Электронная библиотека диссертаций и авторефератов России
dslib.net
Библиотека диссертаций
Навигация
Каталог диссертаций России
Англоязычные диссертации
Диссертации бесплатно
Предстоящие защиты
Рецензии на автореферат
Отчисления авторам
Мой кабинет
Заказы: забрать, оплатить
Мой личный счет
Мой профиль
Мой авторский профиль
Подписки на рассылки



расширенный поиск

К теории стабилизации управляемых систем Зайцев Василий Александрович

К теории стабилизации управляемых систем
<
К теории стабилизации управляемых систем К теории стабилизации управляемых систем К теории стабилизации управляемых систем К теории стабилизации управляемых систем К теории стабилизации управляемых систем К теории стабилизации управляемых систем К теории стабилизации управляемых систем К теории стабилизации управляемых систем К теории стабилизации управляемых систем К теории стабилизации управляемых систем К теории стабилизации управляемых систем К теории стабилизации управляемых систем К теории стабилизации управляемых систем К теории стабилизации управляемых систем К теории стабилизации управляемых систем
>

Диссертация - 480 руб., доставка 10 минут, круглосуточно, без выходных и праздников

Автореферат - бесплатно, доставка 10 минут, круглосуточно, без выходных и праздников

Зайцев Василий Александрович. К теории стабилизации управляемых систем: диссертация ... доктора физико-математических наук: 01.01.02 / Зайцев Василий Александрович;[Место защиты: Институт математики и механики УрО РАН].- Екатеринбург, 2016.- 293 с.

Содержание к диссертации

Введение

Глава I. Управление ляпуновскими инвариантами нестационарных линейных систем 31

1. Управляемость и равномерная полная управляемость 32

2. Доказательства необходимых и достаточных условий равномерной полной управляемости 41

3. Управляемость системы в форме Хессенберга. Управляемость квазидифференциального уравнения 57

4. Ляпуновская приводимость к канонической форме

и глобальная достижимость системы в форме Хессенберга 73

5. Управление ляпуновскими инвариантами

линейной системы в форме Хессенберга 83

6. Ляпуновская приводимость и стабилизация нестационарных систем с наблюдателем 88

Глава II. Согласованность и управление спектром собственных значений систем с непрерывным временем 100

7. Согласованные системы 101

8. Согласованность стационарных систем 106

9. Управление спектром собственных значений 117

10. Управление спектром собственных значений билинейных систем специального вида 129

11. Согласованность стационарных систем специального вида 142

12. Экспоненциальная стабилизация квазилинейных управляемых систем с неполной обратной связью 155

Глава III. Глобальная асимптотическая стабилизация нелинейных периодических систем 170

13. Достаточные условия стабилизации нелинейных периодических систем 171

14. Достаточные условия существования демпфирующего управления 178

15. Следствия о стабилизации нелинейных периодических систем 186

16. Стабилизация билинейных периодических систем 190

17. Стабилизация линейных периодических систем 199

18. Стабилизация однородных билинейных периодических систем 206

19. Глобальная асимптотическая стабилизация нелинейной

периодической системы ограниченной обратной связью 216

Глава IV. Управление спектром собственных значений и стабилизация стационарных систем с дискретным временем 221

20. Согласованные системы с дискретным временем 222

21. Согласованность стационарных систем с дискретным временем 232

22. Необходимые условия и достаточные условия согласованности стационарных дискретных систем 238

23. Управление спектром собственных значений дискретных систем 245

24. Достаточные условия согласованности дискретных стационарных систем специального вида для гг = 4игг = 5 255

25. Достаточные условия стабилизации нелинейных стационарных систем с дискретным временем 266

26. Стабилизация нелинейных стационарных дискретных систем с линейной свободной динамикой 272

Заключение 278

Список литературы 2

Введение к работе

Актуальность и степень разработанности темы исследования. Задача стабилизации управляемой системы является одной из важнейших задач математической теории управления. Классические результаты об управлении асимптотическими характеристиками относятся к линейным стационарным системам управления. Вопросы стабилизации и управления асимптотическим поведением становятся существенно сложнее, если управляемая система является нестационарной, или нелинейной, или управление строится по неполным данным.

Одной из первых задач классической теории автоматического регулирования была задача о стабилизации линейной стационарной системы

х = Ах + Ви, let, ієГ, и Є Mm, (1)

посредством линейной обратной связи и = Ux: где U — постоянная т х п-матрица. Более общей задачей является задача о размещении спектра собственных значений (задача о модальном управлении, задача управления спектром), в которой требуется для заданного многочлена р(Х) = Xа + ^\Ха~1 + . .. + 7п5 1% ^ ^ построить постоянную матрицу U Є Мт^п(К) так, чтобы характеристический многочлен х(А + BU] А) матрицы А + BU замкнутой системы

x = (A + BU)x} хєКп} (2)

совпадал с р(Х) (здесь К = К. или К = С). Если для всякого (71,..., 7п) Є 1&п такая матрица U существует, то говорят, что спектр системы (2) глобально управляем. Имеет место следующий классический результат.

Утверждение 0.1. Следующие условия эквивалентны.

  1. Система (1) вполне управляема.

  2. rank [Б, АВ,..., Ап~1В] = п.

  3. Спектр системы (2) глобально управляем.

Эквивалентность 2 Ф> 3 для случая К = С доказал В.М.Попов1, для случая К = К. доказал В.М.Уонэм2; утверждение 1 Ф> 2 — это известный критерий управляемости Калмана3.

Распространение задачи размещения собственных значений и, в частности, задачи стабилизации на более широкий класс систем может происходить в

1Popov V.M. Hyperstability and optimality of automatic systems with several control functions // Revue Roumaine des Sciences Techniques. Ser. Electrotechn. et Energ. 1964. Vol. 9, №4. P. 629-690.

2Wonham W.M. On pole assignment in multi-input controllable linear systems // IEEE Transactions on Automatic Control. 1967. Vol. AC-12, №6. P. 660-665.

3Kalman R.E. Contribution to the theory of optimal control // Boletin de la Sociedad Matematica Mexicana. 1960. Vol. 5, №1. P. 102-119.

различных направлениях. В одном из направлений требуется распространить указанные выше результаты на нестационарные системы

х = A(t)x + B(t)u, let, iGin, иеГ. (3)

В этом направлении одной из первых работ была статья П. Бруновского , в которой были получены результаты о глобальной управляемости мультипликаторов периодических систем.

Для произвольных нестационарных непериодических систем в качестве обобщения понятия спектра собственных значений естественно рассматривать полный спектр показателей Ляпунова5. Одно из возможных обобщений условия полной управляемости на нестационарные системы, которое можно использовать в задачах об управлении асимптотическим поведением линейной системы, было введено Р. Калманом3. Система (3) называется равномерно вполне управляемой (по Калману), если найдутся $ > 0 и с^ = оціФ) > О, і = 1,2,3,4, такие, что для всех г Є Ж. выполнены неравенства (в смысле квадратичных форм)

О < а31 < Х{т + &, t)W{t, т + її)Хт + tf, т) ^ aj;

здесь W(to,ti) := / X(to, s)B(s)BT(s)XT(to} s) ds — матрица управляемости

J t0 (матрица Калмана), X(t,s) — матрица Копій свободной системы

х = A(t)x. (4)

Калман доказал , что если система (3) равномерно вполне управляема, то существует матрица U(t): ІЄІ, такая, что система

x={A{t)+B{t)U{t))x, iGin, (5)

равномерно асимптотически устойчива. Н. Н. Красовский6 для решения задачи (оптимальной) стабилизации системы (3) применял другую матрицу управляемости Q(t) = [P0(t), Pi(t)}. . ., P„_i(*)], где P0(t) = B(t), Pk(t) =

E. Л. Тонков7 использовал подход Калмана в задачах стабилизации почти периодических и рекуррентных систем и установил критерий равномерной

4Brunovsky P. Controllability and linear closed-loop controls in linear periodic systems // Journal of Differential Equations. 1969. Vol. 6, №3. P. 296-313.

5Былов Б.Ф., Виноград Р.Э., Гробман Д.М., Немыцкий В.В. Теория показателей Ляпунова и ее приложения к вопросам устойчивости. М.: Наука, 1966. 576 с.

6Красовский Н.Н. О стабилизации неустойчивых движений дополнительными силами при неполной обратной связи // Прикладная математика и механика. 1963. Т. 27, вып. 4. С. 641-663.

7Тонков Е.Л. Критерий равномерной управляемости и стабилизация линейной рекуррентной системы // Дифференциальные уравнения. 1979. Т. 15, №10. С. 1804-1813

полной управляемости по Калману. Е. Л. Тонковым была поставлена задача о глобальном управлении показателями Ляпунова на основе свойства равномерной полной управляемости по Калману. Показатели Ляпунова линейной системы (5) называются глобально управляемыми, если для всякого набора чисел (11 ^ . .. ^ ап существует измеримое ограниченное управление U(t), t Є R, такое, что \j(A + BU) = щ, j = Т~п, где \1(A + BU) < ... < \n{A + BU) — полный спектр показателей Ляпунова системы (5) при U = U. Эта задача, а также другие задачи о глобальном управлении асимптотическими инвариантами были решены в работах С. Н. Поповой8'9'10, а также Е. К. Макарова, С. Н. Поповой11. В частности, был доказан следующий результат : пусть А(-) кусочно непрерывна и ограничена на Ж, В(-) кусочно равномерно непрерывна и ограничена на Ш, и система (3) равномерно вполне управляем/! в смысле Калмана; тогда полный спектр показателей Ляпунова системы (5) глобально управляем. В связи с этим результатом возникает вопрос о справедливости этого утверждения для системы (3) с коэффициентами из более широкого класса. Оказывается, что в этом случае критерий Тонкова равномерной полной управляемости по Калману (который используется при доказательстве данного результата С. Н. Поповой) может быть не выполнен. Возникает вопрос о том, при каких условиях на коэффициенты определение равномерной полной управляемости по Калману и критерий Тонкова совпадают. Эти вопросы исследуются в диссертации в 1,2,5.

Другой вопрос, который возникает в связи результатом С. Н. Поповой: найти какие-либо классы нестационарных систем, обладающих свойством равномерной полной управляемости. Этот вопрос исследуется в 3; доказано, что к такому классу относятся системы в форме Хессенберга.

Наряду с задачами управления отдельными асимптотическими инвариантами в работах Е. Л. Тонкова, С. Н. Поповой, Е. К. Макарова рассматривались задачи (локального и глобального) управления всей совокупностью инвариантов преобразования Ляпунова.

Линейное преобразование z = L(t)x линейной системы (4) называется5 преобразованием Ляпунова, если матричная функция L(t), і Є 1, абсолютно непрерывная, обратимая, и sup{||L||<7(R), ||b-1||<7(R), sup ||-/||z,i([i,i+1])} < -

Две линейные системы, связанные некоторым преобразованием Ляпунова, называются асимптотически эквивалентными (по Богданову). Характеристики

8Попова С.Н. Глобальная управляемость полной совокупности ляпуновских инвариантов периодических систем // Дифференциальные уравнения. 2003. Т. 39, №12. С. 1627-1636.

9Попова С.Н. Глобальная приводимость линейных управляемых систем к системам скалярного типа // Дифференциальные уравнения. 2004. Т. 40, №1. С. 41-46.

10Попова С.Н. О глобальной управляемости показателей Ляпунова линейных систем // Дифференциальные уравнения. 2007. Т. 43, №8. С. 1048-1054.

пМакаров Е.К., Попова С.Н. О глобальной управляемости полной совокупности ляпуновских инвариантов двумерных линейных // Дифференциальные уравнения. 1999. Т. 35, №1. С. 97-106.

системы (4), которые не изменяются при преобразовании Ляпунова системы (4), называются ляпуновскими (асимптотическими) инвариантами. Примерами ляпуновских инвариантов являются свойства устойчивости, асимптотической (экспоненциальной) устойчивости, правильности системы, показатели Ляпунова, центральные показатели, особые показатели и т.д.

Говорят, что система (5) с измеримыми, интегрально ограниченными коэффициентами А(-): В(-): (а) обладает свойством глобальной ляпуновской приводимости11 [(b) называется глобально скаляризуемой9], если для любой системы

і = F{t)z, let, х Є Mn, (6)

с измеримой, интегрально ограниченной матрицей F(-) [вида F(t) = p(t)I, р : К. —> К] найдется измеримое и ограниченное управление U(t), і Є І, такое, что система (5) с U = U асимптотически эквивалентна системе (6).

В 4, 5 получены новые результаты о глобальном управлении показателями Ляпунова, глобальной скаляризуемости, глобальной ляпуновской приводимости системы (5) и о ляпуновской приводимости системы (5) к канонической форме Фробениуса, т.е. к системе (6), эквивалентной скалярному дифференциальному уравнению n-го порядка.

Другое направление в распространении задачи управления спектром собственных значений или показателей Ляпунова (в частности, задачи стабилизации) на более широкий класс систем относится к методу построения обратной связи. Предположим, что задана линейная управляемая система с наблюдателем:

х = A(t)x + B(t)u, y = C*(t)x} ієі (7)

(* — операция комплексного сопряжения). Один из классических методов стабилизации заключается в построении динамической обратной связи по выходу (см., например12): вводится асимптотический идентификатор

= A(t)x + V{t) {у - C*{t)x) + B(t)u. (8)

Управление в системе (7), (8) строится в виде

и = U(t)x. (9)

Замкнутая этим управлением система (7), (8) получается (2п)-мерной. В 6 получены некоторые новые результаты в этом направлении.

Другой способ формирования управления в системе (7) состоит в построении линейной статической обратной связи по выходу, т. е. в виде и = Uy.

12Калман Р., Фалб П., Арбиб М. Очерки по математической теории систем. М.: Мир, 1971. 400 с.

Замкнутая система принимает вид

х = (A{t) + B{t)UC*{t))x. (10)

Такая система является частным случаем более общей — билинейной (однородной) системы

х = (A(t) + uiAi(t) + u2A2(t) + ... + urAr(t))x. (11)

Задачи стабилизации и управления спектром для систем (10) и (11) становятся существенно сложнее, чем для системы (5), уже в том случае, когда коэффициенты систем постоянны:

x = {A + BUC*)x, жеГ, (12)

х = (А + щАі + и2А2 + ... + игАг)х, х є Кп. (13)

Отождествим систему (12) с матрицей S = (А, В, С) Є МП;П+ТО+^(1К), систему (13) — с матрицей Q = (Л, Лі,.. . Г) Є Мщпп\(К). Введем спектральное отображение о" для системы S (для системы Г2), которое ставит в соответствие матрице U Є МТО^(1К) (соответственно, вектору и = (щ,.. ., иг) Є W) вектор (7і, , 7п) ^ Кп? составленный из коэффициентов характеристического многочлена матрицы A + BUC* (соответственно, матрицы А + щАі + .. .+игАг). Тогда, по определению, спектр системы S (системы Q) глобально управляем, если отображение а сюръективно.

Задаче управления спектром для систем (12) (или (13)) посвящено большое количество работ. Обзор известных результатов можно найти в работе13.

Первые результаты о «почти произвольном» размещении max{m, к] (где т = rank В, к = rank С) собственных значений системы (А, В, С) с циклической матрицей А были получены в начале 1970-х в работах A. Jameson; Е. J. Davison, R. A. Chatterjee; В. Sridhar, D. P. LindorfT в предположении, что открытая система (7) с постоянными коэффициентами вполне управляема и вполне наблюдаема (эти условия необходимы для сюръективности отображения о"). В более поздних работах Е. J. Davison, S.H. Wang14 и Н. Kimura15 доказали для случая К = К. результаты, из которых вытекает, что если

т + к^п + 1, (14)

то образ отображения а является всюду плотным для типичного множества матриц } В}С) Є Mn^n+m+k(^) (здесь подмножество S С К называется типичным множеством, если его дополнение К \S содержится в нуль-множестве некоторого нетривиального многочлена от х\,.. ., Xi).

13Леонов Г.А., Шумафов М.М. Методы стабилизации линейных управляемых систем. СПб.: Изд-во С.-Петерб. ун-та, 2005. 421 с.

14Davison E.J., Wang S.H. On pole assignment in linear multivariable systems using output feedback // IEEE Transactions on Automatic Control. 1975. Vol. AC-20, №4. P. 516-518.

15Kimura H. Pole assignment by gain output feedback // IEEE Transactions on Automatic Control. 1975. Vol. AC-20, №4. P. 509-516.

Для получения дальнейших результатов ' использовались различные методы алгебраической геометрии. В 1981 году Брокетт и Байрнс показали18, что если тк ^ п, то отображение а сюръективно для типичного множества систем (А, В, С) Є Mn^n+m+k((C) Этот результат является наиболее сильным для К = С. В 1992 году X. Wang19 доказал, что если тк > п, то отображение о" сюръективно для типичного множества систем (А, В, С) Є МП;П+то+;(М). Этот результат является наилучшим для К = Ш.

Задача управления спектром для билинейной системы (13) связана с аддитивной обратной задачей на собственные значения (см. обзор20). Отметим здесь работы21 и22. W. Helton, J. Rosenthal, X. Wang23 доказали, что если С — аффинное многообразие в МП(С), то отображение

tpA:^Kn, A{L) = det{\I-A-L), L є С,

является почти сюръективным для типичного множества матриц А тогда и только тогда, когда dim С ^ п и С n := {L Є Mn(C) : SpL = 0}. Таким образом, задача размещения собственных значений систем (12) и (13) в типическом случае исследована достаточно подробно. Тем не менее, как подчеркнуто в работе, достаточные условия и , полученные для системы (12), носят теоретический, не конструктивный характер. В общем случае, даже когда известно существование компенсатора U, обеспечивающего размещение собственных значений, не существует каких-либо приемлемых алгоритмов для нахождения решения U. Это происходит в силу внутренней нелинейности данной задачи для системы (12) с неполной обратной связью (и тем более для системы (13)), в отличие от системы (2) с полной обратной связью (когда (7=7), для которой такие алгоритмы существуют. В связи с этим возникают вопросы: возможно ли выделить из класса всех систем (12) (или (13)) некоторый подкласс, для которого можно получить достаточные (и возможно, необходимые) условия, вроде условий 1, 2 в утверждении 0.1, обеспечивающие глобальную управляемость спектра, и для которого возможно привести

16Hermann R., Martin С. Applications of algebraic geometry to systems theory: part 1 // IEEE Transactions on Automatic Control. 1977. Vol. AC-22, №1. P. 19-25.

17Willems J., Hesselink W. Generic properties of the pole placement problem // Proceedings of 7th IFAC World Congress. 1978. P. 1725-1729.

18Brockett R.W., Byrnes C.I. Multivariable Nyquist criteria, root loci and pole placement: a geometric viewpoint // IEEE Transactions on Automatic Control. 1981. Vol. AC-26, №1. P. 271-284.

19Wang X. Pole placement by static output feedback // Journal of Mathematical Systems, Estimation, and Control. 1992. Vol. 2, №2. P. 205-218.

20Chu M. T. Inverse eigenvalue problems // SIAM Review. 1998. Vol. 40, №1. P. 1-39.

21Friedland S. Inverse eigenvalue problems // Linear Algebra and its Applications. 1977. Vol. 17, №1. P. 15-51.

22Byrnes C.I., Wang X. The additive inverse eigenvalue problem for Lie perturbations // SIAM Journal on Matrix Analysis and Applications. 1993. Vol. 14, №1. P. 113-117.

23Helton W., Rosenthal J., Wang X. Matrix extensions and eigenvalue completions, the generic case // Transactions of the American Mathematical Society. 1997. Vol. 349, №8. P. 3401-3408.

24Rosenthal J., Willems J.C. Open problems in area of pole placement // Open problems in Mathematical Systems and Control Theory. London: Springer, 1999. Chapter 37. P. 181-191.

конструктивные алгоритмы для нахождения требуемой матрицы U (соответственно, вектора и = (ііі,. .. , иг)). Исследованию этих вопросов посвящена II глава. В качестве условия 1 в утверждении 0.1 выступает свойство согласованности, введенное в25 для системы (10) и в26 для системы (11). Система (10) [см.25] (система (11) [см.26]) называется согласованной на отрезке [to,t\\, если для всякой матрицы G Є Мп(К) найдется кусочно непрерывное управление U : [to,ti] —> Мт^(К) (соответственно и = (щ,... }ur) : [to,^і] —> Кг) такое, что решение матричного уравнения

Z = A{t)Z + B{t)U{t)C*{t)X{t, t 0 )

(соответственно Z = A(t)Z + (ui(t)Ai(t) + . . . + Ur(t)Ar(t))X(t, to))

с начальным условием Z(to) = 0 удовлетворяет условию Z(t\) = G. Свойство согласованности является обобщением понятия полной управляемости системы (3) на системы с наблюдателем (7): в случае когда C{t) = /, эти свойства эквивалентны .

Отметим, что изложенные выше результаты и поставленные вопросы о глобальном управлении спектром в равной степени относятся к управляемым системам с дискретным временем

x{t + l) = {A + BUC*)x{t), teZ, жєГ, (15)

x(t + 1) = (А + щАі +U2A2 + ... +urAr)x(t), x є Kn. (16)

Исследованию этих вопросов для систем с дискретным временем посвящена IV глава.

Другой подход к задаче стабилизации билинейной системы был основан на применении теоремы Барбашина-Красовского о локальной и глобальной асимптотической устойчивости. Одной из пионерских работ в этом направлении явилась работа Джарджевича, Куинна27. В ней были получены достаточные условия глобальной асимптотической стабилизации нулевого решения билинейной системы

х = Ах + иВх, х є Rn, wet,

посредством обратной связи и = и(х). В дальнейшем теорема Джарджевича-Куинна обобщалась в различных направлениях; впоследствии было показано, что это утверждение можно обобщить на нелинейные аффинные системы

х = f(x) +щді(х) -\ hurgr(x), х Є Rn, /(0) = 0. (17)

25Попова С.Н., Тонков Е.Л. Управление показателями Ляпунова согласованных систем. I // Дифференциальные уравнения. 1994. Т. 30, №10. С. 1687-1696.

263айцев В.А., Тонков Е.Л. Достижимость, согласованность и метод поворотов В.М. Миллионщи-кова // Известия вузов. Математика. 1999. №2 (441). С. 45-56.

27Jurdjevic V., Quinn J.P. Controllability and stability // Journal of Differential Equations. 1978. Vol. 28, №3. P. 381-389.

Развитием этих результатов, в частности, занимались М. Slemrod28, J. P. Gau-thier29, G. Bornard30, N. Kalouptsidis, J. Tsinias31, K. K. Lee, A. Arapostathis32, C. I. Byrnes, A. Isidori33, R. Outbib, G. Sallet34 и др. В настоящее время существует несколько различных формулировок достаточных условий глобальной асимптотической стабилизации, эти условия называются (слабыми) условиями Джарджевича-Куинна, а соответствующее стабилизирующее управление называется «демпфирующее управление» (damping control). Приведем одну из формулировок35. Обозначим Lf(p(x) = V(p(x)f(x) производную функции

до[х) д fix)
<р(х)
вдоль f(x); adfg(x) := [f,g](x) = —f(x)g(x) - коммутатор

векторных полей f{x), g(x); ad^-g := [/, adl_1g], і Є N, adg := g.

Утверждение 0.2. Пусть существует гладкая функция V : W1 —> М7 удовлетворяющая следующим условиям.

У1. V(x) > 0, х ф 0, V{0) = 0. У2. V{x) -+ ос при \х\ -+ ос.

УЗ. {LfV){x) < 0 для всех х Є W1.

Предположим, что {х Є Шп : (LfV)(x) = {L&dj V)(x) = 0, k = l,r, j = 0, v\

сводится к {0} для некоторого v. Тогда управление Uk{x) = —(LgkV)(x), k = l,r; глобально асимптотически стабилизирует нулевое решение системы (17).

С. I. Byrnes, A. Isidori, J. С. Willems36 получили соответствующие результаты на основе теории пассивных систем. С помощью этого подхода W. Lin3 '38 обобщил результаты о стабилизации аффинных систем (17) с устойчивым дрейфом на нелинейные автономные систем

х = f(x,u), (18

28Slemrod М. Stabilization of bilinear control systems with applications to nonconservative problems in elasticity // SIAM Journal on Control and Optimization. 1978. Vol. 16, №1. P. 131-141.

29Gauthier J.P. Structure des systemes non lineaires. Paris: Editions du CNRS, 1984. 307 p.

30Gauthier J.P., Bornard G. Stabilisation des systemes nonlineaires // Outils et Methodes Mathematiques pour L'automatique. Paris: CNRS, 1981. P. 307-324.

31 Kalouptsidis N., Tsinias J. Stability improvement of nonlinear systems by feedback // IEEE Transactions on Automatic Control. 1984. Vol. 29, №4. P. 364-367.

32Lee K.K., Arapostathis A. Remarks on smooth feedback stabilization of nonlinear systems // Systems & Control Letters. 1988. Vol. 10, №1. P. 41-44.

33Byrnes C.I., Isidori A. New results and examples in nonlinear feedback stabilization // Systems & Control Letters. 1989. Vol. 12, №5. P. 437-442.

34Outbib R., Sallet G. Stabilizability of the angular velocity of a rigid body revisited // Systems & Control Letters. 1992. Vol. 18, №2. P. 93-98.

35Fabourg L., Pomet J.-B. Control Lyapunov functions for homogeneous Jurdjevic-Quinn systems // ESAIM: Control, Optimisation and Calculus of Variations. 2000. Vol. 5. P. 293-311.

36Byrnes C.I., Isidori A., Willems J.C. Passivity, feedback equivalence, and the global stabilization of minimum phase nonlinear systems // IEEE Transactions on Automatic Control. 1991. Vol. 36, №11. P. 1228-1240.

37Lin W. Feedback stabilization of general nonlinear control systems: A passive system approach // Systems & Control Letters. 1995. Vol. 25, №1. P. 41-52.

38Lin W. Global asymptotic stabilization of general nonlinear systems with stable free dynamics via passivity and bounded feedback // Automatica. 1996. Vol. 32, №6. P. 915-924.

используя также технику ограниченной обратной связи.

Мотивацией для распространения упомянутых выше результатов о глобальной асимптотической стабилизации аффинных (17) и нелинейных (18) автономных систем на нестационарные системы

х = f(t, ж,и), it, ієГ, и Є Rr\ (19)

послужил тот факт, что теорема (Барбашина-Красовского) о глобальной асимптотической устойчивости, в которой используется функция Ляпунова с нестрого отрицательной производной, справедлива не только для стационарных систем, но и для нестационарных систем с периодическими коэффициентами. Основная сложность при построении данной теории для нестационарных периодических систем заключается в распространении слабых условий Джарджевича-Куинна на такие системы. Решению этой проблемы посвящена III глава диссертации.

Для решения задач стабилизации аффинных (в частности, билинейных) и общих нелинейных систем с дискретным временем

x(t + l) = f(x(t),u(t)), GZ, iGin, иєГ, (20)

также используется теория пассивных систем и методика демпфирующего управления, см. работы J. Tsinias39, В. К. Ghosh40, С. I. Byrnes41'42, W. Lin43'44, L. Griine, F. Wirth45, A. Bacciotti, A. Biglio46 и др. В главе IV также рассматриваются эти вопросы. Получены новые достаточные условия стабилизации общих нелинейных систем (20), в частности, аффинных, билинейных, линейных.

Отметим также, что задачами стабилизации различных систем при различных предположениях в разное время занимались Э. Г. Альбрехт, И. В. Гай-шун, Ю. Ф. Долгий, С. В. Емельянов, С. К. Коровин, Н. Н. Красовский, А. П. Крищенко, Ю. С. Ледяев, Г. А. Леонов, В.М. Марченко, А. В. Метель-

39Tsinias J. Stabilizability of discrete-time nonlinear systems // IMA Journal of Mathematical Control and Information. 1989. Vol. 6, №2. P. 135-150.

40Byrnes C.I., Lin W., Ghosh B.K. Stabilization of discrete-time nonlinear systems by smooth state feedback // Systems and Control Letters. 1993. Vol. 21, №3. P. 255-263.

41Byrnes C.I., Lin W. Losslessness, feedback equivalence, and the global stabilization of discrete-time nonlinear systems // IEEE Transactions on Automatic Control. 1994. Vol. 39. № 1. P. 83-97.

42Lin W., Byrnes C.I. KYP lemma, state feedback and dynamic output feedback in discrete-time bilinear systems // Systems and Control Letters. 1994. Vol. 23, №2. P. 127-136.

43Lin W. Input saturation and global stabilization of nonlinear systems via state and output feedback // IEEE Transactions on Automatic Control. 1995. Vol. 40, №4. P. 776-782.

44Lin W. Further results on global stabilization of discrete nonlinear systems // Systems & Control Letters. 1996. Vol. 29, №1. P. 51-59.

45Griine L., Wirth F. Feedback stabilization of discrete-time homogeneous semi-linear systems // Systems & Control Letters. 1999. Vol. 37, №1. P. 19-30.

46Bacciotti A., Biglio A. Some remarks about stability of nonlinear discrete-time control systems // Nonlinear Differential Equations and Applications. 2001. Vol 8, №4. P. 425-438.

ский, Ю. С. Осипов, И. Н. Сергеев, Е. Я. Смирнов, A.M. Тарасьев, А. А. Усова, А. А. Щеглова, В. D. О. Anderson, A. Ilchmann, F. R. Wirth, A. Bacciotti, C.I. Byrnes, F.H.Clarke, J.M. Coron, M. Malisoff, F. Mazenc, E.D. Sontag, A. Fradkov, A. Isidori, M. Krstic, W. Lin, H. Nijmeijer, E. Panteley, L. Praly, R. Sepulchre, A. Teel и многие другие авторы.

Цели и задачи. Целью диссертации является развитие теории и разработка новых методов стабилизации и управления асимптотическим поведением решений линейных, билинейных, аффинных, нелинейных систем управления с постоянными и переменными коэффициентами с непрерывным и дискретным временем. В диссертации исследуются следующие задачи.

  1. Исследуются задачи управления ляпуновскими инвариантами: (а) линейной нестационарной управляемой системы (3), замкнутой линейной обратной связью и = U{t)x\ (b) линейной нестационарной управляемой системы (7), (8), замкнутой линейной обратной связью (9).

  2. Исследуется свойство согласованности и задача управления спектром собственных значений линейной стационарной управляемой системы с неполной обратной связью (12) и билинейной стационарной управляемой системы (13).

  3. Исследуется задача равномерной глобальной асимптотической стабилизации нулевого решения нелинейной системы с периодическими коэффициентами (19), в частности:

(a) аффинной системы с периодическими коэффициентами

х = f0(t,x)+g0{t,x)u, let, х Є Мп, иеШг; (21)

(b) билинейной системы с периодическими коэффициентами

х = A{t)x+ (B(t,x) + G(t))u, it, ієГ, иєГ, (22)

В{і,х) = [Вг{і)х,..., Вгі^х], В,{і)є Mn{R), j =1^,0(1) = [Сгіі),... ,Gr{t)}-

  1. билинейной однородной системы с периодическими коэффициентами (11);

  2. линейной системы с периодическими коэффициентами (3).

  1. Исследуется свойство согласованности и задача управления спектром собственных значений линейной стационарной управляемой системы с неполной обратной связью с дискретным временем (15) и билинейной стационарной управляемой системы с дискретным временем (16)

  2. Исследуется задача глобальной асимптотической стабилизации нулевого решения нелинейной стационарной системы с дискретным временем (20), в частности, аффинной и билинейной системы.

Методология и методы исследования. На основе методики демпфирующего управления и с помощью техники ограниченной обратной связи

по состоянию в диссертации были разработаны новые методы равномерной глобальной асимптотической стабилизации нелинейной периодической системы (19), которые используют условия типа слабых условий Джарджевича-Куинна. В работе использовались методы асимптотической теории линейных систем, методы качественной теории дифференциальных уравнений, математической теории управления, теории устойчивости, функционального анализа, теории матриц, теории динамических систем, теории нелинейных систем управления.

Научная новизна. Все полученные в работе результаты являются новыми.

Основные результаты диссертации. Положения, выносимые на защиту.

  1. Введено определение свойства равномерной полной управляемости, которое распространяет определение Е. Л. Тонкова на системы с коэффициентами из более широкого класса, и установлена его взаимосвязь с определением Калмана. Для линейной управляемой системы в форме Хессенберга доказана равномерная полная управляемость в смысле введенного определения и в смысле определения Калмана; для соответствующей замкнутой системы получены новые достаточные условия глобальной управляемости ляпуновских инвариантов.

  2. Доказано, что свойство равномерной полной управляемости и равномерной полной наблюдаемости по Калману линейной нестационарной управляемой системы с наблюдателем, без дополнительных условий на ограниченность коэффициентов, обеспечивает глобальную управляемость верхнего центрального и верхнего особого показателей системы, замкнутой динамической обратной связью по выходу и, как следствие, равномерную стабилизацию замкнутой системы.

  3. Для линейной стационарной управляемой системы с неполной обратной связью и для билинейной стационарной управляемой системы исследовано свойство согласованности; в случае когда коэффициенты систем имеют специальный вид, получены необходимые и достаточные условия глобальной управляемости спектра собственных значений и доказано, что свойство согласованности является достаточным, а в определенных случаях и необходимым условием глобальной управляемости спектра.

  4. Получены достаточные условия равномерной экспоненциальной стабилизации квазилинейных управляемых систем с неполной обратной связью, в случае когда система линейного приближения является стационарной.

  5. На основе методики демпфирующего управления, с помощью оператора, который обобщает понятие коммутатора векторных полей на нестационарные векторные поля, развита теория и разработаны методы равномерной глобальной асимптотической стабилизации нулевого решения для нелинейных систем

управления с периодическими коэффициентами, в частности, для аффинных, билинейных и линейных систем.

  1. Доказано, что для билинейной однородной системы с аналитическими периодическими или постоянными коэффициентами с устойчивой по Ляпунову свободной динамикой свойство согласованности является достаточным условием равномерной глобальной асимптотической стабилизации нулевого решения.

  2. Введено понятие и исследовано свойство согласованности для линейных управляемых систем с неполной обратной связью и для билинейных управляемых систем с дискретным временем. Результаты о взаимосвязи свойства согласованности с задачей управления спектром собственных значений для линейных стационарных систем с неполной обратной связью и для билинейных стационарных систем переносятся на системы с дискретным временем.

  3. Получены новые достаточные условия глобальной асимптотической стабилизации нулевого решения для нелинейных автономных системы с дискретным временем, в частности, для аффинных и билинейных систем.

Теоретическая и практическая значимость работы. Работа имеет теоретический характер. Проблема построения стабилизирующего управления (стационарного или нестационарного) в линейных системах с неполной обратной связью (12) и (15), а тем более в билинейных системах (13) и (16), относится к трудным проблемам математической теории управления и до сих пор не является решенной полностью. Полученные в работе результаты об управлении спектром таких систем вносят существенный вклад в решение данной проблемы; найденные достаточные условия носят конструктивный характер и могут быть использованы для разработки численных методов стабилизации таких систем.

Различные методы теории нелинейных систем управления47 и геометрической теории управления , хорошо развитые для автономных систем, бывает затруднительно, а порой и вовсе невозможно применить, если система является нестационарной. Поэтому полученные в работе результаты о стабилизации нестационарных периодических билинейных, аффинных и общих нелинейных систем имеют значительную теоретическую ценность. Их практическая ценность обусловлена тем, что найденные достаточные условия типа управляемости являются эффективными (т. е. они выражены в терминах коэффициентов системы), и подтверждается большим количеством иллюстрирующих примеров. Полученные результаты могут быть использованы для дальнейшего исследования задач стабилизации нелинейных нестационарных

47Халил Х.К. Нелинейные системы. М.-Ижевск: РХД, Институт компьютерных исследований, 2009. 832 с.

48Аграчев А.А., Сачков Ю.Л. Геометрическая теория управления. М.: Физматлит, 2005. 392 с.

систем с непрерывным и дискретным временем.

Степень достоверности и апробация результатов. Результаты диссертации приведены в виде строгих математических утверждений, а также примеров, иллюстрирующих применение этих утверждений. Все результаты диссертации строго доказаны. Достоверность выводов и непротиворечивость полученных результатов подтверждается обоснованным применением строгих математических методов исследований, публикацией работ в открытой печати в ведущих рецензируемых изданиях и апробацией результатов диссертации. Результаты работы докладывались и обсуждались на следующих конференциях и семинарах: Международная конференция «Богдановские чтения по обыкновенным дифференциальным уравнениям» (Беларусь, Минск, 2005, 2010 гг.); Всероссийская конференция «Теория управления и математическое моделирование» (Ижевск, 2006, 2008, 2012, 2015 гг.); молодежная научная школа-конференция «Лобачевские чтения» (Казань, 2006 г.); Международная конференция «Дифференциальные уравнения и смежные вопросы», посвященная памяти И. Г. Петровского (Москва, 2007, 2011 гг.); Международный конгресс «Нелинейный динамический анализ», посвященный 150-летию А. М. Ляпунова (Санкт-Петербург, 2007 г.); Международная конференция «Колмогоровские чтения. Общие проблемы управления и их приложения» (Тамбов, 2007 г.); Международная конференции «Дифференциальные уравнения и топология», посвященная 100-летию Л. С. Понтрягина (Москва, 2008 г.); Международная школа-семинар «Нелинейный анализ и экстремальные задачи» (Иркутск, 2008 г.); Международная конференция «Динамические системы: устойчивость, управление, оптимизация», посвященная памяти Е. А. Барбашина (Беларусь, Минск, 2008, 2013 гг.); Международная конференция «Современные проблемы математики, механики и их приложений», посвященная 70-летию В. А. Садовничего (Москва, 2009 г.); IFAC Workshop on Control Applications of Optimisation (Finland, Jyvaskyla, 2009); Всероссийская конференция «Динамические системы, управление и наномехани-ка» (Ижевск, 2009 г.); Всероссийская конференция «Регулярная и хаотическая динамика» (Ижевск, 2010 г.); Международная конференция «Устойчивость и колебания нелинейных систем управления (конференция Пятницкого)» (Москва, 2010, 2012 гг.); семинар по качественной теории дифференциальных уравнений в Московском государственном университете (руководители семинара — профессор И. В. Асташова, профессор А. В. Боровских, профессор Н.Х. Розов, профессор И. Н. Сергеев; 2011, 2015 гг.); Международная конференция «XI Белорусская математическая конференция» (Беларусь, Минск, 2012); 5th IFAC International Workshop on Periodic Control Systems (France, Caen, 2013); Всероссийское совещание по проблемам управления (Москва, 2014 г.); Международная конференция «Динамика систем и

процессы управления» посвященная 90-летию со дня рожд. Н. Н. Красовско-го (Екатеринбург, 2014 г.); семинар отдела динамических систем Института математики и механики им. Н. Н. Красовского УрО РАН (руководители — член-корреспондент РАН В. Н. Ушаков, профессор A.M. Тарасьев; 2015 г.); семинар по математической теории оптимального управления в Нижегородском государственном университете (руководители — профессор В. И. Сумин, профессор М. И. Сумин, 2015 г.); Ижевский городской семинар по дифференциальным уравнениям и теории управления (руководители семинара — профессор Е. Л. Тонков, профессор Н. Н. Петров; 2001-2015 гг.).

Публикации. Результаты диссертации опубликованы в работах [1-36]. Работы [1-25] опубликованы в ведущих рецензируемых научных журналах и изданиях: российских из Перечня ВАК [1, 2, 4-15, 17-25] и зарубежных [3, 16], входящих в Scopus. Все основные результаты диссертации получены автором лично. Теорема 24.1 из совместной работы [18] принадлежит диссертанту и соавтору Н.В. Максимовой в равной мере.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, включающих в себя 26 параграфов, заключения и списка литературы. Общий объем диссертации 293 страницы, библиографический список включает 231 наименование.

Управляемость системы в форме Хессенберга. Управляемость квазидифференциального уравнения

Для произвольного т достаточные условия ляпуновской приводимости системы (0.6) к «блочно-фробениусовой» форме, а точнее, ко второй канонической форме Люенберге-ра [197] (и как следствие, глобальной управляемости показателей Ляпунова) были получены в работах В. А. Воловича [225] и Е. Я. Смирнова [128-130] для систем с матрицей А(-) класса С2га_2(Е) и матрицей В(-) класса С2га_1(Е). В работах И. В. Гайшуна [12, 15] при га = 1 эти условия на гладкость коэффициентов были ослаблены; это позволило расширить класс систем (0.6), приводимых преобразованием Ляпунова к канонической форме (0.11). Тем не менее, в этих условиях все еще требуется условие равномерной управляемости. Здесь в 4 получены другие достаточные условия ляпуновской приводимости управляемой системы (0.6) к канонической форме (0.11) (они не требуют условия равномерной управляемости в смысле Сильвермана, Медоуза, но требуют условия равномерной полной управляемости по Калману).

Подход, использованный Калманом для стабилизации системы (0.6), развили японские математики М. Икеда, X. Маеда, Ш. Кодама в своей работе [179]. Они установили, что для системы (0.6) с измеримыми ограниченными коэффициентами равномерная полная управляемость по Калману равносильна равномерной стабилизируемости замкнутой системы (0.6) с произвольным показателем а 0. Это означает, что для любого а 0 существует U{t)} t Є К, такое, что для всех s Є Ш. и t s выполнено неравенство \Xu(t, s)\ N(a)e a yt s\ где число N(a) зависит только от заданного а; здесь Xu(t, s) — матрица Копій замкнутой системы (0.7) с U = U(t). Отсюда, в частности, следует, что верхний особый показатель Q(A + BU) и все характеристические показатели Ляпунова Aj(A + BU)} j = 1,гг, замкнутой системы (0.7) можно сделать меньшими любого наперед заданного отрицательного числа —а. Е.Л. Тонков доказал [133, 134], что для равномерно вполне управляемых почти периодических и рекуррентных систем с почти периодической или, соответственно, рекуррентной матрицей U(t) обратной связи имеет место аналогичная эквивалентность. Кроме того, в работах Е. Л. Тонкова [86, 133, 134] были установлены критерии равномерной полной управляемости по Калману.

В связи с этим Е. Л. Тонковым была поставлена задача о глобальном управлении показателями Ляпунова на основе свойства равномерной полной управляемости по Калману. Эта задача, а также другие задачи о глобальном управлении асимптотическими инвариантами были решены в работах С.Н. Поповой [112-114, 116, 117], а также в работах Е. К. Макарова, С.Н. Поповой [95, 96, 98].

В частности, был доказан следующий результат [117]: пусть А(-) кусочно непрерывна и ограничена наЖ, () кусочно равномерно непрерывна и ограничена на Ш, и система (0.6) равномерно вполне управляема в смысле Калмана; тогда полный спектр показателей Ляпунова системы (0.7) глобально управляем. В связи с этим результатом возникает вопрос о справедливости этого утверждения для системы (0.6) с коэффициентами из более широкого класса. Оказывается, что в этом случае критерий Тонкова равномерной полной управляемости по Калману (который используется при доказательстве данного результата С.Н. Поповой) может быть не выполнен. Возникает вопрос о том, при каких условиях на коэффициенты определение равномерной полной управляемости по Калману и критерий Тонкова совпадают, и каким из этих критериев следует пользоваться в том случае, когда данные свойства не совпадают. Эти вопросы исследуются здесь в 1 и 2.

Другой вопрос, который возникает в связи результатом С.Н. Поповой: найти какие-либо классы нестационарных систем, обладающих свойством равномерной полной управляемости. К примеру, система (0.11) в форме Фробениуса с ограниченными, а также с интегрально ограниченными (теорема 3.1) коэффициентами обладает свойством равномерной полной управляемости. Более общий класс систем образуют системы в форме Хессенберга (3.7). В таком виде могут быть записаны системы, эквивалентные квазидифференциальному уравнению [27]. Такие уравнения обладают многими свойствами, которыми обладают обыкновенные дифференциальные уравнения. Основные результаты первой главы, полученные в 3, 4, 5, относятся к системам в форме Хессенберга. Так, в 3 показано, что система в форме Хессенберга при некоторых естественных и необременительных условиях обладает свойством равномерной полной управляемости.

Наряду с задачами управления отдельными асимптотическими инвариантами рассматривались задачи (локального и глобального) управления всей совокупностью инвариантов преобразования Ляпунова [32, 33, 37, 65, 95, 109, 113, 135, 136]. Напомним некоторые понятия теории показателей Ляпунова.

Характеристики системы (0.8), которые не изменяются при преобразовании Ляпунова системы (0.8), называются ляпуновскими (асимптотическими) инвариантами. Примерами ляпуновских инвариантов являются свойства устойчивости, асимптотической (экспоненциальной) устойчивости, правильности системы, показатели Ляпунова, центральные показатели, особые показатели и т. д. Асимптотически эквивалентные системы имеют одинаковые ляпуновские инварианты.

Определение 0.2 [32, 95, 116, 135, 136; 98, с. 259]. Система (0.7) с измеримыми, интегрально ограниченными [11, с. 252] коэффициентами А(-), () обладает свойством глобальной ляпуновской приводимости, если для любой системы (0.13) с измеримой, интегрально ограниченной матрицей С(-) найдется измеримое и ограниченное управление U = U(t), і Є R, такое, что система (0.7) с U = U{t) асимптотически эквивалентна системе (0.13).

Если система (0.7) обладает свойством глобальной ляпуновской приводимости, то всякая (конечная) совокупность ляпуновских инвариантов системы (0.7) глобально управляема [116, теорема 21.4; 98, теорема 25.4], т.е. с помощью выбора допустимого управления данному набору ляпуновских инвариантов можно придать произвольные допустимые значения. Существует гипотеза о том, что условие равномерной полной управляемости по Калману системы (0.6) с ограниченными и кусочно (равномерно) непрерывными коэффициентами А(-), В(-) является достаточным для глобальной ляпуновской приводимости системы (0.7). Это утверждение доказано для периодических систем (С. Н. Попова [113; 98, теорема 28.1]); причем доказано и обратное утверждение. В общем случае вопрос о справедливости этой гипотезы остается открытым. Здесь в 5 получены некоторые результаты в этом направлении.

Управление спектром собственных значений

Замечание 4.1. Преобразование Ляпунова используется при исследовании поведения решений линейных систем дифференциальных уравнений при t — +оо. Поэтому, как правило, матрица Ляпунова L(t) рассматривается не на всей оси t Є R} а на полуоси X := [t, +оо). Кроме того, определения 1.3, 1.5 равномерной полной управляемости тоже можно переформулировать только для полуоси X. Для этого надо потребовать выполнение неравенств (1.12), (1.13) (соответственно, (1.19), (1.20)) не для всех г Є R, а для всех г Є X. Ясно, что при этом все установленные выше результаты сохраняются. В дальнейшем мы продолжаем рассматривать случай, когда t принадлежит всей оси К, т.е. предполагаем преобразование Ляпунова двусторонним, учитывая при этом, что все результаты тривиально переносятся на случай, когда t принадлежит полуоси X.

Ляпуновское преобразование сохраняет свойство г?-равномерной полной управляемости (в смысле любого из определений 1.3, 1.4, 1.5). Для определения 1.3 это следует из того, что матрицы Калмана Wx(t,s) и Wy(t,s) систем (4.1) и (4.3) соответственно связаны равенством Wy(r, т + г?) = L(T)WX(T, Т + i9)LT(r), из ограниченности L(-) и L l{-) и свойства (а) предложения 1.2. Для определения 1.5 рассуждения аналогичны. Пусть управление в системе (4.1) строится в виде линейной обратной связи и = Ux, где U = U(-) — измеримая ограниченная функция. Замкнутая система принимает вид x=(A(t) + B(t)U)x. (4.4) В системе (4.4) управляющими воздействиями являются коэффициенты матрицы U. В задачах управления асимптотическим поведением системы (4.4) требуется с помощью выбора матрицы [/() обеспечить требуемые асимптотические свойства замкнутой системы (4.4). Обозначим через Xjj(t,s) матрицу Копій системы (4.4).

Определение 4.2 [135, 33, 116; 98, с. 253]. Система (4.4) называется глобально достижимой на отрезке [г, т + $], если для любой матрицы Н Є Мп, det Н О, найдется измеримое ограниченное управление U : [г, г + і)] — Mm n такое, что Хи(т + $,т) = Н; (4.5) г?-равномерно глобально достижимой, если для любых а 0 и /3 0 найдется / 0 такое, что для любой матрицы Н Є Мп, удовлетворяющей неравенствам \Н\ аи det Н /3, и для любого г eR найдется измеримое управление U : [г, т + г?] — Мт п, \\и\\с([Т,т+Щ) I, такое, что выполнено равенство (4.5); равномерно глобально достижимой, если существует і) 0 такое, что система (4.4) является г?-равномерно глобально достижимой. Вместо равенства (4.5) в определении 4.2 можно написать равенство Хи(т + її,т) = Х(т + її,т)Н. (4.6) Действительно, в силу интегральной ограниченности матрицы А(-) выполнены неравенства \Х(т + i9,r)\ xi, detX(r + i9, т) х2 0 равномерно по г Є Ш, поэтому условия (4.5) и (4.6) эквивалентны.

Несложно доказывается следующее утверждение: если система (4.4) глобально достижима на [г, т + Щ, то соответствующая система (4.1) вполне управляема на [Т,Т + $]. Доказательство дано в [116, теорема 21.1; 98, теорема 25.1] для системы с кусочно непрерывными ограниченными матрицами А(-), В(-). При этом в определениях полной управляемости и достижимости управления выбираются из класса кусочно непрерывных функций. При доказательстве используется эквивалентность 1 4 2 предложения 1.1. Для системы с А Є Li([r, г + г?]), В Є Li([r, г + г?]) эта эквивалентность также имеет место (см. замечание 2.3). Доказательство сохраняется для управлений из класса измеримых функций. Обратное утверждение не верно. Это показано в [116, пример 21.1; 98, пример 25.1].

Далее, свойства равномерной глобальной достижимости и равномерной полной управляемости связаны следующим образом.

Теорема 4.1. Пусть система (4.4) г?-равномерно глобально достижима. Тогда соответствующая система (4.1) г?-равномерно вполне управляема в смысле определения 1.5. Если дополнительно () интегрально ограничена с квадратом нормы, то система (4.1) г?-равномерно вполне управляема по Калману. Теорема 4.1 доказана в [116, теорема 21.2; 98, теорема 25.2] для системы с кусочно непрерывными ограниченными матрицами А(-), В(-) в классе кусочно непрерывных управлений. Доказательство без труда переносится на системы с интегрально ограниченными коэффициентами в классе измеримых управлений. Пример 25.1 [98] показывает, что обратное утверждение к теореме 4.1 не верно, однако свойство г?-равномерной полной управляемости может быть достаточным для г?і-равномерной глобальной достижимости, где "&і "д. Сформулируем следующее утверждение.

Утверждение 4.1. Пусть А(-) кусочно непрерывна и ограничена, () кусочно равномерно непрерывна и ограничена. Пусть система (4.1) равномерно вполне управляема. Тогда система (4.4) равномерно глобально достижима.

Утверждение 4.1 доказали Е. К. Макаров, С.Н. Попова [95] (см. также [116, теорема 25.1; 98, теорема 29.1]) для п = 2, при этом из г?-равномерной полной управляемости следует 4г?-равномерная глобальная достижимость. Доказательство этого утверждения очень сложное. В общем случае, для произвольного п утверждение 4.1 не доказано. Однако для стационарных систем это утверждение доказано в работе [127] (см. теорему 4.3).

Следствия о стабилизации нелинейных периодических систем

Построим матрицы Ql = [/,... , Z"1] Є Мга(К), Q2 = [Щ, Щ ] Є Мп(К). Тогда V\ = C Qi, V2 = C Q2- В матрице Q2 «побочная» диагональ (диагональ, идущая от левого нижнего угла матрицы к правому верхнему углу) состоит из единиц, элементы s-й побочной поддиагонали (то есть диагонального ряда, параллельного побочной диагонали и расположенного на s рядов ниже побочной диагонали) равны (s-\-l)ds, а элементы выше побочной диагонали равны нулю. В матрице Q\ вторая побочная наддиагональ (то есть диагональный ряд, параллельный побочной диагонали и расположенный на два ряда выше побочной диагонали) состоит из единиц, остальные элементы равны нулю. Из вида (11.21) матрицы С следует, что при умножении матрицы С слева на некоторую матрицу (Qi или Q2) в этой матрице (Qi или Q2) вычеркиваются две последние строки и вторая строка. Таким образом, матрицы V\,V2 Є Мга_з,га(1К) имеют вид

Покажем, что rank V = п. Выберем матрицу V Є Мп(К), состоящую из первых п строк и п столбцов матрицы V. Для этого надо взять матрицу V\ и приписать снизу первые три строки матрицы V 2- Вычислим det V. В каждом из первых п — 4 столбцов матрицы V находится лишь одна единица, остальные элементы равны нулю. Раскладывая det V по первому столбцу, затем по второму и так далее до п — 4-го, получим

Теорема 11.4 [48]. Пусть коэффициенты системы (11.24) имеют вид (11.25). Тогда импликация 2 = - 1 в теореме 9.3 имеет место, если выполнено хотя бы одно из условий: (а) все собственные значения матрицы А равны; (Ь) п 3. Доказательство. Импликация 2 = - 1 при условии (а) следует из теоремы 8.11. Докажем эту импликацию при п = 2 (случай п = 1 тривиален). В силу условия rank Q = п необходимо следует, что г ) 2 и среди матриц Ai, I = 1,г, существует п линейно независимых. Пусть р = 2. Тогда в силу (11.25) матрицы А\ имеют вид Є2Сг , Є2 Є К2, Q Є К2, и среди векторов Q существует п линейно независимых, / = 1,г. Тогда система П = (А, А\,..., Аг) имеет вид системы Е = (А, В, С), где В = ег Є К2, С = [с\,... ,сг] Є М2;Г(К), и условия 2 и 1 теоремы 9.3 совпадают соответственно с условиями 2 и 1 тео ремы 9.2. Поскольку rank С = п, то в силу теоремы 11.1 импликация 2 = - 1 для системы Е верна, а значит, и для системы П верна. Аналогично рассматривается слу чай р = 1. В этом случае система П имеет вид системы Е = (А, В, С), где С = е\ Є К2, Б = [&і,..., Ъг] Є М2)Г(К) и rank Б = гг. При гг 3 утверждение 2 = - 1 для системы П, вообще говоря, неверно. Это показывает следующий пример. системы (12.1). Рассмотрим задачу экспоненциальной стабилизации решения x{t) невозмущенного процесса (12.2) системы (12.1) по принципу неполной обратной связи. Определение 12.1. Решение x{t) невозмущенного процесса (12.2) системы (12.1) называем экспоненциально стабилизируемым с показателем а 0 по принципу неполной обратной связи, если существует управление и = g(t,y), (t,y) Є Е+ х Ox(jj(t)), такое, что: (a) g(t,y(t)) = u(t); (b) решение x(t), t Є Ш+, замкнутой системы экспоненциально устойчиво с показателем а 0, т.е. для любого to Є К+ существуют N 0 и 8 0 такие, что для любого Хо Є Os(x(to)) решение x{t) замкнутой системы (12.3) с начальным условием x(to) = XQ определено при всех t Є [to, +оо) и удовлетворяет оценке

С помощью стандартной процедуры перехода от системы (12.1) к системе уравнений в отклонениях задача стабилизации решения x(t) невозмущенного процесса (12.2) сводится к задаче стабилизации тривиального решения x(t) = 0 тривиального невозмущенного процесса (x(t),u(t),y(t)) = (0,0,0), Є R+, приведенной системы вида (12.1), т.е. системы, в которой /(,0,0) = 0, h(t,0) = 0. Поэтому далее будем говорить о стабилизации тривиального решения тривиального невозмущенного процесса приведенной системы (или просто, тривиального решения приведенной системы).

Предположим, что система линейного приближения для приведенной системы определена и стационарна в окрестности тривиального невозмущенного процесса. Тогда система (12.1) имеет вид X = = Ах + Ви + p(t J iAJ Hi J ЄЕ+, и Є У = = С х + ф(і,х), xeRn, ye линейно независимы. Тогда для любого заданного а 0 тривиальное решение системы (12.4) является равномерно экспоненциально стабилизируемым с показателем а по принципу неполной обратной связи, причем стабилизирующее управление можно выбрать линейным по у в виде и = Qy, где Q Є Mm k — постоянная матрица.

Необходимые условия и достаточные условия согласованности стационарных дискретных систем

В этой главе теория согласованных систем, изложенная в главе II, построена для систем с дискретным временем. В 20 введено определение согласованности для линейной управляемой системы с неполной обратной связью x(t + l)=(A(t) + B(t)U(t)C (t))x(t), teZ, хЄКп, (TV Л) и для билинейной управляемой системы x(t+l) = (A(t)+u1(t)A1(t)+u2(t)A2(t) + ... + ur(t)Ar(t))x(t), teZ, хеКп, (IV.2) с дискретным временем. Установлены необходимые условия и достаточные условия согласованности нестационарных систем (IV.1) и (IV.2). Большинство результатов о свойстве согласованности, полученных для систем с непрерывным временем, имеет свои аналоги для систем с дискретным временем. Эта аналогия хорошо прослеживается. Однако для систем с дискретным временем имеются особенности, связанные с тем, что матрица Коши X(T,S) свободной системы может быть вырожденной, если матрица A(t) вырожденная при некоторых t. Эти особенности требуют дополнительного исследования. В 21 критерии согласованности систем (IV.1) и (IV.2), полученные в 20, формулируются для стационарных систем. В 22 подробно исследуется свойство согласованности для стационарных систем с дискретным временем. В 23 и 24 результаты о взаимосвязи свойства согласованности и глобальной управляемости спектра собственных значений стационарных систем, полученные в главе II, переносятся на системы с дискретным временем. Результаты параграфов 20-24 содержатся в работах [54-57, 64].

Получены новые достаточные условия глобальной асимптотической стабилизации нулевого решения нелинейной автономной системы с дискретным временем x(t + l) = f(x(t),u(t)), teZ, хЄЖп, иЄМГ, (IV.3) на основе подхода, предложенного в работе [194]. В 25 достаточные условия (W1) и (W2) работы [194] заменяются на более сильные условия (W1), (а), (6). Условие (6), в отличие от {W2)} выражено в терминах коэффициентов системы и не зависит от функции Ляпунова V. Получены следствия для аффинных систем. В 26 получены следствия из 25 о стабилизации системы (IV.3) с линейной свободной динамикой, в частности, для билинейных систем. Доказано, что свойство согласованности является достаточным условием для глобальной асимптотической стабилизации билинейных автономных однородных систем с устойчивым дрейфом. Эта теорема дополняет результаты 23 о стабилизации билинейных систем с дискретным временем. Результаты параграфов 25, 26 содержатся в работах [58, 63].

Для нестационарных линейных управляемых систем с дискретным временем, замкнутых по принципу линейной неполной обратной связи, и для билинейных управляемых систем с дискретным временем, однородных по фазовой переменной, введено определение согласованности и установлены необходимые условия и достаточные условия согласованности. Результаты параграфа содержатся в работах [54, 56].

Определение и критерии согласованности. Рассмотрим линейную нестационарную управляемую систему с дискретным временем x{t + 1) = A{t)x{t) + B{t)u{t), t Є Z, хЄКп, и Є Кт, (20.1) y{t) = C {t)x{t), teZ, уЄКк. (20.2) Здесь К = С или К = К. Пусть управление в системе (20.1), (20.2) строится в виде u{t) = U(t)y(t), где U : Z — Mm k(K). Тогда система (20.1), (20.2) переходит в замкнутую систему x{t + l) = (A{t) + B{t)U{t)C {t))x{t), teZ. (20.3) Рассмотрим также билинейную нестационарную управляемую систему с дискретным временем x(t + l) = (A(t)+ui(t)Al(t)+u2(t)A2(t) + ... + ur(t)Ar(t))x(t), teZ, хеКп. (20.4) Система (20.4) имеет более общий вид по сравнению с системой (20.3). Обозначим через X{t,s), t s, матрицу Копій соответствующей системам (20.3) и (20.4) невозмущенной однородной системы, т. е. системы с нулевым управлением: x(t + l) = A(t)x(t), teZ. (20.5)

Имеем: X(t, s) = A{t - l)A{t -2) A(s) при t s, и X(t, s) = I при t = s. Под промежутком [to,ti), где to,ti Є Z, to t\, понимается совокупность целочисленных точек вещественного полуинтервала [to, ti), то есть множество точек to, to + 1, , t\ — 1.

Определение 20.1 [56]. Система (20.3) (система (20.4)) называется согласованной на промежутке \to,t\), если для всякой матрицы G Є Мп(К) найдется управление U(t) Є Mm k(K) (соответственно u{t) = (u\(t),... ,ur(t)) Є Kr), t Є [to,t\), такое, что решение матричной системы

Если система (20.4) имеет вид (20.3), т.е. г = тк, Ai(t) = bi(t)c (t), I = 1,г, і = 1,т, j = 1,к, где bi(t) — столбцы матрицы B(t), c (t) — строки матрицы C (t), то определение согласованности и все последующие утверждения о свойстве согласованности для системы (20.4) будут совпадать с определением согласованности и соответствующими утверждениями о свойстве согласованности для системы (20.3).