Введение к работе
Актуальность темы. В современной математической гидродинамике и особенно в ее приложениях возникает важная задача о поведении внутренних гравитационных и гироскопических волн во вращающейся или стратифицированной жидкости, в том число в линейном приближении.
В большом число работ, начиная со знаменитых работ С.Л.Соболева и его учеников по вращающейся жидкости ( см. /1/-/4/ ) была построена достаточно полная теория распростронония гироскопических волн, описываемых системами, гидродинамики идеальной, а затем вязкой сжимаемой и несжимаемой вращающихся жидкостей в линейном приближении. Эти исследования качественных свойств решений при неограниченном возрастании срсмсни привели к возникновению ряда новых научных направлений з теории дифференциальных уравнений в частных производных, а том число, в спектральной теории операторов в пространствах о индефинитной метрикой. Были исслодованны бистро осцилирующио решения задачи Коши и начально-краозых задач в неограниченных областях при / -> » .
Всо эти задачи характеризовались том, что в системы гидродинамики входили члены характеризующие наличие внутренних гироскопических роли, возникающих или от вращения ззмли или от вращения тела, заполненного жидкостью ( волчок),
Другой тип внутренних волн, возникающих о жидкости, характеризуется наличном гравитационных сип и описывается системами уравнений для стратифицированных жидкостей, когда нооднородность а жидкости вызвана шгатностной стратификацией. Отметим,
1 .Соболев СЛ. О движении симметрического волчка с полостью, наполненной «кдкостыо. Прикладная механика и тзхиическаа физика, 1S80, № 3, стр. 20-SS.
Э.Мвелемникоеа 0. Н. йшюэ предстеапониэ и асимптотика при t ~* решения Задачи Коши линеаризованной сдестемы ерйцзющзйея сжимаемой жидкости. ДАН СССР. 1Б69, т. 1&9№в.
З.Маслеиникова В. Н. О скорости гатухания вихря в вязкой жидкости. Труды МИАН СССР, т. 123. С. 46-72, 1973.
4.Маелвниикоеа D, Н., Гимиатуллия А. И. Спэктральныв свойства операторов для систем гидродинамики вращающейся ямдкости и иводикетвакност» предельной амплитуды, Сибирский Математический Журнал, т. 29, Na S, IB88.
что под стратифицированной жидкостью принято понимать жидкость, физические характеристики которой меняются лишь вдоль некоторого выделанного направления, например по высоте.
Для стратифицированных жидкостей до сих пор но построена столь
полная теория, как 8 случае вращающихся жидкостей. В этой связи отматим
прежде псего книгу /5/, где приводится вывод систем стратифицированных
жидкостей и монографию /6/, где подведены итоги исследований по
стратифицированной идеальной жидкости в линейной постановко, о
частности, построено фундаментальноа решение скалярного уравнения, к
которому приводится линеаризованная система идеальной
стратифицированной жидкости, изучена некоторые задачи диффракции и решены другие вопросы. Наиболее близкий по тематико рассматриваемой диссертации результат монографии /б/, есть построение фундаментального решения Задачи К'оши для скалярного уравнения в 81 , которое имеет вид
где Л^-частота Войсяля-Брента, W .
откуда след/ет, что затухание внутренних волн во doom 9ї происходит со
скоростью . В работе /7/ впервые изучена асимптотика решения при
t—>< нач.гльно-краевой задачи в полупространство для уравнения
гравитационно-гироскопических волн, которое учитывает как вращение
земли, та* и стратификацию по плотности. Отдельным разделом здесь стоят
задач* интрузии стратифицированной жидкости (см.,например, работу /8/ ).
Лредотавленная диссертация поеввщена математическому
У.Крехоиских Л.М., Гончаров В.8. Введение в механику сплошных сред.- М. ; Наука. 1982.
6 Габов С.А., Свешников А.Г. Задачи динамики стратифицированных жид костей.-М.:Наукэ. 1986.
7.Масла^икоез 8. Н., Петунии И. М. Асимптотика при / —> СО решения начально-граеаой задачи -вории ьнугренных волн. Дифференциальные Уравнения, т. 31, N» б, 1995.
8.Масленникова В. Н., Гиниатуллин А. И О задаче интрузии в вязкой стратифицированной жидкости для трех-пространственных переменных. Математические Заметки, т. 51, вют. 4, 1992.
исследованию одной начально-краевой задачи для слабо-стратифицированной жидкости.
Целью работы является построение решений начально-краевой задачи для системы гидродинамики, описывающей слабо-стратифицмрооанную жидкость в слоо при наличии начальных возмущений, при стационарных внешних возмущениях, а также при периодических по времени внешних возмущениях. В работе исследуется поведение решения при неограниченном возрастании врзмони, находится предельная амплитуда колебаний в случая периодических внешних возмущений; исследуется ео единственность. Изучаются также некоторые общие вопросы рассматриваемой задачи, такие как, сходимость метода Галоркина, единственность решения в классе быстро растущих функций в неограниченной области.
Ьаагаоьишслааашшия. Применяются общие методы функционального анализа, метод Голеркина, методы преобразований Фурьа и Лапласа, метод построения функций Грина и метод Фурье.
Научная новизна. Все результаты, полученные а диссертации являются новыми. В работе впервые построены рзшония начально-краевой задачи в слоо для системы гидродинамики стратифицированной жидкости в трех случаях : 1) о неоднородными начальными возмущениями, 2) со стационарными внешними позмущониями, 3) о периодическими по времени внешними возмущениями. Do осех случаях изучено поведение решения при неограниченном возрастании ерзмзни. Один из главных результатов состоит в том, что скорость затухания начальных возмущений при стратификации та жо что при наличии кориолисов.ых сил, но только для уз\г>0 и Р{х>{>, в то
Ерамп как vЛ*v'*,, и Р\*,Ч стабилизируются к некоторым функциям, зависящим от х. Другой важный полученный результат необычен : при
стационарных внешних возмущениях пола скоростей растет при t~^5 , а. если наложить достаточные условия для стабилизации, то течение будет отсутствовать при полученных стационарной плотности и давлении. Доказаны теоремы единственности решения о классе быстро растущих функций а неограниченных областях и обоснована примзнимость Метода Галеркнма.
Роахтііна^аіи-ілйі№.адішіекйалі0нн.о.сть. Работа имеет теоретический характер. Результаты диссертации могут найти применение в практических задачах динамики атмосферы и океана, гдэ нужно учитывать появление внутренних гравитационных волн.
Аш.обдциЯ-Райоїьи Основные результаты диссертации докладывалиоь на семинара кафедры дифференциальных уравнений и функционального анализа Российского Университета дружбы народов и на научных конференциях факультета физико-математических и естественных наук РУДН.
Пу&шшши. Основные результаты диссертации опубликованы в в работах, список: которых приведен в конце реферата.
Структура и объем диссрртрциИп Диссертация состоит из введения, 4 глав, разбитых на параграфы и списка литературы, содержащоло 46 наименонаний,
Общий объем диссертации составляет 101 страницу машинописного текста.