Введение к работе
Актуальность темы. Работа посвящена вариационным задачам для квадратичных функционалов вида
/(*) = i\t{T,x)(t) (T'x)(t) - {T0x)(t)~^t, (1)
в банаховых пространствах D (функций Х."[0;й1 —>R ), изоморфных
декартову произведению L2 х Я". Здесь Tt, Т': D —> L2,(i = 1, m); Т0: D ~> Lj -линейные ограниченные операторы. Таким образом, функционал (1) может содержать, кроме самой функции X и её производных, интегральные операторы, операторы с распределённым отклонением аргумента (интегральные операторы Сгилтьеса).
Математические модели для современных физических и технических задач зачастую требуют учитывать предысторию исследуемого процесса. Это стало одной из причин, по которой функционалы (1) вызывают интерес математиков уже несколько десятилетий. Одной из первых работ в этом направлении является, по-видимому, работа Л.Э. Эльсгольца. Исследованием некоторых случаев функционала (1) занимались также: М.Е. Драхлин, Г.А.Каменский и А.Л.Скубачевский, С.Г. Корытов, М.А. Макагонова, Н.Б. Плещинский и другие.
Функционал (1) - более общий и сложный объект, чем классический квадратичный функционал, поэтому уместно отметить высказывание Д. Гильберта о том, что каждому "регулярному" функционалу должно соответствовать своё пространство, в котором этот функционал достигает минимума.
Изучением вариационных задач в специальных пространствах занимались, в частности, М.М. Шахин, М.А. Макагонова. В их работах функционалы минимизируются на множестве кусочно абсолютно непрерывных функций. С.Ф. Морозов рассматривал функционалы определённые на множестве функций, графики которых могут иметь
вертикальные участки. Несмотря на множество работ, посвященных экстремальным задачам для функционалов вида (1), эффективная методика их решения в достаточно общем случае до сих пор отсутствовала.
Сочетание методов функционального анализа с результатами современной теории абстрактного функционально-дифференциального уравнения, разработанной Пермским семинаром под руководством профессора Н.В. Азбелева при Пермском государственном техническом университете, позволили рассмотреть с единой точки зрения обширный класс экстремальных задач для функционалов (1) и вывести общий критерий минимума для них. Отметим здесь работу С.А. Гусаренко, а также работу Е.И. Бравого, в которой обобщаются классические результаты Л.Д. Кудрявцева о "сингулярном" функционале, определённом на множестве функций, допускающих разрыв производной на концах отрезка.
Цели работы: Вывод критерия существования минимума функционала (1) в пространстве D изоморфном L2 х R".
Получение эффективных признаков существования и единственности решения для ряда конкретных вариационных задач на основе полученного критерия.
Методика исследования. В диссертации используются методы теории абстрактных функционально-дифференциальных уравнений8. Изо-
морфность D — 1*2 х R позволяет, с помощью некоторого поедстав-ления элементов пространства D, редуцировать исходную вариационную задачу для функционала (1) к задаче безусловной минимизации
Аібслев Н.В., Максимов В.П., Рахматуллина Л.Ф. Введение в теорию функционально-дифференциальных уравнений. -М.: Наука, 1991. -280 с.
квадратичного функционала в гильбертовом пространстве Н — L2 или Н — L2 х i?v:
co{4)=1-{U^)H-{f^)H+Y j min (*)
Здесь (у) и - скалярное произведение, U: Н -* Н - самосопряжённый
ограниченный оператор, f є Н, у eR . Критерий существования решения задачи (*) известен и может быть сформулирован следующим образом:
Элемент %0 є Н является решением задачи (*) тогда и только тогда, когда выполнены условия:
1/ оператор U неотрицательно определён, то есть (/,)„ >0
при всех Е, є Н;
11 0 является решением уравнения Щ — f. На основе этого утверждения выводится критерий существования решения вариационной задачи для функционала (1), заключающийся в том, что элемент Хд є D доставляет минимум функционалу (1) тогда и только тогда, когда Х0 есть решение некоторой краевой задачи для линейного функционально-дифференциального уравнения и спектр оператора U не содержит отрицательных чисел.
Научная новизна. Предложен новый метод исследования вариацион
ных задач для квадратичных функционалов вида (1). С помощью
методов функционального анализа и результатов современной теории
абстрактного функционально-дифференциального уравнения»,
рассмотрен с единой точки зрения обширный класс экстремальных задач для функционалов (1) и выведен общий критерий минимума для них. На основе этого критерия получены эффективные признаки существования и единственности решения для некоторых вариационных задач.
Практическая значимость. Работа носит теоретический характер. Результаты диссертации могут применяться при исследовании вариационных задач для различных квадратичных функционалов и при исследовании линейных краевых задач для некоторых функционально-дифференциальных уравнений.
Апробация работы. Результаты работы докладывались и обсуждались: на Пермском семинаре по функционально-дифференциальным уравнениям (1992-1995), на международной научной конференции: "Дифференциальные и интегральные уравнения. Мат. физика и специальные функции" (Самара, 1992), на Ижевском городском семинаре профессора Е.Л.Тонкова (1994), на семинаре академика РАН СМ. Никольского в Математическом институте РАН им. В.А. Стеклова (1994).
Публикации. По теме диссертации автором опубликовано 3 работы. Список работ приводится в конце автореферата. Результаты диссертационной работы, приведённые в совместных публикациях [1, 3], получены автором самостоятельно.
Структура и объём работы. Диссертация состоит из введения и трёх глав, разбитых на 13 параграфов. Работа занимает 78 страниц. Список литературы состоит из 34 наименований.