Введение к работе
Актуальность темы. Работа посвящена фундаментальной проблеме изучения качественных свойств решений краевых задач для эллиптических и параболических уравнений в неограниченных областях. В диссертации рассматривается довольно широкий круг вопросов, взаимосвязанных как по постановке проблемы, так и по методам исследования. Не вдаваясь в детали, их можно разбить на следующие четыре группы: классы единственности и вопросы убывания при удалении аргумента на бесконечность решений эллиптических уравнений, классы единственности и вопросы стабилизации при t —> оо решений параболических уравнений в неограниченных областях.
Известны работы Е.М. Ландиса, О.А. Олейник, В.А. Кондратьева, ГА. Иосифьяна, И.Н. Тахвелидзе, А.Е. Шишкова, А.Ф. Тедеева, Г.П. Панасенко, в которых доказываются теоремы типа Фрагмена - Линде-лефа, устанавливается принцип Сен - Венана или выделяются классы единственности решений для эллиптических уравнений. Перечисленные утверждения, несмотря на внешние различия, характеризуют близкие качественные свойства решений эллиптических уравнений.
В работах О.А. Олейник, ГА. Иосифьяна доказана теорема Фрагмена - Линделефа для решений бигармонического уравнения с условием Дирихле на границе неограниченной области Г2, лежащей в полуплоскости х > 0. На ее основе в терминах геометрической характиристики, рассматриваемой на сечении области Q гиперплоскостью х = г, г > 0, установлена теорема единственности решения.
Для полигармонического уравнения И.Н. Тавхелидзе получены априорные оценки решений задачи Дирихле, на основе которых исследовано поведение решений и их производных вблизи нерегулярных точек границы и в окрестности бесконечности, доказаны теоремы единственности в неограниченных областях и теоремы типа Фрагмена - Линделефа.
А.Е. Шишковым установлены энергетические априорные оценки решений задачи Дирихле для квазилинейных эллиптических уравнений высокого порядка в неограниченных областях с некомпактными границами. На основе этих оценок доказаны альтернативные теоремы типа Фрагмена - Линделефа о поведении решений на бесконечности.
В работе В.А. Кондратьева, И. Копачека, Д.М. Ленвеншвима, О.А. Олейник (Труды МИ АН, 1984) получен точный принцип Сен - Венана для решений бигармонического уравнения с условием Дирихле на гра-
нице неограниченной области Q плоскости 1^- С его помощью доказана единственность решения в классе функций, имеющих степенной рост на бесконечности. При этом утверждается, что показатель степени не может быть увеличен, например, для областей типа угла. Там же установлена оценка, характеризующая поведение на бесконечности решения рассматриваемой задачи в неограниченной области Q.
О.А. Олейник, Г.А. Иосифьян (ДАН СССР, 1977) получили априорную оценку обобщенного решения смешанной задачи для линейного эллиптического уравнения второго порядка, аналогичную оценкам, выражающим принцип Сен-Венана в теории упругости. При этом рассматривались области с конечным числом ветвей, достаточно произвольным образом уходящими в бесконечность. Граница области поделена на три части, на которых ставятся краевые условия первого, второго и третьего типа, соответственно.
О.А. Олейник, Г.А. Иосифьян (Матем. сб., 1980) рассматривали вопрос о поведении на бесконечности решений линейных эллиптических уравнений второго порядка, удовлетворяющих на той части границы области, лежащей в полупространстве х > 0, которая принадлежит некоторой окрестности бесконечности, однородным условиям Дирихле, либо условиям Неймана, либо условиям периодичности. Ими получены априорные оценки, характеризующие поведение таких решений в областях с некомпактными границами при х —> +оо в зависимости от геометрических свойств области и поведения функции, стоящей в правой части уравнения.
Следует отметить, что цитированные выше результаты для эллиптических уравнений, авторы не подтверждали доказательством их точности.
К настоящему времени установлено большое количество разных классов единственности решений начально-краевых задач и задачи Коши для параболических уравнений и систем, в классах растущих функций. Здесь предлагается разделить эти классы единственности на две группы. Первую группу составляют тэклиндовские классы единственности, установленные для задачи Коши, но пригодные также для смешанных задач в неограниченных областях. Во вторую группу относятся геометрические классы единственности, определяемые ограничениями, выражающимися через геометрические характеристики области. Как правило, геометрические классы уже тэклиндовских, и лишь в случае быстросужающих-ся неограниченных областей и краевого условия Дирихле первые могут
оказаться шире вторых.
Теоремы единственности решения задачи Коши (Q = Ш.) для уравнения теплопроводности в классах растущих функций были впервые установлены Е. Хольмгреном, А.Н. Тихоновым, С. Тэклиндом. Для параболического уравнения высокого порядка О.А. Ладыженской получены теоремы единственности решения задачи Коши в классах экспоненциально растущих функций.
Обобщение теоремы С. Тэклинда на случай первой смешанной задачи и задачи Коши для общего вырождающегося параболического уравнения второго порядка и параболических систем методом введения параметра проведено О.А. Олейник, Е.В. Радкевичем. Для второй и третьей смешанных задач теоремы единственности установлены А.Г. Гагнидзе. Используя нелинейный аналог метода введения параметра, разработанного О.А. Олейник и ее учениками, В.Ф. Акулов, А.Е. Шишков получили оценки скорости роста обобщенных локально ограниченных решений задачи Коши и смешанных задач в неограниченных пространственных областях для различных классов квазилинейных вырождающихся параболических уравнений, как второго, так и высокого порядков.
Для параболических уравнений второго порядка в самосопряженной форме А.К. Гущиным в случае второй смешанной задачи, Ф.Х. Мукми-новым — для первой смешанной задачи, выделены классы единственности, близкие к классу С. Тэклинда.
Для решений линейного параболического уравнения второго порядка в нецилиндрической области со смешанными граничными условиями О.А. Олейник, Г.А. Иосифьян (УМН, 1976) получили априорные оценки, соответствующие принципу Сен-Венана в теории упругости. Классы функций, в которых начально-краевая задача в неограниченной области может иметь лишь единственное решение, определяются с помощью собственных значений некоторых эллиптических краевых задач, рассматриваемых на сечениях этой области некоторым семейством гиперповерхностей.
Отметим, что точность тэклиндовских и геометрических классов единственности для начально-краевых задач ранее не была установлена.
Исследованием поведения при больших значениях времени решений задачи Коши и смешанных задач для эволюционных линейных (и нелинейных) уравнений и систем занимались Ф.О. Порпер, В.Д. Репников, С.Д. Эйдельман, В.В. Жиков, В.П. Михайлов, А.К. Гущин, В.Н. Денисов, Ф.Х. Мукминов и др. Данная проблема ввиду многообразия свойств
эволюционных систем имеет много аспектов.
А.К. Гущин положил начало изучению поведения решений смешанных задач с начальной функцией, ограниченной в одной из Lp - норм, для параболических уравнений в неограниченных областях. Здесь более подробно коснемся работ данного направления, поскольку они наиболее близко примыкают к одной из рассматриваемых в диссертации задач. В случае второй смешанной задачи для уравнения второго порядка А.К. Гущиным выделена простая геометрическая характеристика (мера пересечения области Г2, лежащей в основании цилиндра, с шаром радиуса г), определяющая поведение решения при больших значениях времени. Как показано в работах А.К. Гущина, А.В. Лежнева, для уравнения теплопроводности в случае второй смешанной задачи с финитной начальной функцией происходит "равномерное распространение тепла" по области, состоящей из точек, удаленных от ее носителя на расстояние \fi.
В предположении ограниченности сечений нецилиндрической области плоскостями t = const Ю.Н. Черемных, О.А. Олейник, Г.А. Иосифьян получили оценки скорости стабилизации решения первой смешанной задачи для параболического уравнения второго порядка в терминах первого собственного значения соответствующего эллиптического оператора на этих сечениях. При условии, что нецилиндрическая область расширяется при возрастании времени, В.И. Ушаков установил справедливость результатов, близких к приведенным выше для случая третьей смешанной задачи; при этом рассматривалось краевое условие, обеспечивающее сохранение энергии.
Ф.Х. Мукминов, Л.М. Кожевникова в терминах некоторых геометрических характеристик получили точные оценки поведения решения первой смешанной задачи для параболического уравнения второго порядка. Кроме того, в [1], [3] этот результат обобщен на некоторый класс систем квазилинейных параболических уравнений второго порядка.
Для линейного параболического уравнения высокого порядка в дивергентной форме без младших членов Ф.Х. Мукминовым установлена оценка сверху решения первой смешанной задачи. Этот результат распространен А.Ф. Тедеевым на случай параболического квазилинейного уравнения высокого порядка в дивергентной форме.
Ф.Х. Мукминов, И.М Биккулов исследовали убывание решения задачи Риккье для уравнений 4-го и 6-го порядков. Ими получена оценка L^ - нормы решения при t —> оо и установлена ее точность по порядку стремления к нулю.
Отметим, что упомянутые классы единственности и оценки, характеризующие скорость убывания решений, рассматриваемых задач для эллиптических и параболических уравнений перестают быть точными для областей с "нерегулярным" поведением границы. Поэтому актуальной является проблема получения точных результатов для более широкого класса неограниченных областей. Кроме того, перечисленный круг вопросов не рассматривался для псевдодифференциальных эллиптических и параболических уравнений.
Цель работы:
исследование вопросов корректности постановки задачи Дирихле для эллиптических уравнений в неограниченных областях Q в классах растущих функций и поведения на бесконечности решений этой задачи в зависимости от геометрии Q;
изучение вопросов существования и единственности решений первой смешанной задачи для параболических уравнений в цилиндрических областях D = {t > 0} х Q в классе растущих функций и исследование зависимости поведения решений этой задачи при больших значениях времени t от неограниченной области Г2, лежащей в основании цилиндра.
Научная новизна. Основные научные результаты диссертации являются новыми и получены автором лично.
-
Для эллиптических уравнений второго порядка выделен класс единственности решений задачи Дирихле. Показано, что для областей с нерегулярным поведением границы он может быть шире, чем ранее известные классы единственности. Для широкого класса областей вращения построены гармонические функции, подтверждающие точность найденного класса единственности. Получены оценки скорости убывания на бесконечности решения рассматриваемой задачи с финитными данными в широком классе неограниченных областей и установлена точность этих оценок.
-
Для псевдодифференциальных эллиптических уравнений в неограниченных областях впервые выделен широкий класс единственности решений задачи Дирихле и доказана теорема существования с экспоненциально растущими данными в этом классе единственности. Получены оценки сверху, характеризующие убывание на бесконечности решения рассматриваемой задачи с финитными данными.
-
Для параболических уравнений второго порядка установлен класс единственности решений первой смешанной задачи, зависящий от геометрии неограниченной области Г2, который в ряде случаев шире известных. Для уравнения теплопроводности построены примеры неединственности, подтверждающие точность геометрического и теклиндовского классов единственности в широких классах областей вращения.
-
Для первой смешанной задачи в случае псевдодифференциальных параболических уравнений впервые выделен класс единственности теклиндовского типа. Установлен также другой класс единственности решений, зависящий от геометрии неограниченной области Q. Доказаны теоремы существования решений первой смешанной задачи с экспоненциально растущими начальными функциями в этих классах единственности.
-
В случае уравнения второго порядка расширен класс областей в которых установлены оценки скорости стабилизации решения и доказана их точность. Для псевдодифференциальных параболических уравнений впервые получены оценки сверху, характеризующие поведение решения при больших значениях времени рассматриваемой задачи с финитной начальной функцией.
Методика исследования. Идеи доказательства априорных оценок для решений эллиптических и параболических уравнений восходят к работам J.Knowles и R.Toupin, в которых для различных задач теории упругости обосновывался так называемый принцип Сен - Венана об экспоненциальном затухании деформации при удалении от деформированного торца упругого цилиндрического стержня.
В диссертации предложен новый способ доказательства оценок сен -венановского типа путем разделения неограниченной области на ограниченные части, в пределах которых происходит спад "энергии решения" в фиксированное число раз. Выделение таких частей связано с построением точных оценок первого собственного значения соответствующего эллиптического оператора через геометрические характеристики неограниченной области.
Точность классов единственности и оценок, характеризующих скорость убывания, решений рассматриваемых задач для эллиптических и параболических уравнений второго порядка доказывается с помощью
неравенства Гарнака, установленного J. Moser.
Теоретическая и практическая ценность. Диссертация носит теоретический характер. Результаты могут быть использованы в качественной теории эллиптических и параболических уравнений. Разработанные в диссертации методы могут применяться при расчетах диффузионных и тепловых процессов (распространение локализованных выбросов вредных веществ в водоемах и т.п.).
Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались автором на семинаре кафедры дифференциальных уравнений Московского государственного университета им. М.В. Ломоносова (рук.: проф. А.С. Шамаев, проф. В.В. Жиков), семинаре по дифференциальным уравнениям в частных производных Математического института им. В.А. Стеклова РАН (рук.: проф. В.П. Михайлов, проф. А.К. Гущин), семинарах по дифференциальным уравнениям математической физики (рук.: проф. Л.А. Калякин, проф. В.Ю. Новоокшенов) и по вычислительной математике (рук.: проф. М.Д. Рамазанов, проф. Я.Ш. Ильясов) Института математики с вычислительным центром Уфимского НЦ РАН, семинаре по неклассическим уравнениям математической физики Института математики им. С.Л. Соболева Сибирского отделения РАН (рук. проф. А.И. Кожанов), семинаре кафедры дифференциальных уравнений Башкирского государственного университета (рук. проф. Я.Т. Сул-танаев), семинаре лаборатории дифференциальных уравнений Стерли-тамакского филиала АН РБ (рук. проф. К.Б. Сабитов) и семинаре по дифференциальным уравнениям Стерлитамакской государственной педагогической академии (рук. проф. И.А. Калиев).
Отдельные результаты диссертации представлялись автором на международных конференциях: "Комплексный анализ, дифференциальные уравнения и смежные вопросы"(Уфа, 2000), "Дифференциальные уравнения и смежные вопросы", посвященная 103 - летию со дня рождения И.Г. Петровского (Москва, 2004), "Функциональные пространства, теория приближений, нелинейный анализ", посвященная 100-летию СМ. Никольского (Москва, 2005), "Тихонов и современная математика", посвященная 100-летию со дня рождения академика А.Н. Тихонова (Москва, 2006 ), "Дифференциальные уравнения и смежные вопросы", посвященная памяти И.Г. Петровского (Москва, 2007), "Дифференциальные уравнения, теория функций и приложения", посвященная 100-летию со дня рождения академика И.Н. Векуа (Новосибирск, 2007), "Теория функций, дифференциальные уравнения, вычислительная математика",
посвященная памяти А.Ф. Леонтьева (Уфа, 2007), "Дифференциальные уравнения и топология", посвященная 100-летию со дня рождения Л.С. Понтрягина (Москва, 2008), "Дифференциальные уравнения и смежные проблемы", посвященная 80-летию академика В.А. Ильина (Стерлита-мак, 2008), "Дифференциальные уравнения. Функциональные пространства. Теория приближений", посвященная 100-летию со дня рождения С.Л. Соболева (Новосибирск, 2008), "Современные проблемы математики, механики и их приложений", посвященная 70-летию ректора МГУ академика В.А. Садовничего (Москва, 2009).
Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (гранты №05-01-97912-р_агидель_а, №06-01-00354-а, №09-01-00440-а).
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в [1] - [9]. Из совместных работ [1], [3], [6] Ф.Х. Мукминову принадлежат постановки задач.
Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав и списка литературы, содержащего 134 наименования. Нумерация теорем, лемм, утверждений, следствий, формул ведется отдельно в каждом параграфе. Общий объем диссертации — 247 страниц.
Автор выражает глубокую признательность и благодарность научному консультанту Ф.Х. Мукминову за внимание к работе и поддержку, а также всем участникам упомянутых семинаров за полезное обсуждение результатов.
