Введение к работе
Актуальность теми, образование и развитие пятен турбулентности в стратифицированной жидкости представляет значительный интерес. При этом возникают задачи асимптотического поведения решений для систем гидродинамики с учетом стратификации при большом времени.
Под действием внешних сил в стратифицированной жидкости образуются внутренние гравитационные и инерционные волнн большого масштаба /например, внутренние волны о? взаимодействия приливных волн с меэомасштабнъми рельефными неоднородностями/ /1/. Их вза-имодействие и последующая потеря устойчивости /обрушение/ возникающих сдвиговых течений приводит к появлению областей - пятен перемешанной жидкости. Для этих пятен характерно возникновение развитой турбулентности сразу же лосле обрупения внутренней волны. Внутренние волны интенсивно излучаются турбулентними пятнами /2/ и в дальнейшем, взаимодействуя между собой, также могут обруиаться /порождать неустойчивые сдвиговые течения/, чтр приводит к появлению новых пятен турбулентности меньшего масштаба. Эти образовавшиеся пятна интрузии, в свою очередь, излучают внутренние волны. Под термином "интрузия" будем понимать; как это принято, наличие неоднородности в плотности жидкости.
Другой причиной возни7"'овепия интрузии является существование в океане течений, неоднородных по температуре и, как следствие, по плотности, а также наличие придонной воды, внедрягсей-ся в толцу океана в некотором промежуточном слое, кап это имеет место при интрузии придонных вод Средиземного моря в Атлантический океан, Красного моря - в Индийский океан и, т.д. /1/.
Отметим, что, несмотря на достаточное количество работ, иссле-дущих системы гидродинамики стратифицированной жидкости с точки зрения физики, имеется существенный пробел в исследовании этих задач в рлатематическом смысле.
В работах /1/,/3/,/4/ установлено, что величина скорости расте-калия пятна уменьшается от порядка \ до «*J \,
-
Баренблатт Г.И. Динамика турбулентных пятен и интрузии в устойчиво стратифицированной жидкости // Изв. АН СССР. Физика атмосферы и океана.-1978. 2,-0.195-205.
-
Никишов В.И.,Стецекко А.Г. Образование внутренних волн // Гщгоо-механика.-1975.-Вып.32.-С.21-27.
В работе /5/ было построено решение задачи об интрузии в идеальной линейно стратифицированной жидкости для двух пространственных переменных, для которого была доказана асимптотика
т.е. амплитуда внутренних волн, генерируемых коллапсом интрузии, затухала как i,"^2, при Ъ > О
Двумерная задача интрузии для вертикального сечения вязкой стратифицированной жидкости впервые была рассмотрена в работе /6/, где исследовалось пятно интрузии, заключенное в круге и, в частности, для поля скоростей была получена асимптотика вида
и(<,г,0=0(О , t
-^ ос?
Однако, ни в одной из работ, посвяяенных задаче об интрузия, не рассматривался до настоящего времени случай трех пространственных переменных с учетои вязкости, где бн изучалось асимптотическое поведение решения при t, -^tw» в некотором удалении от границы пятна интрузии. Не был также рассмотрен практически важный для стратифицированной жидкости случай полупространственпой начально-краевой задачи. Также ранее не была исследована единственность решений соответствующих задач с разрывными начальными данными. Эти и другие вопросы исследуются в диссертации.
Исследование свойств решений многочисленных задач гидродинамики вращающейся жидкости как с учетом, так и без учета вязкости, было проведено в многочисленных работах В.Н.Масленниковой. В частности, в работе /7/ установлено, что в релении задачи Коаи для вязкой вращающейся жидкости поле скоростей убывает при -t-»^
как */.%. , причем р полученной асимптотике убывание порядка
'/-t'^ происходит за счет вязкости, а диссипация энергии, вносимая членом Кориолиса, имеет порядок ^/b \ таким образом, общее рассеяние энергии пред^.авляет обой результат слияния двух факторов - вязкости и вращения. Для стратифицированной вязкой
Попов В.А. Развитие области частично перемешанной жидкости в тонкослоистой стратифицированной среде // Изв. Ail СССР., Физика атмосф. и океана.-1986.-Т.22, > 4.-С.389-394. Беляев B.C. ^ затухании турбулентности в пятне при его растека-
яидкости тако!* результат до настоящего времени отсутствовал.
В диссертации доказывается, в частности, что поле скоростей имеет порядок убывания 1 /, syz при -^ -^, ы? во внешности
некоторой окрестности пятна интрузии. Если рассматривать по отдельности скорость убывания решений задач гидродинамики вязкой жидкости /без учета стратификации/ и стратифицированной жидкости /без учета вязкости/? то мы получим, что в первом случае скорость
диффузии волн имеет порядок убывания /t.3''1 /?/, а во втором случае - порядок /i. . Таким образом, скорость затухания волн за счет кориолисовых сил и за счет сил гравитации имеет один и тот яо порядок в вязкой жидкости, что является ванным результатом диссертации.
Цель работы. Настоящая работа имеет своей целью исследование качественных свойств и асимптотического поведения при \_ —> о
решения задачи об интрузии в вязкой стратифицированной жидкости для трех пространственных переменных в случаях всего пространства К, к полупространства R.+ и установление единственности решений соответствующих задач в классах растущих функций с разрывны начальными данными, а также изучение вклада стратификации в диссипацпс энергии внутренних гравитационных и инерционных волн в вязкой жидкости в трехмотаом случае.
кии в устойчиво стратифицированной жидкости // Океанология.- З.-С.436-440.
-
Стурова И.В. Внутренние волны, генерируемые локальными возмущениями в линейно-стратифицированной жидкости конечной глубины // Журнал ПМТФ.-1978.-Д 3.-С.Р1-69.
-
Глушко А.Во Асимптотика при \ -» ^ решения задачи коллапса зоны интрузии в вязкой стратифицированной жидкости // Математические заметки.-1993.-Т.53, & 1.
-
Масленникова В.Н. О скорости'затухания вихря в вязкой жидкости // Труды М1АН СССР.-1973.-Т.126.-С.46-72.
-
Бреховск : Л.М.,Гончаров В.В. Введение в механику сплошных сред.- М.: Наука , 1982,- 336 с.
Методика исследования. РешеиЕ0 поставленной ?адачи строятся
при поиощп преобразования Фурье, доказывается его представимость в вадо свертки фундаментального решения с разрывными начальными данными. При исследовании компонент решения на непрерывность используется теория интегралов типа потенциала.
При изучении рассиатрив&еьах задач не применяется традиционное сведение системы уравнений к одному уравнению более высокого порядка, как это делается обычно при исследовании внутренних волн в стратифицированной жидкости без учета вязкости, так как используемое при этой методе повызанив порядка производной искомой функция требует от ресения исходной задачи повышенной гладкости по і. и Ц , что в нашем случае но мокот быть достигнуто ввиду разрыва начальных функций. Поэтому свертка фундаментального решения с начальной функцией представляется в виде суммы объемного и поверхностного потенциалов. Наличие последних обусловлено разрывом начальных данных. Отметим, что разрыв начальных данных вло-чот за собой отсутствие классического /в смысле непрерывных функций/ решения рассматриваемых задач, поэтому в диссертации используется теория обобщенных функций. При исследовании асимптотики построенных решений при {. -* «-> был использован метод стационарной фазы.
Научная новизна. ре3уЛьтаты работы является новими. В диссертации впервые исследуются свойства решений задач об интрузии в вязкой стратифицированной жидкости для случаев всего пространства [R, и полупространства %^ , также впервые устанавливается'вклад стратификации в диссипацию энергии в вязкой жидкости и впервые доказываются теоремы единственности решений поставленных задач.
Практическая и теоретическая ценность, полученные результаты и методы решения изуче. мнх задач могут найти применение в дальнейших исследованиях задач гидродинамики стратифицированных жидкостей. В практическом отношений результаты, полученные в диссертации, позволяют глубже пс тть мехр.чизм диффузии волн в стратифицированной вязкой жидкости и могут быть использованы в конкретны.'' прикладных задачах динамики атмосферы и океана.
Апробация работы, оснощще результаты диссертации докладывались на семинаре кафедры дифференциальных уравнений и Функционального анализа Российского Университета дружбы народов п на Всесоюзных конф енцкях по современным методом качественной тео-4
рий дифференциальных уравнений в Воронеже в 1990 году и по теории операторов в Ульяновске в 1990 году. Кроме того, в течение ряда лет результаты диссертации докладывались на ежегодных конференциях молодых ученых и на научных конференциях физико-математических и естественных наук Российского Университета дружбы народов.
Публикации. осНОВ1Шв результаты диссертации опубликованы в работах автора 1 ~\ - [\ ~] .
Структура и объем диссертации. ^сатадяя состоит из введения, двух глав, каждая из которых содержит по два параграфа и списка литературы, содержащего 39 наименований. Общий объем диссертации составляет 142 страницы машинописного текста.
