Введение к работе
Актуальность работы В настоящей работе исследуются свойства решение некоторых дифференциальных уравнений, возникающих в химической кинетике, оптике и при описании других физических явлении. Качественное исследование начальной или краевой задачи для дифференциального уравнения включает в себя исследование существования и единственности решения задачи и его зависимости от начальных и краевых условий задачи, исследование свойств решений (наличие корней, асимптот и др.) и, если коэффициенты уравгения и условия задачи зависят от параметров, то исследование зависимости решения от параметров задачи.
Хорошо известны примеры задач Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений, уравнений в частных производных первого порядка и нелинейных уравнений теплопроводности, решение которых существует лишь на конечном интервале и не продолжимо на больший интервал.
Краевые задачи для уравнения Пуассона с нелинейно зависящей о і іеизвестной функции правой частью могут не иметь нетривиальных классических решений. В работе СИ. Похожаева показано, что суще-Л'вование решения некоторого класса краевых задач накладывает определенные условия на нелинейную функцию.
Расширение понятия решения задачи может принести к неедннствен-юсти решения и для справедливости теорем единственности н< обхопімо сужать классы рассматриваемых решений, подчиняя допустимые іешешія дополнительным условиям. Примеры задач Коши для гидродинамических уравнений Навье-Стокса и уравнений Эйлера, имеющих іе единственное обобщенное решение, предложены в работах О.Л. Лады-чснской и С.Н. Кружкова соответственно.
В теории дифференциальных уравнений с частными производными звестен ряд задач, для которых отсутствует непрерывная зависимость ешення задачи Коши от начальных данных задачи.
В данной диссертации проводится исследование описанного выше руга вопросов для некоторых нелинейных уравнении, возникающих ри приближенном описании явлений диффузии, нелинейной он піки, имических реакций, динамики намагниченности магнетиков и друт*. ффектов нелинейной физики. Целью настоящей работы является:
1. Исследование множества решений краевых задач для нєкіуіоьчдп ласса нелинейных обыкновенных дифференциальных vpauiic-iinH ігіо-зго порядка и изучение качественных свойств эГНХ решений.
— 4 —
2. Исследование связи между решениями нелинейного уравнения
с частными производными первого порядка типа Гамильтона-Якоби
и- + F(x,ur,u) = 0, (x,t) Є Я" х (0,Т) и стационарными точками инте
грального функционала действия, заданного па пространстве функций
С\%Т],1?1) соотношением S{x,T) = S{x,t)\t=t, S(x,t) -= }(p(t)x{t) -
F(x(t),p{t),S(x,t))dt, тЄ[0,Т].
3. Построение модели твердого магнетика и вывод замкнутой системы
уравнений движения одночастнчной функции распределения системы
частиц магнетика на основании принципа среднего поля - уравнений
среднего поля (УСП). Изучение свойств классических и обобщенных ре
шений задачи Коши для УСП, исследование зависимости решений от
параметров задачи. Доказательство корректности задачи с начальными
условиями. Обоснование применимости УСП для описания движения
модели.
Научная ноиизна
1. Доказано существование счетного множества решений краевой
задачи для нелинейного на полупрямой (0, -)-оо) и на отрезке [г, R], 0 <
г < R < Ч-оо с нелинейной функцией достаточного общего вида, рассмо
трение которого требуется для исследования физических проблем.
2. Получены уравнения, определяющие стационарные точки функци
онала, заданного неявно соотношением
S(x,T) = lL(x{t),x(t),S(x,t),t)dt.
Предложено некоторое обобщение связи между уравнениями тина Гамнлілона-Якоби и вариационными задачами для случая функции Гамильтона, явно зависящей от неизвестной функции.
-
Предлагается модель твердого магнетика, обобщающая модель векторного поля намагниченности. В указанной модели состояние магнетика задается одночастнчной функцией распределения частиц магнетика по значениям координат частиц в пространстве и значениям магнитного дипольного момента (МДМ); движение модели мгннетикаопи-сывает система уравнений среднего поля.
-
В предположении о гладкости парного потенциала взаимодействия МДМ доказаны теоремы о существовании, единственности и непрерывной зависимости решения от начальных условий. Дан строгий вывод УСП как уравнения, описывающего предельную динамику системы Л' классических МДМ в пределе при N —f со.
-
Установлено существование набора интегралов движения - сохра-
— 5 —
няющихся при движении функций состояния системы. Дано определение решения задачи с начальными условиями для УСП с сингулярным потенциалом и доказано, что для ограниченных в существенном начальных данных так определенное решение существует единственно и непрерывно зависит от начальных данных. Научно-практическое значение
-
При доказательстве теорем 1.1-1.3 о существовании решений краевых задач предложен и обоснован алгоритм применения численных методов для решения широкого класса начальных и краевых задач для нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений.
-
В главе 2 предложен метод исследования вариационных задач для некоторого класса определенных на множестве кривых C'ffOjT], Я") интегральных функционалов. Использование функционалов указанного вида позволит расширить класс систем обыкновенных дифференциальных уравнений и уравнений с частными производными первого порядка, решения которых допускают описание с помощью вариационного принципа Гамильтона. В частности, с помощью предложенных функционалов можно дать вариационное описание решений дифференциальных уравнений движения некоторого класса диссипативных систем и систем, движение которых зависит от определяемых предысторией системы параметров.
-
В главе 3 предложена модель магнетика, являющаяся обобщением известной в литературе модели магнетика, состояние которого определяется векторным полем намагниченности в области, занимаемой магнетиком. В работе дано математическое обоснование и указана степень соответствия предложенной модели к описанию движения твердого магнетика как совокупности большого числа неподвижных в пространстве классических магнитных дипольных моментов.
Полученные в работе результаты о корректности задачи Коши для системы уравнений движения модели служат обоснованием применимости численных методов (например, метода частиц) для моделирования движения состояния магнетика с помощью ЭВМ.
При изучении задачи о движении взаимодействующих МДМ в работе были предложены методы исследования, которые могут оказаться полезными при изучении задачи Коши для системы уравнений Власова-Пуассо>'а.для частиц с парным потенциалом взаимодействия с сингулярностью выше, чем в законе Кулона.
Апробация работы, публикации Основные результаты диссертации докладывались на следующих конференциях и семинарах, на се-
6 —
минарах Лаборатории теоретической физики ОИЯИ (Дубна), на Международной Школе "Geometrical and Algebraical Methods in Modern Physics" (Крым, 1993 г.), на семинаре отдела теории функций МИАН, на семинаре "Математические задачи теорфизики и механики" и семинаре кафедры ьысшей математики и МФТИ, на Международном семинаре "Дифференциальные уравнения н их приложения" (Самара, 1996 г.), на научной конференции, посвященной 50-летию МФТИ и 199G г., на Международной конференции "Квантовая теория поля и гравитация" (Томск, 1997 г.). По теме диссертации опубликовано 0 работ.
Структура її объем работы: диссертационная работа состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы из 95 наименований.
