Введение к работе
Актуальность темы. Возможная неустойчивость экстремальной задачи делает необходимым исследование асимптотик аналогичных задач с исчезающе малыми возмущениями системы ограничений и построение, аппарата корректных расширений с целью описания этих асимптотик и сравнения последних между собой.
Процедуры расширения пространства решений рассматривались мно-
гимн математиками. Общим вопросам теории расширения экстремаль
ных задач посвящены работы А.Д.Иоффе и В.М.Тихомирова, И.Экланда
и Р.Темама, Т.Рубичека. В теории оптимального управления, вклю
чая игровые задачи программного управления, процедура комлактифи-
кации позволяет решить проблему существования оптимального реше
ния и сформулировать необходимые условия оптимальности в форме
принципа максимума. Фундаментальные результаты п этой области по
лучены в монографиях Дж.Варга, Р.В.Гамкрелидзе, Н.Н.Красовского,
А.И.Субботина, Л.Янга. В теории дифференциальных игр отметим важ
ное понятие стабильности множеств в пространстве позиций, введенное
Н.Н.Красовским в терминах обобщенных элементов, а также принципи
альный результат А.В.Кряжимского, использующий условие единствен
ности движения в классе управлений-мер в связи с обобщением извест
ной теоремы об альтернативе в позиционной дифференциальной игре. В
задачах математического программирования элементы расширений бы»
ли введены РДж. Даффином и Е.Г.ГольштеЙном в связи с обобщениой
теоремой двойственности. В теории случайных процессов процедура рас?
ширений с использованием конечно-аддитивной версии теории вероятно
стей рассматривалась в работах А.И.Жданка. '
Важную роль в конструкциях расширения традиционно играли мерьз. Идеи использования мер в экстремальных задачах впервые были сформулированы в работах Е.Мак-Шейпа и Л.Янга и получили дальнейшее развитие в теории оптимального управления, дифференциальных играх, вариационном исчислении. При этом меры, используемые в расшире: 'іиях, как правило, являлись счетно-аддитивными и регулярными. Это лшзано, в частности, с использованием геометрических (понтрягинских) )граничений на выбор управления и с теоремой Рисса о представлении гинейного функционала на пространстве непрерывных функций. Одиа-;о в задачах, и условиях которых присутствуют разрывные функции',' кузннкает потребность в использовании конечно-аддитивных (к.-а.) мер
качестве материала дли построения компнктнфикан.ий.
:i
Среди работ, посвященных к.-а. мерам, следует отметить работы Г.М.Фихтенгольца, Л.В.Канторовича и Г.Гильдебрандта, где внер-' вые определен интеграл по к.-а. мере; монографию Н.Данфорда и Дж.Т.Шварца, в которой дано наиболее общее понятие интеграла по к.-а мере; работы С.Лидера , Б.Хьюитта и Иосиды, посвященных вопросах: структуры к.-а. мер; монографию Б.Рао К.П.С. и Б.Рао М., касающу юся различных вопросов к.-а.теории меры; монографию Дж.Дистела \ Дж.Ула, в которой наиболее полно излагается теория векторных мер, і том числе к.-а. векторных мер.
Использование двузначных к.- а. мер в конструкциях расширениі (работы Е.Г.Белова, А.И.Жданка, А.И.Короткого, А.Г.Ченцова) есте ственпым образом примыкает к известной реализации нестандартно го анализа, связанной с эквивалентными объектами—ультрафильтрам] измеримых пространств.
Цель работы. Построение корректных расширений экстремальны задач и исследование, свойств асимптотик областей достижимости'упрг вляемых систем и их абстрактных аналогов при исчезающе малых во; мущениях ограничений на выбор управления.
Методы решения. Используются методы теории меры и интегрі рования, общей топологии, функционального анализа, теории оптималі ного управления.
Научная новизна Построены корректные расширения экстремал! ных задач, постановки которых являются новыми. Установлены свої ства асимптотик областей достижимости при исчезающе малых возм; щениях системы ограничений на выбор решения для абстрактной задач управления и для конкретных линейных управляемых систем.
Теоретическая и практическая ценность. Полученные коррск ные расширения экстремальных задач дают описание обобщенных эк тремальных элементов, что представляет самостоятельный тсоретич ский интерес и, кроме того, может быть ислольз.овано для разрабоп алгоритмов построения приближенных решений, аппроксимирующих о общенные решения. Изз'ченные свойства множеств притяжения п клас приближенных решений (а именно, условия устойчивости, асимптот ческой нечувствительности относительно части ограничений на шлб управления, условия реализации асимптотически достижимых элемс тов в классе интегрально ограниченных управлений) мої у і бы і ь испо. зованы при исследовании конкретных задач управления с ннтегральп ми ограничениями.
Апробация работы. Результаты диссертационной работы доклады-
вались'на семинарах отдела управляемых систем ИММ УрО РАН, со
вместном семинаре кафедры теоретических основ радиотехники УГТУ-
УПИ и отдела управляемых систем, Конференции молодых математиков
(Свердловск, январь 1986 г.), VII Всесоюзной конференции "Качествен
ная теория дифференциальных уравнений" (Рига, 1989 г.), Всеросий-
ской конференции "Алгоритмическое обеспечение процессов управления
в механике и машиностроении" (Ярополец, май 1994 г.), международной
конферегщии "Сингулярные решения и возмущения в управляемых си
стемах" (Переславль-Залесский, июнь 1995 г.). '
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 11 работах [1-11].
Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, двух глав и списка литературы. Общий объем — 98 страниц машинописного текста. Библиографический список содержит 105 наименований.
