Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Сходимость решений возмущенных задач 15
1. Сходимость решений и собственных элементов в задаче сосменой типа граничного условия на узкой полоске 15
2. Сходимость решений и собственных элементов в задаче с вырезанным тонким телом 21
Глава 2. Асимптотики собственных элементов в задаче сосменой типа граничного условия на узкой полоске 30
1. Построение первых членов асимптотик 30
2. Внешнее разложение 34
3. Внутреннее разложение 41
4. Доказательство теоремы 0.3 47
Глава 3. Асимптотики собственных элементов в задаче с вырезанным тонким телом 58
1. Построение первых членов асимптотик 58
2. Внешнее разложение 69
3. Внутреннее разложение 72
4. Доказательство теоремы 0.4 75
Литература 81
- Сходимость решений и собственных элементов в задаче с вырезанным тонким телом
- Внутреннее разложение
- Внешнее разложение
- Внутреннее разложение
Введение к работе
Краевые задачи с различного рода сингулярными возмущениями привлекают внимание многих специалистов в области дифференциальных уравнений и математической физики. Интерес к этим задачам объясняется, с одной стороны, тем, что сингулярно возмущенные краевые задачи часто возникают как математические модели в различных приложениях, ас другой стороны, - наличием у этих задач разнообразных свойств, интересных с математической точки зрения. Примерами такого рода могут служить эллиптические краевые задачи для уравнений с малым параметром при старшей производной, краевые задачи в области с вырезанными малыми отверстиями, с тонкими включениями и щелями, с узкими отростками и каналами связи, краевые задачи со сменой типа граничного условия на малом участке границы, с концентрированными массами, в областях с быстро осциллирующей границей, в перфорированных областях. Такие модели исследовали Н. С. Бахвалов, В. Ф. Бутузов, А. Б. Васильева, М. И. Вишик, Р. Р. Гадыльшин, Ю. Д. Головатый, В. В. Жи-ков, А. М. Ильин, Г. А. Иосифьян, С. М. Козлов, О. А. Ладыженская, Л. А. Люстерник, В. Г. Мазья, В. П. Маслов, С. А. Назаров, О. А. Олей-ник, Г. П. Панасенко, Б. А. Пламеневский, Л. С. Понтрягин, Э. Санчес-Паленсия, А. Н. Тихонов, М. В. Федорюк, Г. А. Чечкин, А. С. Шамаев, J, М. Arrieta, R. Hempel, S. Jimbo, F. Murat, L. Seco, B. Simon, L. Tartar и многие другие (см., например, [1, 2, 7, 8, 9, 10, 12, 13, 17, 19, 22, 23, 24, 26, 29, 30, 31, 36, 42,46, 51, 54, 55, 56, 57, 62, 64, 66,67, 68, 69, 71, 72, 73, 74, 78]). В этих задачах термин "сингулярное возмущение "понимается в том смысле, что не существует замены переменных, переводящей их в краевые задачи в фиксированных областях с фиксированными граничными условиями для оператора, представляющего собой малое возмущение оператора (то есть, эти задачи не являются регулярными в смысле [38]). Другими словами можно сказать, что это краевые задачи с сингулярно возмущенной топологией (области или граничных условий).
Отдельный интерес представляют краевые задачи на собственные зна- чения для оператора Лапласа в сингулярно возмущенных областях. Одной из первых работ, в которой рассматривалась сингулярно возмущенная задача на собственные значения, является статья А. А. Самарского [63]. В ней рассмотрена задача на собственные значения для оператора Лапласа в трехмерной ограниченной области с малым отверстием. Для этой задачи было получено асимптотическое представление для главного члена асимптотики собственного значения. Позднее аналогичные результаты получили Ю. Н. Днестровский, Sh. Ozawa, С. A. Swanson [28, 79, 84]. Главный член асимптотики собственного значения для оператора Лапласа в двумерной области с малым отверстием были построены Sh. Ozawa [81]. Полные асимптотические разложения собственных значений и собственных функций краевых задач для оператора Лапласа в трехмерных областях в случае, когда в области есть малая полость, на границе которой задается условие Неймана, были получены В. Г. Мазьей, С. А. Назаровым и Б. А. Пламеневским в [45]. Задачи со сменой типа граничного условия на малой части границы, стягивающейся в точку, были изучены Р. Р. Гадылыпиным в [14, 16, 20, 21].
В определенном смысле развитием этих постановок являются краевые задачи, рассмотренные в диссертации. В пей изучаются: спектральные задачи для трехмерного оператора Лапласа в ограниченной области с двумя типами сингулярных возмущений: на узкой полоске, стягивающейся к замкнутой гладкой кривой на границе, задается однородное граничное условие Неймана, а на остальной части - однородное граничное условие Дирихле; в области вырезается тонкое тело, диффеоморфное тору, также стягивающееся к замкнутой кривой (но уже лежащей внутри области);, на границе этого тонкого тела задается однородное граничное условие Неймана, а на внешней границе - однородное граничное условие Дирихле.
Основной целью диссертации является доказательство теорем сходи- мости и построение асимптотических разложений по малому параметру собственных элементов (собственных значений и соответствующих собственных функций) рассматриваемых сингулярно возмущенных краевых задач. Малым параметром является ширина полоски и диаметр сечения тора. Для построения асимптотик применяется метод согласования асимптотических разложений; [11, 36, 52]. И хотя идеи этого метода были высказаны достаточно давно, а сам метод получил широкое распространение в механике, однако, строгие обоснования асимптотик решений дифференциальных уравнений с частными производными методом согласования асимптотических разложений появились сравнительно недавно в работах В.М. Бабича и его учеников [3, 4, 6, 5, 39], A.M. Ильина и его учеников [23, 25, 35, 36, 37, 53, 70], В.Г. Мазьи, С.А. Назарова, Б.А. Пла-меневского [44, 45, 49, 50], М.В. Федорюка [67, 68] и других.
Асимптотические разложения выводятся по следующей схеме. Вначале методом согласования асимптотических разложений строятся формальные асимптотические решения. Формальное построение завершается доказательством: того, что построенные асимптотические ряды являются формальным асимптотическим решением. Это означает, что частичные суммы данных рядов удовлетворяют исходной возмущенной задачи с точностью до невязок малого порядка. Причем порядок малости должен увеличиваться при увеличении числа членов в частичных суммах. На следующем этапе формально построенные асимптотики строго обосновываются. Под обоснованием асимптотик понимается получение оценки для разности между истинными; собственны ми элементам и и формально построенными асимптотическими рядами. Подобное обоснование необходимо, так как формальное построение само по себе не может гарантировать, что полученные формальные асимптотические разложения действительно асимптотики истинных собственных элементов.
Опишем задачи, рассматриваемые в каждой главе диссертации, и основные результаты, полученные при их изучении.
В первой главе доказывается сходимость решений и собственных эле- ментов рассматриваемых возмущенных краевых задач к решениям и собственным элементам предельной задачи Дирихле. Затем выводятся равномерные по малому и спектральному параметрам оценки этих решений. Результаты этой главы используются для строгого обоснования асимптотик собственных элементов возмущенных задач, строящихся в остальных двух главах диссертации. Постановка задачи следующая. Пусть х — (х\, Х2, хз), fid3- односвязная ограниченная область с гладкой границей Г, 7 ^ С "" замкнутая кривая без самопересечений, лежащая либо на Г, либо в Q, F - произвольное диффеоморфное отображение М3 на себя, такое, что образом 7 является единичная окружность, а6 - тор с осевой окружностью единичного радиуса и кругом поперечного сечения радиуса є, а6 - прообраз <т, где 0 < є <С 1. Если 7 С Г, то обозначим через 7є произвольную область, лежащую в ГПсгє, Гє = T\j (см. рис. 1). Если же 7 С fi, то обозначим через <т произвольную область, лежащую
Рисунок 1. в <7е, Q — Q \ а (см. рис. 2).
Рассматриваются два типа сингулярных возмущений краевой задачи
Рисунок 2.
Дирихле — Ащ = \щ + / в Q, «о-О на Г. (0.1)
К первому типу возмущений относится задача со сменой типа граничного условия на узкой полоске: ди —Аи = \и + / в П, -^— = 0 на 7є> ие — 0 на Ге, (0.2) где т -- вектор внутренней нормали. Ко второму -- краевая задача вне тонкого тела —Аи = Хи + f в Q, -—=- = 0 на дсге, и = 0 на Г. (0.3)
Решения краевых задач (0.1), (0.2), (0.3) понимаются в обобщенном смысле [43, 47, 65]. В первом параграфе первой главы на основе методик работ [14, 15] изучается сходимость решений возмущенной задачи (0.2) и доказывается следующее утверждение.
Лемма 0.1. Пусть f Є Lr2(0>), К - произвольный компакт в комплексной плоскости С, не содержащий собственных значений краевой задачи -Аф0 = А0^о в П, фо = 0 па Г. (0.4)
Тогда существует число Eq > 0 такое, что при любом є < q и любом X Є К существует единственное решение и краевой задачи (0.2) и имеет место сходимость
Циг-иоІІи^(їі)-—>0. (0.5)
Затем, с помощью леммы 0.1 доказывается следующая теорема, являющаяся одним из основных результатов первой главы.
Теорема 0.1. Пусть Xq - собственное значение краевой задачи Дирихле (04). Тогда
1) существует собственное значение Хе краевой задачи -Лф — Хєф б Q, ф — 0 на Гє, -1 = 0 на ує, (0.6) сходящееся к Ао при є — 0;
2) если кратность Xq равна N, то совокупная кратность собствен ных значений A)j краевой задачи (0. б), сходящихся к Xq при є —> 0, равнаN, а для нормированных в г(П) собственных функций ф^ имеет ме сто сходимость \[Фє,і~Фо,і\[\у1іщ ~* 0 при є —f 0, где фо^ нормированные в Z/2(fi) собственные функции краевой задачи (0.4), соответствующие
В конце первого параграфа выводится равномерная по малому и спектральному параметрам оценка решений краевой задачи (0.2).
Аналогично поступаем в случае задачи вне тонкого тора. Во втором параграфе первой главы изучается сходимость решений возмущенной задачи (0.3) и доказывается следующее утверждение.
Лемма 0.2. Пусть /є Є L^^Ie), К - произвольный компакт в колі-плексной плоскости С, не содержащий собственных значений краевой задачи (0-4)- Тогда существует число єо > 0 такое, что при любом є < єо и любом А Є К существует единственное решение ие краевой задачи (0.3). Если, к тому oice f - сужение f Є ^г(^) па &є> то имеет место сходимость ||«с ~ «o||w»(ne) ^ 0. (0.7)
И, наконец, с помощью леммы 0.2 доказывается теорема, являющаяся еще одним из основных результатов первой главы.
Теорема 0.2. Пусть Aq - собственное значение краевой задачи .(0.4)-Тогда
1) существует собственное значение Xs краевой задачи ~АфЕ = Хф в Пу -^-= 0 на да, фє = 0 на Г, (0.8) сходящееся к Ао при є —ї 0;
2) если кратность Ао равна N, то совокупная кратность собствен ных значений Х,г краевой задачи (0.8), сходящихся к Aq при є —У 0, равнаN, а для нормированных в ^г(^) собственных функций фє'г имеет ме сто сходимость ||^'1 — ^o,t[hvl(Qe) -^ 0 при є —> О, где фо^ нормированные в Z/2(f2) собственные функции краевой задачи (0.4), соответствующиеА0.
В конце второго параграфа выводится равномерная по малому и спектральному параметрам оценка решений краевой задачи (0.3).
Замечание 0.1. Изучение вопросов сходимости решений и собственных элементов возмущенных задач необходимо не только для строгого обоснования асимптотик собственных элементов, но и представляет самостоятельный интерес. Области ст> и уе не обязательно "замкнутые" трубки и полоски. Это могут быть трубки и полоски с концами, а так же области, стягивающиеся к точке. Вопросы сходимости при таких возмущениях исследовались достаточно широко (см., например, [14, 15, 18, 45, 80]).
Результаты первой главы опубликованы в [58].
Во второй главе диссертации строятся и строго обосновываются полные асимптотики собственных элементов лапласиана для задачи со сменой типа граничного условия на узкой полоске. Постановка задачи следующая. Пусть 7 С Г, s - натуральный параметр этой кривой, R — R(s, и) - параметрическое уравнение, n(s, и) - вектор внутренней нормали поверхности Г. Параметр и определим следующим образом. Через каждую точку кривой 7 перпендикулярно к ней проведем нормальную плоскость я". Обозначим 7 = ГПтг, и = у\ - натуральный параметр на т\ причем Ух = 0 соответствует точкам кривой у.
В окрестности 7 введем координаты (у, s), у = (у 1,1/2), по правилу ж = R(s, t/i) + /2ii(s, г/і), где г/2 - расстояние до у вдоль внутренней нормали. Положим ує = {(ї/і,0,в) : e/i(s) < 2/1 < /г(в)}, Ге = Г\7С> где Ш,Ш С(7) (см. рис. 1).
Обозначим 5^ = {х = (2/i,t/2,s) : s Є 7ї |ї/| < А*}) ['] _ целая часть числа. Основным результатом второй главы является следующая
Теорема 0.3. Пусть Xq - простое собственное значение краевой задачи (0-4), фо - соответствующая нормированная в І^г(^) собственная функция. Тогда асимптотика собственного значения \ возмущенной задачи (0.6), сходящегося к Ао при є —У 0, имеет вид
А. = А0 + ]Г є2+і W є Аз-Hj, (0.9) г=0 j-Q A2.o = -f/(|^)2(/2-/1)2ds, (0.10) где V - линейный дифференциальный оператор второго порядка: Vu := (<Ф)^ + Я*)). (/2 - /і)2") , (0.12) a(s),/3(s) Є С00(7) зависят от геометрии у и О,. Асимптотики соответствующей собственной функции фє в норме W% имеют вид ф(х) = фо(х) + Х>2+г'1п'*-и,;(я) в Г!\5є21/2, (0.13) i=0 j=0
СО L 2 J ф{х) = ^^2еЧп>еу^(У-;з} в Qn522l/2, (0.14) i=l j=Q Є где v\$ определяется в (2.7).
Замечание 0.2. В случае, когда 7 ~~ плоская кривая (например, 7 С ГІ П {х3 = 0}), в (0.12) имеем a{s) = -f, /?(я) = -| (4^-t-А0), где |/с| -кривизна кривой у.
Доказательство теоремы 0.3 проводится следующим образом. В первом параграфе методом согласования асимптотических разложений (на формальном уровне) строится первый член теории возмущений собственного значения краевой задачи (0.6). Коэффициенты рядов (0.13), (0.14) являются сингулярными решениями некоторых модельных задач, не содержащих малый параметр є. Во втором параграфе исследуются решения задачи Дирихле с заданными особенностями на кривой 7) необходимые при построении асимптотики собственной функции (0.13) вне окрестности кривой 7- В третьем параграфе найдены решения уравнения Пуассона в полуплоскости с растущей правой частью, также необходимые при построении асимптотики собственной функции (0.14) в окрестности кривой 7- Ряды (0.13), (0.14) не определяются независимо друг от друга и. лишь их согласование позволяет построить эти ряды полностью. В четвертом параграфе строится формальное асимптотическое решение рассматриваемой.задачи, и. обоснование построенных асимптотик. Это и завершает доказательство теоремы 0.3. И, наконец, в конце четвертого параграфа, с помощью построенных асимптотик, выписываются оценки для собственных значений лапласиана при других типах сингулярных возмущений. А именно, в случае когда на узкой полоске задается третье краевое условие и когда у не является гомотетией.
Основные результаты второй главы опубликованы в [59, 60].
В третьей главе диссертации строятся и строго обосновываются полные асимптотические разложения по малому параметру собственных элементов для задачи с вырезанным тонким телом. Постановка задачи еле- дующая. Пусть 7СО. г = r(s) - уравнение кривой 7> t(s) - единичный касательный вектор к 7, n(s) - произвольное бесконечно дифференцируемое векторное поле единичных нормалей на кривой 7- На этой кривой зададим векторное поле b(s) по правилу b(s) = [t(s),n(s)], где [, ] векторное произведение. В каждой точке кривой будем рассматривать декартову систему координат, определяемую репером (t(s),n(s), b(s)). Координаты, связанные с векторами n(s) и b(s), обозначим через yi и 2/2 соответственно. Тогда х — r(s) + yin(s) + угЬ(з). Обозначим через ш
Рисунок 3. односвязную ограниченную область в Ж2 с гладкой границей, ш — {у Є Ж2 : є~1у Єш}7 сг = {х ЄШ3 : s Є у,у Є ш}, Q = Q \ о~ (см. рис. 2,3). Следующая теорема является основным результатом третьей главы.
Теорема 0.4. Пусть Ао - простое собственное значение предельной задачи (0.4), Фо - соответствующая нормированная в Ьг(Г2) собственная функция. Тогда асимптотика собственного значения Xе возмущенной задачи (0.8), сходящегося, к Aq при е—>-0, имеет вид (0.9), где
Ао-0о - (0.15) - \ VyVolj^o-M" (УуФо\у=о+е(8)фо\у=о) ds, M - положительно определенная, симметричная 2x2 матрица из (3.20), зависящая от области си, вектор-функция e(s) Є С(7) зависит от геометрии кривой у и введенного на ней векторного поля n(s), символ, обозначает скалярное произведение в Ж2. Асимптотики соответствующей собственной функции ф6 в норме W\, имеют вид (0.13) eQ\ S21/2 и оо UJ ^(*) = Х)]С^ «*.*(-;) в Qens22l/2, (0.16) j=0 j=0 где Уо^ (f; s) = фо(х)\у, a vi$ определяется в (3.21).
Замечание 0.3. В случае, когда кривая у -- плоская, в формуле (0.15) вектор e(s) = (О, 2")' \к\ ~ кривизна кривой 7-
%2
Рисунок 4.
Замечание 0.4. Пусть Sr - круг радиуса R > 1 с центром в начале координат, Q — Sr х (—7г/2,7г/2), 7 " окружность единичного радиуса с центром в начале координат на плоскости х$ — 0, ии - круг единичного радиуса, <тє = 5^ (см. рис. 4). Используя явный вид собственной функции для предельной задачи Дирихле (0.4) и варьируя R в конце четвертого параграфа будет показано, что первая поправка может принимать как значение A2io = -27r||Vy^o||i2(7) < 0» так и значение
А2,о = 7гА0||^о|ІІ2(7) > 0.
То есть, разность Х — Aq не является знакоопределенной.
Подобное явление возникало в краевых задачах для оператора Лапласа в двумерных и трехмерных областях с вырезанным малым отверстием в случае, когда на границе отверстия задавалось условие Неймана, а отверстие стягивалось к точке [45, 80, 81].
Схема доказательства теоремы 0.4 аналогична схеме доказательства теоремы 0.3. В первом параграфе строится первый возмущенный член асимптотики собственного значения краевой задачи (0.8). Во втором параграфе строится внешнее разложение собственной функции (0.13), а в третьем - внутреннее разложение собственной функции (0.16), коэффициенты которого являются решениями уравнения Пуассона в Е2 \ о; с растущей правой частью. В четвертом параграфе строится формальное асимптотическое решение рассматриваемой задачи и обоснование построенных асимптотик. Это завершает доказательство теоремы 0.4.
Основные результаты третьей главы опубликованы в [61, 82].
Выражаю самую искреннюю благодарность моему научному руководителю Гадыльшину Рустему Рашитовичу за постановку задач, внимание и помощь на протяжении всей работы над диссертацией.
Сходимость решений и собственных элементов в задаче с вырезанным тонким телом
Основной целью данного параграфа являются доказательства леммы 0:2 и теоремы 0.2. Для доказательства этих утверждений нам потребуется ряд вспомогательных лемм. Пусть f Є L 2.{Q,). Так как решения краевой задачи (0.3) рассматриваются в обобщенном смысле, то под ее решением понимается элемент и Є И оФєї Г), удовлетворяющий равенству при любом г) Є W oiQe , Г). Пусть X = (Х\,Х2,Х$), а (R, Ф,Хз) - соответствующие цилиндрические координаты, Л(Ф) - точка с цилиндрическими координатами (1, Ф, 0), а 71 - единичная окружность в плоскости Х$ = 0 с центром в. начале координат. В каждой полуплоскости Пф, проходящей через ось ОХ% и точку А (т.е. полуплоскости Ф = const), введем декартовы координаты Y — {Yi,Y2) с центром в точке А, где Yi = R — 1, Y2 = Х3. Обозначим (Ф) - круг радиуса \i с центром в точке А(Ф) на плоскости Пф, 5 (Ф) - тор {X Є jR3 : А 7і, Є ЗД, к„(і) = 1 - g при і д и / () = 0 при і /І, Кр.{Х) = K/i(r) при любом Ф, (г, v?) - полярные координаты, соответствующие декартовым координатам (Yi,Y2). Пусть Q - трехмерный шар, такой что окружность 71 лежит в 0, а Из (1.17) и (1.19) следует, что К сходится к 1 при /І- 0В норме W O). Лемма 1.4. Пусть V Є С(в); V = K V. Тогда V -» V в норме W}(Q) и V» = 0 в si Доказательство. Из определения V и леммы 1.3 следует, что V Є W Q) и равна нулю в 52. Покажем, что V сходится к К в норме W O). Не ограничивая общности, будем считать, что V - вещественная. Тогда Из этих оценок и леммы 1,3 следует справедливость леммы 1.4. Лемма 1.5. Для любого v Є C(Q) существует ve Є 14 ( 2) равная нулю в as, такая что v сходится км в норме W2(Q) при є —+ 0. Доказательство. Так как Г Є С00, то существует бесконечно дифференцируемое взаимнооднозначное отображение Fi : ГЇ — 0 такое, что кривая 7 перейдет в 71- Тогда Fi( re) С $Ъе) где ju(e) —У 0 при Є-УОИ при достаточно малых fi выполняется 5 С в. Обозначим V(X) = v(z(X")), V = -К/іІЛ а через ve(a;) - прообраз функции У {Х) при отображении Fi. Так как V, V удовлетворяют условиям леммы 1.4 и Fi С00, то получаем справедливость доказываемой леммы. Лемма 1.6. Пусть 0 - трехмерный шар, w Є W 1 (0 ), П(а) - прямоугольный параллелепипед {X : \Хг\ 1 + a, jJ5 ) 1 + аг, Хз а}, П(о;, /х) = П(а) Л 9 , Q(a) = П(2а) \ П(а). ТЪгда если параметры а и fi таковы, что П(2а) С .0 и S2„ С П(а), то для всех достаточно малых fi 0 верна оценка Доказательство. Рассмотрим сначала значения Х$ 0. Пусть П+(а) = П(а) П {X : Х3 0}, П+(а,р) = П(а,/ ) П {X : Х3 0}, Q+(a) = П+(2а)\П+(а). Так как С(6Й) плотно в 1 (0 ), то можно считать, что гу С0" ). В силу теоремы о среднем, для любых Х\ Є [—1 — a, 1 -f а] vi Хч Є [—1 — a, 1 + а] существует такая точка z Є [a, 2a], что то в силу (1.21) для любой точки (Лі,Л"2,-) Є П+(ск,р) справедлива оценка Из неравенства Коши-Буняковского для любой функции а Є г( ) легко получить следующее неравенство Возведя обе части (1.22) в квадрат и учитывая (1.23) получаем Функции Vxtv и w продолжим нулем в S2 Проинтегрировав неравенство (1.24) по Х% от 0 до а, а затем полученное неравенство - по Xi и по Х2 от —1 — а до 1 + а, приходим к оценке Аналогично, можно показать, что данная оценка справедлива и для Х$ 0. Отсюда следует (1.20). Пусть П(а) = Ff fnW), П(«,г) = F OW)), Q(a) = F WW) Лемма 1.7. Для любой функции w Є W i e) для всех достаточно малых є 0 имеет .место ог екко где Сі иС& - некоторые постоянные.
Доказательство. Из определения Fi и неравенства (1.20) следует, что где Сд И Cg - некоторые постоянные. Прибавив к обеим частям этого неравенства ЦшЩ ,Q \ц/ає\), получаем оценку (1.25). Лемма доказана. Лемма 1.8. Пусть f L2(0,c), К - произвольный компакт в комплексной плоскости С, не содержащий собственных значений краевой задачи (0.4). Тогда существует число Q 0 такое, что при любом є SQ и любом А Є К справедлива равномерная по є и X оценка Доказательство. Продолжим f нулем в а и обозначим это продолже-ние через /. Очевидно, что / Є 1 2(1). В свою очередь, продолжение щ нулем в т (для которого сохраним прежнее обозначение) очевидно принадлежит -2( ) но в силу граничных условий не принадлежит W fi). Подставляя в (1.16) г) = us, получаем следующую оценку (аналог оценки (1.4)): Повторяя доказательство леммы 1.1, от противного заключаем, что су-ществуют последовательности &-— - 0 при к — со, Д Є ./ (П), А& К такие, что при є = &, A = А& и / = Д для решений краевой задачи (0.3) имеет место неравенство Не ограничивая общности будем считать, что иеі3(п) — 1- Тогда из (1.27) и (1.28) следует, что при к — со справедливы (1.7) и Из (1.29) следует, что существует подпоследовательность {ект}=1 такая, что иЄкт -4 w слабо в ( 2) и слабо в W Qs) при любом фиксированном
Внутреннее разложение
В данном параграфе исследуются решения уравнения Пуассона в полуплоскости с растущей правой частью. Обозначим: Щ.? = { : & 0}-Рассмотрим краевую задачу где F растет при р —у оо. При q 1 через Яд обозначим множество рядов вида где # - однородные функции, представимые в виде при некотором целом г} коэффициенты однородных полиномов Qj{\s) из С00(7), а через Т\ обозначим множество функций v обладающих следующими свойствами: k2. при р —у оо функция и имеет дифференцируемые по и s асимптотики из Tq% т.е. для любых целых неотрицательных eti, аг, аз справедлива оценка где Vjv - частичная сумма членов в асимптотике v на бесконечности до членов 0(p N) включительно; кЗ. для любого R 0 функция xO )v(; s), рассматриваемая как отображение 7 в - 2( .+ ), является бесконечно дифференцируемым по s 7 Пусть, далее, rj = (т/ь%), где Обозначим через Т\ множество функций v, обладающих следующими свойствами: 11. справедливы свойства kl и к2; 12. функция t (; s) — 0 на 71; 13. для любого R 0 функция x{p{ri)R)v{ {ri): s)i рассматриваемая как отображение 7 в ТУ20 +, ) 1 является бесконечно дифференцируемым по 5 Є 7 И, наконец, обозначим через, Tq множество функций v, обладающих следующими свойствами: ml. справедливы свойства kl и k2; m2. существуют R, такие что функции х(р( 7)Й)и (( );s) могут быть представлены в виде go(r]] s) + Ё % і m3. функция 2 — 0 на Тії т4. функции д±, рассматриваемые как отображение у в Z QR ) являются бесконечно дифференцируемыми по s Є 7 Замечание 2.3. Из определений JF , Т\ следует, что если v Є 3"\+2, то Лемма 2.9. Пусть G Є Tq , а ряд V Tq+2 является асимптотическим (при р — оо) решением краевой задачи Тогда существует решение v Є +2 краевой задачи имеющее при р ч- со бесконечно дифференцируемые асимптотики Доказательство. Решение краевой задачи (2.23) при достаточно малых R (а, имешю, таких, что ВТ1 /2 — /і) будем искать в виде где VJv частичная сумма формального асимптотического решения V. Тогда для wN получаем краевую задачу Так как , то в силу свойства k2 функция GN имеет при р — оо бесконечно дифференцируемую по5и( асимптотику Сгдг — 0(p N i), а в силу кЗ функция GJV, рассматриваемая как отображение 7 в 2( + ) является бесконечно дифференцируемой по 5 Є 7- В свою очередь, будем искать решение краевой задачи (2.26) в виде wN = wN + wN , где Де«# = 0 в В» {, «g = 0 на Г„ = - «а 71.
Пусть г = z\-\-iz2. Решение задачи Дирихле в полуплоскости & О имеет вид GV(z;5) -г. Из данной формулы и упомянутых выше свойств C?jv и теоремы Лебега следует существование функции wN Є 1У220&+е), обладающей свойством 13 и имеющей асимптотику при & = 1. В свою очередь, из формулы Келдыша-Седова (см., например, [41]) следует И, значит функция wA/ обладает свойством 13 и ее асимптотика при р оо имеет вид (2.27) (к = 2). Тогда функция wN также обладает 13 и при р —У оо имеет асимптотику (2.27) (к = 0). Покажем, что функция vjv не зависит от N. Пусть Ni N 4, v(N,Ni) _ VjV _ v _ Тогда для v N,Nl получаем краевую задачу V 1 =0BBjfl v = 0 на Гь - 0 на ъ. Функция v N N убывает при р — оо. Докажем, что y(N N = 0. В силу принципа симметрии гармоническая функция -Q?— допускает аналитическое продолжение через 7i) следовательно такое продолжение допускает и функция v N,Nl\ Продолженная функция v N Nl ограниченная и гармоническая вне Гь где она принимает значения равные нулю.Таким образом, функция v N,Nl решает задачу Дирихле для плоскости вне Гі при нулевых грапичных значениях. По теореме единственности решения задачи Дирихле v N,N = 0 и, значит, VN не зависит от N. Из произвола в выборе N, (2.25) и (2.27) (при к 0) и теорем о повышении гладкости следует, что v є .7 +2- Лемма доказана. В переменных г} рассмотрим следующую краевую задачу: где Гі = {ц : \тц\ 1, = 0}, 7i = {»? : Ы 1, = 0}. Пусть 2,0( +,4 1) - замыкание в норме 1 (1 + ) функций из С00 ({77 : 772 0}), обращающихся в нуль в окрестности Fi, #(17) 2( +,„) Решение краевой задачи (2.28) будем рассматривать в обобщенном смысле [43, 47, 65]. То есть под решением будем понимать элемент ф Є 20(К+Ч; Гі), удовлетворяющий интегральному равенству при любом w Є 2,0( +,77 і)- РИ Л1бых фиксированных gi правая часть (2.29) есть линейный ограниченный функционал, заданный на И/21)0(М+„; Гі). Поэтому из теоремы Рисса следует существование и един-ственность решения краевой задачи (2.28). Кроме того, если ді єС(г} : "02 0,77 ф (-1,0),77 Ф (1)0)}) и 92 — 0 на 7ь то из теорем о повышении гладкости решений эллиптических краевых задач, следует, что Ф С(г} : 72 0,77 Ф (—1,0), ту ф (1,0)}) удовлетворяет однородному граничному условию Неймана на 71 в обычном (классическом) смысле. Таким образом, подставляя w = ф в (2.29), получаем справедливость следующего утверждения. Лемма 2.10. Пусть gi обладают свойствами тЗ, т4- Тогда существует решение ф Є W i +n) краевой задачи (2.28) с однородными граничными условиями. Функция ф,. рассматриваемая как отобраоюение j в И 1 (!&+»); является бесконечно дифференцируемым по s 7 Лемма 2.11. Пусть F Є \ , а ряд V Tq+2 является формальным асимптотическим решением (при р — со,) краевой задачи Тогда существует решение V Є "q+2 краевой задачи (2.21), имеющее при р —f со дифференцируемую асимптотику (2.24). Доказательство.
При достаточно малых R рассмотрим краевую задачу (Д-1)0 Так как функция F Є J q , то, переписывая краевую задачу (2.30) в переменных г}, с учетом свойства т2 получаем краевую задачу (2.28) для ф(г);з) = (f ((r])]s). Из леммы 2.10 следует существование решения ф, удовлетворяющего свойству 12 и однородному граничному условию Неймана на 71- Переписывая ф в переменных , получаем, что существует решение ф(;з) = ф{т}]з) краевой задачи (2.30), обладающее свойствами 12, 13. При достаточно малых R 0 будем искать решение V, в виде Тогда для v получаем краевую задачу где F є Т\ . Так как F удовлетворяет условиям леммы 2.9, то существует решение v Є q+2 краевой задачи (2.32), имеющее при р — оо дифференцируемую асимптотику (2.24). Из теорем о повышении гладкости, (2.31) и лемм 2.9 и 2.10 следует принадлежность V Є J +2
Внешнее разложение
В этом параграфе исследуются решения задачи Дирихле с заданными особенностями на кривой 7- Будем изучать сингулярные на 7 решения краевых задач -(A + \0)U = F + Аф0 в П\7, U = 0 на Г, (3.51) где F - функция, имеющая особенность на j. При к 1 обозначим через Bk множество рядов вида Используя ле ДЛЯ любых g Є С(7) и F Є Д) существует постоянная Л и существует функция U Є BQ, которая является решением (3.51), а главный член ее асимптотики при г —) 0 имеет вид g{s) In г. Доказательство леммы 3.2. В рассматриваемом случае F — О, Z\{y\s) = r(a(s)sin(р + 6(s)cos p). Из лемм 3.5, 3.6 следует, что существуют функции U — U Є Во, U U 6 і?і, которые являются решениями (3.47), а главные члены их асимптотик при г — 0 имеют вид g(s) In г и Zir 2 соответственно. Вычислим Л = Л , Л — Л . Умножим обе части равенства в (3.47) на фо, возьмем интеграл по П \ SfL от обеих частей. Интегрируя полученное равенство по частям, выводим В этом параграфе исследуются решения уравнения Пуассона в Ж2 \ ш с растущей правой частью. Рассмотрим краевую задачу где F растет при р - со, h(l } s) Є С(ди) х 7) При q 1 обозначим через Qq - множество рядов вида где Hq - однородные функции, представимые в виде при некотором целом г, коэффициенты однородных полиномов Qj{] s) из С(7). Пусть Qq - множество функций v обладающих следующими свойствами: nl. vGC(R2\w); n2. v имеет при р - оо дифференцируемые по и s асимптотики из , т.е. для любых целых неотрицательных «ьаг, аз справедлива оценка где VJv частичная сумма членов в асимптотике v на бесконечности до членов 0(p N) включительно. Замечание 3.3. Из определения ?д следует, что если функция v Є Qq+2, то Rtf(,8,D)v(t8) Є gq, Ri,i( stD)v( 8) Є Ga+ъ Rifi( s D)v(&s) є Лемма 3.7. Пусть F ммы 2.2, 2.5, 2.6, аналогично лемме 2.7 доказываются следующие утверждения. Лемма 3.3. Для любых gi s) Є С007) существует асимптотическое (при г — 0) решение U Є Во уравнения (2.18) с F Є Во, имеющее глав-ный член g(s)\nr. Лемма 3.4. ДЛЯ любого натурального к и любых Zk и F Є Вк существует асимптотическое (при г — 0) решение U Вк уравнения (2.18), имеющее главный член Z T . Обозначим через Вк множество функций из G(f2\7), обращающихся в нуль на Г и имеющих дифференцируемые асимптотики из Bk, а через Bkfi при к 1 множество функций, представим ых-в-виде вида: U + U 2\ где UM е Вк, U Є В0. С учетом лемм 3.3, 3.4, аналогично лемме 2.8 доказываются следующие утверждения.
Лемма 3.5. Для любых Zk и F Bk существует постоянная Л и существует функция U Є Bk, которая является решением (3.51), а главный член ее асимптотики при г — 0 имеет вид Zk.r 2h. Лемма 3.6. ДЛЯ любых g Є С(7) и F Є Д) существует постоянная Л и существует функция U Є BQ, которая является решением (3.51), а главный член ее асимптотики при г —) 0 имеет вид g{s) In г. Доказательство леммы 3.2. В рассматриваемом случае F — О, Z\{y\s) = r(a(s)sin(р + 6(s)cos p). Из лемм 3.5, 3.6 следует, что существуют функции U — U Є Во, U U 6 і?і, которые являются решениями (3.47), а главные члены их асимптотик при г — 0 имеют вид g(s) In г и Zir 2 соответственно. Вычислим Л = Л , Л — Л . Умножим обе части равенства в (3.47) на фо, возьмем интеграл по П \ SfL от обеих частей. Интегрируя полученное равенство по частям, выводим В этом параграфе исследуются решения уравнения Пуассона в Ж2 \ ш с растущей правой частью. Рассмотрим краевую задачу где F растет при р - со, h(l } s) Є С(ди) х 7) При q 1 обозначим через Qq - множество рядов вида где Hq - однородные функции, представимые в виде при некотором целом г, коэффициенты однородных полиномов Qj{] s) из С(7). Пусть Qq - множество функций v обладающих следующими свойствами: nl. vGC(R2\w); n2. v имеет при р - оо дифференцируемые по и s асимптотики из , т.е. для любых целых неотрицательных «ьаг, аз справедлива оценка где VJv частичная сумма членов в асимптотике v на бесконечности до членов 0(p N) включительно. Замечание 3.3. Из определения ?д следует, что если функция v Є Qq+2, то Rtf(,8,D)v(t8) Є gq, Ri,i( stD)v( 8) Є Ga+ъ Rifi( s D)v(&s) є Лемма 3.7. Пусть F Gj, а ряд V Є Gj+2 является асимптотическим (при р —ї со решением уравнения (3.54). Тогда существует решение У Є Qj+2 краевой задачи (3.54), (3.55), имеющее при р —У со дифференцируемые асимптотики Доказательство. Решение краевой задачи (3.54), (3.55) при достаточно малых it! будем искать в виде где V}v - частичная сумма формального асимптотического решения V. Тогда для tujv получаем краевую задачу Так как F Є 7j, то в силу свойства п2 функция Gjy имеет при р — со бесконечно дифференцируемую по s и асимптотику G = 0(p_/v_1). Так как ди С00, GJV Є СЛГ-2(Е.2 \ ш), то функцию GM можно гладко продолжить в ь). Тогда GN Є GAr_2(R2). Будем искать решение краевой задачи (3.57) в виде w — wN + wN , где Так как N GN Є GN 2(R2) HG Gfp" "1) при p - со, то, представляя решение ги) в виде логарифмического потенциала
Внутреннее разложение
При к 1 обозначим через Bk множество рядов вида Используя леммы 2.2, 2.5, 2.6, аналогично лемме 2.7 доказываются следующие утверждения. Лемма 3.3. Для любых gi s) Є С007) существует асимптотическо доказываются следующие утверждения. Лемма 3.5. Для любых Zk и F Bk существует постоянная Л и существует функция U Є Bk, которая является решением (3.51), а главный член ее асимптотики при г — 0 имеет вид Zk.r 2h. Лемма 3.6. ДЛЯ любых g Є С(7) и F Є Д) существует постоянная Л и существует функция U Є BQ, которая является решением (3.51), а главный член ее асимптотики при г —) 0 имеет вид g{s) In г. Доказательство леммы 3.2. В рассматриваемом случае F — О, Z\{y\s) = r(a(s)sin(р + 6(s)cos p). Из лемм 3.5, 3.6 следует, что существуют функции U — U Є Во, U U 6 і?і, которые являются решениями (3.47), а главные члены их асимптотик при г — 0 имеют вид g(s) In г и Zir 2 соответственно. Вычислим Л = Л , Л — Л . Умножим обе части равенства в (3.47) на фо, возьмем интеграл по П \ SfL от обеих частей. Интегрируя полученное равенство по частям, выводим В этом параграфе исследуются решения уравнения Пуассона в Ж2 \ ш с растущей правой частью. Рассмотрим краевую задачу где F растет при р - со, h(l } s) Є С(ди) х 7) При q 1 обозначим через Qq - множество рядов вида где Hq - однородные функции, представимые в виде при некотором целом г, коэффициенты однородных полиномов Qj{] s) из С(7). Пусть Qq - множество функций v обладающих следующими свойствами: nl. vGC(R2\w); n2. v имеет при р - оо дифференцируемые по и s асимптотики из , т.е. для любых целых неотрицательных «ьаг, аз справедлива оценка где VJv частичная сумма членов в асимптотике v на бесконечности до членов 0(p N) включительно. Замечание 3.3. Из определения ?д следует, что если функция v Є Qq+2, то Rtf(,8,D)v(t8) Є gq, Ri,i( stD)v( 8) Є Ga+ъ Rifi( s D)v(&s) є Лемма 3.7. Пусть F Gj, а ряд V Є Gj+2 является асимптотическим (при р —ї со решением уравнения (3.54). Тогда существует решение У Є Qj+2 краевой задачи (3.54), (3.55), имеющее при р —У со дифференцируемые асимптотики Доказательство. Решение краевой задачи (3.54), (3.55) при достаточно малых it! будем искать в виде где V}v - частичная сумма формального асимптотического решения V.
Тогда для tujv получаем краевую задачу Так как F Є 7j, то в силу свойства п2 функция Gjy имеет при р — со бесконечно дифференцируемую по s и асимптотику G = 0(p_/v_1). Так как ди С00, GJV Є СЛГ-2(Е.2 \ ш), то функцию GM можно гладко продолжить в ь). Тогда GN Є GAr_2(R2). Будем искать решение краевой задачи (3.57) в виде w — wN + wN , где Так как N GN Є GN 2(R2) HG Gfp" "1) при p - со, то, представляя решение ги) в виде логарифмического потенциала С(М \ со) j=l Из (3.56) следует, что краевая задача (3.54), е (при г — 0) решение U Є Во уравнения (2.18) с F Є Во, имеющее глав-ный член g(s)\nr. Лемма 3.4. ДЛЯ любого натурального к и любых Zk и F Є Вк существует асимптотическое (при г — 0) решение U Вк уравнения (2.18), имеющее главный член Z T . Обозначим через Вк множество функций из G(f2\7), обращающихся в нуль на Г и имеющих дифференцируемые асимптотики из Bk, а через Bkfi при к 1 множество функций, представим ых-в-виде вида: U + U 2\ где UM е Вк, U Є В0. С учетом лемм 3.3, 3.4, аналогично лемме 2.8 доказываются следующие утверждения. Лемма 3.5. Для любых Zk и F Bk существует постоянная Л и существует функция U Є Bk, которая является решением (3.51), а главный член ее асимптотики при г — 0 имеет вид Zk.r 2h. Лемма 3.6. ДЛЯ любых g Є С(7) и F Є Д) существует постоянная Л и существует функция U Є BQ, которая является решением (3.51), а главный член ее асимптотики при г —) 0 имеет вид g{s) In г. Доказательство леммы 3.2. В рассматриваемом случае F — О, Z\{y\s) = r(a(s)sin(р + 6(s)cos p). Из лемм 3.5, 3.6 следует, что существуют функции U — U Є Во, U U 6 і?і, которые являются решениями (3.47), а главные члены их асимптотик при г — 0 имеют вид g(s) In г и Zir 2 соответственно. Вычислим Л = Л , Л — Л . Умножим обе части равенства в (3.47) на фо, возьмем интеграл по П \ SfL от обеих частей. Интегрируя полученное равенство по частям, выводим В этом параграфе исследуются решения уравнения Пуассона в Ж2 \ ш с растущей правой частью. Рассмотрим краевую задачу где F растет при р - со, h(l } s) Є С(ди) х 7) При q 1 обозначим через Qq - множество рядов вида где Hq - однородные функции, представимые в виде при некотором целом г, коэффициенты однородных полиномов Qj{] s) из С(7). Пусть Qq - множество функций v обладающих следующими свойствами: nl. vGC(R2\w); n2. v имеет при р - оо дифференцируемые по и s асимптотики из , т.е. для любых целых неотрицательных «ьаг, аз справедлива оценка где VJv частичная сумма членов в асимптотике v на бесконечности до членов 0(p N) включительно. Замечание 3.3. Из определения ?д следует, что если функция v Є Qq+2, то Rtf(,8,D)v(t8) Є gq, Ri,i( stD)v( 8) Є Ga+ъ Rifi( s D)v(&s) є Лемма 3.7. Пусть F Gj, а ряд V Є Gj+2 является асимптотическим (при р —ї со решением уравнения (3.54). Тогда существует решение У Є Qj+2 краевой задачи (3.54), (3.55), имеющее при р —У со дифференцируемые асимптотики Доказательство. Решение краевой задачи (3.54), (3.55) при достаточно малых it! будем искать в виде где V}v - частичная сумма формального асимптотического решения V. Тогда для tujv получаем краевую задачу Так как F Є 7j, то в силу свойства п2 функция Gjy имеет при р — со бесконечно дифференцируемую по s и асимптотику G = 0(p_/v_1). Так как ди С00, GJV Є СЛГ-2(Е.2 \ ш), то функцию GM можно гладко продолжить в ь). Тогда GN Є GAr_2(R2). Будем искать решение краевой задачи (3.57) в виде w — wN + wN , где Так как N GN Є GN 2(R2) HG Gfp" "1) при p - со, то, представляя решение ги) в виде логарифмического потенциала С(М \ со) j=l Из (3.56) следует, что краевая задача (3.54), (3.55) имеет решение VN CN 2(№? \ и). Аналогично тому, как это было сделано в лемме 2.9, доказывается независимость UJV от N. Учитывая, что F обладает свойством п2, а так же явные формулы для wN , wN , получаем: V Qj+2
