теперь р0(х,Я), пользуясь явным выражением для р0(х,Л). Так как (р0(х,А) решение уравнения (3.1.1) с постоянным q(x) = q и начальным условием р 0(х,Я) = \, то из общего вида решения где С О (так как /гх монотонно возрастает).
Оценка нормированных собственных функций спектральной задачи Я0 при п = 1 в случае гладких коэффициентов
Замечательным обстоятельством является, однако, тот факт, что многие важные для приложения задачи приводят к спектральным задачам, где условия регулярности Я.Д. Тамаркина заведомо не выполняются. Примером такой задачи является следующая спектральная задача, возникающая в квантовой теории рассеяния:
Эта задача была рассмотрена впервые итальянским физиком Т. Редже [6], который в случае р(х) = 1 показал, что система собственных функций задачи (3)-(4) полна и изучил асимптотику собственных чисел этой задачи. А.О. Кравицкий [7] указал класс функций, которые допускают разложение в равномерно сходящиеся ряды по собственным функциям задачи Т. Редже, когда р(х) = 1.
В работах М.М. Гехтмана, И.В. Станкевича [8] задача Т. Редже была обобщена на случай уравнения четвертого порядка. Чтобы получить краевые условия обобщающие условия излучения (4), вначале рассматривается некоторый самосопряженный в Z2(0,oo) оператор с непрерывным спектром, а затем изучается аналитическое продолжение резольвенты этого самосопряженного оператора на риманову поверхность («нефизические листы»). Б.Л. Коган [9], Б.С. Павлов [10], М.В. Буслаева [11] и A.M. Магерамов [12] рассмотрели обобщение задачи Т. Редже на случай систем обыкновенных дифференциальных уравнений. М.М. Гехтман [13] и Г.А. Айгунов [14] рассмотрели обобщение задачи Т. Редже для дифференциального оператора четного порядка при р(х) = 1. Более общий случай уравнения n-го порядка, когда все коэффициенты Р,(х)(/ = 1,и) зависят от спектрального порядка X рассмотрен в работах Шкаликова А. А. [15]. Укажем еще работу Е.А. Барановой [16], в которой изучалась обратная задача для уравнения 2п -го порядка без промежуточных членов с краевыми условиями содержащими спектральный параметр Я. Отметим также работу Г.А. Айгунова [17], где рассмотрен случай дифференциального оператора 2п-го порядка при р{х)ф\, где различаются два случая р{а) Ф 1 регулярный и р{а) -1 - нерегулярный, причем в этой работе рссмотрены для нерегулярного случая два подслучая: а) р{а) = 1, р (а) Ф 0; б) р(а) = 1, р\а) = 0, а р"(а) + /? -Р2{а) Ф 0. Оставался открытым вопрос, что же будет, если р(а) = \, p (a) = p"(a) = ... = p{f +l\a) = 0n Диссертанту удалось найти в этом общем нерегулярном случае ( ) условие необходимое для определения асимптотики спектра, оценки ядра резольвенты и определения класса функций, для которых имеет место 2п-кратное разложение по собственным функциям заданной задачи. Если первые две главы диссертации посвящены вопросам разложения в равномерно сходящиеся ряды по собственным и присоединенным функциям задачи (5)-(6), то третья глава посвящена оценкам собственных функций задачи (3)-(4) для регулярного и нерегулярного случаев. Результаты, установленные в III главе диссертации, примыкают к кругу вопросов, относящихся к известной проблеме В.А. Стеклова [18]-[19] об условиях ограниченности (в терминах весовой функции р(х)) ортонормированной системы многочленов Рп(х,р) на всем интервале ортогональности или ее части, где р(х) 0. В последнее время значительно возрос интерес к этой проблеме. Сравнив результаты работ Я.Л. Геронимуса [20], Е.А. Рахманова [21] и М.У. Амброладзе [22], можно заметить аналогию в асимптотическом поведении общих ортонормированных многочленов Рп(х Р) и нормированных собственных функций спектральной задачи Штурма-Лиувилля на конечном отрезке. Поэтому было бы интересно выяснить, справедливы ли утверждения теорем в случае общих ортонормированных полиномов. Заметим, что и ортонормированные полиномы, и собственные функции задачи Штурма-Лиувилля обладают свойством ортогональности. В диссертации доказывается, что асимптотические свойства собственных функций не связаны непосредственно с ортогональностью, а обусловлены специальным характером колеблемости решений дифференциального уравнения, величина б же максимально возможного роста последовательности нормированных собственных функций определяется только нормировочным условием. Аналогичные оценки для задачи Штурма-Лиувилля рассматривались многими авторами, начиная с Ж. Штурма и Ж. Лиувилля в 1836 г. [23], В.Я. Якубова [24]-[27] в 1967 г. в работах [28]-[29] В.А. Ильина, И. Йо, И.А. Шишмарева, В.В. Жикова [30], М.М. Гехтмана [31]-[33], Г.А. Айгунова [34]-[40].
