Корректность начально-краевых задач фильтрации жидкости из водоема в грунт Ерыгина Нелли Сергеевна

Введение к работе

Актуальность темы.

В настоящей работе исследована начально-краевая задача, описывающая на микроскопическом уровне процесс фильтрации вязкой жидкости из водоема в пористый грунт. Поставленная задача содержит гидродинамические уравнения Стокса для жидкости и уравнения Ламе линейной теории упругости для упругого скелета. Задача замыкается условиями непрерывности перемещений и нормальных напряжений, однородными начальными условиями на перемещение и скорость, условиями Неймана и условиями Дирихле. Доказательство корректности указанной задачи основано на строгом усреднении точных уравнений, описывающих на микроскопическом уровне совместное движение твердого скелета грунта и вязкой жидкости, заполняющей поры в грунте.

Задачи, связанные с рассмотрением физических процессов в сильно неоднородных средах, возникают в теории упругости, гидродинамике, в теории гетерогенных сред и композитных материалов, в теории фильтрации и других разделах физики и механики. Такие задачи весьма сложны, так как математическая модель, описывающая физический объект в несколько десятков (сотен) метров, в которой коэффициенты уравнений осциллируют на масштабе в несколько микрон (характерный размер пор в грунте), неудобна для практических применений.

Существенной альтернативой являются модели для сильно неоднородных сред, приводящие к более простым дифференциальным уравнениям, которые называются усредненными. Усредненные уравнения¹ с большой степенью точности позволяют определить эффективные характеристики первоначальной среды. При этом основным требованием, которому должны удовлетворять усредненные уравнения - близость решений соответствующих краевых задач для исходных и усредненных уравнений.

Математическое описание сильно неоднородных сред основано на предположении о наличии у таких сред какой-либо упорядоченной микроструктуры (периодической, случайной однородной и др.) Если масштаб неоднородности среды имеет порядок , то среда описывается дифференциальными уравнениями, коэффициенты которых в зависимости

¹E. Sanchez-Palencia, Non-Homogeneous Media and Vibration Theory, Lecture Notes in Physics, Vol. 129, Springer-Verlag, New York, 1980.

от характера микроструктуры среды являются периодическими, квазипериодическими, реализацией однородного случайного поля и др. Требуется определить поведение при 0 решений краевой задачи для дифференциальных уравнений такого рода с быстро осциллирующими коэффициентами и построить усредненное уравнение, которому удовлетворяет предельная функция. Усредненные модели будут свободны от быстро осциллирующих коэффициентов, что позволит использовать их для численных расчетов.

Интерес к изучению задачи о движении жидкости в пористой среде нашел свое отражение в многочисленных исследованиях российских и зарубежных авторов: М. Био, К. фон Терцаги, Р. Барриджа и Дж. Келлера, Э. Санчес-Паленсии, Т. Леви, А.М. Мейрманова, А.Л. Пятницкого, Г.А. Чечкина, А.С. Шамаева, П.Я. Кочина-Полубаринова, Дж. Бьюкенена, Ж. Лина, М. Бакингема, Т. Клопиу, Ж. Ферри, Р. Гилберта, А. Микелича, Л. Паоли, Г. Нгуетсенга, Ж. Санчес-Хьюберта. Основой развития теории фильтрации в нашей стране стали исследования профессора Н. Е. Жуковского. Возможность применения к ряду задач фильтрации аналитической теории линейных дифференциальных уравнений была указана Н.Е. Кочиным и получила развитие в работах П.Я. Кочиной-Полубариновой. Фундаментальные результаты в развитии теории движения грунтовых вод² получены академиком П.Я. Кочиной-Полубариновой. В ее работах изучены вопросы теории фильтрации жидкостей и газов в пористых средах.

Различные задачи механики сильно неоднородных сред приводят к необходимости построения усредненных моделей для этих сред. Требуется построить модель среды, локальные свойства которой резко меняются, и поэтому удобнее рассмотреть усредненные характеристики такой среды, то есть, перейти от микроскопического ее описания к макроскопическому.

В настоящей диссертации получены усредненные модели фильтрации жидкости из водоема в пористый грунт. За основу взята идея, изложенная в работах Р. Барридж и Дж. Келлер³, сначала описать совместное движение упругого скелета грунта и жидкости в порах на микроскопическом уровне с помощью классических законов механики сплошных

²П.Я. Кочина-Полубаринова, Теория движения грунтовых вод, ГИТ-ТЛ, Москва, С. 342, 1952. ³Burridge R. and Keller J.B. Poroelasticity equations derived from microstructure, Journal of Acoustic Society of America. - V. 70, No. 4, (1981) C. 1140 – 1146.

сред. После этого, используя методы теории усреднения, получить соответствующие усредненные модели для исходных уравнений. При этом базовая модель не вызывает сомнений, поскольку в ее основу положены общепринятые законы механики сплошных сред. Поэтому, все ее подмодели (вместе с тем и усредненные уравнения) будут пригодны для практических применений. Ранее, такой подход был использован в работах В. Ягера и А. Микелича⁴, ⁵, ⁶ для специальной геометрии порового пространства (несвязный твердый скелет) в пространстве Ш². Поставленная задача решается в пространстве М³ для произвольной геометрии поро-вого пространства, с использованием методов, предложенных в работах А.М. Мейрманова. ⁷, ⁸, ⁹ В этих работах были введены безразмерные критерии го, /io, Mi и До, характеризующие конкретный физический процесс. Так, например, медленной фильтрации жидкости в пористом упругом грунте соответствуют параметры то = 0, /іо = 0 и До > 0, а фильтрации жидкости в абсолютно твердом пористом грунте соответствуют параметры го = 0, /іо = 0 и До = оо.

Вопросы теории усреднения многомерных сильно неоднородных сред рассмотрены в работах многих авторов: В.А. Марченко, Е.Я. Хруслова, А. Бенсусана, Ж.-Л. Лионса, Д. Папаниколау, Ж.-Л. Лионса, Э. Санчес-Паленсии, Н.С. Бахвалова, Г.П. Панасенко, А.Л. Пятницкого, Г.А. Чеч-кина, А.С. Шамаева. Задачи теории усреднения дифференциальных операторов рассматривались в трудах В.В. Жикова, СМ. Козлова, О.А. Олейник. В монографии О.А. Олейник, Г.А. Иосифьяна, А.С. Шамаева исследованы вопросы усреднения уравнений теории упругости с быстро осциллирующими коэффициентами в перфорированных областях с различными краевыми условиями.

⁴Jager W., Mikelic A. On the flow conditions at the boundary between a porous medium and an impervious solid, in "Progress in PDE: the Metz surveys 3eds. M. Chipot, J. Saint Jean Paulin et I. Shafrir, Pitman reseach Notes in Mathematics, N 314, pp. 145- 161. Longman Scintific and Technical, London (1994).

⁵Jager W., Mikelic A. On the boundary conditions at the contact interface between a porous medium and a free fluid, Ann. Sc. norm. Super. Pisa, Cl, Sci.-Ser. IV, Vol. XXIII (1996), Fasc. 3 pp. 403- 465.

⁶Jager W., Mikelic A. On the boundary conditions at the contact interface between two porous media, in "PDE, Theory and numerical solutioneds. W. Jager, J. Necas, O. John, K. Najzar and J. Stara, Chapman and Hall/CRC Research notes in math., N 406, pp. 175- 186. CRC Press, London (1999).

⁷Meirmanov A. Homogenized models for filtration and for acoustic wave propagation in thermo-elastic porous media, Euro. Jnl. of Applied Mathematics, V. 19 (2008) pp. 259- 284.

⁸Meirmanov A. Double porosity models in incompressible poroelastic media, Mathematical Models and Methods in Applied Sciences, V. 20, No. 4 (2010) pp. 635- 659.

⁹Meirmanov A. A description of seismic acoustic wave propagation in porous media via homogenization, SIAM J. Math. Anal. V. 40, No. 3 (2008) pp. 1272- 1289.

В настоящей работе в качестве метода усреднения используется метод двухмасштабной сходимости Нгуетсенга¹⁰ , на основе которого получены усредненные модели фильтрации жидкости из водоема в грунт. Двухмас-штабную сходимость можно считать усилением понятия слабой сходимости. Очень часто необходимо перейти к пределу при є -> 0 в интегралах, где некоторые слагаемые являются произведением сомножителей, каждый из которых сходится только слабо в пространстве Ь²(_Т). Эта сложность преодолевается с помощью метода Нгуетсенга, который получил широкое применение в теории усреднения. Метод двухмасштабной сходимости впервые был предложен Г. Нгуетсенгом в 1989 г. В дальнейшем получил развитие в работах G. Allaire ¹¹-¹², Жикова В. В.¹³' ¹⁴ , Мейрманова А. М.¹⁵ и других авторов.

Цель работы. Основной целью настоящей диссертации является доказательство корректности новых макроскопических математических моделей фильтрации жидкости из водоема в грунт.

Общая методика исследования. В работе используются методы теории дифференциальных уравнений в частных производных, методы функционального анализа. При выводе усредненных уравнений используется метод двухмасштабной сходимости Г. Нгуетсенга.

Научная новизна. Основные результаты работы являются новыми и состоят в следующем:

1. Доказано существование обобщенного решения начально-краевой задачи для системы линейных уравнений, описывающих на микроскопическом уровне процесс фильтрации жидкости из водоема в пористый грунт под действием силы тяжести;

2. Доказана сходимость решений системы уравнений микроскопической математической модели, на основе анализа ее параметров, к решениям усредненных систем уравнений при стремлении малого параметра

¹⁰Nguetseng G.A general convergence result for a functional related to the theory of homogenization.// SIAM J. Math. Anal. 1989. V. 20, 608-623.

¹¹Allaire G. Homogenization and two-scale convergence// SIAM J. Math. Anal. - 1992. - V. 23. - Р. 1482-1518.

¹²Allaire G. Homogenization of the Stokes flow in a connected porous medium// Asymptotic Analysis 2. - 1989. - P. 203-222.

¹³Жиков В. В. Об одном расширении и применении метода двухмасштабной сходимости// Матем. сб. - 2000. - Т. 191, № 7. - С. 31-72.

¹⁴Жиков В. В. Усреднение задач теории упругости на сингулярных структурах// Изв. РАН. Серия матем. - 2002. - Т. 66, № 2. - С. 81-148.

¹⁵Meirmanov A. Nguetseng’s two-scale convergence method for filtration and seismic acoustic problems in elastic porous media, Siberian Mathematical Journal, V. 48 (2007) pp. 519- 538.

к нулю;

3. Получены макроскопические математические модели фильтрации жидкости на основе усреднения базовой модели, описывающей физический процесс на микроскопическом уровне;

4. Доказана однозначная разрешимость полученных макроскопических математических моделей фильтрации жидкости из водоема в пористый грунт.

Теоретическая и практическая значимость. Работа носит теоретический характер. Результаты проведенного в ней исследования могут найти применение в математическом моделировании процессов фильтрации жидкостей в пористых грунтах.

Апробация результатов исследования. Основные результаты диссертационного исследования были представлены на второй Международной конференции молодых ученых «Математическое моделирование фрактальных процессов, родственные проблемы анализа и информатики» (п. Терскол, 2012 г), пятой Международной конференции «Современные проблемы прикладной математики, теории управления и математического моделирования» (г. Воронеж, 2012 г), Международной конференции «Дифференциальные уравнения и их приложения» (г. Белгород, 2013г), шестой Международной научной конференции «Современные методы прикладной математики, теории управления и математического моделирования» (г. Воронеж, 2013г), четырнадцатой Всероссийской молодежной школе-конференции «Лобачевские чтения» (г.Казань, 2015), Международной конференции «Воронежская зимняя математическая школа С.Г.Крейна» (г. Воронеж, 2016).

Публикации. Основные научные результаты, вошедшие в диссертацию, отражены в работах [1] - [10], список которых приводится в конце автореферата. Публикации [6] - [8] опубликованы в рецензируемых научных изданиях. В совместной с руководителем публикации [8] руководителю принадлежит постановка задачи, выбор методик исследования и общее руководство работой, а соискателю - реализация указанных методик. В публикациях [1], [2], [4], [6], написанных в соавторстве, реализация методик принадлежит соавторам в равной степени.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, разбитых на параграфы, заключения, списка литературы из 72 наименований и изложена на 100 страницах.