Введение к работе
Актуальность темы. Развитие технических наук обусловило интерес к разностным уравнениям, которые оказались удобной моделью для описания импульсных и дискретных динамических систем, а также систем, в состав которых входят вычислительные устройства, что особенно актуально в связи с развитием электронной вычислительной аппаратуры/ Кроме того, разностные уравнения встречаются при численном решении различных классов дифференциальных уравнений с помощью метода конечных разностей.
Начало исследованиям разностных уравнений было положено в работах Лагранжа, Эйлера, Пуанкаре. Однако систематическое изучение разностных уравнений началось сравнительно недавно. Отметим в этой связи монографин Гельфон-да А.О., Быкова Я!В., Линенко В.Р., Мартынюка Д.И., Хала-ная А.И., Векслера Д., в которых детально изложены вопросы качественной теории таких уравнений.
В последнее время большое количество'исследований было посвящено вопросам существования периодических решений разностных уравнений. Следует в связи с этим отметить работы Митропольсхого Ю.А., Самойленко A.M., Мартынюка Д.И., Перестюка Н.А. и их учеников, где исследовались вопросы существования периодических и квазипериодических режимов в разностных уравнениях. Однако, вместе с тем, есть много классов разностных уравнений, для которых вопрос существования периодических решений остается открытым.
Наряду с разностными уравнениями с фиксированным шагом Л = 1 весьма важными являются уравнения, возникающие в разностных схемах, где шаг может меняться. Исследованию качественных свойств таких уравнений посвящены, например, работы Скалкиной М.А., Карасика Г.Я., где изучались свойства разностных уравнений при наличии таковых у
дифференциальных. Почти не изученной есть обратная задача — получение результатов по дифференциальным уравнениям, при наличии таковых у разностных, которые переходят в дифференциальные при h -* 0, что есть весьма важным с практической точки зрения (поскочьку такие уравнения с помощью компьютеров довольно легко исследуются).
Перечисленные выше вопросы и рассмотрены в диссертации.
Цель работы — исследование периодических решений некоторых классов разностных уравнений, а также установление взаимосвязи между свойствами решений дифференциальных и разностных уравнений при уменьшении шага.
Общая методика исследований. В диссертационной работе использованы методы исследования периодических решений, методы теории устойчивости и колеблемости решений разностных уравнений.
Научная новизна диссертации заключается в:
исследовании периодических решений разностных уравнений второго порядка;
получении эффективных алгоритмов приближенного отыскания периодических решений некоторых классов разностных уравнений;
исследовании устойчивости решений дифференциальных уравнений при наличии таковой у разностных уравнений;
установлении условий колеблемости решений разностных. уравнений.
Теоретическая и практическая ценность. Результаты, полученные в работе, можно использовать для отыскания периодических режимов в реальных задачах, которые сводятся
к системам разностных уравнений, а также в исследовании их устойчивости.
Апробация работы. Основные результаты данной работы докладывались и обсуждались:
на заседании Республиканского семинара по обыкновен
ным дифференциальным уравнениям при Институте ма
тематики НЛН Украины и кафедре интегральных и диф
ференциальных уравнений Киевского университета
им. Тараса Шевченко (руководители: академик НАН Ук
раины A.M. Самойленко, профессор Н.А. Перестюк);
в на Всеукраинской научной конференции "Днференціаль-но-функціональні рівняння та їх застосування" (Черновцы, 15-18 мая, 199G г.);
на заседании математической школы нелинейных колеба
ний (Каменец-Подольский, 10-15 октября, 1996 г.).
Публикации. По теме диссертации опубликованы 4 работы, список которых приводится в конце автореферата.
Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, двух глав и списка литературы, содержащего 69 названий. Объем работы составляет 76 страниц машинописного текста.