Введение к работе
Актуальность темы. Задача факторизации матрицы-функц возникла в связи с потребностям;! теории векторной креевой зада Римана и родственных ей теории одномерных сингуляріз интегральных операторов, интегральных и дискретных оператор Викера-Хопфа. Факторизация матрицы-функции позволяет свести оби случаи задачи Рішана к ее простейшему случаю - задаче о скачке. таком аспекте задача факторизации изучалась, начиная с рас Ршана, Гильберта, Племеля, Карлемана, .Винера и Хопфа. настоящее время необходимые к достаточные условия факторизуемо< изЕестны для широких классов матриц-функций, а для соответ» вующих операторов построена теория Нетера. Основополагавдую р< здесь сыграли работы Ф.Д.- Гахова, Н.И. Мусхелишвили, Н.П. Веку И.Ц. Гохберга, М.Г. Крейна, Б.В. Хведелидзе, И.В. Симонен Р, Дугласа, Д. Сарасона и многих других авторов. Особый слу изучен в работах С. Пресдорфа, Н.К. Карапетянца, В.Б. Дыби Н.Е. Товмасяна, Н.Б. Енгибаряна, Л.Г. Арабаджяна и др. авторов
В скалярном случае факторизация строится в явном виде помощью интегралов типа Коши. Однако в матричном случае, вон эффективного построения факторизации и вычисления часі индексов, - в более или менее общей ситуации, - остае нерешенной по настоящее время. В этом смысле новым направление развитии тзории факторизации явилась работа И.Ц. Гохберга, Лерера, Л. Родмана*. где получены явные формулы для час индексов. Современное состояние теории факторизации достаті полно изложено в монографиях23. Значение задачи факторизации исчеркивается только ее ролью в теории краевой задачи Рим сингулярних операторов и операторов Винера-Хопфа. К матри задаче факторизации приводят также уравнения типа свертки конечном промежутке, а также уравнения с ядрами "близким разностным возникающие в большом числе прикладных'задач. За факторизации естественным образом возникает также а те
Gohborg I., Leror L.. Rodman L. Factorization indeces for ma polynomials. Bull. Amrcr. Math. Soc. . vol. 84, JS 2, 1Э78 p. 373-27
Clancey K. . Ootiberg I. Factorization or Matrix Functions Singular Integral Operators. Operator Theory: Advance.s Applications, vol. 3, Basel-Boston-Stuttgart: Birfchausor-Ver Ю81.
8Litvinchult G.S. , Spitkovslcii I.M. Factorization of Measui Matrix Functions. Berlin: Akademie-Verlag. 1987.
гл'/'тг.:11лл- процессов, и юоротической Тлзшсе (.\:ЄЇОД ОирЗТЛОЙ садяча: тесрт'лі рассеяния), в ряде прикладах задач механики- Так наїфішер, некоторые задачи дкфракции я окустеки сводятся к факторизации мотрлц-фуккцнЯ рада
І".'
«з
где av ck - о, і ч-1э скалярные функции, q рациональная
матрица-функция порядка пха. Задача . эффективней факторизации матриц-функций вида (і ) иосвщош работы' А, А. Храпкова, В. Даниэля, Е.Майстера, Ф.-о. ІШіека, С. Прзодорфа. А. Лебре, К,Г. Моисеева к других авторов.
Ук&заншге аспекты повышают интерес ,к вопросам эффективной факторизации матриц-функций вида (і).
Заметим, что в некоторых случаях матривд-функции вида (i) удаотся записать в виде
v = гиг
K.Z3
где г рациональная матрица-функция, а и матрица-функция простей структуры, допускающая явную факторизацию.
Важным подклассом матриц-функций вида (і) являются / -циркулянтные матрицы-функции
а
n-i о а а _
і ... п-2
/а /а а
' п-г J п-г. о
СЗЭ
./«.
/«.
fa. ... а
Настоящая работа посвящена исследованию факторвзгщш «атриц-функцкл вида (2) и (3).
^ь_Е.аботы_.
й) аул ародію/іогині;!-., что 11"ч.!ео*ч'йл гуйіиориїзацї'.я нзтришг-fr/шсции и, а г рациональная матрица--функция, получить я?:нке ^рг-'ули для флктсрнзашйі :ла ірлци-функции вада (2) и йФ'^ктні-тап
кржтэрж устойчивости частных индексов, построить обобщеннук факторизацию;
б) ДЖ матриц-функций вида (3) построить функционально--теоретическую факторизацию и свести задачу факторизации матрицы-функции вада (3) в винеровской алгебре к факторизации рациональной матрицы-функции.
Методика исследования. Используются классические метода задач факторизации, методы теории фредгольмовых операторов (в частности, метод матричногс
СЦеПЛеНИЯ Bart Н. . Gohberg I. , Kaashoek М. А. * ), -ТйОрИИ ОДНОМйрШ
сингулярных операторов,, теории граничных задач аналитические функций, свойства функции из алгебры Винера.
Научная новизна работы.
а) получены явные формулы для частных индексов и построен: обобщенная факторизация матриц-функций вида (2), где г рациональная матрица-функция. Уже при п=г, когда и диагональная (т.е. случай,, соответствующий матрице-функции вид (3) при r>=av /=дг)„ зти результаты являются нобыми; для. факторизации матрицы-функции вида (2),
2) для у-циркулянтных матриц-функций предложена эффективна процедура сведения функционально-теоретической факторизации факторизации рациональной матрицы-функции. Описывается подкласс /- циркулянтшх матриц-функций, для которых строится явна мороморфная факторизация. При п. > г задачи такого рода ранее н рассматривались, а при п=г указанная процедура, в отличии о ранее известных (С. Просдорф, Ф.-О. Шпек), позволяет избежаї апроксимацій.
Теоретическая и практическая ценность. Как уже было упомянуто, факторизация матриц-функций часа встречается при решении различных задач физики и механик! Эффективная факторизация дает возможность наиболее полно pema'j теоретические и практические проблемы.
Апробация работы. Работа доложена на семинарах в Институт математики НАИ Армении и на Ежегодной конференции по математике
Bart П.. Gohberg I., Kaashock М. A. The Coupling Method і Solving Integral Equations, Operator Theory: Advances ai Applications, Basel ots, v. IS, 1Э84, p. 39-73
Іране (Тегеран, март 1993г.).
Публикации. Основные результаты отражены в публикациях с 1-43=, Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения и
;вух глав, разбитих на 12 параграфов. Общий объем диссертация 73
траниц, библиография содержит 92 наименований»