Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Задача Коши для параболических дифференциальных уравнений с переменным оператором 15
1.1. Постановка задачи. Разрешимость в Cfr([0,l], Е) и Са ([0,1], Е) 15
1.2. Теорема о разрешимости в пространстве С г([О,\],Еа 0) 34
1.3. Приложения к главе 1 93
Глава 2. Нелокальная задача с постоянным оператором 98
2.1. Постановка задачи. Разрешимость в пространстве Ср/([0,1], Е) 98
2.2. Разрешимость в пространстве C fу([0,1], а/?) 103
2.3. Разрешимость в пространствах Са([0,1],Е) и С0аа([0,1],Е) 105
2.4. Приложения к главе 2 1
2.4.1. Параболическое функционально-дифференциальное уравнение с растяжением и сжатием пространственных переменных 108
2.4.2. Параболическое дифференциальное уравнение с нелокальным условием на ВО. 113 Глава CLASS 3. Нелокальная задача с переменным оператором 118 CLASS
3.1. Разрешимость в пространстве С ([0,1],Е) 118
3.2. Разрешимость в пространстве С0 ([0Д],а/?) 129
3.3. Разрешимость в пространствах Са([0,1],Е) и Q "([0,1],) 133
3.4. Приложения к главе 3 136
Список литературы 1
- Теорема о разрешимости в пространстве С г([О,\],Еа 0)
- Разрешимость в пространстве C fу([0,1], а/?)
- Параболическое функционально-дифференциальное уравнение с растяжением и сжатием пространственных переменных
- Разрешимость в пространстве С0 ([0Д],а/?)
Введение к работе
Актуальность темы. Изучение надземных месторождений нефти и газа, ряд задач механики жидкости, математической биологии, финансовой математики приводят к решению различных локальных или нелокальных краевых задач для параболических уравнений. Поэтому изучение этих задач не теряет своей актуальности. Коэрцитивная разрешимость - одно из актуальных направлений в теории дифференциальных уравнений с частными производными. А именно:
коэритивные неравенства широко применяются при изучении линейных задач (см.1);
коэрцитивность помогает изучить безусловно устойчивые разностные схемы (см.2,3,4);
коэрцитивность дает возможность построить разные аналитико-численные методы решения задач (см.1);
В литературе представлены различные результаты по точным оценкам, максимальной регулярности, коэрцитивной разрешимости. Классические результаты даны в работах О. А. Ладыженской, В. А. Солонникова, Н. Н. Уральцевой, П. Е. Соболевского и др.
Диссертационная работа посвящена коэрцитивной разрешимости параболических уравнений. Во-первых, изучается коэрцитивная разрешимость задачи Коши
V(t) + A(t)v(t) = f(t) (0 < ґ < 1), v(0) = v0 (1)
для дифференциального уравнения с действующим в банаховом пространстве Е линейным неограниченным, сильно позитивным оператором A(t), имеющим
не зависящую от t, всюду плотную в Е область определения D = D(A(t)) и
порождающим аналитическую полугруппу exp{-sA(t)}(s>0). Доказываются
абстрактные теоремы и рассматривается их применение. Во-вторых, исследуется коэрцитивная разрешимость нелокальных задач как с постоянным оператором
v'(t) + Av(t) = f(t) (0
так и с переменным оператором
V(t) + A(t)v(t) = f(t) (0<ґ<1), v(0) = v(X) + jU (0<Л<1) (3)
для параболических дифференциальных уравнений и приводятся приложения полученных абстрактных результатов.
1Ладыженская О.А., Солонников В.А., Уральцева Н.Н. Линейные и квазилинейные уравнения параболического типа. – М.: Наука,1967.
2Ашыралыев А. Исследование разностных схем для параболических уравнений в пространствах гладких функций // Дис. ... канд. физ.-мат. наук: 01.01.02. – Воронеж, 1983.
3Ашыралыев А., Соболевский П.Е. Теория интерполяции линейных операторов и устойчивость разностных схем // Тезисы докладов школы по теории операторов в функциональных пространствах. – Минск, 1982. – С.17–18.
4Ашыралыев А., Соболевский П.Е. Исследование устойчивости разностных схем в пространстве Гёльдера. – Воронеж: ВГУ, 1982. – Деп. в ВИНИТИ 12.04.1983, №1930-83.
Введем банахово пространство С^г(Е) = С^г([0,\],Е) (0<у
(t^y\f(t+r)-f(t)\E
\\С^{Е) II \\С(Е) 0
Здесь под С(Е) = С([0,\],Е) понимается банахово пространство определенных на [0,1] со значениями в Е непрерывных функций f(t) с нормой
II/II = max||/YY)|| .
г С(Е) о<*<1 J v /
Таким образом, при (5 = а и ^ = 0 пространство С^(Е) = С^([0,\],Е) (0 < а < 1) совпадает с пространством Гёльдера Са (Е) = Са ([0,1], Е) (0 < а < 1), для которого норма имеет вид
||/(ґ+г)-/(0||
і С111Л
А приу = (3 = а пространство С^а(Е) = С^а([0,\],Е)(0<а< 1) с нормой
11/11 =11/11 + )-/
V Ю*'а{Е) V \\С(Е) 0<t<tfT<i Xа
совпадает с пространством С^(Е) = С^([0,\],Е)(0<а<\), норма в котором имеет вид
ta\f{t+T)-f{t)\
С%{Е) С(Е) 0ТС
причем нормы этих пространств равномерно по а є (0,1) эквивалентны.
В случае произвольного неограниченного сильно позитивного оператора и любого банахова пространства Е коэрцитивная разрешимость задачи (1), (2) и (3) отсутствует в С(Е). Поэтому очень важно выделить функциональные
пространства, где эти задачи коэрцитивны.
Первые теоремы о коэрцитивной разрешимости для абстрактной задачи Коши получены в 1964 году в работе П. Е. Соболевского для пространств Cq(E) (0<а<1) и L ([0,\],Е) (\<р<<х>). В его работе5 коэрцитивная
разрешимость задачи Коши доказывается в пространстве С"(Е) при v0 gD(A).
В 1972 году В. П. Аносов и П. Е. Соболевский установили коэрцитивную разрешимость задачи Коши в пространстве Слободецкого Wp(E) = Wp([0,\],E)
(\<р<оо,0<а<-) (см.6). В 1974 году П. Е. Соболевский и Да Прато показали Р
коэрцитивную разрешимость той же задачи в пространствах С([0,\],Еаао) (0<а<1) и Ьр([0,\],Еар) (0<а<1,1Еар (0<а<1, 1
.а
5Соболевский П.Е. Неравенство коэрцитивности для абстрактных параболических уранений // ДАН СССР. – 1964. – Т. 157, №1. – С. 52–55.
6Аносов В.П., Соболевский П.Е. О коэрцитивной разрешимости параболических уравнений // Матем. заметки. – 1972. – Т. 11. – Вып. 4. – С. 409–419.
банаховы пространства, полученные вещественным методом интерполяции из пары Е и D(A) {D(A)^Ea <^Е) (см. , , ).
Эти результаты стали началом для полученных в дальнейшем результатов о коэрцитивной разрешимости. Коэрцитивная разрешимость задачи Коши в пространстве Са(Е) при Av0 = (0) доказана в работе А. Ашыралыева и П. Е.
Соболевского (см.10). В 1989 году А. Ашыралыев доказал коэрцитивность задачи Коши для параболического уравнения с постоянным оператором в пространствах С^,Т(Е) и С^,г(Еа„) = С^,г([0,1],Еа„) (0,0<а<1),
тем самым, в нормах этих пространств были получены коэрцитивные неравенства (см.11). Таковы основные результаты коэрцитивной разрешимости задачи Коши (1) для параболического дифференциального уравнения с постоянным оператором A(t) = A. Вопросы корректности прямых и обратных
задач для эволюционного уравнения с неоднородным слагаемым специального вида рассматривались в работе12.
Коэрцитивная разрешимость задачи Коши (1) для параболического дифференциального уравнения с переменным оператором в пространствах Гёльдера С(Е) с весом ta, Слободецкого W%(E) и в пространстве
С(Еа) = С([0,1],Еа) при 0<а<*<1 установлены в13,14,15.
В диссертационной работе исследуются коэрцитивная разрешимость задачи Коши (1) и нелокальных задач (2), (3) в пространствах С^,Т(Е) и С^,г(Еа„).
Доказываются коэрцитивные неравенства в нормах этих пространств.
Цель работы. Цель диссертации - изучить коэрцитивную разрешимость задачи Коши (1) и нелокальных задач (2), (3) для абстрактных параболических уравнений в пространствах гладких функций, расширить число функциональных пространств, где рассматриваемые задачи коэрцитивны.
7Соболевский П.Е. Некоторые свойста решений дифференциальных уравнений в дробных пространствах // Тр. НИИМ ВГУ. - 1974. - Вып.14. - С. 68-74.
ъВа Prato G., Grisvard P. Sommes d’operateus lineaires et equations differentielles operationneles // J. Math. Pures Appl. (9) 54 (1975), №.3. - P. 305-387.
9Da Prato G, Grisvard P. Equations d’evolution absraites non line aires de type parabolique // С R. Acad. Sci. Paris Ser. A-B 283 (1976), № 9, A709-A711.
10Ашыралыев А., Соболевский П.Е. Об одной коэрцитивной оценке для абстрактного параболического уравнения в гёльдеровом пространстве // Тезисы докладов XI Всесоюзной школы по теории операторов в функциональных пространствах. - Челябинск, 1986. - Ч. III. - С.16. 11Ашыралыев А. О коэрцитивной разрешимости параболических уравнений в пространствах гладких функций // Известия АН Туркменистана, серия физ.-техн., хим. и геол. наук. - Ашхабад, 1989. - №3. - С. 3-13.
иТихонов И.В., Эйдельман Ю.С. Вопросы корректности прямых и обратных задач для эволюционного уравнения специального вида // Матем. заметки. - 1994. - Т. 56, вып. 2. - С. 99-113. 13Соболевский П.Е. Неравенство коэрцитивности для абстрактных параболических уранений // ДАН СССР. - 1964. - Т. 157, №1. - С. 52-55.
ХААносов В.П., Соболевский П.Е. О коэрцитивной разрешимости параболических уравнений // Матем. заметки. - 1972. - Т. 11. - Вып. 4. - С. 409-419.
15Рудецкий В.А. Коэрцитивная разрешимость параболических уравнений в интерполяционных пространствах. - Воронеж: ВГУ, 1984. - Деп. в ВИНИТИ 26.10.1984, №34-85. - Ржмат 751102, 1985.
Методы исследования. В работе используются методы теории линейных дифференциальных уравнений в банаховом пространстве, методы спектрального анализа линейных операторов, теория однопараметрических полугрупп линейных операторов.
Научная новизна. Все результаты диссертации являются новыми. Главные из них:
1) доказана коэрцитивная разрешимость задачи Коши (1) для абстрактного
параболического уравнения с линейным неограниченным оператором,
порождающим аналитическую полугруппу, в банаховых пространствах
С^Г(Е), С^г{Еа_р) и Са(Е), таким образом, получены более сильные
коэрцитивные оценки для решения этой задачи;
2) доказана коэрцитивная разрешимость нелокальных задач (2), (3) в
банаховых пространствах С^Г(Е), С^г{Еа_р), Са(Е) и С-а(Е), причём
коэрцитивные неравенства для решений этих задач доказываются на основе коэрцитивных неравенств, полученных для решения задачи Коши;
3) установленные результаты позволили получить точные оценки типа
Шаудера в гёльдеровых нормах для решений разных нелокальных
краевых задач параболического типа.
Основные положения, выносимые на защиту.
-
Исследование коэрцитивной разрешимости задачи Коши для абстрактных параболических дифференциальных уравнений с переменным оператором;
-
Исследование коэрцитивной разрешимости нелокальных задач для параболических уравнений с постоянным оператором;
-
Исследование коэрцитивной разрешимости нелокальных задач для абстрактных параболических дифференциальных уравнений с переменным оператором;
-
Применения полученных абстрактных результатов в разных задачах для параболических уравнений.
Теоретическая значимость. Результаты диссертационной работы могут быть использованы в исследованиях по теории линейных дифференциальных уравнений в банаховых пространствах, спектральному анализу, полугрупп линейных операторов и в специальных курсах для студентов, аспирантов, научных работников математических специальностей.
Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались: . на международных научных конференциях (г. Ашхабад, ТИНХ, 24-26 апреля 1995 г., “Проблемы математики и моделирования экономики Туркменистана”; г. Ашхабад, ТПИ, 22-23 ноября 1996 г., “Молодёжь и научно-технический прогресс-96”; г. Ашхабад, ТГУ имени Махтумкули, 11-12 декабря 1996 г., “Независимый Нейтральный Туркменистан: горизонты молодёжной науки”; Ardebil, Iran, August 1-4, 1999 Mohaghegh Ardebili University, 30th Iranian International Conference on Mathematics; г. Ашхабад, 16-17 мая 2009 г., 5th Fulbright Conference, “Энергетика и альтернативные источники энергии”; г. Воронеж, ВГУ, 3-9 мая 2016 г.,
“Понтрягинские чтения– XXVII ” в рамках Воронежской весенней математической школы “Современные методы теории краевых задач“);
на научно-практических конференциях молодых ученых (г. Ашхабад, ТГУ
имени Махтумкули, 2-4 ноября 1994 г., “Молодые ученые независимого Туркменистана и научно-технический прогресс”; г. Ашхабад, ТГИК, 18-19 октября 1995 г., “Насущные задачи туркменской национальной культуры”; г. Ашхабад, ТСХИ, 29-30 ноября 1995 г.,“Молодые ученые Туркменистана и новые направления научных исследований”; г. Ашхабад, ТГУ имени Махтумкули, 9 июня 2008 г., “В эпоху нового Возрождения и великих преобразований задачи физико-математических наук”);
на научных семинарах (г.Ашхабад,ТПИ,1998 г.,Моделирование процессов
разработки газовых месторождений и прикладные задачи теоретической газогидродинамики; г. Москва, кафедра прикладной математики факультета физико-математических и естественных наук РУДН, 15 декабря
-
г., 1 марта 2016 г., по дифференциальным и функционально-дифференциальным уравнениям под руководством д.ф.-м.н., профессора А. Л. Скубачевского; г. Москва, кафедра математического моделирования НИУ “МЭИ”, 19 октября 2016 г., по дифференциальным уравнениям под руководством д.ф.-м.н., профессора А.А. Амосова и д.ф.-м.н., профессора Ю.А. Дубинского; г.Москва, кафедра математического анализа механико-математического факультета МГУ имени М. В. Ломоносова, 23 ноября
-
г., по спектральной теории дифференциальных операторов под руководством д.ф.-м.н., профессора В. В. Власова; г. Москва, кафедра математической физики факультета ВМК МГУ имени М.В. Ломоносова, 24 ноября 2016 г.,по неклассическим задачам математической физики под руководством д.ф.-м.н., профессора И. В. Тихонова; г. Воронеж, кафедра алгебры и топологических методов анализа математического факультета ВГУ, 21 декабря 2016 г., по математическим проблемам гидродинамики под руководством д.ф.-м.н., профессора В. Г. Звягина);
на конкурсах научных работ среди молодых ученых Туркменистана, про-
водимых Центральным советом Молодёжной организации Туркменистана имени Махтумкули cовместно с Академией наук Туркменистана в соответствии с Постановлением Президента Туркменистана (г. Ашхабад, 2004 г., 2009 г.)16. Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 20 печатных работах, из них 6 работы в изданиях, входящих в перечень ВАК Министерства образования и науки РФ (см. [3,7-11]). Все результаты, выносимые на защиту, получены автором самостоятельно.
Объем и структура диссертации. Работа изложена на 145 страницах и состоит из введения, трёх глав и списка литературы из 79 наименований.
16Автор этой диссертации в 2003 году стал лауреатом Молодёжной премии Туркменистана. Дважды являлся победителем ежегодного конкурса научных работ среди молодых ученых Туркменистана и получил призы президентов Туркменистана (2004 г. – первое место, 2009 г. – первое место).
Теорема о разрешимости в пространстве С г([О,\],Еа 0)
В предыдущих разделах были рассмотрены задачи в классе параболических дифференциальных уравнений. Здесь же мы применим полученные в абстрактной ситуации результаты к двум следующим классам операторов: а) сильно эллиптическим функционально-дифференциальным операторам с растяжением и сжатием пространственных переменных в ограниченной области QcM"; б) эллиптическим операторам в ограниченной области Qcl" с нелокальными краевыми условиями, связывающими значения функции и ее производных на границе области со значениями на некотором компакте внутри области (таким образом, охвачен случай параболических уравнений с нелокальными условиями как по времени, так и по пространственным переменным). Для этого в каждом из упомянутых случаев мы убедимся, что соответствующий оператор удовлетворяет (1.1.2) и порождает аналитическую полугруппу в E = L2(Q). Отметим, что смешанные задачи для параболических дифференциально-разностных уравнений со сдвигами пространственных переменных изучались методами теории полугрупп в работах [35, 39]. Рассматривались вопросы, связанные с обобщенными и сильными решениями смешанных задач, а также пространством начальных данных. Существенную роль здесь играют результаты, полученные ранее для эллиптических дифференциально-разностных уравнений (см. [38, 60, 78, 79]).
Начальные задачи для параболических функционально-дифференциальных уравнений с запаздыванием по времени и неограниченными операторными коэффициентами рассматривались в [14, гл. 2]. Разрешимость, гладкость, асимптотические свойства и оценки решений в весовых пространствах Соболева на полуоси устанавливались на основе исследования соответствующих операторных пучков.
Параболические уравнения с нелокальными условиями по пространственным переменным играют важную роль в теории многомерных диффузионных процессов (см. [15] и приведенную там библиографию). Систематическое изложение теории нелокальных краевых задач для эллиптических уравнений можно найти в [16,36,37]. В работах [33, 34] построена эллиптическая теория (теорема о фредгольмовости) для задач с растяжениями-сжатиями на многообразиях с краем.
Далее через Н1(П) обозначается пространство Соболева комплекснозначных функций, принадлежащих Z2(Q) вместе с обобщенными производными первого порядка, а через н1 (Q)- замыкание множества C0(Q) финитных бесконечно дифференцируемых функций в Н1(0). Пространства Н1(0) и н1 (Q) - гильбертовы со скалярными произведениями (u,w)H1 (o)=j(uw+VuVw)dx , (u,w) (a) = \VuVwdx . H1(Q) = (11 + vu\w px, y ,w)H1(a) = Пространство н1(Сї) можно отождествлять с подпространством функций из H1(Rn), равных нулю вне Q. В обозначении для нормы оператора - индекс будем опускать.
Параболическое функционально-дифференциальное уравнение с растяжением и сжатием пространственных переменных В этом подразделе рассматривается задача п vt(x,t) - 2(Д (X)) , = f(x,t), 0 t 1, х є Q, (2.4.1) г, j=1 vl =v +ц(х), vl =0. (2.4.2) t=0 t=X v эПх[0,1] Действие операторов Rtj связано только с переменной х, они определяются формулой 109 Щи{х) = а (я1х) . (2.4.3)
Здесь Л є (ОД] и q 1 - фиксированные числа, Q с Ж" - ограниченная область, содержащая начало координат, ау7-заданные комплексные числа, а f(x,t) и ц{х) заданные комплексные функции. Индекс / пробегает конечное подмножество целых чисел и может быть как положительным, так и отрицательным. Если q- xzQ. при некоторых / и хєО, то считаем u(q- x) = 0 в (2.4.3) (другими словами, функции продолжаются нулм вне Q перед применением к ним оператора ).
Центральное предположение, связанное со структурой выражения п ywxj(x ))x , состоит в том, что мы требуем выполнения неравенства типа Гординга п Re j(R,j%Kdx civHI (Q) "С2ІН 2(0) (иєC0(Q)) , (2.4.4) в котором постоянные cx 0 и c2 0 не зависят от иеСДА). В [30] показано, что данное неравенство равносильно алгебраическому неравенству п п Re2« / 0 (zE(C,z = ; eR"3 = i), (2.4.5) причем из (2.4.5) вытекает (2.4.4) с постоянной с2=0 и постоянной с1, равной минимуму выражения слева в (2.4.5). В этом подразделе условие (2.4.5) будем предполагать выполненным.
Чтобы воспользоваться результатом первой части работы, необходимо дать формальное описание оператора, отвечающего уравнению (2.4.1) (в нашем случае это будет постоянный, не зависящий от г, оператор). Для этого зададим на пространстве L2(Q) полуторалинейную форму п г,/=1 с плотной в Z2(Q) областью определения D(aR) = H1(0). В силу основного предположения этого пункта, она удовлетворяет неравенству ReaR[u,u] cJVi/(Q) (и є Н\П)) . (2.4.7) Кроме того, очевидно, существует постоянная М 0 такая, что \aR[u,w]\ MVK(Q)VW(Q) (u,w є Я1 )) . (2.4.8) Из (2.4.7) и (2.4.8) следует замкнутость полуторалинейной формы и ее секториальность: значения [ и о иеЯ р, лежат на комплексной плоскости внутри угла с вершиной в нуле, охватывающего положительную вещественную полуось и имеющего полураствор argtg(M/cl). Согласно первой теореме о представлении (теорема 2.1 в [18, гл. IV]), формой (2.4.6) однозначно задается т-секториальный (в смысле Т.Като) оператор AR : D(AR) L2(Q) L2(Q) c плотной в Z2(Q) областью определения д )сЯ (П) такой, что aR[u,w] = (ARu,w\(n) при UGD(AR), WGH\0). В [30] показано, что D(AR) не лежит, вообще говоря, в Я (0).Там же получены достаточные условия, когда D(AR) сЯ (П)Пя2р. Итак, решение задачи (2.4.1), (2.4.2) понимается в смысле данного в начале работы определения, где оператор A(t) = AR ассоциирован с полуторалинейной формой (2.4.6). Убедимся, что оператор (-AR) является генератором аналитической полугруппы. В [76, гл. II, 4] доказано, что данное свойство оператора равносильно его секториальности в следующем смысле (см. также [59]): существует число S 0 такое, что угол И7г/2+3={0 гє: argz\ ж/2 + 8 } содержится в резольвентном множестве оператора (-AR) и для любого є є (0,S) существует Ms 0: Лемма 2.3. Оператор (-AR) - секториальный в указанном выше смысле. Доказательств. Положим для удобства x = Rez, u = lmz, C=M/Cl. Тот факт, что угол {т + ш: Ссг + и о} содержится в резольвентном множестве оператора (-AR), хорошо известен (см., например, не претендующий на новизну вывод в [30, 2.3]). Осталось получить оценку для резольвенты (2.4.9) в этом угле. Равенство (zI + AR)u = g, 0 UGD(AR), gGL2(Q), можно записать эквивалентным образом в виде (интегрального) тождества
Разрешимость в пространстве C fу([0,1], а/?)
Оператор АГ -a0I - секториальный при всех достаточно больших а0. Доказательств. Введем оператор-функцию L(z):H2(Q) L2(Q)xH3/2(dQ) по формуле L{z)w{x) п ( S 2 ,( ) v, +zw )-2 .( ж« .( )) i,j=l V s=l ) = о дП J представляющую собой ограниченный оператор при каждом zed. По теореме 2.1.2 [36, гл. 2, 2.1] для любого числа 0 S TT/2 существует число rs 0 такое, что при всех z из множества 2 /2+,5 nfz rj оператор L(z) имеет ограниченный обратный L\z): Z2(Q) хЯ3/2(Ш) - Я2(0). Причем неравенство ff2(Q) Ы +NHL2(o) c4l& IL2(Q) +NU(„ р/4 где для краткости обозначили (g0,g1) = Lw, выполняется с постоянной Cs 0, не зависящей как от w є Я2(Q), так и от z є 1 nfc r5}. Но это в точности означает, что всякое множество вида Ея/2+5П г5} состоит из резольвентных точек опера тора АГ, и на нем справедлива оценка для резольвенты (zl-АГ)1 а0 rs/cosS весь угол Тл/2+3 лежит в резольвентном множестве оператора АГ -а01 и имеет место неравенство (zI-(AГ-a0l)Y z Cs CJcosS \z + a ( Ъф+3). 115 Кроме того, спектр оператора АГ - а01 сдвинут влево от мнимой оси и имеет место оценка (zI-(AГ-a0l)y М 1 + Ы (Rez 0). Решение v(x,i) задачи (2.4.13), (2.4.14) вновь понимается в смысле определения, данного в начале работы, с оператором A(t) = -АГ + а01. А именно, v есть непрерывно дифференцируемая на отрезке [ОД] функция со значениями в Z2(Q), v(;t)eH2Г(0) при каждом t є [ОД], функция AГv(x,t) непрерывна на [ОД] со значениями в Z,2(Q), при каждом [ОД] правая и левая части (2.4.13) совпадают как элементы 4(П), и V(;0) = V(;A) + JU. Следствие 2.6. Пусть а0 0 достаточно велико. Тогда при всех функциях //єя;р и /єС а(Ь2(П)) задача (2.4.13), (2.4.14) имеет единственное решение v(x,i), функции vt(-J) и AГv(,t) принадлежат пространству Q a(L2(0)), и справедлива оценка
Замечание 2.3. Недостатком приведенного результата является то, что нижняя граница для а0 не описана явно. Вопрос о том, будет ли секториальным сам оператор АГ, сводится к локализации его спектра. Принимая во внимание, что в круге fa s) спектр состоит лишь из конечного числа собственных значений оператора АГ (следствие 2.1.2 [36,гл.2,2.1]), достаточно установить, что все собственные значения оператора АГ лежат строго в левой полуплоскости. Однако, в общем случае это сделать затруднительно. Ниже приведен пример секториального оператора АГ.
Пример. Рассмотрим задачу в прямоугольнике vt(JC,0-a2Vxx(JC,О = /(JC,t), (0 x 2,0 t 1), Іґ=0 ґ= v y, x=0 1 x=l , x=2 2 x=l (2.4.15) (2.4.16) l2 где a 0 и A,6, Получим условия, при которых оператор АГ : L2{0,2) - -Z2(0,2), АГи{х) = а2и"(х), и є D{AГ) = Я2 (0,2) = {w є Я2(0,2): к(0) = Ъ,и{\),и{2) = Ь2и{\)\ является секториальным. Его собственные значения вычисляются непосредственно. Независимо от коэффициентов b,,b2 в нелокальных условиях, числа zu, = -(жк)2 , кєШ, являются собственными значениями оператора АГ (2.4.17) Если -2 \ + Ъ2 2, то к этой серии добавляется еще одна серия 2,к а V iarccos + 2 , m,% также отрицательных собственных значений. При Ь1 + Ь2 2 к серии (2.4.17) добавляется серия ІП2 ZJf = ln 2 L± 2 + . 2 (h+b2 -— , 2 ] J -(2лк)2±і4лк\п V + . К+Ь2 2 \ (ь,+ь2 { 2 J ] J к = 0,1,..., в которой всегда есть неотрицательное собственное значение (при к = о). Если же Ь, + Ь2 -2, то собственные значения оператора АГ состоят из (2.4.17) и серии 117 ІП2 a2 V M I + (Ь,+Ь2 I 2 J J -ж2(2т + \)2±і2ж(2т + \)\п /я = ОД,.... ГІД+Й, + I 2 J J Вещественные части всех собственных значений этой последней серии будут отрицательными, если In І l i+ 2 + і 2 J ] J ;г, т. е. Ь1 + Ь2 -2сЪл. Итак, условие -2cbr fe1 + fe2 2 является необходимым и достаточным для секториальности (и сильной позитивности) оператора АГ в этом примере. Следствие 2.7. Предположим, что -2сЫ bl + b2 2. Тогда для всех функций //єя;(0,2) и /ЕС (4(0,2)) задача (2.4.15), (2.4.16) имеет единственное решение v(x,t). При этом функции vt(;t) и v„(-,0 принадлежат пространству С а(4(0,2)) и выполняется оценка \\v + v tc-a (1 (0,2)) " e" " (1 (0,2)) м II II с постоянной МГ 0, не зависящей от a,ju и f.
Параболическое функционально-дифференциальное уравнение с растяжением и сжатием пространственных переменных
Очевидно, что если в доказанной теореме 3.1 взять р = а и г = о, то имеют место следующие утверждения. Теорема 3.5. Пусть ДО)// + /(Л)-/(0)єЕа, /єСа(Е) при некоторых 0 а є \.
Тогда задача (3.1.1) разрешима в пространстве Гльдера Са{Е) и справедливо неравенство ЦА(0)М + ДЛ)-Д0)\\Е + 1 Hv ll +U(-)v +ІИІ м ІС" (Я) w С" (Я) \С(Еа) (3.3.1) а " а(\-а) (Е) с постоянной М, не зависящей от /и,а и f. Следствие 3.3. Предположим, что А(0) и + /(А)-/(0) = 0,/єСа(Е) при некоторых 0 а є 1. Тогда задача (3.1.1) разрешима в Са(Е) и справедлива оценка (1.1.78). А для задачи (3.1.13) справедливо такое утверждение. Следствие 3.4. Пусть Д0) = /(1), /єСа(Е) при некоторых 0 а є 1. Тогда нелокальная краевая задача (3.1.13) разрешима в Са(Е) и выполняется оценка (1.1.78). В пространстве С а(Е) = С0" а([0,\],Е) (0 а 1) справедлива следующая теорема: Теорема 3.6. Пусть jueD(A(t)) и /єС а(Е) при некоторых 0 а є 1. Тогда задача (3.1.1) разрешима в С ,а(Е) и справедливо неравенство коэрцитивности «г и (3.3.2) с постоянной М, не зависящей от ц,а и f. Доказательство. Используем представление л A(0)v0 = Д0)У(0) = А(0)(1-ЩЛ,0)У1{М+ { U(A,s)f(s)ds} = о я = -А(0)(1 - С/(Д,0))-1 J U(Л, s)(f(A) - f(s))ds + о я + А(0)(1-и(Л,0)у1 J U(A,s)[A(A)-A(s)]A-1(A)f(A)ds + о 134 я + Д0)(/ - U(A,0)) (V - и(Л,0))А WfW + U)=- АШІ - ЩА,0)у1 j U(A, s)(f(A) - f(s))ds + о я + А(0)(1-и(Л,0)у1 J U(A,s)[A(A)-A(s)]A-1(A)f(A)ds + + A(0)A-\A)f(A) + A(0)(I - ЩА,0)Уц =I3 + I4 + 75 + (3.3.3) где я h = - 73 = - А(0)(1 - U{Afi)Jl \ U(A,s)(f(A) - f(s))ds , о я /4 = -74 = A(0)(I-UiAfi)) 1 { U(A,s)[A(A)-A(s)]A-\A)f(A)ds, о ї5 = A(0)A l (A)f(A), I 6 = ДО)(/ - С/(Д,0))- . Воспользуемся неравенством И аа +U(-)v «« м ИС0 (Л) х С0 (Л) A(0)v 0я а(1-а)с (3.3.4) полученным для задачи Коши (1.1.1) [72]. Достаточно получить оценку A(0)v0 в норме . Для этого нужно оценить І3,Ї4,І5 и /6. Сначала оценим /3. В силу (1.1.15) при а = 0 и (3.1.5) имеем
Используя последнюю оценку в правой части неравенства (3.3.4), получим (3.3.2). Теорема 3.6 доказана. 136 3.4. Приложения к главе 3 а) Рассмотрим нелокальную краевую задачу для параболического уравнения: -a(t,x) д V 2 + Sv(t,x) = f(t,x), 0 ґ 1, 0 x 1, v(0,x) = v(A,x) + (p(x), 0 x 1, 0 A 1, I v(t, 0) = v(t, 1), vx(t, 0) = vx(t, 1), 0 t 1, { (3.4.1) где a(t,x), cp(x) и f(t,x) достаточно гладкие заданные функции,a(t,x) = a(t + Л,х) 0; 8 0 - достаточно большое число. б) Пусть Q-единичный открытый куб, имеющий границу S и принадлежащий п -мерному евклидову пространству R" (0 xk 1,k = 1,...,n), a = a jS. Рассмотрим нелокальную краевую задачу \dv(t,x) dt at { d2v(t,x) dx2 Тг(,Х) + Sv(t,x)=f(t,x), 0 ґ 1, х = (х1,...,х„)єП, г=1 v(0, x) = v(X, x) + Ф), 0 Я 1, x є Q, v(t,x) = 0, XGS (3.4.2) для многомерных параболических уравнений. Здесь ar(t,x), f(t,x), ф) заданные 137 гладкие функции и ar(t,х) = ar(t + Л,х) 0; 8 0 - достаточно большое число. Теорема 3.8. Для решения нелокальной краевой задачи (3.4.2) имеет место следующее неравенство: dv dt +z d\ dx2 - 2 (0,) 2 + M() + /(A,-) - 7(0,-) M(A,ju)\ 1 \\f\\ Br и - + r=1 I A(1-A) 0 (c01( )) P-y 0 / /? 1, 0 2( -7) + // 1,// = {//1,...,//),0 //і 1Д = 1,..,и, где M(X,ju) не зависит от p,y,f и ср. в) Наконец, рассмотрим нелокальную задачу 2("- "(Q) I rV(,X)+ У a (t,x) д V(t,X) +Sv(t,x)= f(t,x), dt rpm rdx1...dx r: n 0 ґ 1, x,r sR",\r\ = r1 +... + rn, v(0,x) = v(A,x) + p(x), 0 A 1,XG (3.4.3) где ar(t,x) = ar(t + A,x), f(t,x) и ф) достаточно гладкие заданные функции, S 0 достаточно большое число. Теорема 3.9. Для задачи (3.4.3) справедливы неравенства коэрцитивности
Разрешимость в пространстве С0 ([0Д],а/?)
Наконец, оценим 76. Справедлива оценка \\А(Л)и(Л,0)(( 1(Л)/(Л)-А-1(0)/(0)) + А-1(Л)(А(Л)-А(0))А-1(0)/(Л))\ M\\f\\ Рг .(3.1.11) Действительно, z1-(/?-r) 2 exp{-2А(Л)}и(Л,0)((А-1 (Л)/(Л) - Л-1 (0)/(0)) + Л"1 (Л)(ДЛ) - А(0))А 1 (0)/(Л)) z +r Ы2(A) exp{-z (A)}f/(A, 0)Л-1 (А) х Л"— " Л/(Л)\ +А(Л)А-\0) /(0) + [Д -ДОЖЧО) /(А) ) ґ і її i-/?+r Mz min -,- І/її „ M І/її „ M,I І/її „ . U Ц (E) z + A c (я) c» (я) Итак, 71-(/?-? ) 2(Я)exp{- (Я)к/(я,0)(( -1(Я)/(Я) - -1(0)/(0))+ + Л-1( )( ( )- (О)М-1(О)/(/І))Я С0 (Й) Отсюда следует (3.1.11). В силу (3.1.5) и (3.1.11) имеем, что II76 м\йРГ1 . Объединив оценки для 73,74,75 и 76, получаем (3.1.8). Используя оценку (3.1.8) в правой части неравенства (1.1.28), получим неравенство коэрцитивности (3.1.7). Теорема 3.1 доказана. Следствие 3.1. Пусть А(0) и + /(Л)-/(0) = 0, /єСрг(Е) при некоторых 0 / j3 s 1, 0 /? 1. Тогда задача (3.1.1) разрешима в С Г(Е) и выполняется оценка (1.1.77). При ju = 0 и Л = 1 для нелокальной краевой задачи v (t) + A(t)v(t) = f(t) (0 ґ 1), v(0) = v(1) (3.1.12) справедливо следующее утверждение: Следствие 3.2. Предположим, что /(0) = /(1) и /єСрг(Е) при некоторых 0 у р є 1, 0 /? 1. Тогда задача (3.1.12) разрешима в СЦ,Г(Е) и справедливо неравенство коэрцитивности (1.1.77). Теперь введем банахово пространство Е%/, состоящее из элементов WGE, для которых конечна норма 123 \Р,У M = z l maxlle- У + sup r\z + ry\e m -е уЛ 0 z z+r l Е Имеет место следующий результат (см. [72]):
Теорема 3.2. Пусть V0=f(0)-A(0)v0eE , /ЄС Г(Е) при некоторых 0 у р, 0 р є \. Тогда задача (1.1.1) разрешима в С Г(Е) и для е единственного решения v(t) справедливо неравенство коэрцитивности м іР У , IMW)+HQv СІЧЕ) Р _ Ру С$ЧЕ) с М, не зависящей от 0,y,v o и /. Далее, справедливы следующие леммы (см.[72]): Лемма 3.3. Для любых 0 s S + T 1, 0 t \ и 0 а 1 справедлива оценка (3.1.13) \\exp{-sA(т)} - exp{-(s + г) ДО І (3.1.14) где М не зависит от t,s,a и т. Лемма 3.4. Для любых t,s,r = [0,1] верны оценки (3.1.15) (3.1.16) hxp{A(T)}-exp{-SA(T)}]A-l(T)\\ M\t-s\e-Smin{t s}, A(t)[zMA(z)}-zxp{-sA(z)}}A\z) M\t-s\e-Smin{t s\ где М О и S 0 не зависит от t,s, и т . Для задачи (3.1.1) справедлива следующее утверждение. Теорема 3.3. Пусть А(0)м + ЛЛ)-/(0)єЕ г, f =C r(E) при некоторых 0 у р, 0 р є \. Тогда для единственного решения v(t) задачи (3.1.1) в С (Е) справедливо неравенство коэрцитивности Р,У (3.1.17) \A(p)fi + fW-f(p% Ис$ЧЕ)ПА(М\с$ЧЕ) М Д1-/?) W4E) с М, не зависящим от р,у,ц и f. Доказательство. Для доказательства теоремы в правой части неравенство (3.1.13) достаточно доказать, что /7(1-/7)" "coAr( к\р,ї м\ до)//+дя) -/(0)1р,ї + 1 L (3.1.18) 124
Оценим i3 , I4 , l5 и I6 в отдельности в норме El 7. Сначала оценим 13 Воспользовавшись оценкой (3.1.5), получим - Р,г л J A(A)U(A,s)(f(A)-f(s))ds P,r о р{\ - Р) С» (я) (3.1.19) так как я \А(Л)ЩЛ, s)(f(A) - f(s))ds о p,r о М J3(\-J3) Vhg- W (3.1.20) Действительно, в силу (1.1.9), (1.1.13) и (1.1.10), (1.1.15) при а = 0 для любого z 0 имеем, что ds {Л-sYds M (z + Mi p (3.1.21) СЦ-Г(Е) Cg-r(E) я я Е 0 \\A(X)exp{-zA(X)}U(A,,s)\E E \f(X)-f(s)\ Єхр{-2А(Л)}\ А(Луі(Л, ){/{Л) - f(s))ds я [z Л-s ds fl 1 (X-s)pX-rds c {E) l{(z + X-s)VnJ c Mjmin я M MJ /lU і_ЛР-г о (X-sf-pXy q (E) P Пусть A z+T. Тогда воспользовавшись формулами (1.1.13), (1.1.15) при а = 0 и (3.1.14) при а = /?, для любых 0 Z Z + T 1 получаем T-\Z + т)г (exp{-(z + т)А(Л)}-exp{-zA(A)})А(Л)и(Л,s)(f(X) -f(s))ds о TP я Мт р (z + тУ р \\\А(Л)11(Л, s)\\E E \/{Л) - f{s)\Eds Е м Я МХЛ ds 1/1 (3.1.22) P-J M23f У (z + XT" І (Я - stPV C p{z + т)Р-Г СГ(Е) p СГ(Е) Пусть теперь z+T A и r z. Воспользовавшись оценками (1.1.15) при а = 1 и (3.1.15), для любых 0 Z Z + T 1 получим T-fi(z + rY я (exp{-(z + т)А(Л)}-ехр{-гА(ЛЩ А(ЛУ1(Л,s)(f(A) - f(s))ds о Е Мт-р (z + T)r (exp{-0 + т)А(Л)} - ехр(-гДІ) })A l (1)1 E- E я я \-p 1 f\L,r X Ml И (лшл, s)\\ /m - f(s)\\ ds — . / , r JII w v % EWjy J WE (z + Tyri(z + -s) 2-/3Arllllc"(E) 125 М i-p М2т Z -P (1 - Р) fhr(E) ! _ ylf Wcg-ЧЕ) (3.1.23) Теперь пусть Z+T AиT z. Тогда т-"(г + тУ я exp{-(z + T)A(A)}-exp{-zA(A)})\A(A)U(A,s)(f(A)-f(s))ds к Л-т Мт р(z + т)г j \\A(A)(exp{-(z + т)А(А)}-exp{-zA(A)})U(A,s)(f(A) - f(s))\\Eds о я + +MT fi(z + T)r Л-т (z + тУ j \\A(A)(exp{-(z + т)А(А)} - exp{-zA(A)})U(A, s)(f(A) - f(s))\\Eds т рМ fife - \ -y J (z + rds (z + ryy { (z + A-s)2-pAy c (я) {г + туу l%{A-stPAy c» (я) Р М2т М2т М (z + T)\\-(5){Z + т)1- 3С»"(я) + (z + r//? W w W) /?(1-/?) Используя оценки (3.1.21), (3.1.22), (3.1.23) и (3.1.24) получаем (3.1.20). Далее, оценим 74. В силу (3.1.5) имеем (3.1.24) CS-ЧЕ) \IҐ м я JA(A)U(A,S)[A(A)-A(S)]A-\A)f(A)ds о P,r о М /?0 - Р) \f\Ur (3.1.25) так как Л м $A(A)U(A,s)[A(A)-A(S)]A-\A)f(A)dS о p,r о М А /?(1 - Р) с» (я) (3.1.26)